专题02 常用逻辑用语【8大考点】讲义-2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学常用逻辑用语核心知识点，系统梳理命题的概念与结构、充分条件与必要条件的判定、充要条件的证明、全称量词与存在量词命题及其否定等内容，从基础定义到条件判断方法再到量词命题，构建层层递进的学习支架。 资料通过表格对比、多种判断方法（定义法、集合法等）及典型例题，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达）。例如充要条件证明题和量词命题否定题，既辅助教师课堂讲解，又供学生课后练习，查漏补缺，提升逻辑应用能力。

专题02 常用逻辑用语高频考点精讲 知识点1：命题的概念与结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件； 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 【注意】(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)“p是q的充分条件”“q是p的必要条件““q的一个充分条件是p”“p的一个必要条件是q“这四种表述形式等价． 知识点3：充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 知识点4：充分、必要、充要条件的判断 1．逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 2．充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 3．条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且qp 充分不必要条件 q⇒p，且pq 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 pq，且qp 既不充分也不必要条件 【注意】“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别： (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 知识点5：判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 知识点6：全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x) 【注意】(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． 知识点7：存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个 符号表示 ∃ 命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x) 【注意】存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 知识点8：命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 知识点9：全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，﹁p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 【注意】八个字“改变量词，否定结论”． 知识点10：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，﹁p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 考点一　充分、必要条件关系的判断 考点二　由充分、必要条件关系求参数 考点三　充要条件的证明 考点四　全称量词命题与存在量词命题判断 考点五　根据全称命题的真假求参数 考点六　根据存在命题的真假求参数 考点七　全称命题与存在命题的否定 考点八　含有一个量词的命题的否定的应用 考点一　充分、必要条件关系的判断 1．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 【答案】AC 【分析】根据充分条件的定义进行判断. 【详解】对A：因为菱形的对角线互相垂直，所以“：四边形为菱形”是“：这个四边形的对角线互相垂直”的充分条件； 对B：因为或，所以“：”不是“：”的充分条件； 对C：因为，所以“：”是 “：”的充分条件； 对D：当，，则，为无理数，但为有理数，所以“：，为无理数”不是“：为无理数”的充分条件. 故选：AC 2．（2026·天津·模拟预测）已知是正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则成立， 若,不妨取，此时，所以不成立， 综上“”是“”的充分不必要条件 3．（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合的包含关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立； 例如：设全集，集合， 此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立， 综上可得，是的既非充分也非必要条件. 4．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 【答案】必要不充分 【分析】按充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 5．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）设是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】由“”不能得出“”， 如当时，满足，不满足； 因为 所以由“”能得出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件. 6．（25-26高一上·全国·专题训练）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】将等式进行等价变形，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】若，由得，即，即，即， 若且，即且，此时， 若，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 考点二　由充分、必要条件关系求参数 7．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知集合或. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）由并集的定义及可求解， （2）根据交集的定义，即可列不等式求解. （3）将问题转化为，即可列不等式求解. 【详解】（1）若，则，因为或， 所以或； （2）显然恒成立，故集合不可能是空集， 而，所以当且仅当，解得， 所以实数的取值范围是. （3）是的充分不必要条件等价于. 又不可能是空集，所以或，即或 所以实数的取值范围是或. 8．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． (3)若，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将集合化简，即可得到两集合的关系； （2）根据题意，将条件转化为集合是集合的真子集，列出不等式代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由，得，然后分与讨论，即可得到结果. 【详解】（1），所以. （2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又， 则， 解得，经检验时满足题意，故实数的取值范围是. （3）因为， 所以由，得， 当时，，解得， 当时，则，解得， 综上， 9．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为根据集合的包含关系求参数的取值范围问题求解. 【详解】设集合，，由题意可知， ∴，∴. 故选：D 10．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可； （2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可． 【详解】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 11．（25-26高一上·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 12．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知条件：；条件：；条件：.若是的充要条件，则_______.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_______. 【答案】 2 【解析】由是的充要条件，建立方程组，解之求得.由 是的必要不充分条件，建立不等式组，解之求得实数的取值范围. 【详解】由条件可得，因为是的充要条件，所以，解得. 因为是的必要不充分条件，所以，解得. 故答案为：2；． 考点三　充要条件的证明 13．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【答案】（1）或； （2）充分性：∵，∴， 代入方程，可得， 即． 故关于x的方程有一个根为1． 是方程的一个根 必要性：是方程的一个根， 将代入方程得． 综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【分析】（1）根据必要不充分条件转化为真包含关系即可得解； （2）结合一元二次方程根的概念，分别证明充分性与必要性即可得证. 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）略 14．（25-26高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】 充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】略 15．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】先由高相等，再由同一个三角形的面积相等得到证明充分性；再由和同一个三角形的面积相等得到证明必要性； 【详解】证明：充分性：在中，设边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则根据三角形面积公式， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 考点四　全称量词命题与存在量词命题判断 17．（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于； (2)有的速度方向不定； (3)对任意直角三角形的两锐角，都有． 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念逐个分析判断. 【详解】（1）可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于”，故为全称量词命题． （2）含有存在量词“有的”，故是存在量词命题． （3）含有全称量词“任意”，故是全称量词命题． 18．（25-26高一上·全国·专题训练）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词和存在量词的特点逐个判断即可 【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题； （2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题； （3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题； （4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题. 19．（2026高三·全国·专题练习）下列全称命题中是真命题的个数是（   ） ①所有偶数都能被整除； ②所有的奇数都能被整除； ③任意实数的平方都不小于零． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据偶数的定义可知①为真命题；为奇数但不能被整除，因此②为假命题；由可知③为真命题， 所以真命题的个数为，故C正确. 20．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； (3)存在实数对，使得； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 【答案】(1) 为全称量词命题，且为假命题，如取，则不成立. (2) 为存在量词命题，且为真命题，因为判别式. (3) 为存在量词命题，且为真命题，如取实数对，则成立. (4)为全称量词命题，且为真命题，根据角平分线的性质可判断. 【分析】（1）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，取，可得命题为假命题； （2）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，根据判别式可得命题为真命题； （3）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，取实数对，可得命题为真命题； （4）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，根据角平分线的性质可得命题为真命题. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 21．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【分析】（1）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再利用平面直角坐标系中有序实数对的性质即可判断真假； （2）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，举例子即可判断其真假； （3）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再通过举反例即可判断真假； （4）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，再利用配方法即可判断其真假. 【详解】（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是全称量词命题，且是真命题. （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是存在量词命题，且是真命题. （3）存在， 但，所以该命题是全称量词命题，且是假命题. （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是存在量词命题，且是假命题. 22．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）（多选）下列命题是真命题的有（   ） A．两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件 B．“”是“”成立的充分不必要条件 C．每个定义域为R的二次函数的图象都是轴对称图形 D．存在一个无理数，它的立方是有理数 【答案】ACD 【分析】对于AB，由充分条件、必要条件的定义判断即可；对于CD，直接判断全称量词命题、特称量词命题的真假即可. 【详解】对于A，显然两个三角形全等必然可以导致面积相等， 直角边为的直角三角形的面积为6，设等腰三角形的底边是，腰是，此时等腰三角形的面积为， 所以面积相等的三角形未必全等， 所以两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故A正确； 对于B，“”当且仅当是的子集，即当且仅当“”成立， 所以“”是“”成立的充分必要条件，故B错误； 对于C，所有的二次函数的图象都是轴对称图形，故C正确； 对于D，若，则是无理数，而，即是有理数，故D正确. 故选：ACD. 考点五　根据全称命题的真假求参数 23．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【答案】0 【分析】根据题意可得，进而最值可得，即可得结果. 【详解】若命题“”为真命题，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为0. 故答案为：0. 24．（25-26高一上·上海·期中）对任意，等式成立，则实数______. 【答案】 【分析】利用全称命题的真假性，结合等式成立的性质列式即可得解. 【详解】因为对任意，等式成立， 所以， 则，解得. 故答案为：. 25．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是_________ 【答案】或 【分析】由命题是真命题得到，再结合得到实数满足的条件，解不等式得到结果. 【详解】由，可得，解得：， 由命题，是真命题，所以， 故有或，解得或. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 26．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）（多选）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】BC 【分析】根据题意，求得当命题为真命题时，的取值范围，即可得到结果. 【详解】若命题为真命题，则，解得，则当命题为假命题时，. 故选：BC 27．（25-26高一上·河南三门峡·阶段检测）已知命题是真命题，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用全称命题为真转为不等式恒成立问题，结合分离参数法和函数的性质即可求解. 【详解】因为命题是真命题， 所以不等式在上恒成立， 等价于即可， 因为 所以即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 28．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】确定，考虑，，三种情况，计算得到答案. 【详解】命题“”为假命题， 则， 当时，，成立； 当时，则，解得，即； 当时，成立； 综上所述：. 故选：D. 考点六　根据存在命题的真假求参数 29．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解即可； （2）根据题意，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 命题为真命题时，有，或， 因为两个命题都是真命题， 所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； （2）由（1）可知：当命题为假命题时，， 当命题为假命题时，， 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 综上所述：实数的取值范围，或. 30．（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：原命题为假，则其否定命题为真，因此写出其否定命题，结合恒成立求解即可； 解法二：先假设原命题为真，利用存在性成立求解后，再取相反面即可. 【详解】解法一：由于“，使得”是假命题， 则其否定：“，使得”是真命题，故， 又随着的增大而减小， 所以小于当时的最小值时，恒成立， 则，即． 解法二：当题中命题为真命题时，可得，使得成立， 所以大于或等于当时的最小值即可， 即，又该命题为假命题，所以． 故选：A. 31．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）若命题p：，为真命题，求t的取值范围； （2）已知集合、集合（）.若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）根据存在性命题为真转化为求的最大值得解； （2）分类讨论，分别列出不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， 即，由题意，， 故t的取值范围 （2），， 因为， 所以当时，即，时，满足题意； 当时，由可得或， 解得， 综上，实数的取值范围或. 32．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）（多选）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】依题意可得使得，求出，即可求出的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】因为命题“”是真命题， 所以使得，又，，所以， 因为真包含于，真包含于， 所以的一个充分不必要条件是或. 故选：CD 33．（25-26高一上·全国·单元测试）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题是真命题的意思求解即可. 【详解】因为命题“”为真命题， 所以命题“”为真命题， 所以时，. 因为， 所以当时，，此时. 所以时，，即实数的取值范围是. 故选：C. 34．（2026·重庆·三模）（多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解. 【详解】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 考点七　全称命题与存在命题的否定 35．（25-26高一下·四川眉山·期中）已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题， 命题的否定命题． 36．（25-26高一上·广西河池·期中）命题“，使”的否定是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【答案】A 【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断， 所以命题“，使”的否定是“，使”. 37．（2026·陕西咸阳·模拟预测）若命题，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题意，命题，， 则，． 38．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知命题“，”，则为____________________________________． 【答案】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题的规则，更换量词并否定原命题结论即可求解. 【详解】 根据全称量词命题的否定规则：全称量词命题的否定是存在量词命题，需将全称量词替换为存在量词， 同时否定原命题的结论， 结论的否定为， 因此为。 考点八　含有一个量词的命题的否定的应用 39．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）（1）设p：；q：，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）首先解出中对应的不等式，然后可得答案； （2）由条件可得命题“，”为真命题，然后可得答案. 【详解】（1）由可得，由可得 若p是q的充分条件，则，解得 （2）若命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题 所以，解得 40．（25-26高三·云南·阶段检测）如果命题“使得”是假命题，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】特称命题是假命题，则该命题的否定为全称命题且是真命题，然后根据即可求解. 【详解】依题意，命题“使得”是假命题， 则该命题的否定为“”，且是真命题； 所以，. 故选：B 41．（25-26高一·全国·课后作业）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据为假命题，可判断为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取值范围，最后取公共解即可； 【详解】因为为假命题，所以为真命题， 命题，都有， 为真命题，则，即 命题，使，为真命题，则，即 因为命题、同时为真命题，所以，解得， 故实数m的取值范围是． 42．（25-26高一·全国·课后作业）已知命题，，，.若p与q均为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】 【解析】先写出和，从而得到与都是真命题，从而分别得到的不等式，得到的范围. 【详解】，， ，， ，， ，. 因为p与q均为假命题， 所以与都是真命题. 由为真命题得或，故. 由为真命题得或，故 .解得. 故实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，根据命题的真假求参数的范围，属于中档题. 43．（2026高一上·全国·专题练习）已知命题，都有，命题：，使得成立，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分别根据命题的真假求出参数a的范围，即可求得答案. 【详解】当时，的最小值为2，因为为真命题，所以； 当时，的最大值为， 若为真命题时，，因为为假命题，所以； 综上，的取值范围为． 44．（25-26高三下·江苏宿迁·阶段检测）已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是． （2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语高频考点精讲 知识点1：命题的概念与结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件； 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 【注意】(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)“p是q的充分条件”“q是p的必要条件““q的一个充分条件是p”“p的一个必要条件是q“这四种表述形式等价． 知识点3：充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 知识点4：充分、必要、充要条件的判断 1．逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 2．充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 3．条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且qp 充分不必要条件 q⇒p，且pq 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 pq，且qp 既不充分也不必要条件 【注意】“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别： (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 知识点5：判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 知识点6：全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x) 【注意】(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． 知识点7：存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个 符号表示 ∃ 命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x) 【注意】存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 知识点8：命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 知识点9：全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，﹁p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 【注意】八个字“改变量词，否定结论”． 知识点10：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，﹁p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 考点一　充分、必要条件关系的判断 考点二　由充分、必要条件关系求参数 考点三　充要条件的证明 考点四　全称量词命题与存在量词命题判断 考点五　根据全称命题的真假求参数 考点六　根据存在命题的真假求参数 考点七　全称命题与存在命题的否定 考点八　含有一个量词的命题的否定的应用 考点一　充分、必要条件关系的判断 1．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 2．（2026·天津·模拟预测）已知是正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 5．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）设是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·全国·专题训练）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二　由充分、必要条件关系求参数 7．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知集合或. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 8．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． (3)若，求实数的取值范围； 9．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 11．（25-26高一上·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 12．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知条件：；条件：；条件：.若是的充要条件，则_______.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_______. 考点三　充要条件的证明 13．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 14．（25-26高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 15．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 考点四　全称量词命题与存在量词命题判断 17．（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于； (2)有的速度方向不定； (3)对任意直角三角形的两锐角，都有． 18．（25-26高一上·全国·专题训练）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 19．（2026高三·全国·专题练习）下列全称命题中是真命题的个数是（   ） ①所有偶数都能被整除； ②所有的奇数都能被整除； ③任意实数的平方都不小于零． A． B． C． D． 20．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； (3)存在实数对，使得； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 21．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 22．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）（多选）下列命题是真命题的有（   ） A．两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件 B．“”是“”成立的充分不必要条件 C．每个定义域为R的二次函数的图象都是轴对称图形 D．存在一个无理数，它的立方是有理数 考点五　根据全称命题的真假求参数 23．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 24．（25-26高一上·上海·期中）对任意，等式成立，则实数______. 25．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是_________ 26．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）（多选）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 27．（25-26高一上·河南三门峡·阶段检测）已知命题是真命题，则的取值范围是__________. 28．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 考点六　根据存在命题的真假求参数 29．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 30．（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）若命题p：，为真命题，求t的取值范围； （2）已知集合、集合（）.若，求实数的取值范围. 32．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）（多选）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·全国·单元测试）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（2026·重庆·三模）（多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 考点七　全称命题与存在命题的否定 35．（25-26高一下·四川眉山·期中）已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·广西河池·期中）命题“，使”的否定是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 37．（2026·陕西咸阳·模拟预测）若命题，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 38．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知命题“，”，则为____________________________________． 考点八　含有一个量词的命题的否定的应用 39．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）（1）设p：；q：，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，求实数a的取值范围. 40．（25-26高三·云南·阶段检测）如果命题“使得”是假命题，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高一·全国·课后作业）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 42．（25-26高一·全国·课后作业）已知命题，，，.若p与q均为假命题，求实数a的取值范围. 43．（2026高一上·全国·专题练习）已知命题，都有，命题：，使得成立，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围． 44．（25-26高三下·江苏宿迁·阶段检测）已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $