第28章专题02 平行线分线段成比例（暑假自学讲义）2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题02 平行线分线段成比例 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 由平行辨析比例线段 题型2 根据比例线段计算 题型3 尺规作图分线段成比例 题型4 作平行线构造比例线段 · 理解平行线分线段成比例定理及其推论； · 掌握定理在三角形中的两个模型（A 型、X 型模型），分清题设和结论； · 会添加辅助线构造平行线模型，解决线段比例证明题，为相似三角形判定打基础. 知识点讲解 1. 平行线分线段成比例定理1 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的线段成比例。 模型：图1 (A型图) 图2（X型图） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴ ∴ 2. 平行线分线段成比例定理2 两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。 模型：图1 图2 符号语言： ∵ ∵ ∴ ∴ 3. 平行线分线段成比例定理推论（平行线等分线段定理） 两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 模型：图1 图2 符号语言： ∵，DF=FB ∵, DM=MB ∴EG=GC ∴EN=NC 题型归纳 题型1 平行线分线段成比例的辨析 【例1】求证：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的线段成比例。 【例2】如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【例3】如图．在中，，．求证：是和的比例中项． 【方法点睛】 上述题型考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 利用定理结合比例线段的各种性质这里常用以下类型的结论； ，，，， 【变式练习】 1．如图，，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，点E是延长线上一点，与，分别相交于点G，F．求证：．      题型2 平行线分线段成比例的计算 【例1】如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为________． 【例2】如图，已知在中，，，，，．求和的长度． 【变式练习】 1．如图，直线，直线依次交，，于点，，，直线依次交，，于点，，，若，，则的长为______． 2．如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 3．如图所示，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，已知，，则的值为_____． 4．如图，直线，直线交于点；直线交于点．已知，则的长为__________． 5．如图，若，，则_____． 6．如图，在中，点在上，，交于，且，则___________． 7．如图，在中，，，则______． 8．如图，在中，已知，，点分别在边上，，，．则四边形的周长为__________． 题型3利用平行线分线段成比例作图 【例1】如图，已知线段，在线段上求作一点C，使． 【例2】如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使． 【变式练习】 1．如图，在的方格纸中，点都在格点上，在图中仅用无刻度的直尺，把线段三等分（保留画图痕迹，不写画法）． 2．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段上求作点，使得 (保留作图痕迹，不写作法)． (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 3．如图，在中，是上的一点．请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母） 4．如图是的正方形网格，是格点三角形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． 在图①中在上取一点，使得； 5．汉字书法是中华民族的文化瑰宝．毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸．现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的行列． 学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1：再将图1沿着对角线对折一次，得到图2，对角线分别与折痕、、的交点K、L、M即为对角线的四等分点． 求证：K为对角线的四等分点； 6．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形： (1)在图1中作出的中点P； (2)在图2中的线段上取一点H，连接，使点H满足． 题型4 作平行构造分线段成比例 【例1】角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：图②，过C作，交的延长线于E． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图③，已知中，，，，平分，求的周长为______； (3)如图④，在中，E是的中点，是的平分线，交于点F，，，求的长． 【变式练习】 1．如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 3．中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 过关练习 一、单选题 1．如图，在中，，，如果，那么（     ） A． B． C． D． 2．如图，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点在边上，，交于点，若线段，则线段的长为（     ） A．7.5 B．10 C．15 D．20 4．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 5．已知线段a，b，c，作线段x，使，那么正确的作法是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点D为中点，作的垂直平分线，与交于点E，连接，点F为的中点，连接．若，则的长为（） A．3 B．6 C．9 D．12 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，为的中点，若，连接，则的长为(    ) A． B． C． D．2 8．如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，，则__________． 10．如图，直线，如果，那么的长是___________． 11．如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 12．如图，已知在中，点D、E分别是边、上的点，，，且，则__________． 13．如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为_____． 14．如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 三、解答题 15．如图，已知，与相交于点．如果，，，求的长． 16．如图，已知，且，求：线段的长． 17．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 18．如图，在中，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 19．如图，和均为等边三角形，D是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作线段的中点P． (2)在图2中作菱形，点F在上． 20．如图，为对角线上任意一点．求证：．    21．如图，中，，，，是边上的一个动点，过点作与相交于点，连接，设线段的长为，的面积为．    (1)用含x的代数式表示线段PC、AD的长度； (2)求与之间的函数关系式，并指出函数的定义域； (3)是否存在一个位置的点，使的面积等于的面积的？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由． 22．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点C重合），过点P作轴；交线段于Q；若；求点P的坐标． (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $null