专题 30.3 立体模型的制作 讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦立体模型制作核心知识点，系统梳理正方体、圆柱等常见几何体展开图特征，展开图折叠成几何体的判断及相对面确定方法，以及表面积、体积等相关量计算，通过知识梳理、典例解析与实践操作，构建从平面到立体的转化学习支架。 该资料以思维导图总览课程内容，分模块设计38道例题（含几何体展开图、折叠成几何体、创新压轴题），融入“制作圆锥模型”实践活动。通过“一线不过四”等口诀培养空间观念（数学眼光），压轴题结合包装设计问题提升模型意识（数学语言），课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

30.3 立体模型的制作 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解几何体的展开图：掌握正方体、圆柱、圆锥、棱柱等常见几何体的表面展开图特征。 · 掌握展开图折叠成几何体：能根据展开图判断折叠后的几何体形状，并确定相对面位置。 · 学会计算展开图相关量：能根据展开图计算几何体的表面积、体积、侧面积等。 · 培养空间想象能力：通过展开与折叠的逆向思维，建立平面与立体的对应关系。 · 应用与实践：能将展开图知识应用于实际问题（如制作纸盒、包装设计等）。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点1：常见立体图形的平面展开图 正方体的表面展开图如下： ☆知识点2：立体图形的模型制作 1.活动目的 通过由三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程，体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系. 2.工具准备 刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板等 3.具体活动 制作圆锥 如图，已知一个立体图形的三视图（图中单位：cm）. （1）请描述该立体图形的形状； （2）画出该立体图形的平面展开图; （3）用硬纸板制作该立体图形的模型 解:(1)由于该立体图形的主视图是一个等腰三角形,左视图是一个等腰三角形,俯视图是一个圆,可以想象这个立体图形是一个底面直径为 ,母线为 的圆锥. (2)如图1,等腰三角形的两腰是圆锥的母线 ,等腰三角形底边是圆锥底面圆的直径 设该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为 ,那么由 ,得 根据以上数据,可画出这个立体图形的平面展开图,如图2. (3)在一张硬纸板上,按照 , 的实际尺寸,画出该立体图形的平面展开图:包含一个扇形 和一个圆 (如图2).分别将它们剪下,然后以 为起始边,将扇形 卷成一个圆锥面,使扇形半径 与 重合.然后用透明胶带粘贴圆 的底面接缝,这样就达到了制作该立体图形模型的要求,具体立体图形的模型如图1. 活动总结:先通过三视图描述立体图形的形状,并通过三视图中的数据明确立体图形的关键长度及角度,再画出立体图形的平面展开图,然后将其复刻在硬纸板上并剪下,最后将其折叠成立体图形. 例题精讲 ·3大模块精讲 【模块1】几何体的展开图 （第1—20题） 📌 方法总结： · 熟记常见几何体展开图的形状特征。 · 正方体展开图可用口诀"一线不过四，田凹应弃之"判断。 · 圆柱侧面展开为矩形，圆锥侧面展开为扇形。 · 注意展开图中各部分的对应关系。 1．（2026•南山区校级开学）如图，下边的展开图与正方体相符的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，选择正确的展开图即可． 【解答】解：由题知， 所折叠成的几何体中，阴影正方形的面与其余阴影的面是相对的， 其余阴影组成正好是正方形面的一半， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了几何体的展开图，能根据题意选出正确的展开图即可． 2．（2025秋•莆田校级期末）下列图形中不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】正方体的表面展开图用“口诀”：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．根据正方体的表面展开图的类型，逐个分析即可求解． 【解答】解：观察图形可得D不是正方体的表面展开图，不能拼成正方体． 故选：D． 【点评】本题考查了正方体的表面展开图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2026•乾县模拟）如图是一个几何体表面的展开图，这个几何体是（　　） A．七棱柱 B．五棱柱 C．长方体 D．圆锥 【分析】根据五棱柱的表面展开图的形状进行判断即可． 【解答】解：由表面展开图可知，这个几何体有2个五边形的底面，5个长方形的侧面，因此这个几何体是五棱柱， 故选：B． 【点评】本题考查几何体的展开图，掌握五棱柱表面展开图的形状是正确解答的关键． 4．（2026春•闵行区校级期末）一个圆柱的底面半径和高之比为1：2π，下面是这个圆柱侧面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意：一个圆柱的底面半径和高的比是1：2π，若半径为1份，那么这个圆柱的底面周长为：2π×1＝2π，高也是2π，说明圆柱的底面周长和圆柱的高相等，那么这样的圆柱展开后是一个底面周长和高相等的图形，因此答案A正确． 【解答】解：圆柱的底面周长为：2π×1＝2π，圆柱的高也是2π， 说明圆柱的底面周长和圆柱的高相等． 故选：A． 【点评】此题考查了几何体的展开图，掌握圆柱的侧面展开图是关键． 5．（2026•余庆县二模）如果一个几何体的侧面展开图如图所示，则它是下列哪个几何体（　　） A． B． C． D． 【分析】根据棱柱和棱锥的展开特征判断即可； 【解答】解：三棱柱的侧面展开图是三个矩形，两个底面是三角形， 所以它是三棱柱． 故选：C． 【点评】本题考查了几何体的侧面展开图形，牢记常见几何体的侧面展开特征是解题关键． 6．（2025秋•栖霞区校级期末）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据带图案的三个面相交于一点可得答案． 【解答】解：由题中可知：带图案的三个面相交于一点， ∴A、B、D都不符合，只有C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是正方体的展开图的认识，正确分析图形是解题关键． 7．（2026•龙凤区三模）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（　　） A．π B． C． D． 【分析】根据展开图得出圆锥体的高，然后计算出体积即可． 【解答】解：由题意知，该几何体为圆锥体，圆锥体的高为边长为2的等边三角形的高， 即h＝2•sin60°， ∴该几何体的体积为：π（）2π， 故选：D． 【点评】本题主要考查圆锥体的展开图，熟练根据圆锥体的展开图得出圆锥体的高是解题的关键． 8．（2025秋•邹城市期末）下列图形中，不是正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方体表面展开图的特征逐项进行判断即可． 【解答】解：A．选项A中图形符合正方体表面展开图的“1﹣4﹣1型”的特征，是正方体的表面展开图，因此选项A不符合题意； B．选项B中图形符合正方体表面展开图的“1﹣4﹣1型”的特征，是正方体的表面展开图，因此选项B不符合题意； C．选项C中图形符合正方体表面展开图的“2﹣2﹣2型”的特征，是正方体的表面展开图，因此选项C不符合题意； D．选项D中图形不符合正方体表面展开图的特征，正方体表面展开图中有“2﹣3﹣1型”，不可能是“2﹣1﹣3型”，所以不是正方体的表面展开图，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 9．（2026•馆陶县三模）如图，点P，Q是一正方体展开图上的两个顶点，则顶点P，Q在正方体上的位置标记正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据展开图中顶点P，Q在正方体上的位置，即可得到P，Q在正方形一条棱上的两个端点上． 【解答】解：点P，Q是一正方体展开图上的两个顶点，折叠后P，Q在正方形一条棱上的两个端点上，则顶点P，Q在正方体上的位置标记正确的C选项．而A，B，D选项不合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了正方体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 10．（2025秋•南阳期末）将图1中的正方体剪开，得到的平面展开图可能是图2中的　①③　 ．（填序号） 【分析】根据正方体的展开图逐一判断即可． 【解答】解：①属于“一四一”型正方体展开图，可以折成正方体； ②是凹字形，不能折成正方体； ③属于“二三一”型正方体展开图，可以折成正方体； ④折叠时会有面重叠，不能折成正方体． 所以得到的平面展开图可能是①③． 故将图1中的正方体剪开，得到的平面展开图可能是图2中的①③． 故答案为：①③． 【点评】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图是解题的关键． 11．（2026•惠城区校级一模）已知圆锥的底面半径为7，高为24，则它侧面展开图的面积是　175π　 ． 【分析】根据勾股定理求得母线长，继而根据弧长公式求得弧长，根据圆锥的侧面展开图的面积公式即可求解． 【解答】解：∵圆锥的底面半径为7，高为24， ∴圆锥的母线长， ∵圆锥的侧面积公式为S＝πrl， ∴圆锥侧面展开图的面积＝π×7×25＝175π． 故答案为：175π． 【点评】本题考查几何体的展开图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2025秋•栖霞区校级期末）一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的x表示的数字是　3　 ． 【分析】根据与1相邻的面的数字有2、3、4、6判断出1的对面数字是5，与4相邻的面的数字有1、3、5、6判断出4的对面数字是2，从而确定出3的对面数字是6，再根据图2可得结果． 【解答】解：由图1可知，1的对面数字是5， ∵与4相邻的面的数字有1、3、5、6， ∴4的对面数字是2， ∴3的对面数字是6， ∴x的值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，解题的关键是掌握正方体展开图． 13．（2026•金凤区校级三模）如图，在直角三角形ABC纸片上剪出如图所示的正方体的展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边重合，斜边恰好经过两个正方形的顶点．已知BC＝12cm，则这个展开图中正方形的边长是 　1.5　 cm． 【分析】首先设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，然后延长FE交AC于点D，根据三角函数的性质，可求得AC的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【解答】解：如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm， 延长FE交AB于点D， 则EF＝2xcm，EG＝xcm，DF＝4xcm， ∵DF∥BC， ∴∠EFG＝∠C， ∵tan∠EFG， ∴tan∠C， ∵BC＝12cm， ∴AB＝6cm， ∴AD＝AB﹣BD＝6﹣2x（cm） ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴， 即， 解得：x＝1.5， 即这个展开图围成的正方体的棱长为1.5cm． 故答案为：1.5． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． 14．（2026•仪征市模拟）如图是一个长方体形状的纸质包装盒，它的长、宽、高分别为25cm、15cm、20cm．将该纸袋沿一些棱剪开得到它的平面展开图，则平面展开图的最大周长为 　310　 cm． 【分析】画出周长最大时的展开图，再计算周长即可． 【解答】解：如图，尽可能多的将棱长为25的棱剪开，尽可能多将棱长为15的棱不剪开，周长最大时的展开图如图所示： 此时的周长为25×8+20×4+15×2＝310（cm）． 故答案为：310． 【点评】本题考查几何体的展开图，掌握棱柱展开图的特征是正确解答的关键． 15．（2026•仪征市二模）如图是一个长方体的表面展开图，则这个长方体的体积是ab2 ． 【分析】根据所给展开图，得出长方体的长，宽，高，据此可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 长方体的长，宽，高分别a，b，b， 所以这个长方体的体积是ab2． 故答案为：ab2． 【点评】本题主要考查了几何体的展开图，能根据题意得出长方体的长，宽及高是解题的关键． 16．（2025秋•梁溪区校级期末）如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点A重合的顶点是点I ． 【分析】根据正方体表面展开图的特征，先确定相对面，进而确定相邻面，再得出重合顶点． 【解答】解：如图，由正方体的表面展开图的特征可知， 2与4是相对面；1与5是相对面；3与6是相对面． 点A与点I重合，点B与点H，点F重合，点C与点J重合，点D与点E重合， 故答案为：I． 【点评】本题考查了几何体的展开图，从图中找出相邻面是解题关键． 17．（2025秋•青羊区校级期末）如图，若要使图中的平面展开图折叠成正方形，相对面上两个数相等，则x+y＝　4　 ． 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “1”与“x”是相对面， “3”与“y”是相对面， ∵相对面上两个数相同， ∴x＝1，y＝3， ∴x+y＝1+3＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 18．（2026春•金山区校级月考）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是两种纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若m＝158，求n、x、y的值； 【任务2】求x+y的最大值． 【分析】任务1：33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则6x+5.5y＝33×6，求其整数解，判断x+y的最大值即可． 【解答】解：任务1：由题意得，n＝（33×6﹣158）×2＝80， ， 解得：； 任务2：每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴6x+5.5y＝33×6， ∴整数解为： 或， ∵11+24＝35＞22+12＝34， ∴x+y的最大值为35． 【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 19．（2025秋•牟平区期末）实验中学数学社团开展“制作长方体纸盒”的实践活动． 【知识储备】 （1）如图①～⑥图形中，是正方体的表面展开图的有　①⑤⑥　 （只填写序号）； （2）正方体与长方体都有　6　 个面，　12　 条棱； 【实践操作】 （3）数学社团的师生们利用边长为20cm的正方形纸板，按两种方式制作长方体纸盒．如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个无盖长方体纸盒，则制作成的无盖长方体纸盒的体积是多少？ 如图⑧，先在纸板两角剪去两个同样大小且边长为3cm的小正方形，再在纸板两角剪去两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个有盖的长方体纸盒，则制作成的有盖长方体纸盒的体积是多少？侧面与底面的面积之和是多少？ 【拓展廷伸】 （4）数学社团制作的两种长方体纸盒（无盖和有盖），若沿某些棱剪开，展成一个平面图形，分别至少需要剪开　4　 和　7　 条棱． 【分析】（1）根据正方形展开图所得的面数和上下底与侧面关系即可判断； （2）根据正方体和长方体的性质求解即可； （3）结合图形分别求得各自的长宽高即可得到体积； （4）只要沿着一条侧棱和下底的三条棱剪开即可． 【解答】解：（1）根据正方形展开图所得的面数和上下底与侧面关系可得： ②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故②错误； ③正方体的表面展开图缺失上地面或下底面，侧面有一个面重合， ④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故④错误； 故答案为：①⑤⑥； （2）正方体与长方体都有6个面，12条棱， 故答案为：6；12； （3）无盖盒子的体积为：（20﹣3×2）×（20﹣3×2）×3＝588（cm3）， 有盖盒子的长：20﹣3×2＝14cm，宽为：20÷2﹣3＝7cm，高为：3cm， 有盖盒子的体积为：14×7×3＝294（cm3）， 侧面与底面的面积之和是14×7+（14×3）×2+（3×7）×2＝224（cm2）； （4）无盖：由题意可得：只需要剪一条侧棱和下底的三条棱即可展开，即1+3＝4（条）， 有盖：如图，长方体共有12条棱，展开后还有5条棱没有剪开，所以剪开了7条棱， 故答案为：4；7． 【点评】本题主要考查立体图形的展开，解题的关键是正确记忆相关知识点． 20．（2025秋•榕城区期中）国家为改善中小学生营养状况、促进中小学生发育成长、助力青少年健康成长，实施了“学生饮用奶计划”．学校积极响应国家政策，对寄宿生配置免费午餐奶．在数学活动课上，老师组织同学们对奶盒包装进行了以下探究活动． （1）活动一观察奶盒外包装：如图是学校最终采用某小组设计的奶盒包装盒，在数学活动中，有四个小组提交了如下四种平面展开图，其中“学”、吸管孔以及条形码的相对位置符合包装盒的是C ． （2）活动二预算奶盒费用： 通过调查了解，制作这样一个奶盒需要费用0.5元，现有两家工厂有意向制作奶盒并提出了两种优惠方案．甲厂方案：超过500个，超过部分的奶盒打8折；乙厂方案：超过1000个，超过部分的奶盒打6折；假设学校制作的奶盒数量为x个，且x＞1000． ①若按甲厂方案，需要付款　（0.4x+50）　 元；若按乙厂方案，需要付款　（0.3x+200）　 元．（用含x的代数式表示） ②若学校需要加工2000个奶盒，选择哪个厂家制作更合适？ 【分析】（1）根据长方体展开图的特征进行解答即可得； （2）①若按甲厂方案，500个的单价为0.5元、（x﹣500）个的单价为80%×0.5元；按乙厂方案，1000个的单价为0.5元、（x﹣1000）个的单价为60%×0.5元；由此即可得； ②将x＝2000代入计算即可得． 【解答】解：（1）A、图中吸管孔的位置正好和“学”字在一端，不符合题意； B、图中条形码的位置与奶盒上的位置不同，不符合题意； C、将展开图折叠成一个包装盒后，符合题意； D、图中吸管孔的位置正好和“学”字在一端，不符合题意； 故答案为：C； （2）①若按甲厂方案，需要付款为500×0.5+80%×0.5（x﹣500）＝0.4x+50（元）， 若按乙厂方案，需要付款为1000×0.5+60%×0.5（x﹣1000）＝0.3x+200（元）， 故答案为：（0.4x+50）；（0.3x+200）． ②若学校需要加工2000个奶盒， 甲厂方案需要的费用为0.4x+50＝0.4×2000+50＝850（元）， 乙厂方案需要的费用为0.3x+200＝0.3×2000+200＝800（元）， 因为800＜850， 所以选择乙厂家制作更合适． 【点评】本题考查了长方体的平面展开图、列代数式、代数式求值，正确列出代数式是解题关键． 【模块2】展开图折叠成几何体 （第21—35题） 📌 方法总结： · 根据展开图判断折叠后的几何体类型。 · 确定相对面：相间、Z端是对面。 · 折叠后重合的棱长度相等。 · 注意无盖盒子的展开图缺少一个面。 21．（2026•东莞市校级二模）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据立体图形的展开图、三视图、截面及投影，结合圆锥、圆柱、球体及三角板的几何特征，逐一判断各选项得到的平面图形形状即可． 【解答】解：A选项，圆锥的侧面展开图是扇形，不符合题意； B选项，竖直放置的圆柱的左视图是矩形，符合题意； C选项，球体的截面是圆，不符合题意； D选项，三角板的中心投影是三角形，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查了展开图折叠成几何体，掌握其相关知识点是解题的关键． 22．（2026•紫金县校级二模）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（　　） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【分析】展开图中有两个相同的三角形，是几何体的底面；三个长方形，连接在三角形的边上，是侧面；据此分析判断几何体的形状即可． 【解答】解：根据三棱柱的定义可得：展开图有两个平行的三角形面，且侧面是三个长方形，所以这个几何体是三棱柱， 故选：D． 【点评】本题考查几何体，掌握三棱柱几何体的认识是解题的关键． 23．（2026•古冶区三模）如图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，若再添上①﹣④其中一个面，可以使6个面折成一个完整的正方体，则应添加（　　） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．④号面 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：可以添加④号面，这样符合正方体表面展开图的“1﹣4﹣1型”的特征， 故选：D． 【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 24．（2026•邯山区校级二模）在课题学习中，小明同学用纸板制作了一个如图1所示的无盖正方体包装盒展开图，然后折成如图2所示的无盖正方体盒子放置在桌子上，则贴在桌面上的底面是展开图中的（　　） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．⑤号面 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此得与①号面相对是空的，即可作答． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∵正方体表面展开图“141”型中，与①号面相对是空的， ∴贴在桌子上的底面对应的是展开图的①号面． 故选：A． 【点评】本题考查展开图折叠成几何体，正确记忆相关知识点是解题关键． 25．（2026•沛县三模）明明用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其它空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（　　） A． B． C． D． 【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断． 【解答】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面． 故选：B． 【点评】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题． 26．（2026春•南岗区校级期中）如图，图1是三个直立于水平面上的完全相同的几何体（下底面为圆，单位：cm），将它拼成如图2的新几何体，则新几何体的体积为　180　 cm3（π取3）． 【分析】根据题意得出图2中完整的圆柱的高为6+4＝10cm，由一个完整的圆柱及半个圆柱组成，然后计算即可． 【解答】解：两个几何体可以拼成一个圆柱，根据题意得出图2中完整的圆柱的高为6+4＝10cm， ∴新几何体的体积为：， 故答案为：180． 【点评】题目主要考查圆柱的体积计算，熟练掌握圆柱的体积公式是解题关键． 27．（2026•碑林区校级三模）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为10cm，则折成立方体的棱长为　　 cm． 【分析】设BC＝xcm，则，根据勾股定理得到AE2+AB2＝BE2，列出方程求解即可． 【解答】解：如图，∵正方形硬纸板的边长为10cm， 设BC＝xcm， ∴AB＝AE＝（10﹣x）cm， ∵CD＝BC＝x（cm）， ∴BDx（cm）， ∴BE＝4x（cm）， ∴在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE2+AB2＝BE2， ∴， 解得：x＝2或（舍去）， ∴正方体的棱长为BDx＝2（cm）． 故答案为：2． 【点评】本题考查了立体图形的展开图，勾股定理的应用，正确认识图形是解题的关键． 28．（2025秋•碑林区校级期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中AB＝2厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是　方案2　 ． 【分析】根据裁剪的方法，求出每一种裁剪方案所折叠成长方体纸盒的容积即可． 【解答】解：方案1可以折叠成长为20﹣（）×2＝10cm，宽为5cm，高为2cm的长方体，因此体积为10×5×2＝100cm3， 方案2可以折叠成长为8cm，宽为12﹣2＝10cm，高为2cm的长方体，因此体积为10×8×2＝160cm3， 方案3可以折叠成长为9cm，宽为12﹣2×2＝8cm，高为2cm的长方体，因此体积为9×8×2＝144cm3， 所以方案2长方体的容积最大， 故答案为：方案2． 【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 29．（2025秋•南安市期末）在课题学习中，老师要求用长为36厘米，宽为24厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形ABCD是正方形，折成纸盒的容积为v甲； 乙：如图2，盒子底面的四边形ABCD是正方形，折成纸盒的容积为v乙； 丙：如图3，盒子底面的四边形ABCD是长方形，且AB＝3AD，折成纸盒的容积为v丙． 将这三位同学折成的无盖纸盒的容积v甲、v乙、v丙按从小到大的顺序排列为v乙＜v丙＜v甲 ． 【分析】分别求出每一种裁剪折叠后所得到几何体的长、宽、高，进而求出相应的体积即可． 【解答】解：按照图1裁剪折叠，由于盒子底面的四边形ABCD是正方形， 这个纸盒的底面边长为36÷4＝9cm， 高为24﹣9＝15cm， 因此容积为v甲＝9×9×15＝1215（cm3）， 按照图2裁剪折叠，由于盒子底面的四边形ABCD是正方形， 这个纸盒的底面边长为24÷4＝6cm， 高为36﹣6＝30cm， 因此容积为v甲＝6×6×30＝1080（cm3）， 按照图3裁剪折叠，盒子底面的四边形ABCD是长方形，AB＝3AD， 设这个长方形的边AD＝xcm，则AB＝3xcm， 由题意可得，3x+x＝18， 解得x＝4.5， 即底面长方形的长13.5cm，宽为4.5cm， 此时折叠成长方体的高24﹣4.5＝19.5cm， 因此容积为v甲＝13.5×4.5×19.5＝1184.625（cm3）， ∵1080＜1184.625＜1215， ∴v乙＜v丙＜v甲． 故答案为：v乙＜v丙＜v甲． 【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体、正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 30．（2025秋•莱州市期末）如图（1），在边长为18cm的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为4cm，则这样折成的无盖长方形的容积是　400　 cm3． 【分析】根据折叠成的长方体的长、宽、高，由长方体的容积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：所折成的无盖长方体纸盒的底面是边长为18﹣4﹣4＝10cm的正方形，高为4cm，因此容积为10×10×4＝400（cm3）， 故答案为：400． 【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征以及长方体容积的计算方法是正确解答的关键． 31．（2025秋•原阳县校级期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 A ． 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【解答】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故答案为：A． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 32．（2026•临平区二模）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为10cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤将滤纸对折两次； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π） 【分析】（1）证△CDE∽△CAB即可得证； （2）利用圆锥体积公式计算即可． 【解答】解：（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下， 方法一：如图作出示意图，由题意知，AB＝AC＝BC＝7cm， 折叠后CD＝CE10＝5（cm）， ∵底面周长10π＝5π（cm）， ∴DE•π＝5πcm， ∴DE＝5cm， ∴， ∴△CDE∽△CAB， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁． 方法二：由2πr得，， 图3中，n1＝90°×2＝180°， 图4中，， ∴n2＝180°， ∵n1＝n2， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁． （2）由（1）知CD＝DE＝CE＝5cm， ∴∠CDE＝60°， 过C作CF⊥DE于点F，则DFDEcm， 在Rt△CDF中，CFcm， ∴Vπr2h＝π•（）2π（cm3）． 答：圆锥形的体积是π cm3． 【点评】本题主要考查了圆锥的计算、相似三角形判定、勾股定理等知识，正确读懂题意和掌握圆锥体积公式是解题关键． 33．（2025秋•西夏区期末）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 　②　 ；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为 　（4a﹣8b）　 cm（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果a＝30cm，b＝5cm．则该长方体纸盒的体积为 　1000　 cm3． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，（它缺一个长为6cm，宽为4cm的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为3×8+4×2+6×2＝44cm．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【解答】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：②； （2）①解：由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为（a﹣2b）cm， ∴长方体纸盒的底面周长为4（a﹣2b）＝（4a﹣8b）cm， 故答案为：（4a﹣8b）； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为a﹣2b＝30﹣2×5＝20cm，高为b＝5cm，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为20×10×5＝1000cm3， 故答案为：1000； （3）解：由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图， 所以该长方体表面展开图的最大外围周长为6×6+4×4+3×2＝58cm． 【点评】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 34．（2025秋•连南县期末）综合与实践 【阅读材料】 清远鸡是清远市“五大百亿”农产品之一，以其肉质鲜嫩、风味独特而闻名遐迩．某包装公司为提升清远鸡的包装环保性，计划利用正方形纸板制作无盖长方体纸盒子盛放清远鸡．现有正方形纸板一张，边长为60cm．制作方法如下：在纸板的四个角各剪去一个边长为hcm的小正方形（如图1），然后沿着虚线折叠成一个无盖长方体纸盒子盛放清远鸡（如图2）． 为了制作尽可能大的无盖长方体盒子，无盖长方体盒子的高度h按整数值从小到大变化，相应长方体形盒子的容积如下表： 剪去小正方形的边长h/cm 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 容积V/cm3 8748 12500 14812 15876 15884 15028 13500 11492 9196 6804 （1）观察表中数据，随着高度h的增大，容积V有怎样的变化规律？ （2）改变h的值，你能得到比上表中的容积更大的无盖长方体盒子吗？若能，请写出h的值并说明理由． 【分析】（1）根据表中的数据即可得到结论； （2）根据长方体的体积公式求解即可． 【解答】解：（1）由表中数据可知，随着高度h的增大，容积V先增大，后减小； （2）改变h的值，能得到比上表中的容积更大的无盖长方体盒子， 当h＝10时，能得到比上表中的容积更大的无盖长方体盒子，理由如下： 当h＝10时，V＝（60﹣10﹣10）×（60﹣10﹣10）×10＝16000， ∵16000＞15884， ∴当h＝10时，能得到比上表中的容积更大的无盖长方体盒子． 【点评】本题主要考查了长方体的体积计算，熟知长方体的体积公式是解题的关键． 35．（2025秋•仁寿县期末）（项目学习•探究包装盒的制作）根据材料，完成任务． 项目主题 设计经济适用的包装盒 项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒．现有一个长48cm，宽36cm的长方形硬纸板．（纸板厚度忽略不计） 素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形ABCD是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒． 素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒． 任务1 计算长方体包装盒的容积？ 任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？（π取3） 任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？（π取3） 【分析】任务1：根据长方体的体积公式求解； 任务2：先求出圆柱的底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式求解； 任务3：计算纸板材料阴影部分的面积，比较大小，即可求解． 【解答】解：任务1， 容积为（36÷4）2×（48﹣36÷4×2）＝2430（cm3）， 任务2，容积变大； 理由：设半径为rcm， ∴2πr＝36， ∴直径为12cm， ∴高为48﹣2×12＝24（cm）， ∴圆柱形包装盒的容积为：πr2×24≈3×62×24＝2592（cm3）， ∴容积变大． 任务3，图1中的阴影部分面积为9×9×3＝243（cm2）， 则包装盒的表面积为：48×36﹣243＝1485（cm2）， 图2中的阴影部分面积为2×12×36﹣2×π×62＝648（cm2）， 包装盒的表面积为：48×36﹣648＝1080（cm2）， ∴红红的方案节省材料． 【点评】本题考查了长方体的体积，圆柱的体积．熟练掌握以上知识点是关键． 【模块3】创新及压轴题 （第36—38题） 📌 方法总结： · 综合运用展开图、体积、表面积等知识。 · 实际问题中注意材料利用率。 · 多方案比较，选择最优设计。 36．（2025秋•栖霞市期末）综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为a（cm）的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为8cm、5cm、4cm进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为4×8+5×2+2×8＝58cm．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法． 任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是 　②　 （填序号）． 任务二 由材料二可知，如果a＝20cm，b＝4cm，图1长方体纸盒的底面周长为 　48　 cm，体积为 　576　 cm3． 图2的设计中，如果a＝48cm，b＝8cm，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【分析】任务一：根据无盖正方体纸盒的展开图求解即可； 任务二：①根据正方形周长公式即可得解；根据长方体的体积公式即可得解； 任务三：根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【解答】解：任务一：根据无盖正方体纸盒的展开图特征可知： 不是无盖正方体盒子的表面展开图的是②， 故答案为：②； 任务二：图1长方体纸盒的底面周长为：48cm，体积为：576cm3． 故答案为：48，576； 图2的设计中，该长方体纸盒的体积为：， 当a＝48cm，b＝8cm时，该长方体纸盒的体积为：8×（24﹣8）×（48﹣16）＝4096（cm3）， 故答案为： 任务三：该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图如下： 周长为：4×2+5×4+8×6＝76cm． 【点评】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 37．（2025秋•南关区校级期中）根据以下素材，探索完成任务： 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小琴家想要设置的储物盒样式，放置它的区域可以近似看成一个长方体，区域底面尺寸如图2所示． 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为a（cm）（a＜50）的长方形纸板． 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒（如图5）． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒（如图6）． 目标1 熟悉材料 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全填满储物区域底面，则长方形纸板的宽a为　40　 cm． 目标2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，求当储物盒的底面周长为132cm时储物盒的高． 储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面周长80cm．家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否按图示的姿态完全放入储物盒． 【分析】（1）根据图2中储物盒放置区域底面长为40cm，即可求出长方形纸板①四角截去的小正方形的边长，由此再根据几何关系即可求出a； （2）设角上裁去的四个小正方形边长为xcm，用x表示储物盒的底面长和宽，根据底面周长列出方程，解方程求出x即可求得储物盒的高； （3）设角上截去的四个小长方形的宽为xcm，长为ycm，表示出折叠后的储物和长宽高，根据几何关系列出方程组，求解方程组得到x和y的值，从而求出储物盒的长宽高，与机械狗的长宽高进行比较即可进行判断． 【解答】解：（1）图2中储物区域底面长为40cm，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则①中的四角裁去小正方形的边长为（50﹣40）÷2＝5cm， 则a＝储物盒的宽+小正方形的边长×2＝30+5×2＝40cm． 故答案为：40； （2）已知a＝40，储物盒底面周长为132cm，设角上裁去的4个小正方形边长为xcm，0＜x＜20， 则[（50﹣2x）+（40﹣2x）]×2＝132，解得x＝6， ∴储物盒的高为6cm； （3）设角上截去的四个小长方形的宽为xcm，长为ycm，折叠后的储物盒如图： ， 则， 解得， ∴，， ∴制作的储物盒的高为cm，底面长为cm，宽为cm， 玩具机械狗长21cm，宽15cm，高18cm，，，， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 【点评】本题考查一元一次方程、二元一次方程组，属于中档题． 38．（2025秋•南山区校级期中）远光某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①﹣⑥图形中，是正方体的表面展开图的有　①⑤⑥　 （只填写序号）． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为20cm的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子（图⑦为无盖的长方体纸盒，图⑧为有盖的长方体纸盒）． 【问题1】根据图⑦方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形，再沿虚线折合起来．则无盖长方体纸盒的体积为　588　 cm3； 【问题2】根据图⑧方式制作一个有盖的长方体纸盒 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则有盖长方体纸盒的体积为　294　 cm3； 【拓展探究】 （3）若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形． ①请直接写出你剪开　7　 条棱； ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长．请你画出外围周长最小时该长方体形盒子表面展开图并标上相应的数据． 【分析】（1）根据正方形展开图所得的面数和上下底与侧面关系即可解答； （2）结合图形分别求得各自的长宽高即可得到体积； （3）①只要沿着一条侧棱和下底的三条棱剪开即可； ②根据长方体形盒子得长宽高求得其周长的代数式，结合代数的特点再进行计算． 【解答】解：（1）②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故②错误； ③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合， ④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故④错误； ∴如图①﹣⑥图形中，是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； 故答案为：①⑤⑥； （2）问题1：底边长＝20﹣3×2＝14（cm）， 无盖盒子的体积为：（20﹣3×2）×（20﹣3×2）×3＝588（cm3）； 故答案为：588； 问题2：有盖盒子的长：20﹣3×2＝14cm，宽为：20÷2﹣3＝7cm，高为：3cm， 有盖盒子的体积为：14×7×3＝294（cm3）； 故答案为：294； （3）①如图，长方体共有12条棱，展开后还有5条棱没有剪开，所以剪开了7条棱， 故答案为：7； ②设长方体长为a，宽为b，高为c，则长方体形盒子展开图的周长C＝（2a+2c+b+2c）×2＝4a+8c+2b， 想要周长最小，只需要b最大，c最小，此时a＝2，b＝2.5，c＝1.5，则最小周长为4×2+8×1.5+2×2.5＝25． 画出外围周长最小时该长方体形盒子表面展开图并标上相应的数据如下： 【点评】本题主要考查立体图形的展开图、列代数式、代数式求值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026•黑龙江校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，若正方体的展开图恰好放置在△ABC内，则sinA的值为　　 ． 【分析】由平行关系得出∠DFE＝∠C＝90°，∠A＝∠EDF，用勾股定理计算出DE，最后根据正弦函数的定义求解． 【解答】解：如图， 由题意知，DF∥AC，EF∥BC， ∴∠A＝∠EDF，∠DFE＝∠C＝90°， 令DF＝2，EF＝1， 则， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查几何体的展开图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习2】（2026•宁夏模拟）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，已知等边三角形的边长是2cm，大长方形的长是6cm，宽是4cm，则该几何体的体积是　　 cm3． 【分析】根据题意，求出该几何体的体积即可． 【解答】解：由所给展开图可知， 这个几何体是一个三棱柱且底面是边长为2cm的等边三角形，高为4cm， 所以该几何体的体积是：（cm3）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了几何体的展开图，熟知几何体的展开与折叠是解题的关键． 【练习3】（2025秋•和平区校级期末）请你相信“努力总会发光!”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“总”相对的是　光　 ． 【分析】根据正方体的侧面展开图的“相间、Z端是对面”进行解答即可． 【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“总”与“光”是对面， 故答案为：光． 【点评】本题主要考查正方体的相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的侧面展开图特征是解题的关键． 【练习4】（2026春•浦东新区校级月考）蒙古包，蒙古族传统的住所，承载浓厚的文化和历史底蕴．蒙古包上面是圆锥形，下面是圆柱形．如图，一个蒙古包圆柱底面的周长是20π米，高是2米，圆锥的高是1.2米． （1）蒙古包上面圆锥部分的侧面展开图是　扇形　 （填图形名称）下面圆柱部分侧面展开图是　矩形　 （填图形名称），圆柱部分的侧面展开图的面积是　40π　 平方米． （2）这个蒙古包的体积是多少立方米？ 【分析】（1）根据圆柱和圆锥的侧面展开图得出结论，再根据圆柱的侧面积公式计算圆柱的侧面积； （2）先根据圆柱的底面周长求出圆柱的底面半径，再根据圆柱和圆锥的体积公式计算即可． 【解答】解：（1）圆锥的侧面展开图是扇形，圆柱的侧面展开图是矩形； 圆柱部分的侧面展开图的面积是20π×2＝40π（m2）， 故答案为：扇形，矩形，40π； （2）∵圆柱底面的周长是20π m， ∴圆柱底面半径为：r＝20π÷π÷2＝10（m）， ∴圆柱的体积：πr2×2＝π×100×2＝200π（m3）， 圆锥的体积：πr2×1.2÷3＝π×120÷3＝40π（m3）， ∴蒙古包的体积为200π+40π＝240π（m3）． 故蒙古包的体积为240πm3． 【点评】本题考查几何体的展开图，圆柱的体积和圆锥的体积，关键是掌握几何体的展开图． 【练习5】（2025秋•永新县期末）分别在图1、图2、图3中补画一块正方形，使之能围成一个正方体． 【分析】根据正方体的11种展开图进行求解即可． 【解答】解：（各画出一种即可，答案不唯一）， 【点评】本题主要考查了正方体的展开图，掌握正方体的11种展开图是解答本题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ·熟记展开图类型：掌握正方体的11种展开图，以及圆柱、圆锥、棱柱的展开图特征。 ·巧用口诀："一线不过四，田凹应弃之"；"相间、Z端是对面"。 ·动手操作：遇到复杂展开图时，可动手折叠或画图帮助理解。 ·注意尺寸关系：圆柱侧面矩形长=底面周长，圆锥扇形弧长=底面周长。 ·联系实际：将展开图知识应用于纸盒制作、包装设计等实际问题。 【作业1】（2026•南山区校级开学）一个三角形铁丝框架的周长是12cm，把它的三条边展开，下面可能是这个三角形三条边的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形三边的关系进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为4+2＝6，3+2＜7，3+3＝6，5+2＞5， 所以只有D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了几何体的展开图，熟知三角形三边的关系是解题的关键． 【作业2】（2026•白云区模拟）如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图． 【解答】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形， ∴展开图可得此几何体为圆柱． 故选：A． 【点评】此题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力． 【作业3】（2026•广阳区模拟）将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3，利用三角形的三边关系求解即可． 【解答】解：由题意，得折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3， 由三角形的三边关系，得3﹣3＜m＜3+3，解得0＜m＜6， ∴m的值不可能为6． 故选：A． 【点评】本题考查几何体的展开图，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【作业4】（2026春•青浦区校级期末）如图，把圆柱的侧面沿虚线展开，得到了平行四边形的底和高，下列说法正确的是（　　） A．底长为3π，高为10 B．底长为6π，高为10 C．底长为9π，高为10 D．底长为6π，高大于10 【分析】根据圆柱体侧面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：由题意可知，平行四边形的底相当于圆柱的底面周长，即2π×3＝6π，平行四边形的高相当于圆柱的高，即为10， 故选：B． 【点评】本题考查几何体的展开图，掌握圆柱体侧面展开图的特征是正确解答的关键． 【作业5】（2025秋•朔州期末）下列图形中不是正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，选项C中的图形不是正方体的表面展开图，选项A中的图形符合正方体表面展开图的“1﹣4﹣1型”特征，选项B中的图形符合正方体表面展开图的“2﹣2﹣2型”特征，选项D中的图形符合正方体表面展开图的“3﹣3型”特征，′它们都是正方体的表面展开图， 故选：C． 【点评】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 【作业6】（2026•邢台二模）已知图1所示的平面图形可以折叠成图2所示的正方体，则小正方形P的图案是（　　） A． B． C． D． 【分析】在本题的解决过程中，学生可以通过动手进行具体折纸、翻转活动作答． 【解答】解：观察图形可知，小正方形P的图案是． 故选：D． 【点评】本题以小立方体的展开图为背景，考查学生对立体图形展开图的认识．本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．另外，本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样一个教学导向，教学中要让学生确实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平． 【作业7】（2026春•香坊区校级期中）用长为20πcm，宽为16πcm的长方形围成一个圆柱，底面圆的半径为　10或8　 cm． 【分析】由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高；长方形的长可能是20π厘米，也可能是16π厘米，从而可以算出两种情况下的底面圆半径． 【解答】解：2种情况：16π÷（2×π）＝8（cm）， 20π÷（2×π）＝10（cm）， 答：底面圆的半径为10cm或8cm； 故答案为：10或8． 【点评】本题考查了圆柱的侧面展开图，解答此题的关键是明白：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高． 【作业8】（2026•遂宁一模）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 　8　 立方分米． 【分析】根据正方体的性质求出棱长，再根据正方体的体积公式求解． 【解答】解：根据正方体的性质得：正方体的棱长为：55＝2， ∴这个礼品盒的体积为：23＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考出来几何体份展开图，掌握正方体的性质和体积公式是解题的关键． 【作业9】（2025秋•泗洪县期末）如图，图（乙）是正方体图（甲）沿棱展开得到的平面展开图，点A、B、C是展开过程中对应点，则图（乙）中黑点在图（甲）中对应的字母是D ． 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：由正方体表面展开图的特征可知，图（乙）是正方体图（甲）沿棱展开得到的平面展开图，点A、B、C是展开过程中对应点，则图（乙）中黑点在图（甲）中对应的字母是D． 故答案为：D． 【点评】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 【作业10】（2025秋•莱西市期末）如图是一张长方形纸板ABCD，AB＝28cm，AD＝20cm，图中阴影部分是两个完全相同的长方形，EF与GH的长都等于BE长的两倍．若将图中阴影部分剪去，剩余部分纸板按适当方式进行折叠，纸板无任何重叠，恰好可以折叠成一个无盖长方体形纸盒，若不考虑纸板的厚度，则纸盒的容积为　400或　 cm3． 【分析】围成的无盖长方体高是BE和AH，EF和GH为长，FG为宽，而 FM和GN是折下来的上底长与长方体高之和，据此设BE＝xcm，列方程求解即可． 【解答】解：设BE＝xcm，则EF＝GH＝2xcm， 已知长方形纸板AD＝20cm， 折叠后长方体的长为EF＝GH＝2xcm，折叠后长方体的高为AH＝BE＝xcm，NG＝DH＝（20﹣x）cm， 已知AB＝28cm， 折叠后长方体的宽为FG＝28﹣2×（2x）＝（28﹣4x）cm， 根据折叠方式可得FM＝GN＝GH+AH或GH﹣NGMN， 即：20﹣x＝2x+x或2x﹣（20﹣x）（28﹣4x）， 解得：x＝5或， ∴V＝FG•BE•GH＝8×5×10＝400（cm3）或V＝FG•BE•GH（cm3）， 故答案为：400或． 【点评】本题考查展开和折叠，方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 【作业11】（2025秋•通州区期末）如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，写出一个符合题意的序号是　⑥（或②或③或④）（答案不唯一）　 ，可以涂黑的小正方形的位置一共有　4　 处． 【分析】分析正方体展开图的结构，常见类型如“1﹣4﹣1”，“3﹣3”，“1﹣3﹣2”，“2﹣2﹣2”等，观察已有 5 个涂黑小正方形的布局，逐一判断空白小正方形的位置即可． 【解答】解：再涂黑的小正方形的位置可以是⑥组成“3﹣3”型， 再涂黑的小正方形的位置可以是②或③或④组成“1﹣3﹣2”型， 综上分析，共有4处． 故答案为：⑥（或②或③或④）（答案不唯一）；4． 【点评】本题考查了几何图形的初步，熟练掌握正方体的平面展开图是解题的关键． 【作业12】（2025秋•峡江县期末）如图，某小纸盒的展开图如下，根据图中的数据解答如下问题． （1）请用含a和x的式子表示这个小纸盒的展开图的面积； （2）当a＝7厘米时，面积为100平方厘米，求x的值． 【分析】（1）先用代数式表示六个面的面积，然后再求和即可； （2）把a＝7代入4x+2ax+4a＝100，然后解方程求解即可． 【解答】解：（1）展开图面积为：2×2x+2•ax+2×2a＝（4x+2ax+4a）cm2． （2）把a＝7代入4x+2ax+4a＝100，得 4x+14x+28＝100， 解得：x＝4． 【点评】本题考查几何体的展开图，列代数式，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业13】（2026春•安远县校级期末）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若m＝158，求n，x，y的值； 【任务2】求x+y的最大值． 【分析】任务1：33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则6x+5.5y＝33×6，求其整数解，判断x+y的最大值即可． 【解答】解：任务1：由题意得，n＝（33×6﹣158）×2＝80， 根据题意得：， 解得：， ∴n的值为80，x的值为22，y的值为12； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴6x+5.5y＝33×6， ∴整数解为：或或或， ∵11+24＝35，22+12＝34，0+36＝36，33+0＝33， ∴36＞35＞34＞33， ∴x+y的最大值为36． 【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 【作业14】（2025秋•崂山区校级月考）如图，如图1是一张长为20cm，宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图2），请回答下列问题： （1）折成的无盖长方体盒子的长为　（20﹣2x）　 cm，宽为　（12﹣2x）　 cm，容积为x（20﹣2x）（12﹣2x）　 cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简） （2）当x＝3时，求此时铁皮盒的容积； （3）若折成的铁皮盒底面为长方形，其长与宽的比是2：1，求x的值． 【分析】（1）根据裁剪．折叠可得无盖长方体盒子的长、宽、高，进而可以计算容积； （2）根据（1）中的容积结论，代入x＝3即可求解容积； （3）根据（1）中的长和宽的代数式，利用比例关系求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，无盖长方体盒子的长为（20﹣2x）cm，无盖长方体盒子的宽为（12﹣2x）cm， ∵四个角都剪去小正方形， ∴折叠后无盖长方体盒子的高为xcm， ∴容积为x（20﹣2x）（12﹣2x）cm3， 故答案为：（20﹣2x），（12﹣2x），x（20﹣2x）（12﹣2x）； （2）由（1）得：容积为x（20﹣2x）（12﹣2x）， 当x＝3时，容积为3×14×6＝252cm3， ∴此时铁皮盒的容积为252cm3； （3）∵折成的铁皮盒底面为长方形，其长与宽的比是2：1， ∴20﹣2x＝2（12﹣2x）， 解得：x＝2 ∴x的值为2． 【点评】本题主要考查列代数式、长方体的体积计算，根据题意列代数式是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.3 立体模型的制作 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解几何体的展开图：掌握正方体、圆柱、圆锥、棱柱等常见几何体的表面展开图特征。 · 掌握展开图折叠成几何体：能根据展开图判断折叠后的几何体形状，并确定相对面位置。 · 学会计算展开图相关量：能根据展开图计算几何体的表面积、体积、侧面积等。 · 培养空间想象能力：通过展开与折叠的逆向思维，建立平面与立体的对应关系。 · 应用与实践：能将展开图知识应用于实际问题（如制作纸盒、包装设计等）。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点1：常见立体图形的平面展开图 正方体的表面展开图如下： ☆知识点2：立体图形的模型制作 1.活动目的 通过由三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程，体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系. 2.工具准备 刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板等 3.具体活动 制作圆锥 如图，已知一个立体图形的三视图（图中单位：cm）. （1）请描述该立体图形的形状； （2）画出该立体图形的平面展开图; （3）用硬纸板制作该立体图形的模型 解:(1)由于该立体图形的主视图是一个等腰三角形,左视图是一个等腰三角形,俯视图是一个圆,可以想象这个立体图形是一个底面直径为 ,母线为 的圆锥. (2)如图1,等腰三角形的两腰是圆锥的母线 ,等腰三角形底边是圆锥底面圆的直径 设该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为 ,那么由 ,得 根据以上数据,可画出这个立体图形的平面展开图,如图2. (3)在一张硬纸板上,按照 , 的实际尺寸,画出该立体图形的平面展开图:包含一个扇形 和一个圆 (如图2).分别将它们剪下,然后以 为起始边,将扇形 卷成一个圆锥面,使扇形半径 与 重合.然后用透明胶带粘贴圆 的底面接缝,这样就达到了制作该立体图形模型的要求,具体立体图形的模型如图1. 活动总结:先通过三视图描述立体图形的形状,并通过三视图中的数据明确立体图形的关键长度及角度,再画出立体图形的平面展开图,然后将其复刻在硬纸板上并剪下,最后将其折叠成立体图形. 例题精讲 ·3大模块精讲 【模块1】几何体的展开图 （第1—20题） 📌 方法总结： · 熟记常见几何体展开图的形状特征。 · 正方体展开图可用口诀"一线不过四，田凹应弃之"判断。 · 圆柱侧面展开为矩形，圆锥侧面展开为扇形。 · 注意展开图中各部分的对应关系。 1．（2026•南山区校级开学）如图，下边的展开图与正方体相符的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•莆田校级期末）下列图形中不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•乾县模拟）如图是一个几何体表面的展开图，这个几何体是（　　） A．七棱柱 B．五棱柱 C．长方体 D．圆锥 4．（2026春•闵行区校级期末）一个圆柱的底面半径和高之比为1：2π，下面是这个圆柱侧面展开图的是（　　） A． B． C． D． 5．（2026•余庆县二模）如果一个几何体的侧面展开图如图所示，则它是下列哪个几何体（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•栖霞区校级期末）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 7．（2026•龙凤区三模）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（　　） A．π B． C． D． 8．（2025秋•邹城市期末）下列图形中，不是正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 9．（2026•馆陶县三模）如图，点P，Q是一正方体展开图上的两个顶点，则顶点P，Q在正方体上的位置标记正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025秋•南阳期末）将图1中的正方体剪开，得到的平面展开图可能是图2中的　 　 ．（填序号） 11．（2026•惠城区校级一模）已知圆锥的底面半径为7，高为24，则它侧面展开图的面积是　 　 ． 12．（2025秋•栖霞区校级期末）一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的x表示的数字是　 　 ． 13．（2026•金凤区校级三模）如图，在直角三角形ABC纸片上剪出如图所示的正方体的展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边重合，斜边恰好经过两个正方形的顶点．已知BC＝12cm，则这个展开图中正方形的边长是 　 　 cm． 14．（2026•仪征市模拟）如图是一个长方体形状的纸质包装盒，它的长、宽、高分别为25cm、15cm、20cm．将该纸袋沿一些棱剪开得到它的平面展开图，则平面展开图的最大周长为 　 　 cm． 15．（2026•仪征市二模）如图是一个长方体的表面展开图，则这个长方体的体积是　 　 ． 16．（2025秋•梁溪区校级期末）如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点A重合的顶点是点　 　 ． 17．（2025秋•青羊区校级期末）如图，若要使图中的平面展开图折叠成正方形，相对面上两个数相等，则x+y＝　 　 ． 18．（2026春•金山区校级月考）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是两种纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若m＝158，求n、x、y的值； 【任务2】求x+y的最大值． 19．（2025秋•牟平区期末）实验中学数学社团开展“制作长方体纸盒”的实践活动． 【知识储备】 （1）如图①～⑥图形中，是正方体的表面展开图的有　 　 （只填写序号）； （2）正方体与长方体都有　 　 个面，　 　 条棱； 【实践操作】 （3）数学社团的师生们利用边长为20cm的正方形纸板，按两种方式制作长方体纸盒．如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个无盖长方体纸盒，则制作成的无盖长方体纸盒的体积是多少？ 如图⑧，先在纸板两角剪去两个同样大小且边长为3cm的小正方形，再在纸板两角剪去两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个有盖的长方体纸盒，则制作成的有盖长方体纸盒的体积是多少？侧面与底面的面积之和是多少？ 【拓展廷伸】 （4）数学社团制作的两种长方体纸盒（无盖和有盖），若沿某些棱剪开，展成一个平面图形，分别至少需要剪开　 　 和　 　 条棱． 20．（2025秋•榕城区期中）国家为改善中小学生营养状况、促进中小学生发育成长、助力青少年健康成长，实施了“学生饮用奶计划”．学校积极响应国家政策，对寄宿生配置免费午餐奶．在数学活动课上，老师组织同学们对奶盒包装进行了以下探究活动． （1）活动一观察奶盒外包装：如图是学校最终采用某小组设计的奶盒包装盒，在数学活动中，有四个小组提交了如下四种平面展开图，其中“学”、吸管孔以及条形码的相对位置符合包装盒的是　 　 ． （2）活动二预算奶盒费用： 通过调查了解，制作这样一个奶盒需要费用0.5元，现有两家工厂有意向制作奶盒并提出了两种优惠方案．甲厂方案：超过500个，超过部分的奶盒打8折；乙厂方案：超过1000个，超过部分的奶盒打6折；假设学校制作的奶盒数量为x个，且x＞1000． ①若按甲厂方案，需要付款　 　 元；若按乙厂方案，需要付款　 　 元．（用含x的代数式表示） ②若学校需要加工2000个奶盒，选择哪个厂家制作更合适？ 【模块2】展开图折叠成几何体 （第21—35题） 📌 方法总结： · 根据展开图判断折叠后的几何体类型。 · 确定相对面：相间、Z端是对面。 · 折叠后重合的棱长度相等。 · 注意无盖盒子的展开图缺少一个面。 21．（2026•东莞市校级二模）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是（　　） A． B． C． D． 22．（2026•紫金县校级二模）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（　　） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 23．（2026•古冶区三模）如图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，若再添上①﹣④其中一个面，可以使6个面折成一个完整的正方体，则应添加（　　） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．④号面 24．（2026•邯山区校级二模）在课题学习中，小明同学用纸板制作了一个如图1所示的无盖正方体包装盒展开图，然后折成如图2所示的无盖正方体盒子放置在桌子上，则贴在桌面上的底面是展开图中的（　　） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．⑤号面 25．（2026•沛县三模）明明用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其它空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（　　） A． B． C． D． 26．（2026春•南岗区校级期中）如图，图1是三个直立于水平面上的完全相同的几何体（下底面为圆，单位：cm），将它拼成如图2的新几何体，则新几何体的体积为　 　 cm3（π取3）． 27．（2026•碑林区校级三模）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为10cm，则折成立方体的棱长为　 　 cm． 28．（2025秋•碑林区校级期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中AB＝2厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是　 　 ． 29．（2025秋•南安市期末）在课题学习中，老师要求用长为36厘米，宽为24厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形ABCD是正方形，折成纸盒的容积为v甲； 乙：如图2，盒子底面的四边形ABCD是正方形，折成纸盒的容积为v乙； 丙：如图3，盒子底面的四边形ABCD是长方形，且AB＝3AD，折成纸盒的容积为v丙． 将这三位同学折成的无盖纸盒的容积v甲、v乙、v丙按从小到大的顺序排列为　 　 ． 30．（2025秋•莱州市期末）如图（1），在边长为18cm的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为4cm，则这样折成的无盖长方形的容积是　 　 cm3． 31．（2025秋•原阳县校级期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 　 　 ． 32．（2026•临平区二模）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为10cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤将滤纸对折两次； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π） 33．（2025秋•西夏区期末）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 　 　 ；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为 　 　 cm（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果a＝30cm，b＝5cm．则该长方体纸盒的体积为 　 　 cm3． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，（它缺一个长为6cm，宽为4cm的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为3×8+4×2+6×2＝44cm．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 34．（2025秋•连南县期末）综合与实践 【阅读材料】 清远鸡是清远市“五大百亿”农产品之一，以其肉质鲜嫩、风味独特而闻名遐迩．某包装公司为提升清远鸡的包装环保性，计划利用正方形纸板制作无盖长方体纸盒子盛放清远鸡．现有正方形纸板一张，边长为60cm．制作方法如下：在纸板的四个角各剪去一个边长为hcm的小正方形（如图1），然后沿着虚线折叠成一个无盖长方体纸盒子盛放清远鸡（如图2）． 为了制作尽可能大的无盖长方体盒子，无盖长方体盒子的高度h按整数值从小到大变化，相应长方体形盒子的容积如下表： 剪去小正方形的边长h/cm 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 容积V/cm3 8748 12500 14812 15876 15884 15028 13500 11492 9196 6804 （1）观察表中数据，随着高度h的增大，容积V有怎样的变化规律？ （2）改变h的值，你能得到比上表中的容积更大的无盖长方体盒子吗？若能，请写出h的值并说明理由． 35．（2025秋•仁寿县期末）（项目学习•探究包装盒的制作）根据材料，完成任务． 项目主题 设计经济适用的包装盒 项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒．现有一个长48cm，宽36cm的长方形硬纸板．（纸板厚度忽略不计） 素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形ABCD是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒． 素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒． 任务1 计算长方体包装盒的容积？ 任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？（π取3） 任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？（π取3） 【模块3】创新及压轴题 （第36—38题） 📌 方法总结： · 综合运用展开图、体积、表面积等知识。 · 实际问题中注意材料利用率。 · 多方案比较，选择最优设计。 36．（2025秋•栖霞市期末）综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为a（cm）的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为8cm、5cm、4cm进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为4×8+5×2+2×8＝58cm．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法． 任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是 　 　 （填序号）． 任务二 由材料二可知，如果a＝20cm，b＝4cm，图1长方体纸盒的底面周长为 　 　 cm，体积为 　 　 cm3． 图2的设计中，如果a＝48cm，b＝8cm，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 37．（2025秋•南关区校级期中）根据以下素材，探索完成任务： 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小琴家想要设置的储物盒样式，放置它的区域可以近似看成一个长方体，区域底面尺寸如图2所示． 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为a（cm）（a＜50）的长方形纸板． 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒（如图5）． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒（如图6）． 目标1 熟悉材料 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全填满储物区域底面，则长方形纸板的宽a为　 　 cm． 目标2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，求当储物盒的底面周长为132cm时储物盒的高． 储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面周长80cm．家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否按图示的姿态完全放入储物盒． 38．（2025秋•南山区校级期中）远光某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①﹣⑥图形中，是正方体的表面展开图的有　 　 （只填写序号）． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为20cm的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子（图⑦为无盖的长方体纸盒，图⑧为有盖的长方体纸盒）． 【问题1】根据图⑦方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形，再沿虚线折合起来．则无盖长方体纸盒的体积为　 　 cm3； 【问题2】根据图⑧方式制作一个有盖的长方体纸盒 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则有盖长方体纸盒的体积为　 　 cm3； 【拓展探究】 （3）若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形． ①请直接写出你剪开　 　 条棱； ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长．请你画出外围周长最小时该长方体形盒子表面展开图并标上相应的数据． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026•黑龙江校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，若正方体的展开图恰好放置在△ABC内，则sinA的值为　 　 ． 【练习2】（2026•宁夏模拟）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，已知等边三角形的边长是2cm，大长方形的长是6cm，宽是4cm，则该几何体的体积是　 　 cm3． 【练习3】（2025秋•和平区校级期末）请你相信“努力总会发光!”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“总”相对的是　 　 ． 【练习4】（2026春•浦东新区校级月考）蒙古包，蒙古族传统的住所，承载浓厚的文化和历史底蕴．蒙古包上面是圆锥形，下面是圆柱形．如图，一个蒙古包圆柱底面的周长是20π米，高是2米，圆锥的高是1.2米． （1）蒙古包上面圆锥部分的侧面展开图是　 　 （填图形名称）下面圆柱部分侧面展开图是　 　 （填图形名称），圆柱部分的侧面展开图的面积是　 　 平方米． （2）这个蒙古包的体积是多少立方米？ 【练习5】（2025秋•永新县期末）分别在图1、图2、图3中补画一块正方形，使之能围成一个正方体． 课后巩固 · 针对性练习 ·熟记展开图类型：掌握正方体的11种展开图，以及圆柱、圆锥、棱柱的展开图特征。 ·巧用口诀："一线不过四，田凹应弃之"；"相间、Z端是对面"。 ·动手操作：遇到复杂展开图时，可动手折叠或画图帮助理解。 ·注意尺寸关系：圆柱侧面矩形长=底面周长，圆锥扇形弧长=底面周长。 ·联系实际：将展开图知识应用于纸盒制作、包装设计等实际问题。 【作业1】（2026•南山区校级开学）一个三角形铁丝框架的周长是12cm，把它的三条边展开，下面可能是这个三角形三条边的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2026•白云区模拟）如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 【作业3】（2026•广阳区模拟）将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【作业4】（2026春•青浦区校级期末）如图，把圆柱的侧面沿虚线展开，得到了平行四边形的底和高，下列说法正确的是（　　） A．底长为3π，高为10 B．底长为6π，高为10 C．底长为9π，高为10 D．底长为6π，高大于10 【作业5】（2025秋•朔州期末）下列图形中不是正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【作业6】（2026•邢台二模）已知图1所示的平面图形可以折叠成图2所示的正方体，则小正方形P的图案是（　　） A． B． C． D． 【作业7】（2026春•香坊区校级期中）用长为20πcm，宽为16πcm的长方形围成一个圆柱，底面圆的半径为　 　 cm． 【作业8】（2026•遂宁一模）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 　 　 立方分米． 【作业9】（2025秋•泗洪县期末）如图，图（乙）是正方体图（甲）沿棱展开得到的平面展开图，点A、B、C是展开过程中对应点，则图（乙）中黑点在图（甲）中对应的字母是　 　 ． 【作业10】（2025秋•莱西市期末）如图是一张长方形纸板ABCD，AB＝28cm，AD＝20cm，图中阴影部分是两个完全相同的长方形，EF与GH的长都等于BE长的两倍．若将图中阴影部分剪去，剩余部分纸板按适当方式进行折叠，纸板无任何重叠，恰好可以折叠成一个无盖长方体形纸盒，若不考虑纸板的厚度，则纸盒的容积为　 　 cm3． 【作业11】（2025秋•通州区期末）如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，写出一个符合题意的序号是　 　 ，可以涂黑的小正方形的位置一共有　 　 处． 【作业12】（2025秋•峡江县期末）如图，某小纸盒的展开图如下，根据图中的数据解答如下问题． （1）请用含a和x的式子表示这个小纸盒的展开图的面积； （2）当a＝7厘米时，面积为100平方厘米，求x的值． 【作业13】（2026春•安远县校级期末）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若m＝158，求n，x，y的值； 【任务2】求x+y的最大值． 【作业14】（2025秋•崂山区校级月考）如图，如图1是一张长为20cm，宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图2），请回答下列问题： （1）折成的无盖长方体盒子的长为　 　 cm，宽为　 　 cm，容积为　 　 cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简） （2）当x＝3时，求此时铁皮盒的容积； （3）若折成的铁皮盒底面为长方形，其长与宽的比是2：1，求x的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $