专题02 不等式恒成立、能成立问题同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学必修第一册

本讲义聚焦高中数学不等式恒成立与能成立问题，系统梳理一元二次不等式恒成立（a≠0）的四类情形，以及恒成立、存在成立的不同条件。通过判别式法、数形结合（根分布）、分离参数法等六种题型，搭配例题与跟踪训练，构建从原理到方法应用的学习支架。 该资料以题型为载体，引导学生用数学眼光辨析问题本质，如恒成立与存在成立的区别，用数学思维推理转化策略，如分离参数法中的逻辑分析。课中辅助教师分层教学，课后通过跟踪训练帮助学生巩固方法，提升解决复杂不等式问题的能力。

专题02不等式恒成立、能成立问题 1.一元二次不等式恒成立的问题(-0)： a>0 (1)ax2+bx+c>0恒成立 △<0 a>0 (2)ax+bx+c≥0恒成立一 △≤0 ax2+bx+c<0恒成立一 a<0: (3) △<0 (4 ax+bx+cso 恒成立a<0: △≤0 2.不等式恒成立、存在成立问题 (1)恒成立 ①a<f(x)恒成立a<f(x)mn:②a>f(x)恒成立~a>f(x)ma: ®a≤fx恒成立-asf(x)④a≥fx恒成立-a≥fxmr (2)存在成立（有解） ①a<f(x有解a<f(x)nmax:②a>f(x)有解~a>f(x)mim: ®asfx有解。a≤f(x):①a≥f(x)有解-a≥f代xnm 题型一：△判别式法解决全体实数上恒成立 例1.(1)已知不等式kX2+2-(k+2)<0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围： (2)若不等式-x2+2x+3≤a-3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 跟踪训练： 1.已知不等式mx2-2mx+m-3<0对任意实数x恒成立，求m的取值范围. 2.不等式x-2ax+a+2≥0对Vx∈R恒成立，求实数a的取值范围 3.不等式2x2-ax+3>0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围. 4.不等式ax2-4x+1≤0对任意X∈R恒成立，求实数a的取值范围. 2 题型二、数形结合（根分布）给定区间恒成立 例1.当1≤x≤2时，不等式x2+mx+4<0恒成立，求m的取值范围. 跟踪训练： 1.当2≤x≤3时，不等式x2+x+2<0恒成立，求实数t的取值范围. 2当1≤x≤4，不等式x2-ax+5>0恒成立，求实数a的取值范围. 3.当0≤x≤3，不等式-x2+kx-1≤0恒成立，求实数k的取值范围. 3 题型三、分离参数法区间恒成立 例1.设函数y=mx2-mx-1,1≤x≤3，若y<-m+5恒成立，求m的取值范围. 跟踪训练： 1.已知2≤x≤4，mx-2<x恒成立，求实数m取值范围. 2.当1≤x≤3,2m+1>x2-2x恒成立，求实数m取值范围. 4 3.当0<X≤2，a≥X+二恒成立，求实数a取值范围. 4当1≤X≤5'm(x+1)<X+2恒成立，求实数nm取值范围. m 题型四、主参换位法（已知参数范围求x) 例1.已知y=mx-mx-6+m,对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围. 跟踪训练： 1.对2≤m≤4，不等式mx-2m+1<0恒成立，求实数x取值范围. 5 2当1≤m≤2'(X-1)m+2x-4<0恒成立，求实数x取值范围。 3.当-1≤m≤1，m(x+2)+3>0恒成立，求实数x取值范围. 4当0≤m≤3°(X2+2)m-X-6≥0恒成立，求实数x取值范围， 题型五：图象补集法区间内能成立（有解） 例1.当1<x<2时，不等式x+mx+4>0有解，求实数m的取值范围. 跟踪训练： 1.当2<x<3,x2+tx+3>0有解，求实数t取值范围. 6 2.当1<x<4,x2-ax+2<0有解，求实数a取值范围. 3.当0<x<2,-x+kx-1>0有解，求实数k取值范围. 4.-2<x<1,x+mx-5<0有解，求实数m取值范围. 题型六：最值转化法x∈R能成立 4x+m 例1若存在x∈R,使得又-2x+3 ≥2成立，求实数m的取值范围. 跟踪训练： 1.存在x∈R, 2￥-0≥1有解，求实数a取值范围。 X2+1 2XeR'X-3x+m<1成立，求实数nm取值范围 3.存在实数X,使 ≤3成立，求实数t取值范围. 2+2 4X∈R'2X-4X+k>0有解，求实数k取值范围. 8 专题02不等式恒成立、能成立问题 1.一元二次不等式恒成立的问题（a≠0）： （1）恒成立； （2）恒成立； （3）； （4）恒成立. 2.不等式恒成立、存在成立问题 （1）恒成立 ①恒成立；②恒成立； ③恒成立；④恒成立. （2）存在成立（有解） ①有解；②有解； ③有解；④有解. 题型一：判别式法解决全体实数上恒成立 例1.（1）已知不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）分两类讨论： ①当时，原式简化为，该不等式对全体实数恒成立，满足条件； ②当时，式子为二次不等式，要使二次函数全部在轴下方，需同时满足：开口向下、与轴无交点. 展开判别式： 解得.综合①②：.故实数的取值范围为. （2）先移项整理不等式，统一为二次式大于等于0恒成立：. 二次项系数，抛物线开口向上，要全部在轴及上方，只需： ，，解得或. 故实数的取值范围为. 跟踪训练： 1.已知不等式对任意实数恒成立，求的取值范围. 解：①，不等式变为，对任意恒成立，符合要求； ②，二次函数恒小于0：.解得：. 故实数的取值范围为 2.不等式对恒成立，求实数的取值范围. 解：二次项系数，开口向上，恒大于等于0只需判别式： ，， 解得：.故实数的取值范围为. 3.不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 解：二次项系数，开口向上，恒大于0则： ，，解得：. 故实数的取值范围为. 4.不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 解：①时，不等式为，仅成立，不能覆盖全体实数，舍去； ②，二次式恒要求：开口向下、 ， 由得，与无公共解集. 综上不存在满足条件的. 故实数实数的取值范围为∅. 题型二、数形结合（根分布）给定区间恒成立 例1.当时，不等式恒成立，求的取值范围. 解：设，二次项系数，抛物线开口向上. 开口向上的抛物线，若在闭区间全部位于轴下方，只需区间左右端点函数值均小于0： ，化简：. 同时满足两个不等式取交集，. 故的取值范围为 跟踪训练： 1.当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解：令，开口向上，区间内恒小于0，则两端点函数值均小于0： 则，解得：. 故实数的取值范围为. 2当，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解：令，开口向上，对称轴，区间最小值大于0分三类讨论： ①对称轴在区间左侧，最小值在处：则，解得：. ②对称轴落在区间内部，顶点处取最小值：，解得： ③对称轴在区间右侧，最小值在处：，该不等式组无解. 综上所述：实数的取值范围为. 3.当，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解：变形：，分与讨论： ①，左边，右边，恒成立，无限制； ②，可两边除以，分离参数：； 设，由基本不等式，当取最小值2； 要在恒成立，只需小于等于最小值2. 故实数的取值范围为. 题型三、分离参数法区间恒成立 例1.设函数，，若恒成立，求的取值范围. 解：移项整理全部式子到左边：，. 提取参数：. 先判断符号：，恒为正数，可直接除，不等号不变向：， 令，对称轴，区间在对称轴右侧，随x增大而增大； ，； 随增大而减小，因此在最小值为； 要对所有成立，只需小于右边函数最小值. 故的取值范围为. 跟踪训练： 1.已知，恒成立，求实数取值范围. 解：移项：，区间，两边除以不改变不等号：. 令，对勾函数，随x增大而增大， 在时，随x增大而增大； ；恒成立要求小于最小值.故 所以实数取值范围为. 2.当，恒成立，求实数取值范围. 解：令，开口向上，对称轴，，随x增大而增大；；对所有成立， 只需左边大于最大值：. 所以实数取值范围为. 3.当，恒成立，求实数取值范围. 解：，，随x增大而减小；，随x增大而增大； （最小值），（区间最大值）； 恒成立，必须大于等于函数最大值.故实数取值范围为. 4.当，恒成立，求实数取值范围. 解：，，分离参数：， 换元，，，代入化简：. 在随增大而增大； ，原式最小值；小于该最小值即可. 所以实数取值范围为. 题型四、主参换位法（已知参数范围求） 例1.已知，对于，恒成立，求实数的取值范围. 解：重新整理式子，按合并同类项：. 记，视为自变量，为参数. 先判断系数：恒成立， 因此是关于的一次函数且随增大而增大； ，y恒小于0，只需区间最大值：， ， 解得：.故实数的取值范围为. 跟踪训练： 1.对，不等式恒成立，求实数取值范围. 解：整理为主元的一次函数：，， 若即，，不满足； 若，随m增大而增大，最大值：，矛盾； 若，随m增大而减小，最大值在左端点： . 故实数的取值范围为. 2.当，恒成立，求实数取值范围. 解：令，一次函数在闭区间恒小于0，只需两端点均小于0： ，， 解得：.故实数的取值范围为. 3.当，恒成立，求实数取值范围. 解：，一次函数在恒大于0，两端点均大于0： ，，解得：. 故实数的取值范围为. 4.当，恒成立，求实数取值范围. 解：令，系数，随m增大而增大； 区间最小值在处，只需：. 故实数的取值范围为. 题型五：图象补集法区间内能成立（有解） 例1.当时，不等式有解，求实数的取值范围. 解：设，开口向上. 先求反面：区间内恒成立，此时两端点满足： . 题目要求不等式有解，即排除反面情况，取补集：. 所以实数的取值范围为. 跟踪训练： 1.当，有解，求实数取值范围. 解：反面：内恒成立，两端点：. 有解取补集：.故实数取值范围为. 2.当，有解，求实数取值范围. 解：变形：存在使； 能成立规则：大于右侧函数最小值即可； 最小值（），故. 故实数取值范围为. 3.当，有解，求实数取值范围. 解：变形：存在，； 最小值为2，只需. 故实数取值范围为. 4.，有解，求实数取值范围. 解：反面：区间内恒成立，两端点满足： . 不等式组无公共解，说明不存在使区间恒； 即对任意实数，区间内一定存在满足. 实数取值范围为R. 题型六：最值转化法R能成立 例1.若存在，使得成立，求实数的取值范围. 解：分母恒成立，不等号方向不变，两边同乘分母： ， 整理参数单独放一侧：， 题意为：存在实数满足上式，即大于等于右侧函数最小值； 令，开口向上，顶点在：. ，只需. 故实数的取值范围为. 跟踪训练： 1.存在，有解，求实数取值范围. 解：分母恒成立，去分母：. 存在成立，只需小于等于右侧函数最大值； ，最大值，故. 故实数取值范围为. 2.，成立，求实数取值范围. 解：移项：，存在成立，小于右侧最大值； 开口向下，顶点最大值，故. 所以实数取值范围为. 3.存在实数，使成立，求实数取值范围. 解:分母，去分母：. 令，开口向上，存在最小值； 对任意实数，总能找到足够大的使，因此全体实数都满足条件. 则实数取值范围R. 4.，有解，求实数取值范围. 解：变形：，存在成立，大于右侧函数最小值； 开口向下，顶点最大值； 只需，就能找到使不等式成立.所以实数取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $