专题02二次函数解析式与一元二次方程综合暑假预习(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

专题02二次函数解析式与一元二次方程综合暑假预习讲义 ·牢记二次函数一般式、顶点式、交点式三种解析式，能根据三点、顶点、x 轴交点等不同条件，合理选用解析式，运用待定系数法求出函数表达式。 ·掌握三种解析式互化方法，规范完成列式、代值、解方程、写解析式完整解题步骤，能结合实际情境写出函数并标注自变量取值范围。 ·理解二次函数与一元二次方程的内在联系：抛物线与 x 轴交点横坐标是对应一元二次方程的实数根。 ·会借助判别式Δ=b2-4ac，双向判断一元二次方程根的情况、抛物线与 x 轴交点个数。 ·能利用函数图像估算一元二次方程近似根，根据图像写出y>0、y<0、y=0对应的自变量取值范围。 ·会求解抛物线与坐标轴交点坐标，计算 x 轴两交点间距离，解决交点相关参数综合题型。 ·建立数形结合、函数与方程转化思想，规避选解析式错误、忽略Δ取值限制、步骤书写不规范等常见问题。 预习必 备知识 1.二次函数三种解析式对比 2.Δ、方程根、抛物线与x轴交点 3.二次函数与一元二次方程 4.求一元二次方程近似解 5.二次函数与不等式的关系 6.高频易错点汇总 常考 题型 精讲 精练 1.待定系数法求二次函数解析式 2.求抛物线与x轴的交点坐标 3.求抛物线与y轴的交点坐标 4.由二次函数值求自变量的值 5.抛物线与x轴的交点问题 6.二次函数图象确定方程根的情况 7.求x轴与抛物线的截线长. 8.图象法确定方程的近似跟 9.图象法解一元二次不等式. 10.由不等式求自变量或函数值范围 11.由交点确定不等式的解集 强化题型 解答题8题 知识点01：二次函数三种解析式对比表 解析式形式 表达式 适用已知条件 可直接读取信息 限制条件 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 图像上 3 个普通点 c为抛物线与y轴交点纵坐标 无额外限制，所有二次函数通用 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) 顶点(h,k)+ 任意一点 对称轴x=h，顶点(h,k)，最值k 无额外限制，所有二次函数通用 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 抛物线与x轴两交点(x1,0)(x2,0)+ 任意一点 方程ax2+bx+c=0两根(x1、x2) 仅Δ>0（与x轴有 2 个不同交点）可用 1.待定系数法标准解题四步骤 设：根据条件匹配上表，选择合适解析式； 代：将点坐标代入，得到方程 / 方程组； 解：求出系数a、b、c或a、h、k或a、x1、x2； 写：代回原式，写出完整函数表达式。 2.三种解析式互化方法 知识点02：Δ、方程根、抛物线与x轴交点三者对应关系表 判别Δ=b2-4ac 一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数 图像特征 Δ>0 两个不相等实数根x1、x2 2 个交点(x1,0)、(x2,0) 穿过x轴两处 Δ=0 两个相等实数根x1=x2 1 个交点（顶点落在x轴上） 抛物线与x轴相切 Δ<0 无实数根 无交点 图像全部在x轴上方(a>0)或下方(a<0) 知识点 03 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 （1）若抛物线 y = ax2 + bx + c(a0) 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两个根。 （2）二次函数图象与 x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： a0（示意图） a0（示意图） 一元二次方程根的情况 b² - 4ac0 b² - 4ac=0 b² - 4ac 知识点04:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1） 画出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象； （2） 确定二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3） 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y 值正负交替的地方。 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的 y 值正负交替的位置，也就是对 x 取一系列值，看 y 对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时 x 的两个对应值之中必有一个近似根。比如 x 由 x1 取到 x2 时，对应 y 的值出现 y1>0,y2<0 或 y1<0,y2>0，那么 x1,x2 中必有一个是近似根。 比较 |y1| 与 |y2| 的大小：若 |y1|>|y2|，则说明 x2是近似根；反之，则说明 x1 是近似根。 从图象上观察，(x,y) 离 x 轴越近，y 值越接近 0，而 y=0时 x 的值就是方程的确切根。 知识点 05 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点06：高频易错点汇总 易错类型 错误表现 规避方法 解析式选用 已知顶点仍设一般式；无两个 x 轴交点却用交点式 先看条件匹配表格，牢记交点式Δ>0前提 符号计算 配方、代入坐标、韦达定理丢负号 每一步代入后验算符号 区间判断 判断y>0、y<0时自变量区间写反 先看开口方向，结合图像记忆区间 应用题 实际问题不写自变量取值范围 建模完成后结合长度、销量等现实限制标注范围 交点计算 两交点距离去掉绝对值 公式保留绝对值，结果距离恒为正数 题型1.待定系数法求二次函数解析式 【典例】一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是__________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，由二次函数图象开口向下知，由经过点知，取，即可． 【详解】解：设二次函数的表达式为， ∵图象开口向下， ∴， ∵图象经过点， ∴当时，， 故，表达式为（其中），取，，得， 故答案为：(答案不唯一)． 【跟踪专练1】已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据顶点坐标设二次函数顶点式，现再将或代入，即可求解． 【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是，且过点， 设二次函数，把代入得， 解得． 故二次函数的解析式为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A、B、C、D四点，且线段都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为，，则点B到CD的距离为_______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴，， 设，将代入得，， 解得，即， 当时，， 即点到的距离为． 【跟踪专练3】已知二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故选：D． 题型2.求抛物线与x轴的交点坐标 【典例】二次函数与x轴的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 设另一个交点的坐标为，先求出二次函数的对称轴，再根据对称性即可得． 【详解】解：设另一个交点的坐标为， ∵二次函数的对称轴为直线 ，且与x轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， 则另一个交点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴．根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，，对称性得到对称轴为即可． 【详解】解：∵的两个实数根分别为，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴对称轴为； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，函数图像上点的坐标特征，熟练掌握函数图形是解题的关键．点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，设的函数表达式为：，求出的函数表达式，即可求出答案． 【详解】解：令，即， 解得， 令，， 故A、B、C的坐标为：， 函数对称轴， 点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，即为所求， 设的函数表达式为：， 将代入， 得， 解得， 的函数表达式为：， 将代入，， 故点P坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（　　）    A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由可得，由图象可得，，再根据两根之和为，两根之积为，即可得到答案． 【详解】解：由图象可知， ∴关于x的方程的根的判别式为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根之和为，两根之积为， ∴两根异号， 故选：C． 题型3.求抛物线与y轴的交点坐标 【典例】二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键． 令横坐标，代入函数解析式求出的值，即可得到与轴的交点坐标． 【详解】解：当时， ， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练二次函数与轴和轴的交点的求法以及仔细审题是解决本题的关键．已知二次函数的解析式，分别令，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴令，则，故与轴有一个交点， 令，则， ， ∴与轴有两个交点， 即：图象与坐标轴的交点有3个， 故选：D． 【跟踪专练2】若关于x的一元一次不等式组无解，且使二次函数的图象与y轴交于正半轴，则所有符合题意的整数a的值之和是_________． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组和二次函数与y轴的交点，根据不等式组无解得到，然后根据二次函数与y轴交点在正半轴得到且，然后求出整数a的值即可解题． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组的无解， ∴， 解得， ∵二次函数的图象与y轴交于正半轴， ∴，且， 解得且， ∴且， ∴整数a为，，，，， ∴整数a的值之和是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的对称轴为直线 C．时，的值随值的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 先利用交点式写出抛物线解析式，再把解析式化为一般式，从而可对选项进行判断；然后把一般式配成顶点式，从而根据二次函数的性质可对B、C、D选项进行判断． 【详解】解：抛物线与轴交于点和点， 抛物线解析式为， 即， ，所以A选项不符合题意； ， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，所以B选项符合题意，C、D选项不符合题意． 故选：B． 题型4.由二次函数值求自变量的值 【典例】已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【答案】0或 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 【跟踪专练1】下列各点中，是二次函数图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别把、0、2代入二次函数解析式中计算出对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D正确； 故选：D． 【跟踪专练2】已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是_______． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 【答案】或5 【分析】本题主要考查求二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识点，从列表中获取信息是解题的关键． 根据列表可知抛物线经过和对称轴，进而求得c，则，即，当时对应的x值，然后根据列表即可解答． 【详解】解：根据列表可知：当时，；当时，；当时，， ∴二次函数的解析式为，对称轴为， ∵， ∴， 由列表可得：当时，． ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，． ∴关于x的方程的解是或5． 故答案为：或5． 题型5.抛物线与x轴的交点问题 【典例】若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由抛物线与轴无交点，可知方程无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 【跟踪专练1】抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【详解】解：根据图示，抛物线的图象开口向上，经过，对称轴直线为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当或时，， 故答案为：或 ． 【跟踪专练2】已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数(是常数，)与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，反过来，通过抛物线与轴的交点坐标确定关于的一元二次方程的解. 利用抛物线与轴的交点问题得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴代入得，即． 则． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A 在x轴的负半轴上），交y轴的负半轴于点C．下列选项中，不正确的是（   ） A．无论a，c取何值，抛物线一定经过一个确定的点 B．无论a，c取何值，对称轴不一定在 y轴的左侧 C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式变形为即可得出该抛物线恒过点，即点，即可判断A；由抛物线的对称轴公式即可判断B；当时，，即点，再根据抛物线对称轴公式计算即可判断C；当时，此时，代入抛物线解析式计算即可判断D；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴该抛物线恒过点，即点，故A正确，不符合题意； 根据题意可知，对称轴为， 若，则对称轴为轴；若，则对称轴在轴右侧，故B正确，不符合题意； 当时，，故抛物线与轴的交点为， ∴， 当时，，即点， 又∵该抛物线恒过点， ∴对称轴为， 根据对称轴公式得， ∴， 解得，故C正确，不符合题意； 当时，此时， 将点代入抛物线的解析式中得， 解得，故D不正确，符合题意； 故选：D． 题型6.二次函数图象确定方程根的情况 【典例】如图，已知二次函数的图象，则一元二次方程的解是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．二次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，据此可得答案； 【详解】由函数图象可知，二次函数与x轴的交点坐标为， ∴一元二次方程的解是， 故答案为：； 【跟踪专练1】根据下列表格中的对应值，判断方程（、、为常数）的根的个数是（ ） A．1或2 B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与方程的关系，由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为，故方程（、、为常数）没有实数根． 【详解】解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为， 抛物线与x轴没有交点， 方程（、、为常数）没有实数根， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．    【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度，平移后抛物线的解析式为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】解：， 将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度， 平移后抛物线的解析式为，     当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 【跟踪专练3】二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】A 【分析】本题考查根据图象判断一元二次方程的根的情况，根据二次函数与一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：由图可得与x轴有两个不同的交点， 则该图象向下平移5个单位长度后，所得新图象的解析式为，与x轴也有两个不同的交点， 有两个不相等的实数根， 故选：A． 题型7.求x轴与抛物线的截线长. 【典例】二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【跟踪专练1】如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 题型8.图象法确定方程的近似跟 【典例】由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是__________． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 【答案】4 【分析】根据表格可得当时，；当时，，由此得到一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间，由此得到答案． 【详解】解：由表格得，当时，；当时，， 故一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况，正确理解一元二次方程的表示方法是解题的关键． 【跟踪专练1】方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】逐项分析即可． 【详解】A、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； B、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故正确； C、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； D、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键． 【跟踪专练2】二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 【跟踪专练3】已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．根据表格中的数据可得出当时，；当时，，由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 方程的一个近似根可能是， 故选：B． 题型9.图象法解一元二次不等式 【典例】若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为_______________． 【答案】或/或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．直接根据图象写出答案即可． 【详解】解：由图象可知，当时，． 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，二次函数与一次函数为的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，当时，的图象在的图象的下方，即可得答案． 【详解】解：由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3， ∵当时，的图象在的图象的下方， ∴不等式的解为：， 不等式的解为：． 故答案为：． 【跟踪专练2】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，经过点．以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若，抛物线上两点，则． 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤ 【答案】B 【分析】由抛物线对称轴为直线可判断①，由抛物线与x轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断③，由抛物线经过及抛物线的对称性可判断④，由抛物线开口方向及对称轴可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线 ∴①正确， 由图像可得抛物线与x轴有两个交点， ∴，②不正确． ∵抛物线开口向下， ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，③正确． ∵抛物线经过，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线经过， ∴，④不正确． 由图像可得为抛物线顶点， ∴为函数最大值， ∴，⑤正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与方程及不等式的关系等知识点，掌握二次函数图像与系数的关系是解答本题的关键． 题型10.由不等式求自变量或函数值范围 【典例】已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为___________. 【答案】或/或 【分析】根据抛物线开口向上，图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根据抛物线与坐标轴的交点确定不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系等知识点，根据二次函数的性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， ∵是抛物线的对称轴， ， ， ，故①错误， ∵过点， ∴，故②错误， 由图象可得抛物线与x轴交于两点， ∴，故③错误， 根据对称轴可得A点横坐标为 ， 由图象可得， 当时，，故④正确， 综上所述有1个正确， 故选：A． 【跟踪专练2】已知抛物线、直线，若对于任意的x的值，恒成立，则m的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），掌握二次函数的性质是解题关键．由题意可得出，设，改为顶点式为，即可得出，则说明恒成立，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 整理，得：． 设， ∴． ∵恒成立， ∴恒成立， 解得：． 故答案为：0． 【跟踪专练3】不等式对任意实数x都成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数恒成立的问题，讨论当，和时，结合题意求出a的取值范围即可． 【详解】解：当时，则， 当时，恒成立； 当时，则， 即，不是任意实数x都成立； 当时，设，函数开口方向向上， 不等式不是对任意实数都成立， 当时，则， 即（无解）或， 解得：， 设，函数开口方向向下， 不等式， 只要，即， ，即或（无解）， 解得：， a的取值为； 综上，a的取值为， 故选：B． 题型11.由交点确定不等式的解集 【典例】如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解即可． 【详解】解：∵函数与的图象交于，两点， ∴由函数图象可知：关于x的不等式（即）的解集是或； 故答案为或． 【跟踪专练1】已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与x轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在x轴下方时对应的取值范围即可得答案． 【详解】解：由图可知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． ∵抛物线开口向下，， 或． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 【跟踪专练3】如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，通过二次函数的图象判断不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据二次函数的图象判断不等式的解集即可． 【详解】解：根据抛物线的图象可知，当时， 或， 故选：D． 解答题 1．已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把点代入函数，求解即可； （2）根据二次函数的图象及性质得到函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线，顶点坐标是，根据与的取值进行分类分析，根据二次函数的最大值与最小值的差为3列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ，解得， 二次函数的解析式为． （2）解：∵二次函数， ∴该函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线，顶点坐标是， ①当，即时，y随着x的增大而减小， 当时，， 当时，， ，解得， ∵ ∴不符合题意，舍去． ②当，即时，顶点的横坐标在取值范围内， 当时，． i）当，即时， 当时，， ，解得，． ， ∴舍去,即． ii）当，即时， 当时，， ，解得，． ， ∴舍去,即． ③当，即时，y随着x的增大而增大， 当时，， 当时，， ，解得． ， 不符合题意，舍去． 综上，或． 2．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 【答案】 【分析】先求出，然后用待定系数法求出抛物线解析式，再令求解即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 3．已知二次函数的图像经过，，三点． (1)求此二次函数的表达式． (2)求出二次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)与y轴的交点坐标为；与x轴的交点坐标为和 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． （1）由待定系数法即可求解； （2）对于，令，得；令，解得：，即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 把，，代入， 得， 解得， 所以二次函数的表达式为． （2）解：把代入得，则抛物线与y轴的交点坐标为； 把代入得， 解得，， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 4．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系．若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的自变量值， 依据题意，由，可令，则，从而，进而可以判断得解； 【详解】解：令，即． 整理，得， 解得， ∴时，， ∴可被该设备清晰捕捉的时长为． 答：小球的可被该设备清晰捕捉的时长为； 5．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，当时，函数有最小值． (1)求抛物线的解析式； (2)记抛物线与x轴的一个交点的横坐标为r，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数最小值点在顶点处，结合顶点横坐标公式求出，再代入已知点求出，得到抛物线解析式； （2）利用交点横坐标满足抛物线方程，通过代数变形和整式乘法公式计算所求代数式的值即可. 【详解】（1）解：在抛物线中，， 故函数最小值在顶点处取得， 由题意得顶点横坐标为， ∴，即， 解得； 把点代入解析式得； 故抛物线解析式为； （2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标， ∴，显然， 等式两边同时除以得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴. 6．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． 如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线的表达式求解及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求抛物线解析式，以及联立方程利用判别式判断交点个数． （1）将点、代入抛物线方程，解方程组得、的值； （2）联立直线与抛物线方程，整理为一元二次方程，由判别式求的值． 【详解】（1）解：将，代入，得 解得，，故抛物线表达式为． （2）解：联立，得， 因直线与抛物线只有一个交点，故， 整理得， 解得． 7．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将将，代入抛物线中，再将抛物线的解析式化为顶点式，求出顶点坐标； （2）先由，得到，再将，，三点坐标代入表达式中，然后根据，转化为不等式求解，求出的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入抛物线中，得， ∴ ， ∴顶点坐标为． （2）∵， ∴， 将点，和分别代入表达式得， ， ， ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 当时， ， ， ， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 解不等式组①得： 解不等式组②得：无解． ∴ 同法可求，当时，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的综合应用，把化成顶点式，利用二次函数的性质求不等式的解集等知识，解题的关键是通过将点的坐标代入表达式，把问题转化为不等式求解． 8．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当点在这个函数图象上时， ①求抛物线的函数关系式． ②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标． (2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围． 【答案】(1)①；②点的坐标为或或 (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想是解题的关键． （1）①代入点到，求出的值即可解答；②令或，求出对应的值即可解答； （2）根据二次函数的性质可知图象开口向上，顶点坐标为，再结合题意列出关于的不等式，即可求解； （3）分和两种情况讨论，结合图象列出关于的不等式，从而可求得的取值范围． 【详解】（1）解：①代入点到得：，解得， ∴抛物线的函数关系式为； ②当时，， 解得，； 当时，， 解得； ∴点的坐标为或或； （2）解：抛物线，， ∴抛物线图象开口向上，顶点坐标为， ∵函数图象上只有两个点到轴的距离等于2， ∴， 解得； （3）解：①当时， 当顶点在直线上，符合条件， 即，解得； 当抛物线过点时，与抛物线有两个交点， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件， 则， 解得； 故抛物线与线段只有一个交点时，或； ②当时， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件， 则， 解得； 综上，的取值范围为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数解析式与一元二次方程综合暑假预习讲义 ·牢记二次函数一般式、顶点式、交点式三种解析式，能根据三点、顶点、x 轴交点等不同条件，合理选用解析式，运用待定系数法求出函数表达式。 ·掌握三种解析式互化方法，规范完成列式、代值、解方程、写解析式完整解题步骤，能结合实际情境写出函数并标注自变量取值范围。 ·理解二次函数与一元二次方程的内在联系：抛物线与 x 轴交点横坐标是对应一元二次方程的实数根。 ·会借助判别式Δ=b2-4ac，双向判断一元二次方程根的情况、抛物线与 x 轴交点个数。 ·能利用函数图像估算一元二次方程近似根，根据图像写出y>0、y<0、y=0对应的自变量取值范围。 ·会求解抛物线与坐标轴交点坐标，计算 x 轴两交点间距离，解决交点相关参数综合题型。 ·建立数形结合、函数与方程转化思想，规避选解析式错误、忽略Δ取值限制、步骤书写不规范等常见问题。 预习必 备知识 1.二次函数三种解析式对比 2.Δ、方程根、抛物线与x轴交点 3.二次函数与一元二次方程 4.求一元二次方程近似解 5.二次函数与不等式的关系 6.高频易错点汇总 常考 题型 精讲 精练 1.待定系数法求二次函数解析式 2.求抛物线与x轴的交点坐标 3.求抛物线与y轴的交点坐标 4.由二次函数值求自变量的值 5.抛物线与x轴的交点问题 6.二次函数图象确定方程根的情况 7.求x轴与抛物线的截线长. 8.图象法确定方程的近似跟 9.图象法解一元二次不等式. 10.由不等式求自变量或函数值范围 11.由交点确定不等式的解集 强化题型 解答题8题 知识点01：二次函数三种解析式对比表 解析式形式 表达式 适用已知条件 可直接读取信息 限制条件 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 图像上 3 个普通点 c为抛物线与y轴交点纵坐标 无额外限制，所有二次函数通用 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) 顶点(h,k)+ 任意一点 对称轴x=h，顶点(h,k)，最值k 无额外限制，所有二次函数通用 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 抛物线与x轴两交点(x1,0)(x2,0)+ 任意一点 方程ax2+bx+c=0两根(x1、x2) 仅Δ>0（与x轴有 2 个不同交点）可用 1.待定系数法标准解题四步骤 设：根据条件匹配上表，选择合适解析式； 代：将点坐标代入，得到方程 / 方程组； 解：求出系数a、b、c或a、h、k或a、x1、x2； 写：代回原式，写出完整函数表达式。 2.三种解析式互化方法 知识点02：Δ、方程根、抛物线与x轴交点三者对应关系表 判别Δ=b2-4ac 一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数 图像特征 Δ>0 两个不相等实数根x1、x2 2 个交点(x1,0)、(x2,0) 穿过x轴两处 Δ=0 两个相等实数根x1=x2 1 个交点（顶点落在x轴上） 抛物线与x轴相切 Δ<0 无实数根 无交点 图像全部在x轴上方(a>0)或下方(a<0) 知识点 03 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 （1）若抛物线 y = ax2 + bx + c(a0) 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两个根。 （2）二次函数图象与 x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： a0（示意图） a0（示意图） 一元二次方程根的情况 b² - 4ac0 b² - 4ac=0 b² - 4ac 知识点04:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1） 画出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象； （2） 确定二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3） 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y 值正负交替的地方。 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的 y 值正负交替的位置，也就是对 x 取一系列值，看 y 对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时 x 的两个对应值之中必有一个近似根。比如 x 由 x1 取到 x2 时，对应 y 的值出现 y1>0,y2<0 或 y1<0,y2>0，那么 x1,x2 中必有一个是近似根。 比较 |y1| 与 |y2| 的大小：若 |y1|>|y2|，则说明 x2是近似根；反之，则说明 x1 是近似根。 从图象上观察，(x,y) 离 x 轴越近，y 值越接近 0，而 y=0时 x 的值就是方程的确切根。 知识点 05 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点06：高频易错点汇总 易错类型 错误表现 规避方法 解析式选用 已知顶点仍设一般式；无两个 x 轴交点却用交点式 先看条件匹配表格，牢记交点式Δ>0前提 符号计算 配方、代入坐标、韦达定理丢负号 每一步代入后验算符号 区间判断 判断y>0、y<0时自变量区间写反 先看开口方向，结合图像记忆区间 应用题 实际问题不写自变量取值范围 建模完成后结合长度、销量等现实限制标注范围 交点计算 两交点距离去掉绝对值 公式保留绝对值，结果距离恒为正数 题型1.待定系数法求二次函数解析式 【典例】一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是__________． 【跟踪专练1】已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A、B、C、D四点，且线段都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为，，则点B到CD的距离为_______． 【跟踪专练3】已知二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型2.求抛物线与x轴的交点坐标 【典例】二次函数与x轴的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为_____． 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是__________． 【跟踪专练3】已知函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（　　）    A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 题型3.求抛物线与y轴的交点坐标 【典例】二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【跟踪专练1】抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练2】若关于x的一元一次不等式组无解，且使二次函数的图象与y轴交于正半轴，则所有符合题意的整数a的值之和是_________． 【跟踪专练3】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的对称轴为直线 C．时，的值随值的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标为 题型4.由二次函数值求自变量的值 【典例】已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【跟踪专练1】下列各点中，是二次函数图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是_______． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 题型5.抛物线与x轴的交点问题 【典例】若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【跟踪专练1】抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________． 【跟踪专练2】已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【跟踪专练3】如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A 在x轴的负半轴上），交y轴的负半轴于点C．下列选项中，不正确的是（   ） A．无论a，c取何值，抛物线一定经过一个确定的点 B．无论a，c取何值，对称轴不一定在 y轴的左侧 C．当时， D．当时， 题型6.二次函数图象确定方程根的情况 【典例】如图，已知二次函数的图象，则一元二次方程的解是_________． 【跟踪专练1】根据下列表格中的对应值，判断方程（、、为常数）的根的个数是（ ） A．1或2 B．1 C．2 D．0 【跟踪专练2】如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．    【跟踪专练3】二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 题型7.求x轴与抛物线的截线长. 【典例】二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【跟踪专练1】如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【跟踪专练2】老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型8.图象法确定方程的近似跟 【典例】由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是__________． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 【跟踪专练1】方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪专练2】二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 题型9.图象法解一元二次不等式 【典例】若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为_______________． 【跟踪专练1】如图，二次函数与一次函数为的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______． 【跟踪专练2】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【跟踪专练3】如图，二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，经过点．以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若，抛物线上两点，则． 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤ 题型10.由不等式求自变量或函数值范围 【典例】已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为___________. 【跟踪专练1】如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】已知抛物线、直线，若对于任意的x的值，恒成立，则m的值为________． 【跟踪专练3】不等式对任意实数x都成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型11.由交点确定不等式的解集 【典例】如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【跟踪专练1】已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【跟踪专练3】如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 解答题 1．已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k的值． 2．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 3．已知二次函数的图像经过，，三点． (1)求此二次函数的表达式． (2)求出二次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标． 4．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系．若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． 5．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，当时，函数有最小值． (1)求抛物线的解析式； (2)记抛物线与x轴的一个交点的横坐标为r，求的值． 6．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． 如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值． 7．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围． 8．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当点在这个函数图象上时， ①求抛物线的函数关系式． ②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标． (2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $