暑假培优：平行四边形的判定培优讲义-2025-2026学年人教版八年级数学下册

暑假培优：平行四边形的判定培优讲义 暑假培优：平行四边形的判定培优讲义 知识点解析 一、核心知识点（平行四边形五大判定定理） 已知四边形 1. 边的判定 1（两组对边分别平行） 若 ，，则四边形是平行四边形。 1. 边的判定 2（两组对边分别相等） 若 ，，则四边形是平行四边形。 1. 边的判定 3（一组对边平行且相等） 若与平行且相等，四边形为平行四边形。 易错：必须是同一组对边，一组平行、另一组相等不能判定。 1. 对角线判定（对角线互相平分） 对角线 、 交于点 ，若 ，，则四边形是平行四边形。 1. 角的判定（两组对角分别相等） 若 ，，则四边形是平行四边形。 二、解题原理 通用解题步骤 1. 梳理题干给出条件：分清已知是边相等、边平行，还是对角线、角度条件。 1. 匹配对应判定定理： · 有平行线→优先选用“两组对边平行”或“一组对边平行且相等”； · 有多组线段相等→优先选用两组对边分别相等； · 出现对角线线段相等→优先用对角线互相平分； · 给出角度条件→使用两组对角相等。 1. 补齐缺少的条件，通过全等三角形证明边相等或者边平行； 1. 严格避开错误判定，完成证明。 三、高频易错提醒 1. 错误判定：一组对边平行，另一组对边相等，无法保证是平行四边形（可能是等腰梯形）； 1. “一组对边平行且另一组对边相等”不能作为判定依据； 1. 证明对角线平分，必须证明两条对角线互相平分，不能只证明一条对角线被平分； 1. 书写证明过程时，“平行且相等”必须是同一组对边。 例题分析 例1．（2026·北京丰台·二模）如图，在中，D是边上的一点（不与点B，C重合），是边的中点，过点A作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 例2．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在平行四边形中，，分别是，上的点，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，，求证：． 例3．（2026·四川内江·中考真题）如图，在四边形 中， ，点是的中点，连接 并延长交的延长线于点 ． (1)求证：； (2)若，请判断四边形 的形状，并说明理由． 例4．（2026·新疆·中考真题）如图，在中，点E，F在对角线上，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 变式训练 变式1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在平行四边形中，E、F分别是的中点，求证：四边形是平行四边形． 变式2．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在平行四边形中，连接、，，点、为、上的点，且，点、分别为、的中点，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 变式3．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在四边形 中，，． (1)尺规作图：作的平分线 ，其中点在 上；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 变式4．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则为_____． 实战演练 1．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 变式2．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为点，点，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求平行四边形的周长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：平行四边形的判定培优讲义 暑假培优：平行四边形的判定培优讲义 知识点解析 一、核心知识点（平行四边形五大判定定理） 已知四边形 1. 边的判定 1（两组对边分别平行） 若 ，，则四边形是平行四边形。 1. 边的判定 2（两组对边分别相等） 若 ，，则四边形是平行四边形。 1. 边的判定 3（一组对边平行且相等） 若与平行且相等，四边形为平行四边形。 易错：必须是同一组对边，一组平行、另一组相等不能判定。 1. 对角线判定（对角线互相平分） 对角线 、 交于点 ，若 ，，则四边形是平行四边形。 1. 角的判定（两组对角分别相等） 若 ，，则四边形是平行四边形。 二、解题原理 通用解题步骤 1. 梳理题干给出条件：分清已知是边相等、边平行，还是对角线、角度条件。 1. 匹配对应判定定理： · 有平行线→优先选用“两组对边平行”或“一组对边平行且相等”； · 有多组线段相等→优先选用两组对边分别相等； · 出现对角线线段相等→优先用对角线互相平分； · 给出角度条件→使用两组对角相等。 1. 补齐缺少的条件，通过全等三角形证明边相等或者边平行； 1. 严格避开错误判定，完成证明。 三、高频易错提醒 1. 错误判定：一组对边平行，另一组对边相等，无法保证是平行四边形（可能是等腰梯形）； 1. “一组对边平行且另一组对边相等”不能作为判定依据； 1. 证明对角线平分，必须证明两条对角线互相平分，不能只证明一条对角线被平分； 1. 书写证明过程时，“平行且相等”必须是同一组对边。 例题分析 例1．（2026·北京丰台·二模）如图，在中，D是边上的一点（不与点B，C重合），是边的中点，过点A作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是边的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）先得出，则，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证； （2）先得出的长，再得出的长，进而可得的长，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵在中，，，， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， 由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴． 例2．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在平行四边形中，，分别是，上的点，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，，求证：． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， 在和中， ，即 ∴四边形是平行四边形； (2)， ． 平分， ． ． ． 四边形是平行四边形， ，． ． ，， ． ． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，进而证明得出，根据，得出，即可得证； （2）根据角平分线的定义结合平行线的性质，得出则，进而根据勾股定理的逆定理证明． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（2026·四川内江·中考真题）如图，在四边形 中， ，点是的中点，连接 并延长交的延长线于点 ． (1)求证：； (2)若，请判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵点是的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； (2)四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据平行线的性质，得到，再结合已知条件，利用即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等结合已知条件，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 例4．（2026·新疆·中考真题）如图，在中，点E，F在对角线上，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴； (2)证明：∵， ∴ ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 变式训练 变式1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在平行四边形中，E、F分别是的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形． 【分析】由平行四边形的性质及判定即可证明． 【详解】略． 变式2．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在平行四边形中，连接、，，点、为、上的点，且，点、分别为、的中点，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ，， ∵点、分别为、的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， ，即， 在和中， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）证明，得到，即可证明结论； （2）连接交于点，利用等腰三角形三线合一的性质可得，求出，易证，同理求出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点， ∵，点为的中点， ∴，即， 四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 同理求出， ∴． 变式3．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在四边形 中，，． (1)尺规作图：作的平分线 ，其中点在 上；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)所作图形如图所示： (2)证明：是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用尺规作图作出的平分线即可； （2）证明，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 变式4．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则为_____． 【答案】(1)证明：在中，，， ， ， ∴， 即， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由平行四边形的判定与性质求证即可； （2）根据平行线的性质求出，根据平行四边形的性质得出，根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知四边形是平行四边形， ， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 实战演练 1．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ， 点E，F分别在的延长线上，且， ， ， 四边形是平行四边形 (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质得出，，得出，即可证明结论； （2）证明是等边三角形即可求出结论； 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ． 变式2．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为点，点，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； (2)平行四边形的周长为 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，推出，由，，得到，，证明得到，即可得证； （2）根据平行四边形的性质和，推出，再根据勾股定理求出，进而得到，根据勾股定理求出、，即可求解． 【详解】（1）略 （2）四边形为平行四边形，， ， ， ， ， ，， ， 平行四边形的周长为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $