第24章《数据的分析》暑假复习与巩固练习（知识框架+知识点复习+易错点提醒+知识点练习）2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级下册预习 第23章 一次函数 本章复习目标 理解算术平均数、加权平均数、中位数、众数的核心概念，掌握各统计量的计算方法，能结合具体场景选择恰当的统计量刻画数据的集中趋势，发展数据分析核心素养。 理解方差的统计意义与计算公式，能通过方差判断数据的波动程度与稳定性，掌握用样本特征估计总体特征的统计方法，提升数据处理与逻辑推理能力。 能结合校园体测、商品销售、质量检测等真实生活场景，综合运用集中趋势与波动程度的统计量进行数据分析与科学决策，体会统计知识的应用价值，建立用数据说话的统计思维。 本章知识框架 知识点复习 24.1 数据的集中趋势 知识点 1：算术平均数 一般地，对于n个数x1​,x2​,…,xn​，我们把________叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作______，读作 “x 拔”。 核心公式：​​ 平均数能充分利用所有数据的信息，反映一组数据的___平均___水平，但易受极端值的影响。 知识点 2：加权平均数 若n个数中，x1​出现f1​次，x2​出现f2​次，…，xk​出现fk​次（满足f1+f2+⋯+fk​= n），则这组数据的平均数，叫做___加权___平均数，其中f1​,f2​,…,fk​叫做对应数据的__权____。 权的意义：反映各个数据在整体中的重要程度，权越大，对应数据对平均数的影响越大。 常见权的形式：出现次数、比例、百分比、权重分值等。 知识点 3：中位数 将一组数据按照__从小到大____（或从大到小）的顺序排列： 若数据个数是奇数，则处于__中间位置____的数就是这组数据的中位数； 若数据个数是偶数，则中间两个数据的___平均数___就是这组数据的中位数。 特点：中位数不受极端偏大或偏小值的影响，适合反映数据的___中等___水平。 知识点 4：众数 一组数据中出现___次数最多___的数据，叫做这组数据的众数。 特点：① 一组数据的众数可能不止一个，也可能没有；② 不受极端值影响，适合反映数据的___普遍（多数）___水平。 知识点 5：统计量的合理选择 不同统计量各有优劣，需结合实际场景选择： 描述班级考试整体平均水平，选用__平均数____； 描述职工工资的一般水平（存在极端高薪），选用___中位数___； 描述商场最畅销的服装尺码，选用___众数___。 24.2 数据的波动程度 知识点 1：方差的定义与公式 设有n个数据x1 ,x2 ,…, xn ，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的___方差___，记作______。 核心公式: . 知识点 2：方差的统计意义 方差是衡量数据波动大小的核心统计量： 方差越大，数据的波动越___大___，稳定性越__差____； 方差越小，数据的波动越__小____，稳定性越___好___。 拓展：方差的算术平方根叫做标准差，单位与原数据一致，同样用于描述数据波动程度。 知识点 3：用样本估计总体 统计的核心思想是通过样本推断总体： 用样本的平均数估计___总体___的平均数； 用样本的方差估计___总体___的方差。 当样本容量足够大且具有代表性时，样本对总体的估计会更准确。 本章核心数学思想 样本估计总体思想：通过抽取有代表性的样本，用样本的集中趋势和波动特征推断总体特征，是统计学的核心思想。 数形结合思想：从集中趋势、波动程度多个维度综合分析数据，结合统计图直观呈现数据特征，全面评价数据。 数学建模思想：将生活中的决策问题转化为统计问题，通过计算统计量、分析数据规律，为实际决策提供数据支撑。 分类讨论思想：针对不同场景选择合适的统计量，分情况讨论数据特征，避免单一指标的片面性。 本章易错点提醒 加权平均数计算错误：忽略权的权重作用，直接套用算术平均数公式，或计算时权的总和统计错误。 中位数未排序：求中位数时忘记先将数据按大小排序，直接取原数据中间位置的数，导致结果错误。 众数概念混淆：误将 “出现的次数” 当成众数，实际众数是出现次数最多的数据；一组数据可以有多个众数。 方差意义记反：错误认为 “方差越大，稳定性越好”，需牢记方差与波动程度正相关，与稳定性负相关。 统计量选择片面：仅用平均数评价数据，忽略极端值的影响，未结合中位数、方差进行综合分析。 样本估计总体误用：样本不具备代表性时，盲目用样本推断总体，导致结论出现偏差。 知识点练习 一、选择题 1.在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现的得分分别为88分，92分，将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算，则该选手的成绩是（     ） A.89.2分 B.90分 C.90.4分 D.89.6分 【答案】 A 【解析】 本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是根据加权平均数的公式，结合给定的权重计算成绩根据加权平均数公式，用演唱技巧得分乘对应权重、舞台表现得分乘对应权重，求和后除以总权重，得到选手成绩. 【解答】 这是加权平均数的计算问题，权重比为7：3，总权重为 选手成绩为： （分）。 故选A. 2.已知一组数据的唯一众数是，中位数是，则这组数据的平均数为（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了众数、中位数和平均数，由题意可得这组数据为2，2，3，5，8，进而即可求解，掌握众数和中位数的定义是解题的关键. 【解答】 解：由题意可得，这组数据为2，2，3，5，8， 这组数据的平均数为 故选：C. 3.学校准备从甲、乙、丙、丁四名优秀选手中选一名参加全区安全知识竞赛，该校预先对这名选手进行三轮预赛选拔，他们成绩的平均数与方差统计如下表： 参赛选手 甲 乙 丙 丁 平均数分 97 95 97 96 方差分 0.5 0.5 1 2 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的选手参赛，应该选择（     ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】 A 【解析】 根据平均数越大代表平均成绩越高，方差越小代表成绩波动越小，发挥越稳定，先筛选平均成绩高的选手，再从中选出发挥最稳定的选手即可. 【解答】 解：， 甲和丙的平均成绩更高，成绩更好， ， 甲的发挥更稳定， 应选择甲. 故选A.  4.有一组被墨水污染的数据：，，，，*，★，，，，，，，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（        ） A.这组数据的下四分位数是4 B.这组数据的上四分位数是15 C.这组数据的中位数是10 D.被墨水污染的数据中一个数是3，另一个数可能是13 【答案】 C 【解析】 根据箱线图逐一分析即可． 【解答】 解：A选项，箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，正确，不符合题意； B选项，箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，正确，不符合题意； C选项，箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，错误，符合题意； D选项，箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3， 最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值是18， 所以被墨水污染的数据中一个数是3； 由图可得这组数据的中位数为10.5， 将这组数据已知的部分进行排序，为3、4、4、4、7、10、11、15、15、17、18， 要使中位数为10.5，则被污染的一个数要大于11，即可能是13，正确，不符合题意． 故选C.  5.某中学体育老师给该校九年级学生上了一节篮球课，教同学们定点投篮．为了了解同学们的学习情况．随机抽取了20名学生，对他们的定点投篮命中数量进行统计，统计结果如表： 投篮命中数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 5 6 4 2 根据如表，下列说法正确的是（ ） A.投篮命中数量的平均数是4.8 B.样本为20名学生 C.投篮命中数量的中位数是3 D.投篮命中数量的众数是4 【答案】 D 【解析】 根据样本的概念、众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可。 【解答】 解：A. 投篮命中数量的平均数是 ，选项说法错误，不符合题意； B. 样本为20名学生的定点投篮命中数量，选项说法错误，不符合题意； C. 共20个数据，中位数为4，选项说法错误，不符合题意； D. 投篮命中数量的众数是4，选项说法正确，符合题意. 故选D.  6.某服装厂准备加工一批新型男士夹克衫，加工前对名中年男子所需夹克衫的型号进行了调查，调查结果如下表： 型号（单位：） 人数 根据以上调查结果，下列说法正确的是（       ） A.所需号的人数太少，号的可以不生产 B.这批男装可以一律按这个平均数生产 C.因为中位数为，故号的产量要占第一位 D.因为众数为，故号的产量要占第一位 【答案】 D 【解析】 本题考查了众数、中位数、平均数的意义，解题的关键是理解商家的挣钱理念及各统计量的意义． 众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数为所有数求和再除以个数．根据实际情况，此题关心的是众数． 【解答】 解：、所需号的人数少，号的可以少量生产，故本选项错误，不符合题意； 、如果这批男装一律以这个平均数生产，则身高不是平均数的人就无法穿，故本选项错误，不符合题意； 、这组数据的中位数为，但产量最高的应该是众数，这组数据的众数是，所以号的产量要占第一位，故本选项错误，不符合题意； 、因为众数为，故号的产量要占第一位，故本选项正确，符合题意； 故选： 7.为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是（       ） A.样本容量是4 B.样本的平均数是4 C.样本的众数是3 D.样本的中位数是3 【答案】 B 【解析】 根据方差算式 得出 ，样本中数据为2，3，3，7，再根据平均数计算公式求出平均数，得出众数和中位数即可． 【解答】 解：根据方差算式 可得，这组数据有2，3，3，7共4个，因此样本容量为4，样本众数为3，中位数是 ， 平均数为： ，故B错误，符合题意． 故选：B． 8.甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，经过数次相同的练习，他们的平均成绩都是9.5环，方差分别是，，，，那么成绩最稳定的选手是（       ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：， 丁的方差最小，成绩最稳定． 故选D.  9.4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的阅读课外书的情况（次数），并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．设抽取的学生中，一周内读课外书3次的学生数有人，下列说法正确的是（       ） A.这组数据的平均数是3 B.这组数据的平均数与无关 C.当时，这组数据的众数为10 D.当时，这组数据的中位数为2 【答案】 D 【解析】 根据条形统计图读出各阅读次数对应的人数，计算总人数和总阅读次数，结合平均数、众数、中位数的定义逐一判断选项即可。 【解答】 解：由图可知，阅读0次、1次、2次、4次、5次的人数分别为4、6、8、10、2人，阅读3次的人数为m人， 总人数为 ， 总阅读次数为 . 对于A、B，平均数 ，显然平均数与m有关且不恒为3，故A、B错误； 对于C，当 时，阅读4次的人数最多（10人），故众数为4，故C错误； 对于D，当 时，总人数 ，则中位数应在第14-18人之中， ， ，则这组数据的中位数为2，故D正确. 故选D.  10.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位，个）如图所示，有下列四个结论：①乙的成绩的波动程度比甲的大；②乙的最好成绩比甲的最好成绩好；③甲、乙两人成绩的平均数相同；④甲、乙两人成绩的中位数不同，其中正确的结论是（ ） A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②④ 【答案】 B 【解析】 本题考查了根据方差判断数据的稳定性、平均数和中位数，理解并从图中获取信息，根据信息求出中位数、平均数和方差是解题的关键．根据图分别求出甲和乙的平均数、中位数和方差再逐一判断即可． 【解答】 解：甲同学的成绩依次是：7，8，8，8，9， 则平均数为：，中位数为：8，方差为：， 乙同学的成绩依次是：6，7，8，9，10， 则平均数为：，中位数为：8，方差为：， ， 乙的成绩比甲波动大，故①正确； ， 乙的最好成绩比甲好，故②正确； 甲同学成绩的平均数为：8，乙同学成绩的平均数也为：8， 甲、乙二人成绩的平均数相同，故③正确； 甲同学成绩的中位数为：8，乙同学成绩的中位数也为：8， ④$错误， 故选：B. 二、 填空题 11.若一组数据2，4，，1，6的平均数为3，则这组数据的方差为___3.2_____； 【答案】 3.2 【解析】 先求出未知的数据x，再根据方差计算公式计算即可. 【解答】 解：一组数据2，4，x，1，6的平均数为3， ， 方差 12.某公司欲招聘一名职员．对甲，乙，丙三名应聘者进行了综合知识，工作经验，语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：如果将每位应聘者的综合知识，工作经验，语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是____乙____． 项目应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 75 78 70 【答案】 乙 【解析】 根据加权平均数的计算方法，分别计算甲、乙、丙三名应聘者的总成绩，比较大小即可求解. 【解答】 解：由题意得，甲的总成绩为， 乙的总成绩为， 丙的总成绩为， ， 乙的总成绩最高， 被录用的是乙. 13.一组数据的箱线图如图，这组数据的上四分位数是__170______． 【答案】 170 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由图可知，矩形箱体的上底边对应的纵轴数值为170， 因此，这组数据的上四分位数是170. 14.为计算某样本数据的方差，列出如下算式据此判断：①样本容量是；②样本的平均数是；③样本的众数是；④样本的中位数是．上面说法错误的是____②____． 【答案】 ② 【解析】 本题考查了求一组数据的中位数、众数、平均数、样本容量，由方差算式得到这组数据为2,3,3,7，再根据位数、众数、平均数、样本容量的定义求解即可判断，掌握方差的计算公式是解题的关键. 【解答】 解：根据方差算式可得，这组数据为2,3,3,7共4个， 样本容量是4，样本的众数是3，样本的中位数是 ，故 正确；样本的平均数是 ，故 错误； 故答案为：②. 15.吕梁市临县是闻名全国的“红枣之乡”，这里盛产的红枣以肉厚味甜著称．某农科所培育了甲、乙、丙三个品种的红枣，统计近三年这三个品种红枣的亩产量，其平均数和方差如下表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 方差 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择_______丙_______品种．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】 丙 【解析】 本题考查了方差，平均数的应用，熟练掌握方差，平均数的特点是解题的关键． 根据方差越小越稳定，平均数越大越好等解答即可． 【解答】 解：，， 丙是亩产量高且稳定的优良品种． 故答案为：丙． 16.如图是甲、乙两家快递公司一周的业务量的折线统计图．观察图形，若甲、乙两家公司这一周的业务量的方差分别是和，则___>_____（填“>”，“<”或“=”），可知业务量更稳定的是____乙____（填“甲”或“乙”）． 【答案】 >,乙 【解析】 观察折线统计图，比较甲、乙两组数据的离散程度，根据方差的意义：方差越小，数据越稳定，即可得出结论. 【解答】 解：由折线统计图可知，甲公司业务量的折线起伏较大，数据波动较大，乙公司业务量的折线起伏较小，数据波动较小. 因为方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据波动越大，方差越大，数据波动越小，方差越小. 所以 . 因为乙公司业务量的方差较小，所以乙公司的业务量更稳定. 三、 解答题 17.面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是分，分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是多少？ 【答案】 这个人的面试成绩是分． 【解析】 根据加权平均数定义计算可得． 【解答】 解：这个人的面试成绩是（分）， 答：这个人的面试成绩是分． 18.某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了笔试和面试，他们各自成绩 (百分制)如下表所示.    应试者 笔试 面试 甲 乙 （1）如果公司认为笔试和面试同等重要，从他们的成绩看，被录取的是__甲______； （2）如果公司认为，作为公关人员面试应该比笔试更重要，按笔试成绩占，面试成绩占，计算应试者的平均成绩(百分制)，谁将被录取？ 【答案】 甲 乙将被录取 【解析】 （1）根据笔试和面试同等重要的前提，算出各自的平均成绩再进行比较即可． （2）根据加权平均数的计算公式进行计算即可． 【解答】 （1）解：根据题干：笔试与面试同等重要，甲方的平均成绩为：，乙方平均成绩为：． 甲方平均成绩大于乙方，被录取是甲方． （2）甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分），       因为，所以乙将被录取．  19.【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）分别求，两名选手平均成绩？ （2）如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 （3）对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 【答案】 A，B两名选手平均成绩分别为8.5，9 7.5；9；9.5 选择B选手参加青少年射击比赛 【解析】 （1）根据平均数的定义进行计算即可； （2）先把A选手的成绩从小到大排列，再根据四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可. 【解答】 （1）解：选手A的平均成绩为： 选手B的平均成绩为： （2）解：选手A的成绩从小到大排列为：6，7，8，9，9，9，10，10， 下四分位数为，则，即； 中位数为，则，即； 上四分位数为，则，即； 故答案为：7.5；9；9.5； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： A,B两名选手的中位数相等,B选手平均成绩更高，方差更小， 则成绩更稳定，能力更强， 因此，选择B选手参加青少年射击比赛.  20.某集团校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图； b．七年级成绩在这一组的是：70，72，74，76，76，77，77，77，77，78，78． c．七，八年级成绩的平均数，中位数如表： 年级 平均数 中位数 七 m 八 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级成绩在这一组的有__10____人，在80分以上（含80分）的有____23__人； （2）表中m的值为___77.5___，在这次测试中，七年级成绩的众数位于这一组，则七年级成绩的众数为___77___分； （3）在这次测试中，八年级学生甲与七年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级50名测试学生中的排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有1000人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数分的人数． 【答案】 10；23 77.5；77 乙学生在该年级的排名更靠前，理由见解析 估计七年级成绩超过平均数76.8分的人数为580人 【解析】 （1）根据各组人数之和等于总人数可得成绩在60≤x<70这一组的人数，将第4、5组人数相加即可得出答案； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）根据平均数和中位数的意义求解即可； （4）总人数乘成绩超过平均数76.8分的人数所占比例即可. 【解答】 （1）解：在这次测试中，七年级成绩在60≤x<70这一组的有50-(6+11+15+8)=10（人）， 在80分以上（含80分）的有15+8=23（人）， 故答案为：10；23. （2）解：七年级成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而这2个数据分别为77、78， 所以其中位数m=， 七年级成绩的众数为77， 故答案为：77.5；77. （3）解：乙学生在该年级的排名更靠前. 理由：八年级学生甲的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，七年级学生乙的成绩大于中位数77.5分，其名次在 该年级抽查的学生数的25名之前， 乙学生在该年级的排名更靠前； （4）解：1000×=580， 估计七年级成绩超过平均数76.8分的人数为580人. 21.为增强学生的社会实践能力，某校拟实施每周半天计划，并同步建立小记者站，有名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小聪、小颖的三项测试成绩和总评成绩如下表，这名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小聪 小颖      _______    （1）在摄影测试中，七位评委给小颖打出的分数如下：，，，，，，．这组数据的中位数是___69____ 分，众数是____69___ 分，平均数是___70____ 分； （2）请你计算小颖的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者，试分析小聪、小颖能否入选，并说明理由． 【答案】 ，， 小颖的总评成绩是分 小颖能入选，小聪不能，理由见解析 【解析】 （1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，再计算平均数； （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可； （3）小聪、小颖的总评成绩分别是分，分，学校要选拔名小记者，小颖的成绩在前名，因此小颖一定能入选；小聪的成绩不在前名，因此小聪不能入选． 【解答】 （1）解：七位评委给小颖打出的分数从小到大排列为：，，，，，，， 所以这组数据的中位数是分，众数是分， 平均数是：（分）； 故答案为：，，； （2）解：（分）， 答：小颖的总评成绩是分． （3）解：小颖能入选，小聪不能，理由如下： 从这名学生的总评成绩频数分布直方图可以看出，恰好有名同学总评成绩低于分，因为小聪总评成绩分，小颖总评成绩分，又所以小颖能入选，小聪不能． 22.为让学生了解吉林乡土文化，立德中学拟举办主题为“吉林乡土文化”的知识竞赛活动．九年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图所示的统计图． 一班预赛成绩统计图 二班预赛成绩统计图 （1）这次预赛中，一班有__20___人参加比赛，二班成绩是A等和B等的共有__9__人； （2）这次预赛中一班成绩的平均数为__87.5___分，二班成绩的中位数为__80___分，二班成绩的众数为__80___分； （3）已知两个班参加预赛学生成绩的方差分别为，，从平均数、众数、方差中任选一个量，结合九年级一班和二班预赛成绩，解释其在本题中的意义． 【答案】 20，9； 87.5，80，80； ①选择平均数：一班平均成绩是87.5分，二班平均成绩是84分，从平均水平看一班较好； ②选择方差，， 二班方差小于一班方差，说明二班学生成绩波动较小； ③选择众数：一班集中在90分，二班集中在80分，高分段人数分布一班更突出. 【参考分析】（1）根据条形统计图求出一班参加比赛的人数，即可得到二班参加比赛的人数，再根据扇形统计图求出二班成绩在B等及以上的人数即可； (2)根据平均数、中位数和众数的定义进行解答即可； (3)比较方差的大小后即可得到答案. 【解析】 利用中位数、众数、方差等概念，结合统计图解答 【解答】 （1）解：一班参加比赛的人数为 （人）， 两个班参加比赛的人数相同， 二班成绩在A等和B等的共有 （人）； （2）解：一班成绩的平均数为： （分）， 二班成绩A等的人数为： ， B等的人数为： ， C等的人数为： ， D等的人数为： ， 二班成绩的中位数是80，众数是80. （3）∵， ∴一班方差大于二班方差，说明一班成绩比较分散，二班比较集中。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级下册预习 第23章 一次函数 本章复习目标 理解算术平均数、加权平均数、中位数、众数的核心概念，掌握各统计量的计算方法，能结合具体场景选择恰当的统计量刻画数据的集中趋势，发展数据分析核心素养。 理解方差的统计意义与计算公式，能通过方差判断数据的波动程度与稳定性，掌握用样本特征估计总体特征的统计方法，提升数据处理与逻辑推理能力。 能结合校园体测、商品销售、质量检测等真实生活场景，综合运用集中趋势与波动程度的统计量进行数据分析与科学决策，体会统计知识的应用价值，建立用数据说话的统计思维。 本章知识框架 知识点复习 24.1 数据的集中趋势 知识点 1：算术平均数 一般地，对于n个数x1​,x2​,…,xn​，我们把________叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作______，读作 “x 拔”。 核心公式：​​ 平均数能充分利用所有数据的信息，反映一组数据的______水平，但易受极端值的影响。 知识点 2：加权平均数 若n个数中，x1​出现f1​次，x2​出现f2​次，…，xk​出现fk​次（满足f1+f2+⋯+fk​= n），则这组数据的平均数，叫做______平均数，其中f1​,f2​,…,fk​叫做对应数据的______。 权的意义：反映各个数据在整体中的重要程度，权越大，对应数据对平均数的影响越大。 常见权的形式：出现次数、比例、百分比、权重分值等。 知识点 3：中位数 将一组数据按照______（或从大到小）的顺序排列： 若数据个数是奇数，则处于______的数就是这组数据的中位数； 若数据个数是偶数，则中间两个数据的______就是这组数据的中位数。 特点：中位数不受极端偏大或偏小值的影响，适合反映数据的_____水平。 知识点 4：众数 一组数据中出现______的数据，叫做这组数据的众数。 特点：① 一组数据的众数可能不止一个，也可能没有；② 不受极端值影响，适合反映数据的______水平。 知识点 5：统计量的合理选择 不同统计量各有优劣，需结合实际场景选择： 描述班级考试整体平均水平，选用______； 描述职工工资的一般水平（存在极端高薪），选用______； 描述商场最畅销的服装尺码，选用______。 24.2 数据的波动程度 知识点 1：方差的定义与公式 设有n个数据x1 ,x2 ,…, xn ，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的______，记作______。 核心公式: . 知识点 2：方差的统计意义 方差是衡量数据波动大小的核心统计量： 方差越大，数据的波动越______，稳定性越______； 方差越小，数据的波动越______，稳定性越______。 拓展：方差的算术平方根叫做标准差，单位与原数据一致，同样用于描述数据波动程度。 知识点 3：用样本估计总体 统计的核心思想是通过样本推断总体： 用样本的平均数估计______的平均数； 用样本的方差估计_____的方差。 当样本容量足够大且具有代表性时，样本对总体的估计会更准确。 本章核心数学思想 样本估计总体思想：通过抽取有代表性的样本，用样本的集中趋势和波动特征推断总体特征，是统计学的核心思想。 数形结合思想：从集中趋势、波动程度多个维度综合分析数据，结合统计图直观呈现数据特征，全面评价数据。 数学建模思想：将生活中的决策问题转化为统计问题，通过计算统计量、分析数据规律，为实际决策提供数据支撑。 分类讨论思想：针对不同场景选择合适的统计量，分情况讨论数据特征，避免单一指标的片面性。 本章易错点提醒 加权平均数计算错误：忽略权的权重作用，直接套用算术平均数公式，或计算时权的总和统计错误。 中位数未排序：求中位数时忘记先将数据按大小排序，直接取原数据中间位置的数，导致结果错误。 众数概念混淆：误将 “出现的次数” 当成众数，实际众数是出现次数最多的数据；一组数据可以有多个众数。 方差意义记反：错误认为 “方差越大，稳定性越好”，需牢记方差与波动程度正相关，与稳定性负相关。 统计量选择片面：仅用平均数评价数据，忽略极端值的影响，未结合中位数、方差进行综合分析。 样本估计总体误用：样本不具备代表性时，盲目用样本推断总体，导致结论出现偏差。 知识点练习 一、选择题 1.在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现的得分分别为88分，92分，将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算，则该选手的成绩是（     ） A.89.2分 B.90分 C.90.4分 D.89.6分 2.已知一组数据的唯一众数是，中位数是，则这组数据的平均数为（     ） A. B. C. D. 3.学校准备从甲、乙、丙、丁四名优秀选手中选一名参加全区安全知识竞赛，该校预先对这名选手进行三轮预赛选拔，他们成绩的平均数与方差统计如下表： 参赛选手 甲 乙 丙 丁 平均数分 97 95 97 96 方差分 0.5 0.5 1 2 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的选手参赛，应该选择（     ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.有一组被墨水污染的数据：，，，，*，★，，，，，，，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（        ） A.这组数据的下四分位数是4 B.这组数据的上四分位数是15 C.这组数据的中位数是10 D.被墨水污染的数据中一个数是3，另一个数可能是13 5.某中学体育老师给该校九年级学生上了一节篮球课，教同学们定点投篮．为了了解同学们的学习情况．随机抽取了20名学生，对他们的定点投篮命中数量进行统计，统计结果如表： 投篮命中数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 5 6 4 2 根据如表，下列说法正确的是（ ） A.投篮命中数量的平均数是4.8 B.样本为20名学生 C.投篮命中数量的中位数是3 D.投篮命中数量的众数是4 6.某服装厂准备加工一批新型男士夹克衫，加工前对名中年男子所需夹克衫的型号进行了调查，调查结果如下表： 型号（单位：） 人数 根据以上调查结果，下列说法正确的是（       ） A.所需号的人数太少，号的可以不生产 B.这批男装可以一律按这个平均数生产 C.因为中位数为，故号的产量要占第一位 D.因为众数为，故号的产量要占第一位 7.为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是（       ） A.样本容量是4 B.样本的平均数是4 C.样本的众数是3 D.样本的中位数是3 8.甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，经过数次相同的练习，他们的平均成绩都是9.5环，方差分别是，，，，那么成绩最稳定的选手是（       ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 9.4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的阅读课外书的情况（次数），并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．设抽取的学生中，一周内读课外书3次的学生数有人，下列说法正确的是（       ） A.这组数据的平均数是3 B.这组数据的平均数与无关 C.当时，这组数据的众数为10 D.当时，这组数据的中位数为2 10.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位，个）如图所示，有下列四个结论：①乙的成绩的波动程度比甲的大；②乙的最好成绩比甲的最好成绩好；③甲、乙两人成绩的平均数相同；④甲、乙两人成绩的中位数不同，其中正确的结论是（ ） A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②④ 二、 填空题 11.若一组数据2，4，，1，6的平均数为3，则这组数据的方差为________； 12.某公司欲招聘一名职员．对甲，乙，丙三名应聘者进行了综合知识，工作经验，语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：如果将每位应聘者的综合知识，工作经验，语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是________． 项目应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 75 78 70 13.一组数据的箱线图如图，这组数据的上四分位数是________． 14.为计算某样本数据的方差，列出如下算式据此判断：①样本容量是；②样本的平均数是；③样本的众数是；④样本的中位数是．上面说法错误的是________． 15.吕梁市临县是闻名全国的“红枣之乡”，这里盛产的红枣以肉厚味甜著称．某农科所培育了甲、乙、丙三个品种的红枣，统计近三年这三个品种红枣的亩产量，其平均数和方差如下表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 方差 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择______________品种．（填“甲”“乙”或“丙”） 16.如图是甲、乙两家快递公司一周的业务量的折线统计图．观察图形，若甲、乙两家公司这一周的业务量的方差分别是和，则________（填“>”，“<”或“=”），可知业务量更稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 三、 解答题 17.面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是分，分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是多少？ 18.某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了笔试和面试，他们各自成绩 (百分制)如下表所示.    应试者 笔试 面试 甲 乙 （1）如果公司认为笔试和面试同等重要，从他们的成绩看，被录取的是_______； （2）如果公司认为，作为公关人员面试应该比笔试更重要，按笔试成绩占，面试成绩占，计算应试者的平均成绩(百分制)，谁将被录取？  19.【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）分别求，两名选手平均成绩？ （2）如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 （3）对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 20.某集团校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图； b．七年级成绩在这一组的是：70，72，74，76，76，77，77，77，77，78，78． c．七，八年级成绩的平均数，中位数如表： 年级 平均数 中位数 七 m 八 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级成绩在这一组的有_____人，在80分以上（含80分）的有______人； （2）表中m的值为______，在这次测试中，七年级成绩的众数位于这一组，则七年级成绩的众数为______分； （3）在这次测试中，八年级学生甲与七年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级50名测试学生中的排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有1000人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数分的人数． 21.为增强学生的社会实践能力，某校拟实施每周半天计划，并同步建立小记者站，有名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小聪、小颖的三项测试成绩和总评成绩如下表，这名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小聪 小颖      _______    （1）在摄影测试中，七位评委给小颖打出的分数如下：，，，，，，．这组数据的中位数是_______ 分，众数是______ 分，平均数是_______ 分； （2）请你计算小颖的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者，试分析小聪、小颖能否入选，并说明理由． 22.为让学生了解吉林乡土文化，立德中学拟举办主题为“吉林乡土文化”的知识竞赛活动．九年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图所示的统计图． 一班预赛成绩统计图 二班预赛成绩统计图 （1）这次预赛中，一班有_____人参加比赛，二班成绩是A等和B等的共有____人； （2）这次预赛中一班成绩的平均数为_____分，二班成绩的中位数为_____分，二班成绩的众数为_____分； （3）已知两个班参加预赛学生成绩的方差分别为，，从平均数、众数、方差中任选一个量，结合九年级一班和二班预赛成绩，解释其在本题中的意义． 学科网（北京）股份有限公司 $