第21章 四边形 ——平行四边形性质与判定2026学年暑假复习讲义 2025-2026学年人教版数学八年级下册

平行四边形性质与判定 知识点一 平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。 如图,在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD” 知识点二 平行四边形的性质 性质1：平行四边形的对边相等 几何语言：如图1 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD， AD=BC 性质2：平行四边形的对角相等 几何语言:如图1, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C，∠B=∠D 下面证明性质1和2 证明:如图2,连接AC。 ∵AD∥BC,AB∥CD ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA ∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D ∴∠1=∠2，∠3=∠4, ∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD 性质3：平行四边形的对角线互相平分 几何语言:如图3, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD 知识点三 平行四边形的判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形 从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 题型1 平行四边形的性质（求长度） 模型一：平行线＋角平分线 等腰三角形 证:∵AD∥BC ∴∠2＝∠3 ∵AE平分∠BAD ∴∠1＝∠2 ∴∠1＝∠3 ∴AB=BE ∴△ABE为等腰三角形 模型二：条件：ABCD为平行四边形，BF，CE分别平分∠ABC和∠BCD， 结论：①等腰三角形：△ABF与△DCE ②边长关系：AB=AF=DC=DE EF＝∣2AB-AD∣ ③位置关系：BF⊥CE 模型三. 平行四边形对角线与边关系 AC2+BD2=2（AB2+BC2） 思考：在证明含有线段平方的关系时，考虑勾股定理，而勾股定理离不开直角三角形，故而需要作垂线构造直角三角形. 证明：过A，D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F， 则AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2 = AE2+（BC－BE）2+（BC+CF）2+DF2 =AE2+BC2－2BC·BE+BE2+BC2+2BC·CF+CF2+DF2 = AE2+BC2+BE2+BC2+CF2+DF2 =2（AB2+BC2） 【例1】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（　　） A．8 B．13 C．16 D．18 【分析】首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到AB＝AE，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到BFBE，利用勾股定理求得AB，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵AF⊥BE， ∴BE＝2BF， ∴BF＝12， ∴AB， ∴CD＝AB＝13， 故选：B． 【例2】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，得出AD+CD＝16，继而可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC， ∵OE⊥AC， ∴AE＝CE， ∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝8． ∵平行四边形ABCD的周长为2（AD+CD）， ∴▱ABCD的周长为16， 故选：C． 【例3】在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△BOC的周长为20cm，BC＝12cm，则AC+BD的长是（　　） A．8cm B．16cm C．24cm D．32cm 【分析】根据平行四边形的性质得到AO＝COAC，BO＝DOBD，求得BO+COACBD（AC+BD），根据三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝COAC，BO＝DOBD， ∴BO+COACBD（AC+BD）， ∵△BOC的周长＝OB+OC+BC＝20cm，BC＝12cm， ∴BO+CO＝20﹣12＝8（cm）， ∴AC+BD＝2×8＝16（cm）， 故选：B． 【例4】在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 　 　． 【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可求解AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6， ∴CD＝AB＝6，AD∥BC， ∴∠AFB＝∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AF＝AB＝6， 同理DE＝DC＝6， 如图1，∵EF＝2， ∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4， ∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10， 如图2，∵EF＝2， ∴AE＝AF+EF＝6+2＝8， ∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14， 综上所述，BC的长为10或14， 故答案为：10或14． 题型2 平行四边形的性质（求角度） 【例5】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠EAC的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】证△ABE是等边三角形，得AB＝AE，再证△BAC≌△AED中（SAS），得∠BAC＝∠AED＝80°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC， ∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE∠BAD＝60°， ∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形， ∴AB＝AE， 在△BAC和△AED中， ， ∴△BAC≌△AED（SAS）， ∴∠BAC＝∠AED＝80°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°， 故选：C． 【例6】在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在▱ABCD的对角线AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，则∠BAC的度数是（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC， ∵AD＝AE＝BE， ∴BC＝AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB， ∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB， ∴∠ACB＝2∠CAB， ∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°， ∴∠BAC＝25°， 故选：C． 【例7】如图，四边形ABCD为平行四边形，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，若∠A＝60°，则∠EHF的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 【分析】首先利用平行四边形的对角相等和角A的度数求得∠C的度数，然后根据垂直的定义求得∠CED＝∠CFB＝90°，最后利用四边形的内角和求得答案即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°， ∴∠C＝∠A＝60°， ∵DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F， ∴∠CED＝∠CFB＝90°， ∴∠EHF＝360°﹣∠C﹣∠CFB﹣∠CED＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， 故选：C． 【例8】如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（　　） A．150° B．145° C．135° D．120° 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质可证明AD＝AE＝BE＝BC，得∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y，可得∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，由平行四边形的邻角互补得出方程，求出x+y＝150°，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠BAD+∠ABC＝180°， ∵△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°， ∵AD＝AE， ∴AD＝AE＝BE＝BC， ∴∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC， 设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y， ∴∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y， ∴∠BAD＝180°﹣2x+60°＝240°﹣2x，∠ABC＝240°﹣2y， ∴∠BAD+∠ABC＝240°﹣2x+240°﹣2y＝180°， ∴x+y＝150°， ∴∠CED＝360°﹣150°﹣60°＝150°， 故选：A． 题型3 平行四边形的性质（求面积） 平行四边形有关的面积结论： S1=S2=S3=S4= SABCD S1+S3=S2= SABCD S1+S3=S2+S4= SABCD = 【例9】如图，▱ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（　　） A． B． C． D．无法判定 【分析】根据题意，过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决． 【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴S＝BC•EF，，， ∵EF＝PE+PF，AD＝BC， ∴S1+S2， 故选：C． 【例10】如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，则阴影部分的面积为（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC＝S△BCF，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFQ＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【解答】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC＝S△BCF， ∴S△EFQ＝S△BCQ， 同理：S△EFD＝S△ADF， ∴S△EFP＝S△ADP， ∵S△APD＝15，S△BQC＝25， ∴S四边形EPFQ＝S△APD+S△BQC＝15+25＝40， 故选：A． 【例11】如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】过点B作BF⊥CD于点F，设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，根据平行四边形的性质可得S△ABE+S△CDES平行四边形ABCD，S△ABE+S△CBE+S阴影S平行四边形ABCD，进而可得S阴影＝S△CDE﹣S△CBE． 【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD于点F， 设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b， ∴S△ABEAB×a，S△CDECD×b， ∵a+b＝BF，AB＝CD， ∴S△ABE+S△CDE（AB×a+CD×b）AB•BF， ∵S平行四边形ABCD＝CD•BF， ∴S△ABE+S△CDES平行四边形ABCD， ∵S△ABE+S△CBE+S阴影S平行四边形ABCD， ∴S△ABE+S△CDE＝S△ABE+S△CBE+S阴影， ∴S阴影＝S△CDE﹣S△CBE＝10﹣2＝8． 故选：D． 题型4 平行四边形的性质与坐标 平面直角坐标系内的平行四边形坐标规律 若以点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）为顶点的四边形为平行四边形，且AC，BD为对角线，则 xA+xC=xB+xD； yA+yC=yB+yD. 【例12】如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（　　） A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4） 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，求出△DCN≌△BAE，根据全等三角形的性质得出BE＝DN，AE＝CN，根据A、B、C的作求出OM和DM即可． 【解答】解： 过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N， 则四边形EFNM是矩形， 所以EF＝MN，EM＝FN，FN∥EM， ∴∠EAB＝∠AQC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∴∠AQC＝∠DCN， ∴∠DCN＝∠EAB， 在△DCN和△BAE中 ， ∴△DCN≌△BAE（AAS）， ∴BE＝DN，AE＝CN， ∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1）， ∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3， ∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3， ∴D的坐标为（3，2）， 故选：B． 【例13】已知O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为 　 　． 【答案】（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）　． 【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质； 【分析】分三种情况，根据题意画出图形，由平行四边形的判定与性质以及平移的性质来确定点M的坐标即可． 【解答】解：分三种情况： ①当四边形OABM为平行四边形时，如图1所示： 则BM∥AO，BM＝AO， ∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2）， ∴把点O向左平移3﹣（﹣1）＝4（个）单位，再向上平移1个单位得M的坐标， ∴M（﹣4，1）； ②当四边形OAMB为平行四边形时，如图2所示： 则BM∥AO，BM＝AO， ∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2）， ∴把点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得M的坐标， ∴M（2，3）； ③当四边形OBAMM为平行四边形时，如图3所示： 则AB∥MO，AB＝MO， ∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2）， ∴把点A向右平移1个单位，再向下平移2个单位得M的坐标， ∴M（4，﹣1）； 综上所述，点M的坐标为（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）； 故答案为：（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）． 【例14】如图，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，A（﹣2，0），B（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD，直线AC、BD交于点E．点M为直线BD上的动点，点N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点M的坐标为　 　． 【分析】由A、B的坐标可求得AO和OB的长，由旋转的性质可求得OC、OD的长，从而可求得∠AEB＝90°，再由勾股定理可求得CD和AB的长，可求得AB＝CD，可证得△ABE≌△DCE，得到OD＝OB，由B、D坐标可求得直线BD解析式，当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，则可求得M点纵坐标，代入直线BD解析式可求得M点坐标，当M点在x轴下方时，同理可求得M点纵坐标，则可求得M点坐标． 【解答】解：∵A（﹣2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD， ∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4，AB＝CD， ∴∠ACO＝∠ECB＝∠CBE＝45°， ∴∠CEB＝90°， ∴∠AEB＝∠CED，且CE＝BE， 在Rt△ABE和Rt△DCE中， ∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）， ∴OD＝OB＝4， ∴D（4，0），且B（0，4）， ∴直线BD解析式为y＝﹣x+4， 当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，即CM∥x轴， ∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离， ∴M点的纵坐标为2， 在y＝﹣x+4中，令y＝2可得x＝2， ∴M（2，2）； 当M点在x轴下方时，同理可得M点的纵坐标为﹣2， 在y＝﹣x+4中，令y＝﹣2可求得x＝6， ∴M点的坐标为（6，﹣2）； 综上可知M点的坐标为（2，2）或（6，﹣2）， 故答案为：（2，2）或（6，﹣2）． 题型5 平行四边形中的最值问题 【例15】如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据平行四边形的性质得出AQ＝PC，根据垂线段最短，当PC⊥AB时值最小解答即可． 【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形， ∴AQ＝PC， 由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小， ∵AB＝10，△ABC的面积是25， ∴PC＝5， ∴AQ＝5， 故选：C． 【例16】如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为 　 　． 【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，由点O是AC的中点，过O作AB的垂线OE，然后根据直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【解答】解：如图所示： ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴AO＝CO，OP＝OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， 过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求， ∵∠BAC＝30°， ∴OEOA， ∵AB＝AC＝12， ∵AOAC12＝6， ∴OE＝3， ∴PQ的最小值＝2OE＝6， 故答案为：6． 【例17】如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC+AQ的最小值为 　 　． 【分析】利用平行四边形知识，将PC+AQ的最小值转化为MP+CP的最小值，再用勾股定理求出MC的长度，即可求解． 【解答】解：过点A作AM∥PQ且AM＝PQ，连接MP， ∵AM∥PQ且AM＝PQ， ∴四边形AQPM是平行四边形， ∴AQ＝MP， PC+AQ的最小值转化为MP+CP的最小值， 当M、P、C三点共线时，MP+CP的最小， ∵AM∥PQ，AC⊥PQ， ∴AM⊥AC， 在Rt△MAC中，MC2． 故答案为：2． 题型6 平行四边形的判定 【例18】在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC，②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC，④OA＝OC，OB＝OD，⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【解答】解：①AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ②AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ③AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形； ④OA＝OC，OB＝OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ⑤∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； 故选：C． 【例19】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，BC＝6cm，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点A运动，点Q以2cm/s的速度向点C运动， 秒后四边形CDPQ是平行四边形. 【答案】2． 【考点】平行四边形的判定； 【分析】由运动时间为t秒，则AP＝t，QC＝2t，而四边形CDPQ是平行四边形，所以DP＝CQ，则得方程t＝6﹣2t求解． 【解答】解：设t秒后，四边形CDPQ为平行四边形， 则DP＝tcm，QC＝（6﹣2t）cm， ∵AD∥BC所以DP∥CQ， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 知：DP＝CQ即可， 即：t＝6﹣2t， ∴t＝2， 当t＝2时，DP＝CQ＝2（cm）， 综上所述，2秒后四边形CDPQ是平行四边形， 【例20】如图，F、C是线段AD上的两点，AB∥DE，BC∥EF，AF＝DC，连结AE、BD，求证：四边形ABDE是平行四边形． 【分析】由“ASA”可证△ABC≌△DEF，可得AB＝DE，由平行四边形的判定可得结论． 【解答】证明：∵AF＝DC， ∴AF+FC＝DC+FC， ∴AC＝DF， ∵AB∥DE， ∴∠BAC＝∠EDF， ∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠EFD， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形． 【例21】如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，M、N分别为ED、FB的中点，试说明四边形ENFM为平行四边形． 【分析】ME＝FN，理由为：由四边形ABCD为平行四边形得到对边平行且相等，再由AE＝CF，得到BE＝DF，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形AECF与四边形BEDF都为平行四边形，利用平行四边形的对边平行得到四边形MEFN为平行四边形． 【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，且AB∥CD，AD∥BC， ∵AE＝CF， ∴EB＝DF， ∴四边形AECF和四边形BEDF都为平行四边形， ∴FM∥NE，FN∥ME， ∴四边形ENFM为平行四边形． 【例22】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F． （1）求证：四边形DEBF为平行四边形； （2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F， ∴∠DEA＝∠BFC＝90°， 在△DEA与△BFC中， ， ∴△DEA≌△BFC（AAS）， ∴DE＝BF， ∵∠DEA＝∠BFC＝90°， ∴∠DEO＝∠BFO＝90°， ∴DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC＝20，AO＝OC＝10.5， ∵DE⊥AC， 在Rt△ADE中，AD2﹣AE2＝DE2， 在Rt△DEC中，DC2﹣EC2＝DE2， 即132﹣AE2＝202﹣（21﹣AE）2， 解得：AE＝5， ∴OE＝OA﹣AE＝10.5﹣5＝5.5，DE＝12， ∴△DOE的面积＝． 【例23】如图，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AD＝BC． 求证：（1）△ADF≌△CBE； （2）四边形DEBF是平行四边形． 【分析】（1）由AAS证明△ADF≌△CBE即可； （2）由全等三角形的性质得DF＝BE，再由BE∥DF，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵BE∥DF， ∴∠AFD＝∠CEB， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）； （2）由（1）得：△ADF≌△CBE， ∴DF＝BE， 又∵BE∥DF， ∴四边形DEBF是平行四边形． 【例24】如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上两点，DF＝BE，AE∥CF，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】根据已知条件可以判定四边形AECF是平行四边形，则其对角线互相平分：OA＝OB，OE＝OF；结合已知条件DF＝BE，则OB＝OD．所以由“对角线互相平分是四边形是平行四边形”证得结论． 【解答】证明：如图，连接AF、EC，连接AC交BD于点O． ∵AE∥CF，AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴OA＝OB，OE＝OF． 又∵DF＝BE， ∴DF+OF＝BE+OE，即OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 知识点三 三角形中位线定理 中位线：连接三角形两边中点的线段。 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE为△ABC中位线 ∴DE∥BC，DE＝BC． 中位线有关结论：①一个三角形有三条中位线（DE,DF,EF） 即DE∥BC，DE＝BC DF∥AC，DF＝AC EF∥AB，EF＝AB ②三条中位线将原三角形分成四个全等三角形 即△ADE≌△BDF≌△DEF≌△CEF ③每个三角形的周长是原三角形的，面积是原三角形面积的 题型7 利用中位线定理解决问题 【例25】如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（　　） A．20 B．12 C．16 D．13 【答案】C． 【分析】根据等腰三角形三线合一求出CD的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DE的长，根据三角形的周长公式计算得到答案． 【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，CD＝BC＝4， ∵AD⊥BC，点E为AC的中点， ∴DE＝EC＝AC＝6， ∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝16， 故选：C． 【例26】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 【分析】根据三角形的中位线定理得出EFDN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答． 【解答】解：连接DN， ∵ED＝EM，MF＝FN， ∴EFDN， ∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小， ∵N与B重合时DN最大， 此时DN＝DB13， ∴EF的最大值为6.5． ∵∠A＝90°，AD＝5， ∴DN≥5， ∴EF≥2.5， ∴EF长度的可能为5； 故选：B． 【例27】如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EGBC，GFAD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系． 【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF， ∵E，F分别是边AB，CD的中点， ∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线， ∴EGBC，GFAD， 在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即BCAD＞EF， ∴AD+BC＞2EF， 当AD∥BC时，点E、F、G在同一条直线上， ∴AD+BC＝2EF， 所以四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是AD+BC≥2EF． 故选：B． 【例28】如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为 　22　． 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DEBC，BD＝AD＝7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF＝∠FBC，根据等腰三角形的判定定理得到DF＝BD＝7，计算即可． 【解答】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DEBC，BD＝AD＝7， ∴∠DFB＝∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴∠DBF＝∠FBC， ∴DF＝BD＝7， ∴DE＝DF+EF＝11， ∴BC＝2DE＝22， 故答案为：22． 【例29】如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为　16　．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是　27﹣n　． 【分析】根据E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，可以判断EF、FG、EG为三角形中位线，利用中位线定理求出EF、FG、EG与BC、AB、CA的长度关系即可求得△EFG的周长是△ABC周长的一半，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，以此类推，可以求得第n个三角形的周长． 【解答】解：∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点， ∴EF、FG、EG为三角形中位线， ∴EFBC，EGAC，FGAB， ∴EF+FG+EG（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半． 同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为64＝16． 以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n﹣1＝27﹣n 故答案是：27﹣n． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 平行四边形性质与判定 知识点一 平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。 如图,在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD” 知识点二 平行四边形的性质 性质1：平行四边形的对边相等 几何语言：如图1 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD， AD=BC 性质2：平行四边形的对角相等 几何语言:如图1, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C，∠B=∠D 下面证明性质1和2 证明:如图2,连接AC。 ∵AD∥BC,AB∥CD ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA ∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D ∴∠1=∠2，∠3=∠4, ∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD 性质3：平行四边形的对角线互相平分 几何语言:如图3, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD 知识点三 平行四边形的判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形 从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 题型1 平行四边形的性质（求长度） 模型一：平行线＋角平分线 等腰三角形 证:∵AD∥BC ∴∠2＝∠3 ∵AE平分∠BAD ∴∠1＝∠2 ∴∠1＝∠3 ∴AB=BE ∴△ABE为等腰三角形 模型二：条件：ABCD为平行四边形，BF，CE分别平分∠ABC和∠BCD， 结论：①等腰三角形：△ABF与△DCE ②边长关系：AB=AF=DC=DE EF＝∣2AB-AD∣ ③位置关系：BF⊥CE 模型三. 平行四边形对角线与边关系 AC2+BD2=2（AB2+BC2） 思考：在证明含有线段平方的关系时，考虑勾股定理，而勾股定理离不开直角三角形，故而需要作垂线构造直角三角形. 证明：过A，D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F， 则AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2 = AE2+（BC－BE）2+（BC+CF）2+DF2 =AE2+BC2－2BC·BE+BE2+BC2+2BC·CF+CF2+DF2 = AE2+BC2+BE2+BC2+CF2+DF2 =2（AB2+BC2） 【例1】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（　　） A．8 B．13 C．16 D．18 【例2】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 【例3】在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△BOC的周长为20cm，BC＝12cm，则AC+BD的长是（　　） A．8cm B．16cm C．24cm D．32cm 【例4】在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 　 　． 题型2 平行四边形的性质（求角度） 【例5】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠EAC的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【例6】在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在▱ABCD的对角线AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，则∠BAC的度数是（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【例7】如图，四边形ABCD为平行四边形，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，若∠A＝60°，则∠EHF的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 【例8】如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（　　） A．150° B．145° C．135° D．120° 题型3 平行四边形的性质（求面积） 平行四边形有关的面积结论： S1=S2=S3=S4= SABCD S1+S3=S2= SABCD S1+S3=S2+S4= SABCD = 【例9】如图，▱ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（　　） A． B． C． D．无法判定 【例10】如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，则阴影部分的面积为（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 【例11】如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 题型4 平行四边形的性质与坐标 平面直角坐标系内的平行四边形坐标规律 若以点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）为顶点的四边形为平行四边形，且AC，BD为对角线，则 xA+xC=xB+xD； yA+yC=yB+yD. 【例12】如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（　　） A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4） 【例13】已知O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为 　 　． 【例14】如图，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，A（﹣2，0），B（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD，直线AC、BD交于点E．点M为直线BD上的动点，点N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点M的坐标为　 　． 题型5 平行四边形中的最值问题 【例15】如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例16】如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为 　 　． 【例17】如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC+AQ的最小值为 　 　． 题型6 平行四边形的判定 【例18】在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC，②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC，④OA＝OC，OB＝OD，⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例19】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，BC＝6cm，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点A运动，点Q以2cm/s的速度向点C运动， 秒后四边形CDPQ是平行四边形. 【例20】如图，F、C是线段AD上的两点，AB∥DE，BC∥EF，AF＝DC，连结AE、BD，求证：四边形ABDE是平行四边形． 【例21】如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，M、N分别为ED、FB的中点，试说明四边形ENFM为平行四边形． 【例22】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F． （1）求证：四边形DEBF为平行四边形； （2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积． 【例23】如图，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AD＝BC． 求证：（1）△ADF≌△CBE； （2）四边形DEBF是平行四边形． 【例24】如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上两点，DF＝BE，AE∥CF，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 知识点三 三角形中位线定理 中位线：连接三角形两边中点的线段。 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE为△ABC中位线 ∴DE∥BC，DE＝BC． 中位线有关结论：①一个三角形有三条中位线（DE,DF,EF） 即DE∥BC，DE＝BC DF∥AC，DF＝AC EF∥AB，EF＝AB ②三条中位线将原三角形分成四个全等三角形 即△ADE≌△BDF≌△DEF≌△CEF ③每个三角形的周长是原三角形的，面积是原三角形面积的 题型7 利用中位线定理解决问题 【例25】如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（　　） A．20 B．12 C．16 D．13 【例26】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 【例27】如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 【例28】如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为 　 　． 【例29】如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为　 　．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $