2.2 基本不等式（10个题型归纳）（原卷版）人教A版必修第一册2026年暑假新高一数学预习讲义

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【2.2 基本不等式】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．均值不等式 （1）重要不等式 如果，那么________（当且仅当时取“”）． （2）均值（基本）不等式： ①基本不等式成立的条件：___，均为非负实数_____________； ②等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 ①设，，则，的算术平均数为，几何平均数为_______； ②基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数_不小于______它们的几何平均数． 3．已知，，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当________时，有最小值是_ _______（简记：积定和最小）． （2）如果和是定值，那么当且仅当________时，有最大值是________（简记：和定积最大）． 4．（1）______，当且仅当时取等号． （2），当且仅当时取等号． （3），当且仅当时取等号． （4），当且仅当时取等号． 5．几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式：______（a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式：______（，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：基本不等式的内容及辨析】 【练方法】 公式结论 1.基本不等式：时当且仅当取等号 2.重要不等式：对任意实数当且仅当取等号 3.均值链： 方法技巧 1.三步判定使用条件一正二定三相等 2.区分重要不等式与基本不等式前者实数通用后者仅限正数 3.已知符号快速判断能否直接套用均值公式 易错提醒 1.忽略“一正”条件负数直接代入基本不等式导致结论错误 2.混淆重要不等式与基本不等式适用范围负数用 3.取等条件判断错误忘记验证能否成立 4.均值链顺序记反颠倒调和均值、几何均值、算术均值、平方均值大小 （新疆维吾尔自治区喀什地区2025-2026学年高一上学期期末1月调研考试数学试卷）（多选）设且，则下列不等式一定成立的是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过变形比较判断A、C；通过特值判断B、D. 【详解】对于选项：变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立； 对于选项：取，得，故该不等式不一定成立； 对于选项：变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立； 对于选项：取，得，故该不等式不一定成立. 故选：AC. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）小试牛刀1    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，结合及，即可求解. 【详解】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以，    故选：D. 下列结论表述正确的是（    ）小试牛刀2 A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【分析】运用基本不等式可判断A，运用特殊值法可判断B、D，运用作差法可判断C. 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由， ， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 【题型2：由基本不等式证明不等关系】 【练方法】 公式结论 1. 2. 3.多个正数拓展： 方法技巧 1.从已知条件变形凑出与结构匹配均值不等式形式 2.同向不等式可叠加逐步放缩推导目标不等式 3.含平方项优先使用含一次正数项用基本不等式 易错提醒 1.放缩方向混乱一边放大一边缩小无法证出结论 2.未标注变量正数范围直接套用 3.连续放缩时多次取等条件无法同时满足证明失效 4.忽略等号限制证明严格不等时错误使用带等号均值式 （23-24高一上·云南文山·阶段检测）（1）已知，，证明：；经典例题1例题 （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. （2） 【分析】（1）结合基本不等式证明即可. （2）根据基本不等式及求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 已知为正实数．证明：．小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】先证明，然后利用柯西不等式的性质证明即可. 【详解】先证明， 原不等式， ， ． 由柯西不等式得 已知均为正实数.小试牛刀2 (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析， 【分析】（1）由基本不等式得，再左右分别相加可得； （2）由基本不等式结合立方和公式变形可证明；变形所求函数为，再由前面证明结果可得. 【详解】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明：由已知，故， ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 用替换，替换，替换 得 ，即 ， 故 成立 当且仅当，即时，等号成立，. （25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：；小试牛刀3 (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 【题型3：基本不等式求积的最值】 【练方法】 公式结论 1.已知（定值）则当时取最大值 方法技巧 1.锁定和为定值变量均为正数 2.配凑构造固定常数代入求上限 3.求出最值后代入验证有解 易错提醒 1.和不为定值强行求积最值不满足“二定”条件 2.变量存在负数直接套用均值求积最大值 3.取等时无对应实数解仍写出该最值 4.混淆最值类型和定积最大积定和最小记反 （天津市和平区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题）若，则的最大值为________．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为 （2026高二下·天津南开·学业考试）若实数满足，则的最大值为________．小试牛刀1 【答案】/0.25 【详解】已知实数a，b满足，显然不能全为负数，也不能是一个负数和一个为0； 当是一正一负时，，则不可能取到最大值； 当是一个正数和一个为0时，，也不可能是最大值； 当均为正数时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 综上，可得的最大值为. （25-26高一下·上海杨浦·期中）若正实数满足，则的最大值为__________．小试牛刀2 【答案】/ 【详解】因为均为正实数，所以 ， 当且仅当，时取等号. （2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______.小试牛刀3 【答案】12 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. 【题型4：基本不等式求和的最值】 【练方法】 公式结论 1.已知（定值）则当时取最小值 方法技巧 1.保证两变量乘积为定值且全部大于0 2.变形配凑使为常数再用求下界 3.检验在取值范围内存在解 易错提醒 1.积不是定值直接套用公式求和最小值 2.变量含负不做符号转化直接使用基本不等式 3.定义域限制下无法取到错误写出极值 4.颠倒口诀误记积定积最大和定和最小 （25-26高一下·云南普洱·期末）已知，则的最小值为_________．经典例题1例题 【答案】 【分析】利用基本不等式对正项和放缩，验证等号成立条件即可求得最小值. 【详解】已知，因此，， 根据基本不等式可得： 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为. （25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_____．小试牛刀1 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. （25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________.小试牛刀2 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入，化简得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________．小试牛刀3 【答案】9 【分析】对进行变形，然后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】因为，则，. 所以 . 当且仅当时，即等号成立. 因此，的最小值为9. 【题型5：基本不等式中的配凑法】 【练方法】 公式结论 1.凑和定：拆分、加减常数构造为定值 2.凑积定：拆分系数构造两项乘积不含变量 方法技巧 1.一次多项式配凑：凑出两部分和/积固定保证变量为正 2.分式型拆分分子分离常数形成可均值结构 3.配凑完成后逐条核对一正二定三相等 易错提醒 1.配凑后变量出现负数不调整符号直接计算 2.只凑定和/积忽略验证取等条件能否成立 3.拆分系数时计算出错无法形成定值结构 4.配凑后改变原式取值范围不等价变形 （25-26高一下·湖北咸宁·期中）若，则的最小值为__________.经典例题1例题 【答案】 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为. （25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ）小试牛刀1 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． （2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ）小试牛刀2 A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. （25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 【题型6：二次比一次/二次比二次的最值（对勾函数求最值）】 【练方法】 公式结论 1.对勾函数：时最小值时最大值 2.二次比一次：分离常数化为对勾结构 3.二次比二次：分子分母同除变量转化为一次分式再配凑均值 方法技巧 1.分离常数消去分子二次项化为标准对勾函数 2.区分定义域正负区间正负区间最值相反 3.区间不含取等点时改用单调性求最值 易错提醒 1.不看定义域正负统一套用 2.区间不包含均值取等点仍写出均值极值 3.分离常数变形计算错误对勾结构构造失败 4.混淆对勾函数增减区间单调区间内误用均值不等式 （25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. （23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 设正实数、、满足，则的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号. 故的最大值为. 故选：C. ，则的最小值是__，此时a＝__．小试牛刀3 【答案】 2； 0 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 故答案为：2；0． 【题型7：基本不等式“1”的妙用】 【练方法】 公式结论 1.若求最值：乘展开配凑均值 方法技巧 1.条件等式整体为1所求分式乘以该式展开 2.展开后拆分为两组乘积结构积为定值再用基本不等式 3.严格保证所有变量、系数均为正数 易错提醒 1.条件不是1强行乘式套用“1代换” 2.变量含负数代换后直接使用均值不等式 3.展开合并同类项计算失误无法凑出积定值 4.求出最值不验证可取等 （2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________经典例题1例题 【答案】2 【详解】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. （25-26高二下·浙江·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____．小试牛刀1 【答案】8 【分析】巧用“1”的代换，再结合基本不等式求解. 【详解】已知正实数满足，等式两边同时除以得：， 所以， 则，当且仅当即时等号成立， 代入得，即的最小值为. 已知，且，则的最小值为_____________．小试牛刀2 【答案】/ 【详解】因为， 即①， 当且仅当，即时取等号，结合解得，， 又，等量替换不等式①中的，得， 解不等式得，或， 已知，，则， 故的最小值为． （25-26高一下·四川眉山·期中）已知为正数，，则的最小值为_________.小试牛刀3 【答案】 【分析】问题化为求的最小值，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题设，则， 求的最小值，即求的最小值，其中， 由， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 【题型8：基本不等式的恒成立问题】 【练方法】 公式结论 1.恒成立 2.恒成立 方法技巧 1.先用基本不等式求出函数值域（最大/最小值） 2.转化为最值与参数的不等关系求解参数范围 3.定义域限制均值取不到时改用单调性求最值 易错提醒 1.恒成立与存在性问题混淆最值取反 2.均值取等点不在定义域仍用均值极值列参数不等式 3.变量有负未分类讨论直接套用均值求最值 4.等号取舍错误边界参数漏写或多写等号 （2025高一上·河南安阳·专题练习）设，，且恒成立，则n的最大值为___________.经典例题1例题 【答案】 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 则恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需 ，所以的最大值为. 故答案为：. （25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____.小试牛刀1 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： （25-26高一上·广东·阶段检测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____．小试牛刀2 【答案】 【分析】先利用基本不等式求出的最小值，再根据不等式恒成立的条件求出实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以，则， 因为， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是4． 因为恒成立，所以，所以， 所以的取值范围是． 故答案为：． （25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____.小试牛刀3 【答案】 【分析】由已知不等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且，由， 可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，则，故实数的最大值为. 故答案为：. 【题型9：“和与积”共存的式子求和/积的最值】 【练方法】 1.已知混合等式设结合转化单变量不等式 方法技巧 1.换元将和、积统一为单变量利用均值建立不等约束 2.解二次不等式求出或取值范围 3.带回原式验证变量正数与取等条件 易错提醒 1.不限制直接使用 2.解二次不等式区间端点不验证最值取不到 3.和积互换代换时不等号方向写错 4.忽略取值范围导致解集扩大 （25-26高二下·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ）经典例题1例题 A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. （25-26高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）小试牛刀1 A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. （25-26高二下·江苏南京·期末）若正数，满足，则的最小值是（    ）小试牛刀2 A． B． C．15 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意知，，，由，得. ， 当且仅当，即时，等号成立. （25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ）小试牛刀3 A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由 ， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由 ，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 【题型10：基本不等式的实际应用】 【练方法】 公式结论 1.实际问题变量均代表长度、面积、产量等天然满足 2.成本、利润、用料最值转化为和定/积定均值模型 方法技巧 1.设自变量列出目标函数与约束等式 2.化简函数配凑成基本不等式标准形式 3.求出极值后检验变量符合实际意义取等数值合理 易错提醒 1.忽略实际定义域限制求出小数、负数等无意义解 2.不验证取等条件自变量无法等于相等数值 3.建模列式等量关系写错和积关系颠倒 4.单位、取值范围不贴合现实场景求出最值无实际意义 （25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元．经典例题1例题 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； （25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.小试牛刀1    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. （25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________小试牛刀2 【答案】 10 8 【分析】根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， （25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．小试牛刀3    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为 . （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【详解】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值. 3．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 5．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则、， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 6．（2026·湖南长沙·三模）已知，且，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A，因为，所以，所以成立. 选项B，若，则不成立. 选项C，因为，并且(，等号取不到)，所以， 因此，成立. 选项D，，等号在时成立，但是，所以等号无法取到，因此. 7．（23-24高一上·全国·课后作业）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质依次判断即可. 【详解】对于A，，， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，异号时，， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，当，则由， 当且仅当，即或，不满足的条件，故B错误； 对于C，若，则， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，若，则， 当且仅当或时等号成立，故D正确． 8．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件． 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 9．（24-25高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 二、多选题 10．（2026·云南玉溪·模拟预测）若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D. 【详解】，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故A错误； 由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； ，当时，取得最小值，故D错误． 11．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为8，故A正确； 因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为32，故B正确； 因为，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1，故C错误； 因为，所以．因为，所以，故D正确． 12．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 13．（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 三、填空题 14．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 15．（25-26高三下·北京·强基计划）若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】等式两边平方，结合基本不等式可求答案. 【详解】由，可得， ，当且仅当时，等号成立； 即，解得，故的最大值为. 16．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】由题可得，令，所以再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 令，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为13. 四、解答题 17．（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）求最值 (1)已知正实数满足，求的最小值． (2)已知，求的最小值． (3)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3)7 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）对所求进行配凑变形可得，利用基本不等式，即可得答案. （3）对所求进行变形可得，利用基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）由，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）由得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5 （3）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为7 18．（25-26高一上·贵州黔南·期末）（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）4. 【分析】（1）应用基本不等式计算求解； （2）化简应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】（1）. 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. （2）. . 4. 当且仅当，且，即且时，等号成立， 因此的最小值为4. 19．（24-25高一上·内蒙古包头·阶段检测）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值． (4)若，求的最大值． 【答案】(1)5 (2)18 (3)4 (4)1 【分析】（1）变形后利用基本不等式求出最小值； （2）化简得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值； （3）利用两次基本不等式求出最值； （4）利用基本不等式得求出最值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5； （2），故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为18； （3）， ，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 的最小值为4． （4）由， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为1． 20．（25-26高一上·山西晋城·期末）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】（1）7；（2） 【分析】（1）根据基本不等式求解即可. （2）求出的范围，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值是7. （2）由题意知，即，解得， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最大值是； 21．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 22．（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由对称性知，当时两式相等，借助基本不等式的变形可得. （2）由对称性知，当时等号成立，借助基本不等式的变形可证. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 同理，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当时等号成立. （2）因为，，均为正实数，所以有： （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 将三式相加得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）. 23．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式来建立和与积的关系，从而求出的最大值； （2）构造，则，展开后根据基本不等式计算即可求出最小值. 【详解】（1）因为，，， 所以，即 化简可得： 当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. （2）因为，所以. 所以 当且仅当（即）时取等号. 结合，解得，. 因此，的最小值为. 24．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用换元法及基本不等式证明即可. 【详解】证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【2.2 基本不等式】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．均值不等式 （1）重要不等式 如果，那么________（当且仅当时取“”）． （2）均值（基本）不等式： ①基本不等式成立的条件：___，均为非负实数_____________； ②等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 ①设，，则，的算术平均数为，几何平均数为_______； ②基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数_不小于______它们的几何平均数． 3．已知，，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当________时，有最小值是_ _______（简记：积定和最小）． （2）如果和是定值，那么当且仅当________时，有最大值是________（简记：和定积最大）． 4．（1）______，当且仅当时取等号． （2），当且仅当时取等号． （3），当且仅当时取等号． （4），当且仅当时取等号． 5．几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式：______（a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式：______（，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：基本不等式的内容及辨析】 【练方法】 公式结论 1.基本不等式：时当且仅当取等号 2.重要不等式：对任意实数当且仅当取等号 3.均值链： 方法技巧 1.三步判定使用条件一正二定三相等 2.区分重要不等式与基本不等式前者实数通用后者仅限正数 3.已知符号快速判断能否直接套用均值公式 易错提醒 1.忽略“一正”条件负数直接代入基本不等式导致结论错误 2.混淆重要不等式与基本不等式适用范围负数用 3.取等条件判断错误忘记验证能否成立 4.均值链顺序记反颠倒调和均值、几何均值、算术均值、平方均值大小 （新疆维吾尔自治区喀什地区2025-2026学年高一上学期期末1月调研考试数学试卷）（多选）设且，则下列不等式一定成立的是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）小试牛刀1    A． B． C． D． 下列结论表述正确的是（    ）小试牛刀2 A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：由基本不等式证明不等关系】 【练方法】 公式结论 1. 2. 3.多个正数拓展： 方法技巧 1.从已知条件变形凑出与结构匹配均值不等式形式 2.同向不等式可叠加逐步放缩推导目标不等式 3.含平方项优先使用含一次正数项用基本不等式 易错提醒 1.放缩方向混乱一边放大一边缩小无法证出结论 2.未标注变量正数范围直接套用 3.连续放缩时多次取等条件无法同时满足证明失效 4.忽略等号限制证明严格不等时错误使用带等号均值式 （23-24高一上·云南文山·阶段检测）（1）已知，，证明：；经典例题1例题 （2）已知，，且，求的最小值. 已知为正实数．证明：．小试牛刀1 已知均为正实数.小试牛刀2 (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. （25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：；小试牛刀3 (2)已知，求证：. 【题型3：基本不等式求积的最值】 【练方法】 公式结论 1.已知（定值）则当时取最大值 方法技巧 1.锁定和为定值变量均为正数 2.配凑构造固定常数代入求上限 3.求出最值后代入验证有解 易错提醒 1.和不为定值强行求积最值不满足“二定”条件 2.变量存在负数直接套用均值求积最大值 3.取等时无对应实数解仍写出该最值 4.混淆最值类型和定积最大积定和最小记反 （天津市和平区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题）若，则的最大值为________．经典例题1例题 （2026高二下·天津南开·学业考试）若实数满足，则的最大值为________．小试牛刀1 （25-26高一下·上海杨浦·期中）若正实数满足，则的最大值为__________．小试牛刀2 （2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______.小试牛刀3 【题型4：基本不等式求和的最值】 【练方法】 公式结论 1.已知（定值）则当时取最小值 方法技巧 1.保证两变量乘积为定值且全部大于0 2.变形配凑使为常数再用求下界 3.检验在取值范围内存在解 易错提醒 1.积不是定值直接套用公式求和最小值 2.变量含负不做符号转化直接使用基本不等式 3.定义域限制下无法取到错误写出极值 4.颠倒口诀误记积定积最大和定和最小 （25-26高一下·云南普洱·期末）已知，则的最小值为_________．经典例题1例题 （25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_____．小试牛刀1 （25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________.小试牛刀2 （2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________．小试牛刀3 【题型5：基本不等式中的配凑法】 【练方法】 公式结论 1.凑和定：拆分、加减常数构造为定值 2.凑积定：拆分系数构造两项乘积不含变量 方法技巧 1.一次多项式配凑：凑出两部分和/积固定保证变量为正 2.分式型拆分分子分离常数形成可均值结构 3.配凑完成后逐条核对一正二定三相等 易错提醒 1.配凑后变量出现负数不调整符号直接计算 2.只凑定和/积忽略验证取等条件能否成立 3.拆分系数时计算出错无法形成定值结构 4.配凑后改变原式取值范围不等价变形 （25-26高一下·湖北咸宁·期中）若，则的最小值为__________.经典例题1例题 （25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ）小试牛刀1 A．3 B．4 C．5 D．6 （2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ）小试牛刀2 A．2 B．4 C．3 D．6 （25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．4 D．5 【题型6：二次比一次/二次比二次的最值（对勾函数求最值）】 【练方法】 公式结论 1.对勾函数：时最小值时最大值 2.二次比一次：分离常数化为对勾结构 3.二次比二次：分子分母同除变量转化为一次分式再配凑均值 方法技巧 1.分离常数消去分子二次项化为标准对勾函数 2.区分定义域正负区间正负区间最值相反 3.区间不含取等点时改用单调性求最值 易错提醒 1.不看定义域正负统一套用 2.区间不包含均值取等点仍写出均值极值 3.分离常数变形计算错误对勾结构构造失败 4.混淆对勾函数增减区间单调区间内误用均值不等式 （25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A．4 B．5 C．6 D．7 （23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 设正实数、、满足，则的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． ，则的最小值是__，此时a＝__．小试牛刀3 【题型7：基本不等式“1”的妙用】 【练方法】 公式结论 1.若求最值：乘展开配凑均值 方法技巧 1.条件等式整体为1所求分式乘以该式展开 2.展开后拆分为两组乘积结构积为定值再用基本不等式 3.严格保证所有变量、系数均为正数 易错提醒 1.条件不是1强行乘式套用“1代换” 2.变量含负数代换后直接使用均值不等式 3.展开合并同类项计算失误无法凑出积定值 4.求出最值不验证可取等 （2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________经典例题1例题 （25-26高二下·浙江·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____．小试牛刀1 已知，且，则的最小值为_____________．小试牛刀2 （25-26高一下·四川眉山·期中）已知为正数，，则的最小值为_________.小试牛刀3 【题型8：基本不等式的恒成立问题】 【练方法】 公式结论 1.恒成立 2.恒成立 方法技巧 1.先用基本不等式求出函数值域（最大/最小值） 2.转化为最值与参数的不等关系求解参数范围 3.定义域限制均值取不到时改用单调性求最值 易错提醒 1.恒成立与存在性问题混淆最值取反 2.均值取等点不在定义域仍用均值极值列参数不等式 3.变量有负未分类讨论直接套用均值求最值 4.等号取舍错误边界参数漏写或多写等号 （2025高一上·河南安阳·专题练习）设，，且恒成立，则n的最大值为___________.经典例题1例题 （25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____.小试牛刀1 （25-26高一上·广东·阶段检测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____．小试牛刀2 （25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____.小试牛刀3 【题型9：“和与积”共存的式子求和/积的最值】 【练方法】 1.已知混合等式设结合转化单变量不等式 方法技巧 1.换元将和、积统一为单变量利用均值建立不等约束 2.解二次不等式求出或取值范围 3.带回原式验证变量正数与取等条件 易错提醒 1.不限制直接使用 2.解二次不等式区间端点不验证最值取不到 3.和积互换代换时不等号方向写错 4.忽略取值范围导致解集扩大 （25-26高二下·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ）经典例题1例题 A．12 B．6 C． D． （25-26高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）小试牛刀1 A．6 B．4 C． D．2 （25-26高二下·江苏南京·期末）若正数，满足，则的最小值是（    ）小试牛刀2 A． B． C．15 D． （25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ）小试牛刀3 A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【题型10：基本不等式的实际应用】 【练方法】 公式结论 1.实际问题变量均代表长度、面积、产量等天然满足 2.成本、利润、用料最值转化为和定/积定均值模型 方法技巧 1.设自变量列出目标函数与约束等式 2.化简函数配凑成基本不等式标准形式 3.求出极值后检验变量符合实际意义取等数值合理 易错提醒 1.忽略实际定义域限制求出小数、负数等无意义解 2.不验证取等条件自变量无法等于相等数值 3.建模列式等量关系写错和积关系颠倒 4.单位、取值范围不贴合现实场景求出最值无实际意义 （25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元．经典例题1例题 （25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.小试牛刀1    （25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________小试牛刀2 （25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．小试牛刀3    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 3．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 6．（2026·湖南长沙·三模）已知，且，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·全国·课后作业）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为 C．若，则 D．若，则 8．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2026·云南玉溪·模拟预测）若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 11．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 12．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 三、填空题 14．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 15．（25-26高三下·北京·强基计划）若，则的最大值为________． 16．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 四、解答题 17．（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）求最值 (1)已知正实数满足，求的最小值． (2)已知，求的最小值． (3)已知，求的最小值． 18．（25-26高一上·贵州黔南·期末）（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 19．（24-25高一上·内蒙古包头·阶段检测）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值． (4)若，求的最大值． 20．（25-26高一上·山西晋城·期末）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 21．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 22．（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 23．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 24．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证： 1 学科网（北京）股份有限公司 $