专题04 基本不等式【10大考点】讲义-2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦基本不等式核心知识点，先梳理常用结论及推论，再明确“一正二定三相等”的使用条件，进而系统讲解直接法、配凑法等五种求最值方法，通过十个高频考点搭建从理论到应用的学习支架。 资料亮点在于考点分类细致，例题覆盖高考真题与模拟题，注重方法迁移。通过“1”的妙用培养逻辑推理能力，实际应用问题（如矩形花坛设计）发展抽象能力与模型意识，课中辅助分层教学，课后助力学生巩固方法、弥补知识盲点。

专题04 基本不等式高频考点精讲 知识点1：基本不等式常用的结论 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 推论：（） 2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 推论：（，）； 3、 知识点2：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 知识点3：利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 考点一　直接法求最值 考点二　“1”的妙用求最值 考点三　配凑法求最值 考点四　消元法求最值 考点五　换元法求最值 考点六　二次商式求最值 考点七　对勾函数求最值 考点八　基本不等式的恒成立问题 考点九　基本不等式的实际应用 考点十　由基本不等式证明不等关系 考点一　直接法求最值 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 2．（25-26高二下·北京怀柔·期末）当时，函数的最小值为 ________________ ． 3．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试），且x，y都是正数，则的最大值是_______． 4．（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 考点二　“1”的妙用求最值 5．（2026·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 7．（2026·四川成都·模拟预测）已知均为正数，且，则的最小值为______. 8．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为__________． 9．（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·安徽六安·模拟预测）设，则的最小值为____________． 考点三　配凑法求最值 11．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 13．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_____． 14．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知的最小值为______． 考点四　消元法求最值 15．（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 16．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 17．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______． 18．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 20．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，则的 （　　） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 考点五　换元法求最值 21．（25-26高一上·全国·专题训练）若，且，则的最小值为_____. 22．（25-26高一上·广东深圳·期末）若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________． 24．（25-26高一上·全国·专题训练）已知 ，求ab的最大值； 25．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 26．（25-26高一上·全国·专题训练）（多选）已知均为正实数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．不小于 考点六　二次商式求最值 27．（25-26高一上·全国·阶段检测）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·全国·专题训练）求下列函数的最小值 （1）； （2）. 29．（25-26高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 30．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，则的最大值是______ 31．（2026·天津河西·模拟预测）函数的最小值为___________. 32．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）当时，函数的最小值为_________. 考点七　对勾函数求最值 33．（25-26高一上·天津西青·阶段检测）下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 34．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列函数中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）已知正数x，y满足，则(    ) A． B． C． D． 36．（25-26高一上·河北·阶段检测）可利用基本不等式解决下列问题： (1)已知，求函数的最大值； (2)已知，且，求的最小值； (3)已知正数a，b满足，求的最小值. 考点八　基本不等式的恒成立问题 37．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为______. 38．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 39．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 40．（25-26高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 41．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·贵州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 43．（25-26高一上·重庆·阶段检测）若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 考点九　基本不等式的实际应用 45．（25-26高一上·湖北十堰·期中）设矩形的周长为48cm，把三角形沿折叠，折叠后与交于点E． (1)设，用x表示三角形面积，并写出x的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相应x的值； 46．（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 47．（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 48．（25-26高一上·陕西延安·期中）某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 考点十　由基本不等式证明不等关系 49．（2026高三·全国·专题练习）设均为正数，且，求证：. 50．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）（1）已知，，，，求证：，并说明等号成立的条件. （2）若，，且，求证：，并说明等号成立的条件. 51．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 52．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知是正实数． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，求的最小值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 基本不等式高频考点精讲 知识点1：基本不等式常用的结论 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 推论：（） 2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 推论：（，）； 3、 知识点2：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 知识点3：利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 考点一　直接法求最值 考点二　“1”的妙用求最值 考点三　配凑法求最值 考点四　消元法求最值 考点五　换元法求最值 考点六　二次商式求最值 考点七　对勾函数求最值 考点八　基本不等式的恒成立问题 考点九　基本不等式的实际应用 考点十　由基本不等式证明不等关系 考点一　直接法求最值 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 2．（25-26高二下·北京怀柔·期末）当时，函数的最小值为 ________________ ． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解． 【详解】当时，函数， 当且仅当，即x时,等号成立，所以的最小值为. 3．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试），且x，y都是正数，则的最大值是_______． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式即可求解． 【详解】由x，y都是正数， 则，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是． 4．（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 考点二　“1”的妙用求最值 5．（2026·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由题，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因由题设及基本不等式， , 当且仅当，即时取等号. 6．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由配凑法结合换1法得出，再使用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 7．（2026·四川成都·模拟预测）已知均为正数，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用“1的代换”构造乘积形式，化简后运用均值不等式求最小值. 【详解】由均为正数，且， 则， 当且仅当，解得时等号成立. 8．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】利用“”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数满足，所以，所以， ，当且仅当时取等号，即，时，最小值为. 9．（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造乘“1”法，化简整理后利用基本不等式即可求出最小值，需注意等号成立条件. 【详解】由，可得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立． 故选：A 10．（2026·安徽六安·模拟预测）设，则的最小值为____________． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故答案为：4 考点三　配凑法求最值 11．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 12．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故选：A． 13．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 14．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知的最小值为______． 【答案】 【分析】使用配凑法配凑出分母的和，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以． 所以， 当且仅当，且，即时等号成立． 故的最小值为． 考点四　消元法求最值 15．（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】将转化为，由得到，从而得到，将代入，进行整理，利用基本不等式求解即可得解. 【详解】，，，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值. 故答案为：. 16．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据题设条件求得，代入所求式利用基本不等式即可求解. 【详解】由可得，显然，则有， 由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为9. 故选：B. 17．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】－1 【分析】对进行化简，再利用均值不等式求解. 【详解】因为，所以， 因为均为正数，所以， 所以 , 当且仅当，即，即时，取得最小值， 故答案为：－1 18．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 19．（25-26高一上·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】由题设求得，从而将所求式化成，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 20．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，则的 （　　） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 【答案】A 【分析】由题可得，得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意知，则， 又由， 当且仅当，即时等号成立，所以最大值为. 故选：A. 考点五　换元法求最值 21．（25-26高一上·全国·专题训练）若，且，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】先因式分解，由得，再换元，，用表示，根据基本不等式即可求解. 【详解】由得， 令，则且，， 所以 ， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为:． 22．（25-26高一上·广东深圳·期末）若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知等式化为，令，把目标分式转化齐次式，，再用基本不等式求出最大值. 【详解】由可得， 令，则，， 所以，. 因为求最大值，所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，结合可得， 进一步可得或， 所以的最大值为. 故选：B. 23．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由条件等式求得，将所求式变形用的代数式表示，借助于换元，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由，x，y均为正实数，可得，解得， 因， 则，设，则，且， 则， 因，当且仅当时等号成立， 故，即当时，的最小值为. 故答案为：. 24．（25-26高一上·全国·专题训练）已知 ，求ab的最大值； 【答案】 【分析】利用基本不等式得到关于的不等式，整体换元解不等式得的范围，再分析取等号的条件即可. 【详解】由， 可得，当且仅当时等号成立. 令，则，即， 解得，又，则. 则， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. 25．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，令，则， 解得，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B正确. 故选：B. 26．（25-26高一上·全国·专题训练）（多选）已知均为正实数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．不小于 【答案】ACD 【分析】对于A，根据基本不等式，可得其正误；对于B，利用基本不等式“1”的妙用，可得其正误；对于C，利用多项式乘法以及配方法，可得其正误；对于D，利用放缩，再根据完全平方公式以及基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为，故B错误； 对于C， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D选项，由，则， ， 设，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 考点六　二次商式求最值 27．（25-26高一上·全国·阶段检测）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 28．（25-26高一上·全国·专题训练）求下列函数的最小值 （1）； （2）. 【答案】（1）3；（2）10. 【分析】（1）化简整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值. （2）令，整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取等号） 的最小值为3； （2）令，则， 当且仅当即t=3时取等号 y的最小值为10 29．（25-26高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 30．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，则的最大值是______ 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得原函数的最大值. 【详解】，则， 所以，， 当且仅当时，因为，即当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 31．（2026·天津河西·模拟预测）函数的最小值为___________. 【答案】9 【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题. 32．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）当时，函数的最小值为_________. 【答案】 【解析】根据题中条件，将函数化为，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 考点七　对勾函数求最值 33．（25-26高一上·天津西青·阶段检测）下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可. 【详解】对于①只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则①不正确； 对于②,，令， 则在上单调递增，则最小值为, 则②不正确； 对于③,，则③正确； 对于④,当时，，当且仅当 时，即，等号成立，则④不正确. 综上只有1个正确， 故选：B. 34．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列函数中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】用基本不等式可对选项进行判断，注意基本不等式等号成立的条件，用二次函数的性质可判断选项. 【详解】对于选项. 函数，定义域为. 当时，，当且仅当，即时等号成立，即； 当时，，当且仅当，即时等号成立，即. 综上，函数的最小值不是2，选项错误. 对于选项. 函数，定义域为. 对，，当且仅当时等号成立，但没有能满足此条件，故此函数最小值不是2，选项错误. 对于选项. 函数，其中，故. ，当且仅当，即时等号成立. 故函数的最小值为2，选项正确. 对于选项. ，定义域为，且 则，由函数的性质可知，当时，有最小值4. 故当时，有最小值，故选项正确. 故选： 35．（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）已知正数x，y满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断A、B；得答案；通过对进行等价转换，再利用基本不等式即可判断C；通过对进行等价转换，再利用对勾函数单调性即可判断D. 【详解】对于A，，，且，所以，解得， 当且仅当，时等号成立，而，则成立，故A正确； 对于B，，而，所以， 当且仅当，时等号成立，故B正确； 对于C，，，且，所以，（，）， 所以， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，，且， 令，则，（），因为，所以， 在上单调递增，所以，从而， 当且仅当，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 36．（25-26高一上·河北·阶段检测）可利用基本不等式解决下列问题： (1)已知，求函数的最大值； (2)已知，且，求的最小值； (3)已知正数a，b满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式求函数最小值； （2）（3）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】（1）由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号； 所以函数的最大值为. （2）根据题意，且， 则 ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. （3）因为，，，所以， 则， 又， 当且仅当且，即，时取等号， 则， 所以当，时，的最小值是. 考点八　基本不等式的恒成立问题 37．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 又恒成立，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 38．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 39．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可. 【详解】正数，且，则， 当且仅当时取等号，又恒成立，则， 所以m的取值范围是. 40．（25-26高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【分析】变形得，利用基本不等式求的最小值，进而解决恒成立问题. 【详解】因为，，所以由，得，即恒成立； 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为4，则，解得或； 故答案为： 41．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 42．（25-26高一上·贵州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由已知条件可得：，因不等式恒成立，则需恒成立，则需要，利用“1的妙用”，求出的最小值，即可得到的取值范围. 【详解】将化为：， 即：，不等式化为：， 上述不等式要恒成立，则小于的最小值. 因为，则 ， 当且仅当，即且时，取“”， 所以，即. 故答案为：. 43．（25-26高一上·重庆·阶段检测）若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，令，可得，故，则求得t的范围，即可求得t的最小值. 【详解】设，， 因为，， 所以，等号成立的条件是． 令，解得， 所以， 即， 所以， 故选：A 【点睛】方法点睛：由已知式联想基本不等式，由于不等式一侧只有两项：，把拆成两项，分别与相加应用基本不等式，构成形式上的一致，再利用系数关系求得参数，然后由不等式恒成立可得结论． 44．（25-26高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【分析】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 考点九　基本不等式的实际应用 45．（25-26高一上·湖北十堰·期中）设矩形的周长为48cm，把三角形沿折叠，折叠后与交于点E． (1)设，用x表示三角形面积，并写出x的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相应x的值； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，由勾股定理得，，即可求解三角形BCE面积，由求解x的取值范围； （2）根据题意结合基本不等式求最值，并注意等号成立的条件． 【详解】（1），则．    设，则， 由勾股定理得， 可得， 三角形BCE面积， 由，得． 所以x取值范围是． （2）因为， 所以． 当且仅当，即时取等号． 故三角形面积最大值为：，此时． 46．（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）设花坛的长为米，由花坛的宽与长之比为（），得到花坛的宽为米，由花坛的周长为120米和矩形花坛的面积为500平方米，建立和的等式，求解即可； （2）设花坛的长为米，得到花坛的宽为米，由题中条件得到，整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米，从而求得整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 花坛的周长为120米，， 矩形花坛的面积为500平方米，，联立， 解得，故花坛的宽为米. （2）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 矩形花坛的面积为500平方米，，，， ，， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积为， 展开得到，， ，， ，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小， 故整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小时，. 47．（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【答案】60 【分析】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解． 【详解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 48．（25-26高一上·陕西延安·期中）某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 【答案】(1) (2)216000元. 【分析】（1）利用矩形面积公式即可求出总造价函数解析式； （2）利用基本不等式求解最小值即可得解. 【详解】（1）根据题意可得库房左侧面和右侧面的墙面面积之和为， 库房前面和后面的墙面面积之和为， 所以. （2）由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立. 故该库房的最低总造价为216000元. 考点十　由基本不等式证明不等关系 49．（2026高三·全国·专题练习）设均为正数，且，求证：. 【答案】由题设均为正数，， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，得证. 【详解】略 50．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）（1）已知，，，，求证：，并说明等号成立的条件. （2）若，，且，求证：，并说明等号成立的条件. 【答案】（1）证明见解析，当且仅当时；（2）证明见解析，当且仅当时 【分析】（1）利用作差法即可证明不等式； （2）由三个基本不等式相加后整理得到，由已知条件两边同时平方，然后由前面的结论建立不等式，即可得证. 【详解】（1） . 当且仅当时，等号成立. （2），，，将三式相加 ，即， ，，即， ， ，当且仅当时等号成立. 51．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【详解】（1），且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2），且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 52．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知是正实数． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）利用基本不等式进行累加求和证明即可； （2）利用三元完全平方和公式来进行证明即可； （3）利用代换法，结合均值不等式即可证明. 【详解】（1）由基本不等式可得， 累加得， 即，当且仅当时取等号； （2）由（1）得， 变形得 配方得， 因为，所以，当且仅当取等号； （3）因为，所以 ， 因为是正实数，所以，同理可得， 即， 当且仅当时取等号. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $