第01讲 集合的概念 讲义-2026-2027学年新高一暑假数学初升高衔接课

第01讲、集合的概念 目录 一、元素与集合的概念 2 二、元素与集合的关系 2 三、常用的数集及其记法 2 四、集合的表示方法 3 题型1集合中元素的确定性 3 题型2集合中元素的互异性 4 题型3元素与集合的关系 4 题型4集合的表示法 4 题型5常用数集及其应用 5 题型6根据元素与集合的关系求参数 5 题型7根据元素中的元素个数求参数 6 题型8集合新定义 6 01 学习新知 一、元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 二、元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 三、常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 四、集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 02 经典题型 题型1集合中元素的确定性 1. 下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2. (多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 题型2集合中元素的互异性 3. 用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4. 由实数所组成的集合，最多可含有（    ）个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 题型3元素与集合的关系 5. 已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6. 用符号“”和“”填空： （1）设集合是正整数的集合，则 ， ； （2）设集合是小于的所有实数的集合，则 ， ． 7. 集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 题型4集合的表示法 8. 试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 9. 用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． 10. 用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 题型5常用数集及其应用 11. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 12. 用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 题型6根据元素与集合的关系求参数 13. 已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 14. （多选）已知，则关于实数的取值正确的是（    ） A．0 B．1 C． D．2 15. （多选）已知集合，若，则的取值为（    ） A． -3 B．-1 C．1 D．3 16. 设集合，集合，若已知，且，则的值为 ． 题型7根据元素中的元素个数求参数 17. （多选）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B． C．8 D．9 18. 已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 题型8集合新定义 19. 定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 20. 定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲、集合的概念 目录 一、元素与集合的概念 2 二、元素与集合的关系 2 三、常用的数集及其记法 2 四、集合的表示方法 3 题型1集合中元素的确定性 3 题型2集合中元素的互异性 4 题型3元素与集合的关系 5 题型4集合的表示法 6 题型6常用数集及其应用 8 题型7点根据元素与集合的关系求参数 9 题型根据元素中的元素个数求参数 10 题型9集合新定义 12 01 学习新知 一、元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 二、元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 三、常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 四、集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 02 经典题型 题型1集合中元素的确定性 1. 下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2. (多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 题型2集合中元素的互异性 3. 用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由集合中元素的特征直接求解即可 【详解】解：“book”中的字母构成的集合为，有3 个元素， 故选：C 4. 由实数所组成的集合，最多可含有（    ）个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案． 【详解】由题意，当时所含元素最多， 此时分别可化为，，， 所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素． 故选：B 题型3元素与集合的关系 5. 已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由方程，解得或，所以， 所以，，. 故选：A. 6. 用符号“”和“”填空： （1）设集合是正整数的集合，则 ， ； （2）设集合是小于的所有实数的集合，则 ， ． 【答案】 【详解】（1）正整数是不包含的自然数，如，所以． （2）因为，所以； 因为，所以． 故答案为：；；； 7. 集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 题型4集合的表示法 8. 试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 解　(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2-2=0.因此，用描述法表示为 A={x∈R|x2-2=0}. 方程x2-2=0有两个实数根}. (2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为 B={x∈Z|10<x<20}. 大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为 B={11，12，13，14，15，16，17，18，19} 9. 用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)(2)(3) (4) 【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） 10. 用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1)(2) (3)(4) 【解析】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 题型5常用数集及其应用 11. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误. 故选：A. 12. 用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 【详解】（1）不是自然数，则； （2）是整数，则； （3）是无理数，则； （4）是实数，则. 故答案为：（1）（2）（3）（4） 题型6根据元素与集合的关系求参数 13. 已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【答案】C 【详解】当，解得或1， 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足要求， 当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 14. （多选）已知，则关于实数的取值正确的是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】BCD 【详解】由已知，则可能有以下几类情况： （1）若，则. 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； （2）若，则. 此时，不符合集合中元素的互异性，不合题意； （3）若，解得（已舍），或 当时，，满足题意. 综上所述，. 故选：BCD. 15. （多选）已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】CD 【详解】由于，则或，解得或或， 当时，，满足条件;当时，，满足条件; 当时，，不满足互异性，舍去. 所以的取值为1或3.故选：CD. 16. 设集合，集合，若已知，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】由可知，解得或， 又因为当时，，不满足题意， 所以，此时，故答案为： 题型7根据元素中的元素个数求参数 17. （多选）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B． C．8 D．9 【答案】ABC 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有8，4，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故C可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选，故选：ABC． 18. 已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 题型8集合新定义 19. 定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】A 【详解】由题设知， 所有元素之和为， 故选：A. 20. 定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 【答案】26 【详解】． 故答案为：26 2 学科网（北京）股份有限公司 $