25.2.1 配方法 第1课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦人教版九年级上册“直接开平方法”解一元二次方程，通过复习回顾、知识点讲解（x²=p和(mx+n)²=p型）、例题解析、分层练习及课堂小结，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生掌握降次转化思想。 资料特色突出核心素养，以“试一试”“探究”活动引导学生用数学眼光观察方程特征，通过流程图和实例推理转化过程（如(x+3)²=5的求解），结合三角形边长、游戏情境题培养模型观念，对应练习分层且含错解分析，助力学生理解原理，为教师提供系统教学素材，提升教学效率。九年级学生面临升学，需扎实掌握一元二次方程解法基础，为后续学习和中考复习奠定关键能力。

1.如果 x2=a ，则 x 叫作 a 的________. 平方根 2.如果 x2=a(a≥0)，则 x =________. ± 3.如果 x2=16，则 x =________. ±4 4.你会解哪些方程，如何解的？ 二元、三元一次方程 一元一次方程 分式方程 消元 去分母 思考：一元二次方程如何解？ 复习回顾 人教版九年级上册 25.2 降次——解一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 试一试：说出下列方程的解，并说明你所用的方法. 一元二次方程 方程的解 方法 x2=4 x1=2，x2= –2 根据平方根的意义直接开方 x2=0 x1= x2= 0 根据平方根的意义直接开方 x2= – 4 无实数根 负数没有平方根 探索新知 知识点1 可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法 一般地，对于方程 x2=p， （1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = – ； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； （3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有x2 ≥ 0，所以方程无实数根. 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 知识点1 可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法 1.用直接开平方法解一元二次方程： （1）x2＝25；　　（2）x2－16＝0. 解：（1）根据平方根的意义，得x＝ ⁠， 即x1＝ ，x2＝ ⁠. （2）移项，得 ⁠. 根据平方根的意义，得x＝ ⁠， 即x1＝ ，x2＝ ⁠. ±5　 5　 －5　 x2＝16　 ±4　 4　 －4　 对应练习 2.用直接开平方法解一元二次方程： （1）x2＝0；　　（2）x2－1＝－8. 解：（1）根据平方根的意义，得x＝±0， 即x1＝x2＝0. （2）移项，得x2＝－7. ∵x2≥0，－7＜0， ∴原方程无实数根. 解：（1）根据平方根的意义，得x＝±0， 即x1＝x2＝0. （2）移项，得x2＝－7. ∵x2≥0，－7＜0， ∴原方程无实数根. 对应练习 对照上面解方程 x2=4 的过程，你认为应怎样解方程 (x+3)2=5？ 解：(x+3)2=5 直接开平方，得 x+3=±， 移项，得 x=± – 3， 所以 x1= – 3，x2= – – 3. 一元二次方程 一元一次方程 知识点2 可化为(mx＋n)2＝p(p≥0)型方程的解法 二元、三元一次方程 一元一次方程 分式方程 消元 去分母 一元二次方程 降次 直接开平方法解一元二次方程，实质上是利用平方根的意义把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了. 知识点2 可化为(mx＋n)2＝p(p≥0)型方程的解法 例1 解下列方程： （1）4x2 – 3 = 0； （2）(x+2)2 – 9 = 0. 解：（1）移项，并将二次项系数化为1，得 x2 = . 由此可得 x =±. 即 x1 = ， x2 = – . 例题解析 例1 解下列方程： （1）4x2 – 3 = 0； （2）(x+2)2 – 9 = 0. 解：（2）移项，得 (x+2)2 = 9. 由此可得 x+2=±3，x+2=3，或 x+2= – 3， 即 x1 =1， x2 = – 5 . 例题解析 方法小结 利用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤为： ①移项，将方程转化为 x2=n 或 (mx+n)2=p (p≥0) 的形式 ②方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程 ③解这两个一元一次方程 ④写出一元二次方程的两个解 1.解下列方程： （1）（x－2）2＝9； 解：（1）由原方程，得x－2＝±3， 即x－2＝3，或x－2＝－3. ∴x1＝5，x2＝－1. 解：（1）由原方程，得x－2＝±3， 即x－2＝3，或x－2＝－3. ∴x1＝5，x2＝－1. 