第28章专题02 平行线分线段成比例（暑假自学讲义）2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题02 平行线分线段成比例 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 由平行辨析比例线段 题型2 根据比例线段计算 题型3 尺规作图分线段成比例 题型4 作平行线构造比例线段 · 理解平行线分线段成比例定理及其推论； · 掌握定理在三角形中的两个模型（A 型、X 型模型），分清题设和结论； · 会添加辅助线构造平行线模型，解决线段比例证明题，为相似三角形判定打基础. 知识点讲解 1. 平行线分线段成比例定理1 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的线段成比例。 模型：图1 (A型图) 图2（X型图） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴ ∴ 2. 平行线分线段成比例定理2 两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。 模型：图1 图2 符号语言： ∵ ∵ ∴ ∴ 3. 平行线分线段成比例定理推论（平行线等分线段定理） 两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 模型：图1 图2 符号语言： ∵，DF=FB ∵, DM=MB ∴EG=GC ∴EN=NC 题型归纳 题型1 平行线分线段成比例的辨析 【例1】求证：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的线段成比例。 【例2】如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【例3】如图．在中，，．求证：是和的比例中项． 【方法点睛】 上述题型考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 利用定理结合比例线段的各种性质这里常用以下类型的结论； ，，，， 【变式练习】 1．如图，，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，点E是延长线上一点，与，分别相交于点G，F．求证：．      题型2 平行线分线段成比例的计算 【例1】如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为________． 【例2】如图，已知在中，，，，，．求和的长度． 【变式练习】 1．如图，直线，直线依次交，，于点，，，直线依次交，，于点，，，若，，则的长为______． 2．如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 3．如图所示，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，已知，，则的值为_____． 4．如图，直线，直线交于点；直线交于点．已知，则的长为__________． 5．如图，若，，则_____． 6．如图，在中，点在上，，交于，且，则___________． 7．如图，在中，，，则______． 8．如图，在中，已知，，点分别在边上，，，．则四边形的周长为__________． 题型3利用平行线分线段成比例作图 【例1】如图，已知线段，在线段上求作一点C，使． 【例2】如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使． 【变式练习】 1．如图，在的方格纸中，点都在格点上，在图中仅用无刻度的直尺，把线段三等分（保留画图痕迹，不写画法）． 2．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段上求作点，使得 (保留作图痕迹，不写作法)． (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 3．如图，在中，是上的一点．请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母） 4．如图是的正方形网格，是格点三角形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． 在图①中在上取一点，使得； 5．汉字书法是中华民族的文化瑰宝．毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸．现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的行列． 学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1：再将图1沿着对角线对折一次，得到图2，对角线分别与折痕、、的交点K、L、M即为对角线的四等分点． 求证：K为对角线的四等分点； 6．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形： (1)在图1中作出的中点P； (2)在图2中的线段上取一点H，连接，使点H满足． 题型4 作平行构造分线段成比例 【例1】角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：图②，过C作，交的延长线于E． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图③，已知中，，，，平分，求的周长为______； (3)如图④，在中，E是的中点，是的平分线，交于点F，，，求的长． 【变式练习】 1．如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 3．中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 过关练习 一、单选题 1．如图，在中，，，如果，那么（     ） A． B． C． D． 2．如图，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点在边上，，交于点，若线段，则线段的长为（     ） A．7.5 B．10 C．15 D．20 4．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 5．已知线段a，b，c，作线段x，使，那么正确的作法是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点D为中点，作的垂直平分线，与交于点E，连接，点F为的中点，连接．若，则的长为（） A．3 B．6 C．9 D．12 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，为的中点，若，连接，则的长为(    ) A． B． C． D．2 8．如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，，则__________． 10．如图，直线，如果，那么的长是___________． 11．如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 12．如图，已知在中，点D、E分别是边、上的点，，，且，则__________． 13．如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为_____． 14．如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 三、解答题 15．如图，已知，与相交于点．如果，，，求的长． 16．如图，已知，且，求：线段的长． 17．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 18．如图，在中，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 19．如图，和均为等边三角形，D是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作线段的中点P． (2)在图2中作菱形，点F在上． 20．如图，为对角线上任意一点．求证：．    21．如图，中，，，，是边上的一个动点，过点作与相交于点，连接，设线段的长为，的面积为．    (1)用含x的代数式表示线段PC、AD的长度； (2)求与之间的函数关系式，并指出函数的定义域； (3)是否存在一个位置的点，使的面积等于的面积的？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由． 22．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点C重合），过点P作轴；交线段于Q；若；求点P的坐标． (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题02平行线分线段成比例 知识点导航 专A 题型导航 目标导航 理解平行线分线段成比例定理及其推论： 题型1由平行辨析比例线段 ● 题型2根据比例线段计算 掌握定理在三角形中的两个模型（A型、X型模型)， 分清题设和结论： 题型3尺规作图分线段成比例 题型4作平行线构造比例线段 ·会添加辅助线构造平行线模型，解决线段比例证明题，为 相似三角形判定打基础 知识点讲解 1.平行线分线段成比例定理1 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的线段成比例。 模型：图1(A型图) 图2(X型图) 符号语言： .DE//BC .DE//BC 2.平行线分线段成比例定理2 两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。 B 模型：图1 图2 符号语言： l1/l2/l3 l1/2/l3 赠=器 1 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 3.平行线分线段成比例定理推论（平行线等分线段定理） 两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 B 模型：图1 图2 符号语言： //2//3,DF=FB //2//l3,DM=MB .EG=GC EN=NC 目目 题型归纳 题型1平行线分线段成比例的辨析 【例1】求证：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的线段成比例。 【详解】已知：如图，已知△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE/BC 求证：品-铝 证明：如图分别连接BE、DC,设点E到AB的距离为h,则 SAFADAD·h,SAFBD-DB·h 由此得△AD=AD S△EBD BD 同理可得△=A想 S△ECD EC 因为DE/BC,由同底等高的两个三角形面积相等， 2 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） 得S6BD=SECD,即 =9 BD EC 【例2】如图，在△ABC中，DE‖BC交AB于点D,交AC于点E,下列式子中，不成立的是() B AD AE B. AB AC C. AB AC AD AE A. DB EC DEEC AD AE D. DB AC 【详解】解：DE∥BC, AD AE DB EC 选项A成立，不符合题意； AB AC DB-EC, 选项B成立，不符合题意： ABAC AD AE , 选项C成立，不符合题意； DBEC+C,选项D不成立，符合题意， AD AE AE 故选：D 【例3】如图.在△ABC中，DEI‖BC,EF CD,求证：AD是AB和AF的比例中项. B 【详解】证明：DE∥BC, EF∥CD, AD AF AB AD' 即AD=AFAB, ∴.AD是AB和AF的比例中项. 3 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） 【方法点睛】 上述题型考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键 利用定理结合比例线段的各种性质这里常用以下类型的结论； ===部客== 【变式练习】 1.如图，∥1∥13，则下列比例式成立的是() A D B E AB DE AB DF AB DF AB AD A. B. Ac AC DE C. D AC AD AC DF 【详解】解：~l∥1∥13， AB DE AC DE 故选A. 2.如图，a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（) AE DB AG DG A. EF B. BC GF GC AD BE D. AF DC C. BE CF AE DB 【详解】解：~a∥b∥c, AE DB AG DG AF DC EF BC GF GC'AE DB' 由题意无法证明D=BE BE CF 结合选项可知，选项A、B、D的比例式正确，不符合题意；选项C的比例式不正确，符合题意； 故选：C 3.如图，ABICDIEF,下列结论正确的是() 4 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） AD BC BC AD CD BC CD AB A. B. DE CE BE DF EF CE D. EF CD 【详解】解：ABICDIEF, AD BCBC AD 'DFCE’BEAF 即A选项正确，符合题意；B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A 4.如图，DE‖BC,则下列比例式错误的是（) D B C A. AD DE B. ADAE C. ABAC BD BC BD EC BD EC D. -怨 【详解】解：DEBC, AD AE AB AC AD AE BD EC' BD EC'AB=AC A错误； 故选：A 5,己知口ABCD,点E是BA延长线上一点，CE与AD,BD分别相交于点G,F.求证：CF=EF.GF. G A B 【详解】证明：口ABCD, .AB II CD,AD II BC, CF DF DF GF “EFBF'BFCF' 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） CF GF EF CF 即CF2=EF.GF. 题型2平行线分线段成比例的计算 【例】如图，直线AD,BC交于点O,4BFCD.若40=3,0F=1,D=2,则的值为 A B D八N 【详解】解：AO=3,OF=1,FD=2, .AF=AO+OF=4,AD=AO+OF+FD=6, AB∥EF∥CD, BE AF 4 2 “BCAD63' 故答案为：3 【例2】如图，已知在△ABC中，DE II BC,EFIAB,AE=2CE,AB=6,BC=9,求BF和BD的长度， B 【详解】解：：AE=2CE, CE 1 AE2' AE_2 CE 1 “AC3’AC3, :EF∥AB AE BF 2 AC BC3' .BC=9, .BF=6, 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） .·DE∥BC BD CE 1 AB AC3' AB=6, .BD=2 【变式练习】 1.如图，直线I1I1,直线AC依次交l1,2,1于点A,B,C,直线DF依次交1，l2,1于点D,E,F, 若B、3 AC=5,DE=9,则DF的长为 A D 【详解】解：直线41， AB DE AC DF AB 3 DE 3 DF=5' .DE=9, 93 DF5' ∴.DF=15. 2.如图，己知AB II CD I EF,它们依次交直线l、l2于点A、D、F和点B、C、E,如果AD:DF=3:1, BE=12,那么CE等于 【详解】解：AD:DF=3:l, ∴.DF:AF=1:4, 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） AB II CD II EF, CE DF BE AF 即CE、1 124' 解得：CE=3, 故答案为：3. 3如图所示，以：两条直线与这三条平行线分别交于点4，B,C和0，EF,已知铝D压=18， 则DF的值为 E八B 【详解】解：11， AB DE 3 18 BC EF 2 EF' 解得EF=12, .DF=DE+EF=18+12=30: 故答案为：30 4.如图，直线∥∥，直线AC交4,2，于点AB,C:直线DF交，l2,于点D,E,F.已知B-4DF=7, BC 3 则DE的长为 E F 【详解】解：设DE的长为x,则EF=7-x, l∥12∥13， AB DE 4 BC EF3' 即 解得：x=4, 8 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） 则DE的长为4， 故答案为：4. 5.如图，若AB∥CE∥DF, EF6,则 AE7 BD 、A E 【详解】解：~AB∥CE∥DF， AE 7 EF6' BC AE 7 CD EF6' CD 6 BD13 故答案为：1 6 6,如图，在△ABC中，点D在AB上，AD:BD=2:3,DE II BC交AC于E,且CE=6,则AC= E B 【详解】解：DE I BC, AD AE BD CE' AD:BD=2:3,CE=6, 2 AE 36 ∴AE=4, .AC=AE+CE=4+6=10, 故答案为：10. 7如图，在△ABC中，DE∥BCDF∥ACC华，C BF 9 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） A D E B 【详解】解：DEBC, AD AE 2 DB =EC=3' DF∥AC, AD CF 2 BD FB3' 故答案为：2 8.如图，在△ABC中，己知AC=8,BC=12,点D、E、F分别在边上，BD=3AD,DE I AC, DF‖BC,则四边形DECF的周长为 B E 【详解】解：DF M BC, AD DF AF AB BC ”AC1 BD =3AD,BC=12, AD AD AD AD 1 AB AD+DB AD+3AD4AD4' DF DF 1 BC12=4,即DF=3. AC=8, 4即加=2， AF AF1 AC 8 .FC=AC-AF=8-2=6. .DE AC,DF BC, 四边形DECF为口， ∴DE=FC,DF=EC. 10 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） .CoDECR DE+EC+FC+DF=6+3+6+3=18. 故答案为：18. 题型3利用平行线分线段成比例作图 【例1】如图，已知线段AB,在线段AB上求作一点C,使AC:CB=2:3, A B 【分析】本题主要考查了复杂作图、比例线段等知识点，掌握平行线等分线段定理是解题的关键， 如图先作出射线AZ,在射线AZ上依次截取线段AD=DE=EF=FG=GH,连接BH,作EC∥BH交AB 于C,点C即为所求. 【详解】解：如图所示：点C即为所求. B D G H 7 【例2】如图，已知线段a、b、c.求作线段，使x= b a b C 【分析】本题考查尺规作图一作成比例线段，平行线分线段成比例.利用数形结合的思想是解题关键，根 据x-器，得出？，结合尺规作图，作出成比斜线段即可。 a x 【详解】解：如图，线段x即为所作. 【变式练习】 1,如图，在6×6的方格纸中，点A,B,C都在格点上，在图中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留 画图痕迹，不写画法)· 11 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） 【分析】本题考查平行线等分线段成比例定理的应用，在方格纸上找到三条等距离的平行线是解题的关键。 【详解】解：如图所示即为所求： 2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥C交AC的延长线于点E, B ①)请用无刻度的直尺和圆规在线段BE上求作点M,使得CgE保留作图痕迹，不写作法， CA MB (2)在(1)的条件下，若AE=6,BC=4,求四边形CDBM的周长. 【详解】(1)解：如图，点M即为所求， E M 根据作图可得∠ECM=∠A, CM∥AB, CE EM CA MB (2)解：∠ECM=∠A, 12 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） .CM∥AB, BE∥CD, 四边形CDBM是平行四边形， ~在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， 八CD=BDB, :平行四边形CDBM是菱形， CD∥EB, CE_AD=1, AC DB ..AC=CE, AE=6, ∴AC=3, 在Rt△ABC中， AB=VAC2+CB2=5, .CD=14B=5 21 2 四边形CDBM的周长为4×；=10. 2 3.如图，在△ABC中，D是AC上的一点.请利用无刻度的直尺和圆规在BC上作一点E,使得 AD BE CD CE (不写作法，保留作图痕迹，并标明字母) B 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例等知识，解题的关键 是掌握以上知识点， 根据题意作出∠ABD=∠BDE,进而得到ABIDE,然后利用平行线分线段成比例即可得到 AD BE CD CE 【详解】解：如图，点E即为所求， 13 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） E 4.如图是7×7的正方形网格，△ABC是格点三角形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图 痕迹) B B 图① 图② 在图①中在AC上取一点D,使得AD:CD=3:2; 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形 找出格点G,F,E,H,EF,AC相交于点D,由AG/EFI/CH,且AF:FH=3:2可知点D即为所求作的点； 【详解】如图，点D即为所求作； 5.汉字书法是中华民族的文化瑰宝.毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸.现在我 们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的行列， 学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1：再将图1沿着对角线AC对折一次，得到图2，对角线 AC分别与折痕EH、FI、GJ的交点K、L、M即为对角线AC的四等分点. E F GB M D 图1 图2 14 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） 求证：K为对角线AC的四等分点； 【分析】由折叠得，EH⊥DC,FI⊥DC,GJ⊥DC,DH=H=U=JC,则KH∥LI∥M∥AD,由平行线 分线段成比例定理即可求证； 【详解】证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AD⊥DC, 由折叠得，EH⊥DC,FI⊥DC,GJ⊥DC,DH=HⅢ=IJ=JC, .H∥LI∥MJ∥AD, AK DH 1 AC DC4' K为对角线AC的四等分点 6,如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形 M B 图1 图2 (1)在图1中作出MN的中点P; (②在图2中的线段AB上取一点、连接C,使点H满足S-2 【分析】(1)取格点E,F,连接EF交MN于点P,则点P即为所求作的点： (2)取格点E,F,连接EF交AB于点H,则点H即为所求作的点， 【详解】(1)解：如图，点P即为所求作的点， M E 图1 四边形MNE是矩形， ..MP NP, 点P是MN的中点； (2)解：如图所示，点H即为所求作的点， 15 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） E H N M 图2 EN∥BM, AH AN3' AB AM 5 Al=2 ~△ACH与△ABC同高， 2 题型4作平行构造分线段成比例 【例】角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分LBAC,则是= BD 下面是这个定理的部分证明过程 证明：图②，过C作CE II DA,交BA的延长线于E. A D D D B DE 图① 图② 图③ 图④ 任务： ()请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图③，已知Rt△ABC中，AB=6,BC=8,∠ABC=90°，AD平分∠BAC,求△ABD的周长为 (3)如图④，在△ABC中，E是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，EFIAD交AC于点F,AB=7,AC=15, 求CF的长， 【答案】(1)见解析 16 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） (2)9+3V5 (3)11 【分析】(1)根据CE II DA可得 CD,∠2=∠4CE,A=E结合条件可推出AB=AC,即可求证， BD BA (2)求出AC-AB+BC=5,根据题意可得10：6=CD:BD,进而得BD=3BC=3,再利用勾股定理求 8 解AD的长，从而可得答案； 7+15 (3)由题意得 DAC15结合E是BC的中点，可得CE_211,根据EFIAD可推出CF=CE=1儿 BD AB 7 CD15-15 CA CD 15' 进而得CF= CA=11即可求解 15 【详解】(1)证明：CE II DA, BD BA CD EA' ∠2=∠ACE,A=∠E., .:∠1=∠2， ∴∠ACE=∠E, ..AE=AC, 、ABBD AC CD (2)解：AB=6,BC=8,∠ABC=90°， AC=AB2+BC2=10, AD平分∠BAC, 由题意得：AC:AB=CD:BD, 10:6=CD:BD, *BD=3BC=3, 8 ·AD=VAB2+BD=3V5, △ABD的周长为6+3+3v5=9+3V5 (3)解：AD是∠BAC的平分线，AB=7,AC=15, BD AB 7 CD AC 15 ~E是BC的中点， 17 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） :.CE=BC, BD 7 CD 15， BD+CD=BC, 7+15 ..CE 2 11, CD 15 =15 EFAD, CF CE 11 CA CD 15' ∴CF= cA=11 15 【变式练习】 1,如图，在△ABC中，点D,E分别为BC,AC边上的点，连接DE并延长交BA于点F,且BD=DC, B (1)求证： AE FA EC FB ②若把号4=10，求B的长。 【分析】(I)过点A作AM∥DF交BC于点M,根据平行线分线段成比例得到二-D,A_AD EC DC'FB BD AE FA 根据BD=DC可知 EC FB 2)霰据柜得到二日 六=由1)得二=4=专，根据FA=10得到B=30,即可求出AB的长. 【详解】(1)证明：过点A作AM∥DF交BC于点M, B M D AM∥DF, AE MD FA MD EC DC FB BD .BD=DC, 18 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） AE FA EC FB (2)解： AE 1 AC4 AE 1 EC3' 由(1)得EFA1 EC FB 3’ FA=10, FB=30, AB=FB-FA=30-10=20. 2.如图，BD是△ABC的中线，E是AB上一点，且AE=AB,CB与BD交于点R,若BD=10,求DF的 长 D 【分析】本题主要考查中线定义、线段和差关系、平行线分线段成比例等知识点，正确掌握相关性质内容 是解题的关键， 过D作DG ICE交AE于点G,根据BD是△ABC中线，可以推出AG=GE,运用平行线分线段成比例定理 推出DF=亚=二，可以求出DF的长. 【详解】解：过点D作DG ICE交AE于点G, A G AG AD GE DC B BD是△ABC中线， ∴.AD=DC, ∴.AG=GE. 设AG=GE=k,则AE=2k, 19 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） AE=AB, 3 .'.AB=6k,GB=5k, GE 1 GB 5 ..DGICE, DF GE 1 DB GB 5 .'BD=10, .DF=2. 3,△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E, D D B D 图1 图2 备用图 (I)如图I,点D是BC中点，点F是AD中点，DG∥BE交AC于点G,求证： AE 1 EC 2 (2)如图2，若BD:DC=1:4,AF:FD=3:2,求AE:EC的值； ()若F为AD的中点，设BD= BC=m, AE =n,请求出m、n之间的等量关系， AC 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键 (1)先证点G,点E分别是线段EC,AG的中点即可求解； EG 1 AE 3 (2)如图2，过点D作DG∥BE交AC于点G,根据平行线分线段成比例定理证得 C5EG2,进而 可求得二的值； EC E (3)如图3，过点D作DG∥BE交AC于点G,根据平行线分线段成比例定理证得 EC=m,又F为AD的 中点，可得AE=EG,最后根据 =n可确定m、n之间的关系. EC 【详解】(1)证明：点D是BC中点， ..BD=CD, DG∥BE交AC于点G, EG=CG-,EC 又：点F是AD中点， 20 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） .AF =FD, DG∥BE, AE=EG=1EC 2 AF 1 EC2 (2)如图2，过点D作DG∥BE交AC于G, BD 1 DC4 EG BD 1 GC DC4' EG 1 EC-5' S号G∥a, AE_AF=3 EGFD=7,即EG=长AE: 3 1 ECEC 5 AE 3 EC-10 ,即AE:EC=3:10; A G B D 图2 (3)如图3，过点D作DG∥BE交AC于G, BD BC =m, EG BD =m, EC BC 点F是AD中点， ∴.AF=FD, DG∥BE, ∴.AE=EG, AE EG =m, ECEC 21 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） AE m AC m+1 AE =n, Ac .:m =n. m+1 E D 图3 A 过关练习 一、单选题 知，在△c中，Ds,r/8C,知医绍-号那么需-() CB B E A. B. C.1 D. 5 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行证明即可. 【详解】解：~DF1BCB=名， BF CD 3 AB AC5 .·DE∥AB, CD_CE3 AC BC5 2.如图，ABICDIEF,若AD=3,AF=8,则CE的值为() BC 22 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） A. B.3 c. 8 D. 5 【答案】C 【详解】解：~AD=3,AF=8, ∴DF=5, AB II CD II EF, CE DF 5 BC AD 3 3.如图，在△ABC中，点D在边AB上， AD 1 BD3,DE I BC交AC于点E,若线段AE=2.5,则线段CE的长为 () D A.7.5 B.10 C.15 D.20 【答案】A 【分析】由平行线分线段成比例列比例式即可求得答案. 【详解】解：DE‖BC, AD AE 1 BD CE3' CE=3AE=3×2.5=7.5. 4,如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F,则下列结论错误 的是() 23 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） A A.ABDE B. AE AF AF AE AF EF C. AF AE AD BE CD BC D. AB CE 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分 线段成比例定理. 根据平行四边形的性质得出CDIAB,ADIBC,AD=BC,AB=CD,利用平行线分线段成比例定理逐项进行 判断即可. 【详解】解：A,~四边形ABCD为平行四边形， ..CDIAB,ADIBC,AD BC,AB CD, CDAB, CD DE AF EA AB CD AB DE 故A正确，不符合题意； AF EA B.AEllBC, AE AF BC FB AD BC, AEAF AD BF 故B正确，不符合题意； C.AEllBC, FA AE “FBBC’ 即RA FA+AB BC AB CD, FA AE FA+CD BC FA AE CD BC ,故C错误，符合题意 D.AElIBC, 24 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） ABEC,故D正确，不符合题意， FA FE 故选：C 5,己知线段a,b,c,作线段x,使a:b=c:x,那么正确的作法是() b D a 【答案】B 【分析】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关 键 根据平行线分线段成比例定理判断即可. 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得2-，故A选项错误； b c B、由平行线分线段成比例可得9-，即a6=C:x,故B选项正确； c x C、由平行线分线段成比例可得。云，故C选项错误； D、由平行线分线段成比创可得兰云，故D选项错误： 故选：B. 6,如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC中点，作AC的垂直平分线DE,与AB交于点E,连接CE, 点F为CE的中点，连接DF.若DF=3,则AB的长为() A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理求出AE的长，再证明DE‖BC,利用平行线分线段成比例定理证得E为AB中 点，即可求解 25 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） 【详解】解：~点D为AC中点，点F为CE的中点， .DF是△ACE的中位线， ..AE=2DF, .DF=3, ∴.AE=6, DE垂直平分AC, DE⊥AC, .:∠ACB=90°， .BC⊥AC, .DE∥BC, AE AD BE DC 又点D为AC中点，即AD=DC ..AE=BE, .AB=2AE=12. 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AD=√5，F为AB的中点，若OD=2,连接CF,则CF 的长为() A. V13 B. V10 C.5 D.2 2 2 【答案】A 【分析】过点F作FH⊥OA交AC于点H,根据菱形的性质，勾股定理求得OA的长，进而根据中位线的性质 求得FH,再求得CH的长，根据勾股定理，即可求解. 【详解】如图，过点F作FH⊥OA交AC于点H, D,四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,OB=OD,OA=OC, 26 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） OD=2, ..OB=OD=2,0A=AD2-OD2=1, AC=20A=2, :FH⊥AC,AC⊥BD, .FH∥BD, AH AF HO FB' F是AB的中点，即AF=FB, ..AH=HO, ∴.FH是△AOB的中位线， .FH=10B=1,AH=10A= 2 2 3 ..CH=AC-AH= 2 CF=VFH+CHE=3 2 8,如图，己知直线l1、l2被三条互相平行的直线l3、14、1所截，其中点A、B、C在直线l1上，点D、E、F 车宝脚上，下列面个结染@积铝@是祭⊙，④8股中，正的个有 BC CF () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论 【详解】解：11， AB DE BC 故①正确； EF AB DE 故②正确； AC DF 27 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） AB DE EF 故③错误； BC AB BE BC*CF' 故④错误， 正确的个数2个， 故选：B 二、填空题 9.如图，DC∥EF∥GH∥AB,BC=12,DE=EG=GA,则BF= D E H A B 【答案】8 【详解】解：~DC∥EF∥GH∥AB,BC=12,DE=EG=GA, DE CF EG FH =1 EG FH AG HB ..CF=FH=HB=-BC=4, 3 ∴.BF=FH+HB=8. 10.如图，直线AB1GD1R,如果S,D=6球么即的长足 A/\B 【答案】14 【分析】本题老查平战分复段成比例，由净C) 元=，由ABIICDIEF,得=二即可解答. BE AC 3 【详解】解： CE 4' AC 33 AE 3+47 ABICDIEF, 28 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） BD 3 BF7 BD=6, .BF=7 7 D= ×6=14, 3 故答案为14. 11.如图，已知直线1、2、l3分别与直线l4交于点A、B、C,与直线1交于点D、E、F,如果∥1∥13， AB=2,AC=5,EF=4,则DE的长是 【答案1号 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得-D AC DE ,据此代 入数据计算即可， 【详解】解：l∥1∥13， AB DE 2 DE AC DF DE+4' 故答案为：号 12.如图，己知在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，DE II BC,EFUAB,且AD:DB=3:4,则 CF:BF= B 【答案】43 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键 本题根据平行线分线段成比例定理的知识，进行解答，即可求解， 【详解】解：~AD:DB=3:4,DE I BC, 29 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） AD 3 AE DB 4 EC' EFAB, BF AE 3 CFEC4' C℉_4=4：3， BF 3 故答案为：43. 13.如图，△ABC中，∠C=90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，如果 AE=2BE,且S△ABC=36,那么正方形CDEF的面积为· B 【答案】16 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成 比例定理是解题的关键 设正方形CDEF的边长为x,得到CD=CF=EF=DE=x根据平行线分线段成比例定理得到 4D-4g=2,BF-BE-, CD BE 2CFE2,求得4D=2CD=2,BF=x,4C=3x,BC=x,根据三角形的面积公式 列方程得到CD=4,于是得到正方形CDEF的面积=4×4=16， 【详解】设正方形CDEF的边长为x, .'CD=CF=EF DE=x, .DE BC,EF I AC, D-4g-2,BF-BE-1, CD BE CF AE2' 1 ∴.AD=2CD=2x,BF= .AC =3x,BC=3x 3, S.ABC =36, 4CBC=}3x2x=36, 1 3 2 2 30 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） x=4(负值舍去)， ∴.CD=4, 正方形CDEF的面积=4×4=16. 故答案为：16. 14.如图，在△ABC中，D为BC边上的中点，点E为AC边上一点，BE交AD于点G,当二时，则4G AC AD B 【答案1号 【分折取CE的中点K连接DP,根据三角形中位线定理可得DF∥BG,从而得到S船，再结合二号 AD AF 即可求解。 【详解】解：如图，取CE的中点F,连接DF, D为BC边上的中点， DF是△BCE的中位线， DF∥EG, AG AE AD AF AE 1 AC4’ ..CE =3AE, EF=LCE=3AE AF=AE+EF=二AE, 2 AG AE 2 、 AD AF 5 31 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 三、解答题 15,如图，知AB∥EF∥CD,AD与BC相交于点O,如果CE=6,EB=18,DF=4,求AD的长. E 【答案】16 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键，根据 AB∥EF∥CD得到 BE AF ,求出AF=12,即可得到AD的长 CE DE 【详解】解：~AB∥EF∥CD, BE AF CE DF .CE=6,EB=18,DF=4, 18 AF 64 解得：AF=12, .∴.AD=AF+DF=12+4=16 16.如图，已知DE∥BC,DF∥AC,且DE=4cm,AD=3cm,BD=6cm,求：线段BF的长 【答案】BF=8cm 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质与判定，可证明四边形CEDF是平行 四边形并求出CF的长，根据平行线分线段成比例定理可得 二0据比代入数值求解即可。 【详解】解：DE∥BC,DF∥AC, 四边形CEDF是平行四边形， ..CF =DE =4cm DFMAC, 32 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） BE BD BF 6 CF AD ,即 4-3 ∴.BF=8cm 17.如图，在△ABC中D、F分别是AB、BC上的点，且Dl4C,化∥DF,0,郎=9am,求 EF和FC的长. B 【答案】EF=6cm，,FC=16cm 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键，利 用平行线分线段成比例得到B识-BD,BE_BD E5D·ECD,进而求解即可， 【详解】解：AE∥DF, BD 3 AD-2 BF=9cm, BF BD ,即 93 EF AD F2' 解得：EF=6, .BE=BF+EF=9+6=15(cm）. DEAC, BE BD EC AD ，即 153 C-2' 解得：EC=10, ∴.FC=EF+EC=6+10=16(cm), ..EF =6cm FC=16cm. 18.如图，在△ABC中，∠BAC=90°. (1)尺规作图：作线段AC的垂直平分线L,分别交BC,AC于点E,F;(要求：保留作图痕迹，不写作法，标 明字母) 33 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） (2)在（1)所作的图中，连接AE,若AB=AC=2,求AE的长. 【答案】(1)见解析 (2)N2 【分析】(1)根据线段垂直平分线的基本作图，求解即可； (2)连接AE,根据平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，求解即可； 【详解】(1)解：根据题意，作图如下： 米 则直线即为所求； (2)解：如图，连接AE, 由(1)知EF⊥AC,且平分AC, .EF∥AB,且F是AC的中点， 故CE、cF EB FA E是BC的中点， AB=AC=2, 1水 :.BC=VAB2+AC2=V22+22=2V5, 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AE=】BC=√2， 19.如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，D是边BC的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图.（保留 作图痕迹) 34 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 图1 图2 (1)在图1中作线段AB的中点P. (2)在图2中作菱形DECF,点F在AC上. 【答案】(1)见解析 (②)见解析 【分析】(1)延长ED,交AB于点P,根据等边三角形的性质可知EP∥AC，然后根据平行线所截线段成比 例可进行求解； (2)连接AD,延长ED,交AB于点P,连接CP,交AD于点O,连接BO并延长，交AC于点F,连接DF,根 据等边三角形的三线合一及菱形的判定易得点F即为所求， 【详解】(1)解：如图1，点P即所求. B 图1 (2)解：如图2，菱形DECF即所求. B C E 图2 35 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 20.如图，P为□ABCD对角线BD上任意一点.求证：PQ·PI=PR·PS R B 【答案】见解析 【分析J根据平行四边形的性质得到RB∥D,SD∥B即，进而根据平行线分线段成比例定理得到PRPB PI PD PS P' 由此即可证明Pp·PI=PR·PS 【详解】证明：~四边形ABCD为平行四边形， ∴.AB∥CD,AD∥BC, .RB∥DLSD∥BO, PI PDPD PS PRPB'PB PO PI PD PS PR PB PO' ∴.Pg·PI=PR·PS. 【点晴】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，熟知平行线分线段成比例定理是 解题的关键. 21.如图，△ABC中，BC=12,AC=8V2,∠C=45,P是BC边上的一个动点，过点P作PD∥AB与AC 相交于点D,连接AP,设线段BP的长为x,△APD的面积为y, B (I)用含x的代数式表示线段PC、AD的长度； (2)求y与x之间的函数关系式，并指出函数的定义域； (3)是否存在一个位置的点P,使△APD的面积等于△APB的面积的？如果存在，求出BP的长；如果不存在， 请说明理由， 【详解】(1)解：过点P作PE⊥AC于点E. 36 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） D 由BP=x,可得PC=12-x, PD∥AB,AC=8V2, 故B即、D x AD BC-AC 代入得282 1D=2 -x, 3 (2)2C=45°， :Pg=Cg=5pc=512-. 2 2 ky-1pg:4D=22-x=-r+4x(0<x<12 21 22 3 (3)过点A作AF⊥BC于点F. D B 由∠C=45°，AC=8V2, ..AF=CF=8, 1 故S.Aa=2AF·BP=4, 又△APD的面积是△APB面积的， 解得：x=8,x=0(舍去) 即BP=8. 22.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A(-2,0),点B(0,4),与反比例函数y=(x>0) 37 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） 的图象交于点C(n,6). 备用图 (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点C重合），过点P作PQ∥x轴：交线段0C于 g:若ce-1 OC2:求点P的坐标 (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形时， 求点N的坐标. 【答案】①)一次函数的解析式为y=2x+4,反比例函数的解析式为y= (2)(2,3) 32 【分析】(1)利用待定系数法进行解答即可； 2作CE1:销于向E交0于应半行线分线假成t侧5真器器-}果出cF=3。 EF=6-3=3,得到点P的纵坐标为3，即可求出答案； (3)分BC、MN为对角线、BM为对角线、BN为对角线三种情况进行解答即可. 【详解】(1)解：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于点A(-2,0),点B(0,4), 「-2k+b=0 [k=2 b=4 00，解得6=4' 一次函数的解析式为y=2x+4, 点C(n,6)在直线y=2x+4上， .2n+4=6, 解得n=1, 点C(1,6), 38 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） :点C(n,6)在反比例函数y=”(m≠0)的图象上， ∴.m=1×6=6, :反比例函数的解析式为y= (2)解：作CE⊥x轴于点E,交PQ于点F, B E 点C(1,6, CE=6, P2∥x轴， FQ∥OE, CF CO 1 CE CO2' 即CF、1 6=2’ CF=3,EF=6-3=3, ∴点P的纵坐标为3， :6=3,解得x=2 …点P的坐标为(2,3). 6 (3)解：设M(m,O),Nn, n 以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，B(0,4),C(1,6), 当BC、MN为对角线时， 0+1=m+n 由中点坐标公式得： 4+6=6, n 2 m三 5 解得 3 n= 5 39 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） 当BM、CN为对角线时， 0+m=1+n 由中点坐标公式得： 4+0=6+6 n m=-2 解得 n=-3' N(-3,-2)(舍)； 当BW、CM为对角线时， 0+n=1+m 由中点坐标公式得： 4+6 =0+6' n 「m=2 解得： n=3; .N(3,2) 综上所述，点N的坐标为N 或(3,2). 40