题02 知识点15：幂函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 幂函数专项训练以“概念-性质-应用”逻辑链为主线，系统提炼4类常考题型解题方法，融合高考考情与易错点，培养数学抽象、几何直观与推理能力，实现知识建构与解题能力双重突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|4类核心题型|概念辨识三特征判断、比较大小三策略（同指/同底/中间值）、单调性求参步骤、图象识别四步法（正负/过原点/奇偶性/指大图高低规律）|定义→特征→性质（图象规律/奇偶性/单调性）→应用| |实战演练|19题（选择8/多选3/填空3/解答5）|覆盖考向预测6大考点，易错点专项突破（如幂函数与指数函数区分、定义域陷阱）|从基础辨识到交汇综合，梯度递进|

知识点15：幂函数 一、核心知识框架 幂函数是基本初等函数之一，在高考中主要考查幂函数的定义、图象与性质，以及利用幂函数的单调性比较大小、求解参数取值范围等问题。幂函数常与指数函数、对数函数、二次函数等知识交汇命题，题型以选择题、填空题为主，难度中等。 二、幂函数的基本概念 1. 幂函数的定义 一般地，形如 （）的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数。 2. 幂函数的特征 幂函数须同时满足以下三个条件： 1. 的系数为 1； 1. 底数 是自变量； 1. 指数 为常数。 对于形如 、、 等形式的函数，均不是幂函数。 三、五种常见幂函数的图象与性质 1. 图象特征 高考中重点研究的五种幂函数为：、、、、。 2. 性质对比表 函数 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在 上减，在 上增 增 增 在 和 上均减 公共点 四、幂函数的重要性质 1. 图象特征规律 · 所有的幂函数在 上都有定义，且图象都过定点 。 · 当 时，幂函数的图象过原点 ，且在区间 上单调递增。 · 当 时，幂函数的图象不过原点，且在区间 上单调递减。 · 幂函数的图象一定出现在第一象限，一定不会出现在第四象限。 · 幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；若与坐标轴相交，交点一定是原点。 2. 图象走向规律 · 在 上，幂函数的指数越大，函数图象越接近 轴（简记为"指大图低"）。 · 在 上，幂函数的指数越大，函数图象越远离 轴（简记为"指大图高"）。 3. 奇偶性与指数关系 对于形如 （其中 ，， 与 互质）的幂函数： 条件 奇偶性 图象特征 为偶数 偶函数 图象关于 轴对称 、 均为奇数 奇函数 图象关于原点对称 为偶数 非奇非偶 图象只在第一象限（或第一象限及原点处） 五、常考题型与解题方法 题型一：幂函数的概念辨识 解题思路：严格按照幂函数的三条特征（系数为 1、底数为自变量、指数为常数）进行判断。 题型二：利用幂函数图象比较大小 解题思路： 1. 同指数不同底：利用幂函数 的单调性比较； 1. 同底不同指数：利用指数函数 的单调性比较； 1. 既不同底又不同指数：常寻找中间值（如 0 或 1）进行比较。 题型三：利用幂函数的单调性求参数范围 解题思路： 1. 由幂函数定义确定系数条件（ 等）； 1. 利用单调性（ 递增， 递减）确定不等式； 1. 结合奇偶性等条件综合求解。 题型四：幂函数的图象识别 解题思路： 1. 观察图象走向判断 的正负（ 递增， 递减）； 1. 观察图象是否过原点判断 是否大于 0； 1. 利用奇偶性判断图象对称性； 1. 利用指大图高/图低规律辅助判断。 六、高考考情分析 考向预测：幂函数是高考数学的必考内容，通常以选择题、填空题的形式出现，难度中等。常与指数函数、对数函数、二次函数等交汇命题，考查函数图象识别、性质应用及比较大小等问题。 常见考点： 1. 幂函数的概念与辨识 1. 幂函数图象的识别与判断 1. 利用幂函数性质比较大小 1. 利用幂函数单调性求参数 1. 幂函数与指数函数、对数函数的综合应用 1. 幂函数奇偶性、定义域、值域的综合考查 七、易错提醒 1. 幂函数与指数函数的区分：幂函数 的底数是自变量、指数是常数；指数函数 的底数是常数、指数是自变量。两者极易混淆，需特别注意。 1. 系数为 1 的要求： 等形式的函数不是幂函数，因为 的系数不为 1。 1. 定义域问题： 为分数时，需根据分母的奇偶性确定函数的定义域，不可盲目认为定义域为 。 1. 图象不过第四象限：幂函数图象一定不会出现在第四象限，这一性质可用于排除错误选项。 1. 单调性区间：当 时，幂函数在区间 和 上分别单调递减，但在整个定义域上不具有单调性。 实战演练 一、单选题 1.已知幂函数 在 上单调递减，则实数 的值为（ ） A. 0或1 B. 1或1 C. 1 D. 0 2.已知幂函数 的图象与 轴无交点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.已知幂函数 的图象经过点 ，则 的定义域为（ ） A. B. C. D. 4.已知幂函数 的图象过点 ，则函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 5.若函数 是偶函数，且值域为 ，则 可以是（ ） A. B. C. D. 6.已知幂函数 ，，， 在第一象限内的图象如图所示分别是 ，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7.已知幂函数 在 上单调递减，则 （ ） A. B. 3 C. D. 8.下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9.已知点 在幂函数 的图象上，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数 是奇函数 B. 函数 是偶函数 C. D. 函数 在定义域内是减函数 10.已知幂函数 的图象过点 ，则（ ） A. B. 的定义域是 C. 在定义域上单调递减 D. 无最小值 11.已知幂函数 的图象经过点 ，则（ ） A. 函数 的定义域为 B. 函数 是偶函数 C. 函数 的单调增区间为 D. 函数 的值域为 三、填空题 12.若幂函数 的图象经过点 ，则实数 的值为______。 13.若 ，，，则 的大小关系为______。 14.已知幂函数 的图象关于 轴对称，则 ______。 四、解答题 15.已知幂函数 在 上单调递增。 （1）求 的值及函数 的解析式； （2）若 有两个不相等的正数解，求实数 的取值范围。 16.已知幂函数 的图像经过点 。 （1）求此幂函数的表达式和定义域； （2）若 ，求实数 的取值范围。 17.幂函数 在第一象限的大致图象如图所示。 （1）求 的解析式，并写出其值域； （2）若 ，求 的值。 18.函数 和 的图象如图所示。设两函数的图象交于点 ，且 。 （1）请指出图中曲线 分别对应的函数； （2）求点 的坐标； （3）结合函数图象，判断 的大小。 19.已知幂函数 的图象关于 轴对称。 （1）求 的值； （2）设 ，若对任意的 ，总存在 ，使 成立，求实数 的取值范围。 参考答案 一、单选题 1. 答案：A 解析：幂函数定义要求系数为1，即 或 。 2. 答案：B 解析：幂函数 图象与 轴无交点 指数 ，即 。 3. 答案：C 解析：设 ，过点 ：。，定义域为 。 4. 答案：D 解析：设 ，代入 ：。，定义域 。 要求 。 5. 答案：B 解析：A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确。 6. 答案：C 解析：幂函数第一象限图象规律： 时，图象越高指数越大。 陡增 ； 缓增 ； 递减，且 时 在 上方 。故 。 7. 答案：C 解析：幂函数系数为1： 或 。在 递减要求指数 ，故 。，。 8. 答案：D 解析：A 非奇非偶；B 不是幂函数；C 为偶函数；D 既是幂函数又是奇函数。 二、多选题 9. 答案：AC 解析：代入 得 ，。A 奇函数正确；B 偶函数错误；C 正确；D 在各自区间递减，不能说定义域内整体减。 10. 答案：ACD 解析：代入 得 ，。A 正确；B 定义域为 ，不是 ；C 在 上递减正确；D 无最小值正确。 11. 答案：ACD 解析：代入 得 ，。A 定义域 正确；B 非奇非偶错误；C 增区间 正确；D 值域 正确。 三、填空题 12. 答案： 解析：。 13. 答案： 解析：； 在 单调递增，。综上 。 14. 答案：3 解析：系数为1： 或 。图象关于 轴对称要求指数 为偶数。 时指数2为偶，符合； 时指数-3为奇，舍去。 四、解答题 15.解： (1) 幂函数系数为1： 或 。 在 单调递增要求指数 ，且 ，故 。 。 (2) 整理得 ，设两根 ，满足： 由 得 或 ；由 得 ；由 得 。取交集得 。 16.解： (1) 设 ，过 ：。 ，定义域 。 (2) 在 单调递减，故： 解得 ，，，取交集得 。 17.解： (1) 幂函数系数为1： 或 。 图象在第一象限递增平缓，指数 。 时指数1为直线，不符合； 时指数 符合。故 ，值域 。 (2) 已知 ， 即 。令 ，则 。 。 18.解： (1) 时， 时 ， 时指数函数增长远快于二次函数。故 为 ， 为 。 (2) 解 （）： 时 ； 时 。故 ，。 (3) ：；：指数增长更快，。综上：。 19.解： (1) 幂函数系数为1： 或 。 图象关于 轴对称要求指数 为偶数。 时指数1为奇函数，舍去； 时指数2为偶函数，符合。故 。 (2) 题意： 的值域 $\subseteq g(x_2) $ 的值域。 ，。 ，，值域为 。 要求 ，满足： 解得 ，，，取交集得 。 学科网（北京）股份有限公司 $