对应练习 （2）x2＋2x＋1＝5. （2）由原方程，得（x＋1）2＝5. ∴x＋1＝± ， 即x＋1＝ ，或x＋1＝－ . ∴x1＝ －1，x2＝－ －1. （2）由原方程，得（x＋1）2＝5. ∴x＋1＝± ， 即x＋1＝ ，或x＋1＝－ . ∴x1＝ －1，x2＝－ －1. 1.解下列方程： 对应练习 直接开平方法解一元二次方程 原理 利用平方根的意义 思想 通过“降次”将一元二次方程转化为一元一次方程 课堂小结 1. 方程x2－36＝0的解为x＝ ⁠. 2. 若关于x的方程(x－2)2＝1＋m有实数根，则m的取值范围 是(　D　) A. m＜1 B. m≤1 C. m＞－1 D. m≥－1 ±6　 D 课堂练习 A层 基础练 3. 解下列方程： (1)9x2－5＝3； 解：(1)移项，得9x2＝8. 二次项系数化为1， 得x2＝ . ∴x＝± ， 即x1＝ ， x2＝－ . 解：(1)移项，得9x2＝8. 二次项系数化为1， 得x2＝ . ∴x＝± ， 即x1＝ ，x2＝－ . (2)0.8x2－4＝0； (2)移项，得0.8x2＝4. 二次项系数化为1，得x2＝5. ∴x＝± ， 即x1＝ ，x2＝－ . (2)移项，得0.8x2＝4. 二次项系数化为1，得x2＝5. ∴x＝± ， 即x1＝ ，x2＝－ . A层 基础练 (3)(x－5)2＝16； (3)由原方程， 得x－5＝±4， 即x－5＝4， 或x－5＝－4. ∴x1＝9，x2＝1. (3)由原方程， 得x－5＝±4， 即x－5＝4，或x－5＝－4. ∴x1＝9，x2＝1. (4)(2－x)2－9＝0. (4)移项，得(2－x)2＝9. ∴2－x＝±3， 即2－x＝3，或2－x＝－3. ∴x1＝－1，x2＝5. (4)移项，得(2－x)2＝9. ∴2－x＝±3， 即2－x＝3，或2－x＝－3. ∴x1＝－1，x2＝5. A层 基础练 4. 小华解方程(x＋6)2－9＝0的过程如下： 解：移项，得(x＋6)2＝9.……………………第一步 根据平方根的意义，得x＋6＝3.……………第二步 由此可得x＝－3.………………………………第三步 小华的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程. 解：正确的解答过程为： 移项，得(x＋6)2＝9. 根据平方根的意义，得x＋6＝±3. 由此可得x1＝－3，x2＝－9. 二　 解：正确的解答过程为： 移项，得(x＋6)2＝9. 根据平方根的意义，得x＋6＝±3. 由此可得x1＝－3，x2＝－9. A层 基础练 5. 已知三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程 (x－3)2＝4的根，则此三角形的周长为 ⁠. 15　 B层 提升练 6. 解下列方程： (1)x2－6x＋9＝5； 解：(1)由原方程，得(x－3)2＝5. ∴x－3＝± ， 即x－3＝ ，或x－3＝－ . ∴x1＝3＋ ，x2＝3－ . 解：(1)由原方程，得(x－3)2＝5. ∴x－3＝± ， 即x－3＝ ，或x－3＝－ . ∴x1＝3＋ ，x2＝3－ . B层 提升练 (2)5(x－2)2＋10＝0. (2)移项，得5(x－2)2＝－10. 二次项系数化为1，得(x－2)2＝－2. ∵(x－2)2≥0，－2＜0， ∴原方程无实数根. (2)移项，得5(x－2)2＝－10. 二次项系数化为1，得(x－2)2＝－2. ∵(x－2)2≥0，－2＜0， ∴原方程无实数根. 6. 解下列方程： B层 提升练 7.[基本思想—整体思想]若关于x的方程a(x＋k)2＋2026＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，k均为常数，a≠0)，则关于x的方程a(x＋k＋2)2＋2026＝0的解是 　 　.  x1＝－4，x2＝－1 8. 在实数范围内定义一种新运算“△”， 规定：a△b＝a2－b2.根据该规定，若（x＋2）△5＝0， 则x的值为 ⁠. 3或－7　 C层 拓展 9. (核心素养·模型观念)嘉嘉和琪琪用图中的A，B，C，D四 张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则 如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片 排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算， 并说出计算结果.例如，嘉嘉说2，对2按A→B→C→D的顺序 运算，则琪琪列式计算得[(2＋3)×(－3)－2]2＝(－15－2)2＝ (－17)2＝289. (1)嘉嘉说－2，对－2按C→A→D→B的顺序运算，其计算结果 为 ⁠； －3　 C层 拓展练 (2)嘉嘉说x，对x按C→B→D→A的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求嘉嘉说的数x. 解：(2)根据题意，得[(x－2)×(－3)]2＋3＝12. 化简，得9(x－2)2＝9. ∴(x－2)2＝1. ∴x1＝1，x2＝3. ∴嘉嘉说的数是1或3. 9. (核心素养·模型观念)嘉嘉和琪琪用图中的A，B，C，D四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果.例如，嘉嘉说2，对2按→B→C→D的顺序运算，则琪琪列式计算得[(2＋3)×(－3)－2]2＝(－15－2)2＝(－17)2＝289. C层 拓展练 $