函数与导数专题训练卷（一）函数基础性质与导数综合-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数基础性质与导数综合应用，以高考题型为载体，构建从概念到综合论证的知识逻辑链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|8单选|单一性质判断（定义域/奇偶性/切线等）|从函数定义到单调性、零点等基本性质生成| |导数应用|6（3多选+3填空）|导数工具性应用（单调区间/极值/最值）|导数与函数性质的关联推导| |综合探究|5解答题|多问递进式证明与计算（方程根/恒成立）|性质应用到综合论证，培养逻辑推理能力|

高三数学一轮复习函数与导数专题训练卷（一） 函数基础性质与导数综合·高考题型版 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数 的定义域为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】 A 【解析】 由 且 ，得 且 ，所以定义域为 。 2．已知函数 ，若 ，则 的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】 B 【解析】 由 ，得 ，所以 。于是 ，，故 。 3．曲线 在点 处的切线方程为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】 C 【解析】 设 ，则 ，所以 。切线方程为 ，即 。 4．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】 B 【解析】 由 。若 在 上单调递增，则 对 恒成立。因为 在 上的最小值为 ，所以 。 5．函数 的零点个数为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】 C 【解析】 ，临界点为 。又 ，，且 ，，故函数有 个零点。 6．函数 的值域为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】 A 【解析】 函数定义域为 ，。当 时 ，当 时 ，故 时取得最大值 ，且两端趋于 ，所以值域为 。 7．若函数 在 上有两个不同零点，则实数 的取值范围为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】 C 【解析】 令 ，则 。所以 在 上递减，在 上递增，最小值为 。方程 等价于 ，有两个不同正根当且仅当 。 8．已知奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】 A 【解析】 因为 为奇函数且在 上单调递增，所以 ，且 。因此 ，解得 或 。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数 ，，则下列结论正确的是（ ） A． 在 上单调递减　　B． 的最小值为 　　C．方程 有两个正根当且仅当 　　D． 的解集为 【答案】 ABCD 【解析】 由 ，可知 在 上递减，在 上递增，最小值为 。方程 有两个正根等价于 。又 等价于 ，结合 可得 D 正确。 10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A． 在 和 上单调递增　　B． 的极大值为 ，极小值为 　　C．方程 在 时有三个不同实根　　D． 的图象关于原点成中心对称 【答案】 ABD 【解析】 ，所以 A 正确； 为极大值， 为极小值，B 正确；当 时有重根，不是三个不同实根，C 错误；，故图象关于原点成中心对称，D 正确。 11．对函数 ，下列说法正确的是（ ） A．当 时， 在 上单调递增　　B．当 时， 在 上的最小值为 　　C．若 对任意 恒成立，则 　　D．对任意实数 ，方程 在 上都有实根 【答案】 ABC 【解析】 。当 时，，A 正确；当 时，令 ，得 ，最小值为 ，B 正确；若 ，最小值 ，故不满足恒成立，因此 C 正确；如 时 无零点，D 错误。 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线 在点 处的切线方程为__________。 【答案】 【解析】 因为 ，在 处的切线斜率为 ，所以 ，即 。 13．函数 在 上的最小值为__________。 【答案】 【解析】 由 ，知函数在 上递减，在 上递增，所以最小值为 。 14．已知函数 的最大值为 ，则实数 的值为__________。 【答案】 【解析】 当 时，，令 得 ，最大值为 。由 ，得 。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 ，。 1. 求函数 的单调区间和最小值； 1. 证明：对任意 ，都有 。 【解析】 1. 。 当 时，；当 时，。 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 的最小值为 。 1. 由(1)知，对任意 ，都有 ，即 所以 ，当且仅当 时取等号。 16．（15分） 已知函数 。 1. 求 的单调区间与极值； 1. 讨论方程 的实根个数； 1. 当 时，设方程 的三个实根为 ，证明：。 【解析】 1. 。 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增。 因此 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 。 1. 方程 等价于 。由函数图象及极值可知： 当 或 时，方程有 个实根； 当 或 时，方程有 个不同实根； 当 时，方程有 个不同实根。 1. 方程可化为 其二次项系数为 ，由韦达定理可得 17．（15分） 已知函数 ，。 1. 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； 1. 当 时，求 在 上的最小值； 1. 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 【解析】 1. 。若 在 上单调递增，则 对任意 恒成立。 因为 在 上的最小值为 ，所以 。 1. 当 时，令 ，得 ，即 。 当 时，；当 时，。 所以最小值为 1. 若 ，由(1)知 在 上单调递增，故 。 若 ，由(2)知最小值为 。令 ，则 ，且当 时 ，故 ，不满足条件。 综上，实数 的取值范围为 。 18．（17分） 已知函数 ，。 1. 当 时，求 的最大值； 1. 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； 1. 证明：对任意 ，都有 ，并指出等号成立的条件。 【解析】 1. 当 时， 令 ，得 。当 时，；当 时，。 所以 的最大值为 1. 不等式 对任意 恒成立，等价于 对任意 恒成立。 若 ，当 时，，不符合题意。 若 ，由(1)知只需 即 。 因此实数 的取值范围为 。 1. 由(2)取 ，可得对任意 ， 等号成立当且仅当 。 19．（17分） 已知函数 ，。 1. 求 的单调区间和最小值； 1. 讨论方程 的正根个数； 1. 当 时，设方程 的两个正根为 ，且 ，证明：。 【解析】 1. 。 当 时，；当 时，。 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 。 1. 由(1)及 ， 可知： 当 时，方程无正根； 当 时，方程有 个正根 ； 当 时，方程有 个不同正根。 1. 因为 ，所以 即 令 ，则 ，从而 于是 下面证明 。令 ，只需证明 设 ，则 当 时，，故 。又 ，所以 。 故 ，从而 证毕。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学一轮复习函数与导数专题训练卷（一） 函数基础性质与导数综合·高考题型版 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数 的定义域为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 2．已知函数 ，若 ，则 的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 3．曲线 在点 处的切线方程为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 4．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 5．函数 的零点个数为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 6．函数 的值域为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 7．若函数 在 上有两个不同零点，则实数 的取值范围为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 8．已知奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数 ，，则下列结论正确的是（ ） A． 在 上单调递减　　B． 的最小值为 　　C．方程 有两个正根当且仅当 　　D． 的解集为 10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A． 在 和 上单调递增　　B． 的极大值为 ，极小值为 　　C．方程 在 时有三个不同实根　　D． 的图象关于原点成中心对称 11．对函数 ，下列说法正确的是（ ） A．当 时， 在 上单调递增　　B．当 时， 在 上的最小值为 　　C．若 对任意 恒成立，则 　　D．对任意实数 ，方程 在 上都有实根 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线 在点 处的切线方程为__________。 13．函数 在 上的最小值为__________。 14．已知函数 的最大值为 ，则实数 的值为__________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 ，。 1. 求函数 的单调区间和最小值； 1. 证明：对任意 ，都有 。 16．（15分） 已知函数 。 1. 求 的单调区间与极值； 1. 讨论方程 的实根个数； 1. 当 时，设方程 的三个实根为 ，证明：。 17．（15分） 已知函数 ，。 1. 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； 1. 当 时，求 在 上的最小值； 1. 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 18．（17分） 已知函数 ，。 1. 当 时，求 的最大值； 1. 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； 1. 证明：对任意 ，都有 ，并指出等号成立的条件。 19．（17分） 已知函数 ，。 1. 求 的单调区间和最小值； 1. 讨论方程 的正根个数； 1. 当 时，设方程 的两个正根为 ，且 ，证明：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $