第二十六章二次函数 培优卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级数学二次函数单元培优卷，以真实情境（如路亚垂钓、德化瓷器销售）融合基础与创新，覆盖定义、图像性质及应用，适配单元复习提升，发展抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、对称轴、图像交点|结合垂美四边形考面积最值，体现几何直观| |填空题|5/15|顶点坐标、方程求解、和谐抛物线|创新“和谐抛物线”概念，强化抽象能力| |解答题|8/75|解析式求法、利润问题、几何应用|德化瓷器销售题构建利润模型，钢架问题融合空间观念，发展应用意识与推理能力|

保密★启用前 九年级数学新教材第一学期第二十六章二次函数 培优卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十六章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 2.下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 3二次函数的图象与x轴交点的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4已知，点、、都在函数的图象上，那么（    ） A． B． C． D． 5对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（    ） A． B． C． D． 6.在已知抛物线上有三点，，．其中．为了比较，，的大小关系，小明认为可以用满足已知条件的特殊的a值和b值来猜测结论，而后再对所猜测的结论进行证明．受到小明想法的启发，我们可以得到，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7.下表记录了二次函数中两个变量与的组对应值， 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 8.路亚是一种受大众欢迎的垂钓方式，广为钓友青睐．如图，一身高的不知名钓友在一河宽的不知名水域路亚作钓．假设该钓友在岸边抛竿时，假饵水平出发落到离岸边处的鱼群（记为）．现以钓友所在位置为坐标原点建立坐标系，则下列相关结论正确的有（     ） A．假饵的轨迹可视作抛物线，则其对应的轨迹方程为 B．假饵的轨迹可视作抛物线，则其对应的轨迹方程为 C．若鱼咬饵后的瞬间鱼线被拉直，竿梢高度与该钓友高度相等．当鱼距离水面 时，鱼距离钓友的水平距离为24m. D．若鱼咬饵后的瞬间鱼线被拉直，竿梢高度与该钓友高度相等．当鱼距离水面 时，鱼距离钓友的直线距离为 9．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图，抛物线的对称轴为直线 ，经过点，下列结论：①；②；③；④点，在抛物线上，当时，；⑤若且，则．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若点在抛物线上，则的值为 12若二次函数（a，k为常数）与的图象交于点，则关于x 的方程的解为 ． 13．若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为 ． 14如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为 15.在一个电子游戏中，玩家操控角色在一段长度为1个单位的水平路径上移动，路径起点坐标为m，终点坐标为．游戏场景中存在一个能量函数，角色在路径上不同位置x对应的能量值由该函数计算．当角色在路径上移动时，其能量的最大值为2，那么m满足的条件为 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分已知抛物线 (1)与x轴的交点是________，与y轴的交点是________． (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线． (3)根据图像，直接回答，当时，的取值范围是___． 17.本小题分已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，经过（﹣5，0），（0，），（1，6）点；求（1）二次函数的解析式；（2）顶点坐标和对称轴；（3）当x为何值时，y随x的增大而减小？ 18.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，与x轴的一个交点为C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求出直线的函数解析式． 19.本小题8分如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20本小题10分福建历史悠久，文化底蕴深厚，专属特色文化更是数不胜数．为弘扬地方文化，让更多游客了解德化瓷器文化，某文旅公司推出多款瓷器产品．已知某小型德化瓷器的成本价是60元，当售价为80元时，每天可以售出120件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出20件． (1)设该小型德化瓷器降价元，则每天可以售出___________件． (2)为让利于游客且文旅公司每天获得利润3200元，该小型德化瓷器应该降价多少元？ (3)文旅公司某职员根据日常销售情况进行分析：“按照我们这样的销售模式进行售卖，每天的利润不可能达到4000元．”你认为他分析得是否正确？若不正确，请说明理由． 21.本小题10分某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，大棚的截面为某抛物线的一部分，以大棚截面与地面的一个交点为坐标原点，地面为轴，建立平面直角坐标系，如图，已知抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该农户准备沿、、安装一个钢架对大棚进行加固，使用的钢架总长度为8米．已知点、在抛物线上，点、在轴上，四边形是矩形，求钢架的高度．（接口处的材料损耗忽略不计） 22本小题12分 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求、两点坐标及的面积． (3)求点P的坐标，使的周长最小． 23本小题12分）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学新教材第一学期第二十六章二次函数 培优卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十六章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C B B B B B C 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 2026 12. 13． 14． 15． 或3或 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 解:（1）二次函数解析式为， 当时，， ， ，， 与轴的交点为，； 令，得， 与轴的交点为； 故答案为：，；．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉每空2分，共4分 （2）列表如下： 作图如下： ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （3）由图可知，对称轴为，最小值为， 当时，分两种情况： 当时，随的增大而减小，此时， 当时，随的增大而增大，此时； 综上所述：当时，． 故答案为：．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 17.本小题分) 解：（1）把点（﹣5，0），（0，），（1，6）代入y＝ax2+bx+c中， 得，， 解得：， 所以二次函数的解析式为yx2+7x．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）顶点坐标是（）┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 对称轴为x．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （3）∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而减小．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 18.本小题8分解： （1）在中，当时，． ∴点B的坐标是．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 当时，即． 解得，． ∵点C在对称轴的右侧， ∴点C的坐标是．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 ∵， ∴顶点A的坐标是；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 （2）设直线的函数解析式为， 将点，的坐标代入，得， 解，得， ∴直线的函数解析式是．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 19.本小题8分 （1）解：抛物线与x轴相交于、两点， 设抛物线的解析式为，即， ，， 解得，， 抛物线的解析式为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：存在．理由如下： 连接，如图， 当时， ， ， ， ， ， ， 当时， ， ， 点坐标为； 当时， 若点在B点左侧，点坐标为，若点在B点右侧，点坐标为， 综上所述，满足条件的P点坐标为或或．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 20本小题10分 解：（1）设该小型德化瓷器降价元，则每天可以售出的数量是 件， 故答案为：；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）设该小型德化瓷器降价元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 让利于游客， ， 该小型德化瓷器降价元时，文旅公司每天获得利润3200元；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）正确，理由如下： 设该小型德化瓷器降价元， 则 ， ， 当时，取最大值为元， ， 故他分析得正确．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 21.本小题10分） 解：（1）由图可得，抛物线与x轴的一个交点为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点， ∴抛物线的解析式为， 将代入得解析式， ， 解得，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴抛物线的解析式为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）设点的横坐标为， ∵四边形是矩形，且抛物线对称轴为， ∴点的横坐标为（关于对称轴对称）， ∴的长度为（米），┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 的长度为A的纵坐标，即（米）， ∵钢架总长度为8米， ∴， ∴ ， 解得或．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 若，则，不符合“矩形”的实际意义，舍去； 若，代入得：（米）， ∴钢架的高度为3米．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 22.本小题12分（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， ∴或， ∴，； ∴， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）解： 中， 令，则， ∴或， ∴，； ∵是定值，， 由抛物线的对称性，知点C与点D关于抛物线的对称轴直线对称， ∴，当点B，P，D三点共线时，取得最小值， 连接交直线于点P，此时的值最小，的周长最小． 设直线的解析式为， ， ， ． 当 时，． ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 23本小题12分 解：（1）将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 （2）根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 同理可得的坐标为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 综上，N的坐标为：或或． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期第二十六章二次函数 培优卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十六章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 2.下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：根据题意得： 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项符合题意； 故选：． 3二次函数的图象与x轴交点的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 解：二次函数的图象与x轴交点的个数，等价于方程的实数根的个数， 。 因为，所以方程有两个不相等的实数根， 即二次函数的图象与x轴有2个交点， 故选：B． 4已知，点、、都在函数的图象上，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，， ∴关于的对称点为：， ∵， ∴； 故选C 5对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：依题得：垂美四边形的对角线， 则四边形的面积， 设， ， ， 四边形的面积， ， ， 结合二次函数的性质可知，当时，四边形的面积取最大值，最大值为． 故选：． 6.在已知抛物线上有三点，，．其中．为了比较，，的大小关系，小明认为可以用满足已知条件的特殊的a值和b值来猜测结论，而后再对所猜测的结论进行证明．受到小明想法的启发，我们可以得到，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵抛物线 ∴假设，， ∴抛物线， ∴将，，代入得，，，， ∴． 证明：∵ ()一定过原点，其开口向上，且， ∴，，即， 又， ∴， ∵， ∴，即； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 综上，． 故选：B． 7.下表记录了二次函数中两个变量与的组对应值， 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 解：∵点和关于对称轴对称， ∴对称轴， ∴， ∴， ∴化简为． 根据表中的信息得，当时，，抛物线经过点 得：， ， ∴，， ∴ ∵， ∴二次函数开口向上 当时， 当时，有最小值， 当时，， 当时，， ∵直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：B． 8.路亚是一种受大众欢迎的垂钓方式，广为钓友青睐．如图，一身高的不知名钓友在一河宽的不知名水域路亚作钓．假设该钓友在岸边抛竿时，假饵水平出发落到离岸边处的鱼群（记为）．现以钓友所在位置为坐标原点建立坐标系，则下列相关结论正确的有（     ） A．假饵的轨迹可视作抛物线，则其对应的轨迹方程为 B．假饵的轨迹可视作抛物线，则其对应的轨迹方程为 C．若鱼咬饵后的瞬间鱼线被拉直，竿梢高度与该钓友高度相等．当鱼距离水面 时，鱼距离钓友的水平距离为24m. D．若鱼咬饵后的瞬间鱼线被拉直，竿梢高度与该钓友高度相等．当鱼距离水面 时，鱼距离钓友的直线距离为 【答案】B 解：假饵的轨迹可视作抛物线，设假饵的轨迹方程为， 由题可知抛物线过点，， 则， 解得， 即其对应的轨迹方程为， 故选项A结论错误，不符合题意；选项B结论正确，符合题意； 当鱼距离水面时，如图，竿梢高度，鱼位置为点，作轴于，连接， 由题意可得，，， ∴， 由题意得，三点共线， ∵轴，轴 ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴鱼距离钓友的水平距离为， 故选项C结论错误； 在中，， ∴鱼距离钓友的直线距离约为， 故选项D结论错误； 故选：B． 9．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 10．如图，抛物线的对称轴为直线 ，经过点，下列结论：①；②；③；④点，在抛物线上，当时，；⑤若且，则．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 解：抛物线的对称轴为直线， ， ，则①正确； ∵抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴上， ，， ， ，则②正确； 将点代入抛物线， 得：， 将代入，得， ，则③正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵点，在抛物线上， 且， 则，则④错误； ∵， ∴， ， ∴抛物线上横坐标为，的两个点关于直线对称， ， ，则⑤正确 综上，正确的结论有①②③⑤， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若点在抛物线上，则的值为 【答案】2026 解：∵点在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：2026． 12若二次函数（a，k为常数）与的图象交于点，则关于x 的方程的解为 ． 【答案】 解：∵二次函数与的图象交于点， ∴且， 两式相减得， ∵， ∴， 即， 解得， ∵方程的解是函数的图象与直线交点的横坐标，已知一个交点为， 且二次函数的对称轴为直线， ∴点关于二次函数对称轴的对称点为， ∴另一个交点为． 故方程的解为． 故答案为：． 13．若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为 ． 【答案】 解：在抛物线中，顶点坐标为，对称轴为直线， 将，代入，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 设以点为顶点的二次函数的表达式为， 将，代入，得， 解得，， ∴以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为． 故答案为：． 14如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为 【答案】 解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故答案 15.在一个电子游戏中，玩家操控角色在一段长度为1个单位的水平路径上移动，路径起点坐标为m，终点坐标为．游戏场景中存在一个能量函数，角色在路径上不同位置x对应的能量值由该函数计算．当角色在路径上移动时，其能量的最大值为2，那么m满足的条件为 【答案】或3或 解：当时，， ∴该函数图象开口向上，对称轴为，函数最小值为， 当x远离时，y的值增大， 当时，，解得或， ∵路径的长度为1个单位，起点坐标为m，终点坐标为， ∴要使路径上的函数最大值为2，则或， ∴或． 当时，， ∴该函数图象开口向上，对称轴为，函数最小值为， 当x远离时，y的值增大， 当时，，解得或， ∵路径的长度为1个单位，起点坐标为m，终点坐标为， ∴要使路径上的函数最大值为2，则或， ∴或． 综上所述，m满足的条件为或3或． 故或3或 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分已知抛物线 (1)与x轴的交点是________，与y轴的交点是________． (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线． (3)根据图像，直接回答，当时，的取值范围是___． 解:（1）二次函数解析式为， 当时，， ， ，， 与轴的交点为，； 令，得， 与轴的交点为； 故答案为：，；． （2）列表如下： 作图如下： （3）由图可知，对称轴为，最小值为， 当时，分两种情况： 当时，随的增大而减小，此时， 当时，随的增大而增大，此时； 综上所述：当时，． 故答案为：． 17.本小题分已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，经过（﹣5，0），（0，），（1，6）点；求（1）二次函数的解析式；（2）顶点坐标和对称轴；（3）当x为何值时，y随x的增大而减小？ 解：（1）把点（﹣5，0），（0，），（1，6）代入y＝ax2+bx+c中， 得，， 解得：， 所以二次函数的解析式为yx2+7x． （2）顶点坐标是（） 对称轴为x． （3）∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而减小． 18.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，与x轴的一个交点为C．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求出直线的函数解析式． 解： （1）在中，当时，． ∴点B的坐标是． 当时，即． 解得，． ∵点C在对称轴的右侧， ∴点C的坐标是． ∵， ∴顶点A的坐标是； （2）设直线的函数解析式为， 将点，的坐标代入，得， 解，得， ∴直线的函数解析式是． 19.本小题8分如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：抛物线与x轴相交于、两点， 设抛物线的解析式为，即， ，， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：存在．理由如下： 连接，如图， 当时， ， ， ， ， ， ， 当时， ， ， 点坐标为； 当时， 若点在B点左侧，点坐标为，若点在B点右侧，点坐标为， 综上所述，满足条件的P点坐标为或或． 20本小题10分福建历史悠久，文化底蕴深厚，专属特色文化更是数不胜数．为弘扬地方文化，让更多游客了解德化瓷器文化，某文旅公司推出多款瓷器产品．已知某小型德化瓷器的成本价是60元，当售价为80元时，每天可以售出120件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出20件． (1)设该小型德化瓷器降价元，则每天可以售出___________件． (2)为让利于游客且文旅公司每天获得利润3200元，该小型德化瓷器应该降价多少元？ (3)文旅公司某职员根据日常销售情况进行分析：“按照我们这样的销售模式进行售卖，每天的利润不可能达到4000元．”你认为他分析得是否正确？若不正确，请说明理由． 解：（1）设该小型德化瓷器降价元，则每天可以售出的数量是 件， 故答案为：； （2）设该小型德化瓷器降价元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 让利于游客， ， 该小型德化瓷器降价元时，文旅公司每天获得利润3200元； （3）正确，理由如下： 设该小型德化瓷器降价元， 则 ， ， 当时，取最大值为元， ， 故他分析得正确． 21.本小题10分某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，大棚的截面为某抛物线的一部分，以大棚截面与地面的一个交点为坐标原点，地面为轴，建立平面直角坐标系，如图，已知抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该农户准备沿、、安装一个钢架对大棚进行加固，使用的钢架总长度为8米．已知点、在抛物线上，点、在轴上，四边形是矩形，求钢架的高度．（接口处的材料损耗忽略不计） 解：（1）由图可得，抛物线与x轴的一个交点为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点， ∴抛物线的解析式为， 将代入得解析式， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设点的横坐标为， ∵四边形是矩形，且抛物线对称轴为， ∴点的横坐标为（关于对称轴对称）， ∴的长度为（米）， 的长度为A的纵坐标，即（米）， ∵钢架总长度为8米， ∴， ∴ ， 解得或． 若，则，不符合“矩形”的实际意义，舍去； 若，代入得：（米）， ∴钢架的高度为3米． 22本小题12分 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求、两点坐标及的面积． (3)求点P的坐标，使的周长最小． （1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， ∴或， ∴，； ∴， ∴； （3）解： 中， 令，则， ∴或， ∴，； ∵是定值，， 由抛物线的对称性，知点C与点D关于抛物线的对称轴直线对称， ∴，当点B，P，D三点共线时，取得最小值， 连接交直线于点P，此时的值最小，的周长最小． 设直线的解析式为， ， ， ． 当 时，． ∴． 23本小题12分）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期第二十六章二次函数 培优卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十六章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 2.下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 3二次函数的图象与x轴交点的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4已知，点、、都在函数的图象上，那么（    ） A． B． C． D． 5对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（    ） A． B． C． D． 6.在已知抛物线上有三点，，．其中．为了比较，，的大小关系，小明认为可以用满足已知条件的特殊的a值和b值来猜测结论，而后再对所猜测的结论进行证明．受到小明想法的启发，我们可以得到，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7.下表记录了二次函数中两个变量与的组对应值， 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 8.路亚是一种受大众欢迎的垂钓方式，广为钓友青睐．如图，一身高的不知名钓友在一河宽的不知名水域路亚作钓．假设该钓友在岸边抛竿时，假饵水平出发落到离岸边处的鱼群（记为）．现以钓友所在位置为坐标原点建立坐标系，则下列相关结论正确的有（     ） A．假饵的轨迹可视作抛物线，则其对应的轨迹方程为 B．假饵的轨迹可视作抛物线，则其对应的轨迹方程为 C．若鱼咬饵后的瞬间鱼线被拉直，竿梢高度与该钓友高度相等．当鱼距离水面 时，鱼距离钓友的水平距离为24m. D．若鱼咬饵后的瞬间鱼线被拉直，竿梢高度与该钓友高度相等．当鱼距离水面 时，鱼距离钓友的直线距离为 9．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图，抛物线的对称轴为直线 ，经过点，下列结论：①；②；③；④点，在抛物线上，当时，；⑤若且，则．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若点在抛物线上，则的值为 12若二次函数（a，k为常数）与的图象交于点，则关于x 的方程的解为 ． 13．若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为 ． 14如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为 15.在一个电子游戏中，玩家操控角色在一段长度为1个单位的水平路径上移动，路径起点坐标为m，终点坐标为．游戏场景中存在一个能量函数，角色在路径上不同位置x对应的能量值由该函数计算．当角色在路径上移动时，其能量的最大值为2，那么m满足的条件为 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分已知抛物线 (1)与x轴的交点是________，与y轴的交点是________． (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线． (3)根据图像，直接回答，当时，的取值范围是___． 17.本小题分已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，经过（﹣5，0），（0，），（1，6）点；求（1）二次函数的解析式；（2）顶点坐标和对称轴；（3）当x为何值时，y随x的增大而减小？ 18.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，与x轴的一个交点为C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求出直线的函数解析式． 19.本小题8分如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20本小题10分福建历史悠久，文化底蕴深厚，专属特色文化更是数不胜数．为弘扬地方文化，让更多游客了解德化瓷器文化，某文旅公司推出多款瓷器产品．已知某小型德化瓷器的成本价是60元，当售价为80元时，每天可以售出120件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出20件． (1)设该小型德化瓷器降价元，则每天可以售出___________件． (2)为让利于游客且文旅公司每天获得利润3200元，该小型德化瓷器应该降价多少元？ (3)文旅公司某职员根据日常销售情况进行分析：“按照我们这样的销售模式进行售卖，每天的利润不可能达到4000元．”你认为他分析得是否正确？若不正确，请说明理由． 21.本小题10分某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，大棚的截面为某抛物线的一部分，以大棚截面与地面的一个交点为坐标原点，地面为轴，建立平面直角坐标系，如图，已知抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该农户准备沿、、安装一个钢架对大棚进行加固，使用的钢架总长度为8米．已知点、在抛物线上，点、在轴上，四边形是矩形，求钢架的高度．（接口处的材料损耗忽略不计） 22本小题12分 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求、两点坐标及的面积． (3)求点P的坐标，使的周长最小． 23本小题12分）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $