第28章专题01 成比例线段（暑假自学讲义）2026-2027学年沪教版五四制九年级上学期数学

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题01 成比例线段 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 两条线段的比 题型2 比例线段 题型3 比例性质的应用 题型4 等比性质的应用 题型5 黄金分割 · 理解两条线段的比、成比例线段的定义，会统一单位求线段比值，会判断四条线段是否成比例。 · 掌握比例基本性质、更比、反比、合比、等比性质，熟练进行比例式变形、求值计算。 · 理解比例中项概念，会求两条线段的比例中项。 · 初步认识黄金分割与黄金比，记住近似值 0.618。 知识点讲解 1. 两条线段的比 两个数或两个同类的量a与b（b）相除，叫做a与b的比.记作a：b（或），其中b____0，a除以b所得的商叫做比值.如果a：b的比值等于k（即＝k），那么a＝bk. 两条线段长度的比叫作两条线段的比。 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量，因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值总是正数. 2. 比例线段 （1）在四条线段中，如果a：b=c：d（或），那么就说a、b、c、d成比例。 （2）如果线段a、b、c满足，那么线段b叫做a、c的比例中项。 3. 比例线段的四大性质 （1）基本性质：如果，那么ad＝bc. （2）合比性质 如果，那么. （3）合比性质 如果，那么. （4）等比性质 如果＝k，那么＝k（b＋d≠0）. 4. 黄金分割 （1）黄金分割点 已知线段AB，如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP＞PB）两段，其中AP是AB与PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点.一般来说，一条线段的黄金分割点有两个. = 叫作为黄金数，它是一个无理数，近似值常取0.618. （2）黄金三角形：我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质： ①≈0.618； ②设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点； ③如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形. （3）黄金矩形：我们把宽与长的比为的矩形叫作黄金矩形。 题型归纳 题型1 比例线段 【例1】在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约， ∴实际长度约为， 故选：B． 【例2】已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得： （2）解：依题意， ∴ 【变式练习】 1．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 2．若线段，，则，的比例中项线段是（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【详解】解：设线段a，b的比例中项为x，由题意得，，即 ∴（负值舍去）． 故选：C． 3．已知、、、依次成比例线段，其中，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵、、、依次成比例线段，，，， ∴， ∴． 4．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则线段d的长度为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ 线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故选：C 5．已知线段厘米，厘米，c是线段a、b的比例中项．那么______厘米． 【详解】解：∵是线段、的比例中项， ∴， ∵线段厘米，厘米， ∴， ∴（厘米）， 故答案为：9． 6．已知线段，，． (1)求线段a与线段b的比． (2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． (3)是a和c的比例中项吗？为什么？ 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴线段a与线段b的比为． （2）解：∵线段a、b、c、d成比例， ∴， ∴， ∴，即线段d的长为24． （3）解：是的，理由如下： ∵， ∴， ∴b是a和c的比例中项． 7．已知三条线段的长分别为，3cm．如果加上另外一条线段后，这四条线段成比例，求另外一条线段的长． 【详解】解：设另外一条线段的长为． 这四条线段成比例， 或或， 或或6， 另外一条线段的长为或或． 8．判断下列线段是否是比例线段．若是比例线段，请写出比例式． (1)． (2)． 【详解】解：（1）, 这四条线段是比例线段，比例式为（比例式写法不唯一）． （2）按从小到大的顺序排列依次是． ， 这四条线段是比例线段，比例式为（比例式写法不唯一）． 题型2 利用比例性质的计算、证明 【例1】1．若，则的值为_____． 【详解】解：∵， ∴， 则． 故答案为：． 【例2】若，则_____． 【详解】解：∵ ， ∴ 设（）， 则 ． 故答案为 ． 【变式练习】 1．已知线段a、b，且，则_________． 【详解】解：设，则，． ∴， 故答案为：． 2．已知，则的值为________． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为： 3．若，则________． 【详解】解：由， 设，（）， 则． 故答案为：． 4．已知，那么的值为______． 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 根据，再将整体代入计算即可． 【详解】解：由题意知：． 故答案为：． 5．（1）已知，求； （2）已知，求证：． 【答案】（1）2；（2）见解析 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题． （1）设，且，然后代入计算即可． （2）设，则，，然后代入计算即可得证． 【详解】（1）解：设，且， ∴； （2）证明：设，则，， ∴， ∴． 6．已知：． (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 【详解】（1）解：，且，， ， ， ， ， 解得， ， 、d的值分别为3、； （2）证明：设，则，， ， ， ， ， ， ． 7．如图，已知，求证：． 【详解】证明：， ， ， ． 题型3等比性质的运用 【例1】已知，则_______． 设，则，然后代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 【例2】已知，则k的值是______． 【详解】解：由已知条件可知，，， ∴，，， 将三个方程相加，得． 若，则； 若，则从任一方程如 结合，得， 因，故， 故答案为∶或． 【例3】＝＝＝k，则关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第_____________象限． 【详解】解：当a+b+c＝0，a+b＝﹣c ，k＝﹣1， 则函数解析式为y＝﹣x+1，直线y＝﹣x+1经过第一、二、四象限； 当a+b+c≠0，k＝＝＝， 则， 三个等式相加得，， 解得，则函数解析式为y＝2x﹣2，直线y＝2x﹣2经过第一、三、四象限， 所以关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第一、四象限． 故答案为一、四． 【变式练习】 1．已知：（a，b，c都不为0）． (1)求代数式的值； (2)当时，求的值． 【详解】（1）设，则， ； （2）由（1）可知， 解得：， ． 2．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值： (2)若的周长为，求a、b、c的值． 【详解】（1）解：∵， 令，，， 则． （2）解：∵的周长为， ∴， 解得， ∴，，， 故， ，． 3．已知，求的值． 【详解】解：， 可设，，， ． 4．已知，若，，则（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 5．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．或1 【详解】解：∵， ∴，，； 将三式相加： ， 即； ∴； 情况1：若 ，则 ， ∴ ； 情况2：若 ，则 ， 代入 ，同理可得 ； 综上， 的值为1或． 故选：D． 6．已知，则直线一定经过（） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【详解】解：∵， ∴，，， 三式相加得：， ∴， 当时，，； 当时，，． 当时，直线经过第一、二、三象限； 当时，直线经过第二、三、四象限． 综上，直线一定经过第二、三象限． 故选：B． 7．若，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ ，且， ∴ ，故选项A正确。 对于选项B：由得，即（∵ ），故B错误。 对于选项C：由得，则， ∴ ，故C错误。 对于选项D：由，设，（），则， ∴ ，故D错误。 故选：A． 8．已知，，满足，求的值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了比例的性质、一元一次方程等知识点，掌握比例的基本性质是解题的关键． 当，则，进而得到，然后求解；②当时，不防令，则． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ②当时，不防令，则． 综上，k值1或． 9．已知，且． (1)代数式的值为____________． (2)求证：． 【详解】（1）解：， ， 中作为分母， ． 故答案为：. （2）证明：， ． ． ． ． ． 10．如图，直线交轴于点，交轴于点，且，和是关于的一元二次方程的两个实数根，点在线段上（不与点、重合），过点分别作、的垂线，垂足为、． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)若 求的值； 求点在何处时，矩形的面积为？ 【详解】（1）解：解方程， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，， ， ，， ，， 设直线l的函数表达式， 把，的坐标分别代入， 可得：， 解得：， 直线的函数表达式； （2）解：，轴轴； ， ， ， ， ， ， 把代入中，得：， 点的坐标是； （3）解：， ； 解：设点的坐标是， ，， 矩形的面积为，， 矩形的面积为， ； ， 即， 解得：，， 当时，， 点的坐标是， 当时，， 点的坐标是， ∴当点的坐标是或时矩形的面积为． 题型4 黄金分割 【例1】2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦长为，两个端点A、B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支撑点C到端点B的距离为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵支撑点C是靠近点B的黄金分割点，，， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点． (1)图1中，若线段，求线段的长． (2)如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得（舍去负值）， ∴； （2）证明：∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是线段的黄金分割点． 【变式练习】 1．如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（    ） A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点 C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比 【详解】解：∵， ∴线段被点C黄金分割，点C是的黄金分割点，与的比等于黄金比， ∴C不正确，A，B，D正确. 故选：C. 2．一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，则它的宽为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为， 它的宽， 故选：D． 3．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则______． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（）， ∴，即， ∴，， ∴． 故答案为：1． 4．如图，大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为______． 【详解】解：由题意可知，，， ∴ 故答案为：． 5．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 6．阅读与思考下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图1，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，k称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数的解答过程： 设，则，．．．．．． 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有__________个黄金分割点． (2)补全材料中求黄金分割数的解答过程． (3)拓展应用：如图2，在线段上用无刻度的直尺和圆规求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】（1）解：∵一条线段上有两个不同的点可以将线段分成不相等的两条线段，且满足较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比， ∴一条线段有2个黄金分割点， 故答案为：2． （2）解：根据，得， 则，， 解得，（舍去）， ∴． （3）解：如图所示，点即为所求．（答案不唯一） 证明：设的长度为， ∵为的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【答案】问题解决：（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形． （2）作图如图． 拓展延伸： 解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ， 矩形也是黄金矩形． 8．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． (2)顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． (3)如图3，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中是黄金三角形．若的面积为1，则正五角星的面积为___________． 【详解】（1）解：设线段，的长为，则可表示为， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵， ∴； （2）解：∵为黄金三角形，， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴； （3）解：如图，连接，， 由正五边形的性质可得：，，， ∵是黄金三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由对称性可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴正五角星的面积为 ． 过关练习 一、单选题 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将所求分式拆分变形后，代入已知比例即可计算结果，用到分式的基本运算性质． 【详解】解：∵． 又∵． ∴． 2．已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，根据成比例线段的性质列出比例式，再分别代入数值计算即可求出d的长． 【详解】，，，是成比例线段， ，即， ， 代入，，得： ． 故选：B． 3．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据，设，（），将、用含的代数式表示，再代入所求分式进行计算求解． 【详解】解：， 设，（）， ， 原式的值为． 故选：C． 4．据有关试验测定，当气温与人体正常体温（37）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，则这个气温约为（    ） A．26.8 B．22.9 C．21.2 D．18.5 【答案】B 【分析】本题考查黄金比的实际应用，先明确黄金比的近似值，再根据题目中的比例关系计算出舒适气温即可． 【详解】解：∵黄金比约为， 又∵舒适气温与人体正常体温（37）的比值为黄金比， ∴舒适气温， 故选：B． 5．黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感，如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点，若横画的长为，则的长为（结果保留到）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：∵“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点， ∴， ∵横画的长为， ∴， 故选：C． 6．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，根据比例关系，将 和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 二、填空题 7．若，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质． 根据比例的性质即可求解． 【详解】解：由 ∴． 故答案为：． 8．已知 则 的值为______． 【答案】 【分析】先将所求分式拆分变形，再代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：对根据分式减法法则拆分，得， 将代入上式，得． 9．已知，若，且，则_________． 【答案】15 【分析】根据题意求得，，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， 提取公因式得， 解得． 10．已知线段，，，成比例，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按给定线段顺序列出比例式，代入已知线段长度，求解一元一次方程得到的值. 【详解】解：线段，，，成比例， ， ，，， ， 交叉相乘得：， 解得： 11．若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查比例线段，一元二次方程的求解，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，设，则，代入解方程即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 化简，得， 解得，，（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 12．上海与南京的实际距离约320千米，在比例尺为的地图上，两地的图上距离约_____厘米． 【答案】8 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离． 【详解】解：设图上距离为x厘米，则 ， 所以（厘米）． 上海与南京的图上距离约8厘米． 故答案为：8． 13．如果，那么______． 【答案】4 【分析】本题考查了比例的性质．根据题意，设，，．又因为，则可得的值，从而求得的值．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 【详解】解：设，则，， ， ． 故答案为：4． 14．若，其中，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，由可得，，因为，把整体代入，即可得到答案．得到从而等量代换是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为： 15．数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 【答案】 【分析】根据白银分割点的定义得到，由即可求出的长． 【详解】解：点C是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为： ． 16．黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是________．（请写准确数） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割的定义，线段的和差运算，掌握黄金分割的定义是解题关键． 依据黄金分割定义求出上的较长段长度，再算出较短线段、的长度，最后通过的线段和差关系求出的长． 【详解】解：、两点都是的黄金分割点，，， ， ，同理可得， ． 故答案为：． 三、解答题 17．已知：，且，求的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了比例的性质．根据设法进行计算，即可解答． 【详解】解：设， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，． 18．已知： (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 【答案】(1)， (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查比例， （1）根据题意得出，再结合即可解决问题； （2）在等式两边都减去，再进行变形即可解决问题； 解题的关键是掌握比例的基本性质：比例的内项之积与外项之积相等．也考查了恒等变形． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴，； （2）略 19．已知，求值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了比例的性质，当，则，进而得到，据此可得答案；②当时，则，进而得到． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则． ∴； 综上所述，值1或． 20．（1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】分析片段 已知，将变形为，即，求得，将变形为，即可求解. 设，分别计算左边和右边，可以解决问题. 【详解】解：（1）， ． （2）证明：设，则． 将代入等式左右两边，得左边，右边， 左边右边，即． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题. 21．已知在四边形中，点、分别在、上，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】该题考查比例的合比性质的应用． （1）根据得出，即可得，再根据根据比例的合比性质即可证明； （2）根据和比例的合比性质即可证明； 【详解】（1）证明：， ． ， ． ， 即． （2）证明：∵， 根据比例的合比性质，． 22．如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了黄金分割比，勾股定理，尺规作图等知识，解题的关键是： （1）设，根据作图知，根据勾股定理求出，则，然后代入计算即可求解； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，过F作，在上截取，连接，并延长，在延长线上截取，以E、F为圆心，为半径画弧，两弧相交于A，连接、即可． 【详解】（1）解：设， 由作图知，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由： 设， 由作图知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是黄金三角形． 23．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 24．小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 【答案】(1)的长度为黄金分割数 (2) 【分析】本题考查了黄金分割的定义； （1）设，根据题意列出方程，进而根据黄金分割数的定义，即可求解． （2）根据（1）可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵线段的长为1，线段上的点，满足关系式． 设，则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴的长度为黄金分割数； （2）解：由（1）可得的长是的长的一个黄金分割数，即，的长是的长的一个黄金分割数，即， ……以此类推，， 由（1）可得， ∴． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题01 成比例线段 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 比例线段 题型2 比例性质的应用 题型3 等比性质的应用 题型4 黄金分割 · 理解两条线段的比、成比例线段的定义，会统一单位求线段比值，会判断四条线段是否成比例。 · 掌握比例基本性质、更比、反比、合比、等比性质，熟练进行比例式变形、求值计算。 · 理解比例中项概念，会求两条线段的比例中项。 · 初步认识黄金分割与黄金比，记住近似值 0.618。 知识点讲解 1. 两条线段的比 两个数或两个同类的量a与b（b）相除，叫做a与b的比.记作a：b（或），其中b____0，a除以b所得的商叫做比值.如果a：b的比值等于k（即＝k），那么a＝bk. 两条线段长度的比叫作两条线段的比。 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量，因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值总是正数. 2. 比例线段 （1）在四条线段中，如果a：b=c：d（或），那么就说a、b、c、d成比例。 （2）如果线段a、b、c满足，那么线段b叫做a、c的比例中项。 3. 比例线段的四大性质 （1）基本性质：如果，那么ad＝bc. （2）合比性质 如果，那么. （3）合比性质 如果，那么. （4）等比性质 如果＝k，那么＝k（b＋d≠0）. 4. 黄金分割 （1）黄金分割点 已知线段AB，如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP＞PB）两段，其中AP是AB与PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点.一般来说，一条线段的黄金分割点有两个. = 叫作为黄金数，它是一个无理数，近似值常取0.618. （2）黄金三角形：我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质： ①≈0.618； ②设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点； ③如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形. （3）黄金矩形：我们把宽与长的比为的矩形叫作黄金矩形。 题型归纳 题型1 比例线段 【例1】在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 【变式练习】 1．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 2．若线段，，则，的比例中项线段是（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 3．已知、、、依次成比例线段，其中，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则线段d的长度为（   ） A． B． C． D． 5．已知线段厘米，厘米，c是线段a、b的比例中项．那么______厘米． 6．已知线段，，． (1)求线段a与线段b的比． (2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． (3)是a和c的比例中项吗？为什么？ 7．已知三条线段的长分别为，3cm．如果加上另外一条线段后，这四条线段成比例，求另外一条线段的长． 8．判断下列线段是否是比例线段．若是比例线段，请写出比例式． (1)． (2)． 题型2 利用比例性质的计算、证明 【例1】1．若，则的值为_____． 【例2】若，则_____． 【变式练习】 1．已知线段a、b，且，则_________． 2．已知，则的值为________． 3．若，则________． 4．已知，那么的值为______． 5．（1）已知，求； （2）已知，求证：． 6．已知：． (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 7．如图，已知，求证：． 题型3等比性质的运用 【例1】已知，则_______． 【例2】已知，则k的值是______． 【例3】＝＝＝k，则关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第_____________象限． 【变式练习】 1．已知：（a，b，c都不为0）． (1)求代数式的值； (2)当时，求的值． 2．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值： (2)若的周长为，求a、b、c的值． 3．已知，求的值． 4．已知，若，，则（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 5．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．或1 6．已知，则直线一定经过（） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 7．若，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，满足，求的值． 9．已知，且． (1)代数式的值为____________． (2)求证：． 10．如图，直线交轴于点，交轴于点，且，和是关于的一元二次方程的两个实数根，点在线段上（不与点、重合），过点分别作、的垂线，垂足为、． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)若 求的值； 求点在何处时，矩形的面积为？ 题型4 黄金分割 【例1】2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦长为，两个端点A、B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支撑点C到端点B的距离为（   ） A． B． C． D． 【例2】定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点． (1)图1中，若线段，求线段的长． (2)如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点． 【变式练习】 1．如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（    ） A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点 C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比 2．一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，则它的宽为（    ） A． B． C． D． 3．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则______． 4．如图，大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为______． 5．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 6．阅读与思考下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图1，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，k称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数的解答过程： 设，则，．．．．．． 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有__________个黄金分割点． (2)补全材料中求黄金分割数的解答过程． (3)拓展应用：如图2，在线段上用无刻度的直尺和圆规求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 7．已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 8．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． (2)顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． (3)如图3，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中是黄金三角形．若的面积为1，则正五角星的面积为___________． 过关练习 一、单选题 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．据有关试验测定，当气温与人体正常体温（37）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，则这个气温约为（    ） A．26.8 B．22.9 C．21.2 D．18.5 5．黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感，如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点，若横画的长为，则的长为（结果保留到）（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．若，则的值为____________． 8．已知 则 的值为______． 9．已知，若，且，则_________． 10．已知线段，，，成比例，若，，，则______． 11．若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 12．上海与南京的实际距离约320千米，在比例尺为的地图上，两地的图上距离约_____厘米． 13．如果，那么______． 14．若，其中，则的值为______． 15．数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 16．黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是________．（请写准确数） 三、解答题 17．已知：，且，求的值． 18．已知： (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 19．已知，求值． 20．（1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 21．已知在四边形中，点、分别在、上，．求证： (1)； (2)． 22．如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 23．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 24．小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $