第26章 二次函数 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第26章二次函数单元测试，覆盖二次函数定义、图象性质、实际应用等核心内容，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、系数、图象平移、性质判断|基础概念辨析，如第3题考查平移规律，第10题结合图象分析系数关系，培养几何直观| |填空题|5/15|函数过点、与轴交点、平移、实际建模|如第14题矩形花圃面积建模，体现用数学语言表达现实世界| |解答题|8/75|解析式确定、图象变换、拱桥问题、面积最值|综合应用突出，如23题四边形面积最值，融合几何直观与推理能力，符合单元复习提升需求|

第26章二次函数单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册 姓名    班级    分数       1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）. 1.下列函数的解析式中，一定为二次函数的是. A. B. C. D. 2.二次函数的二次项系数与常数项的和是. A. B. C. D. 3.把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为. A. B. C. D. 4.对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是. A. 对称轴是直线，最小值是 B. 对称轴是直线，最大值是 C. 对称轴是直线，最小值是 D. 对称轴是直线，最大值是 5.二次函数的图象经过点，，则关于的方程的根是. A. ， B. ， C. ， D. ， 6.抛物线与轴的两交点间的距离是. A. B. C. D. 7.用的绳子围成一个的矩形，则矩形面积与一边长为之间的函数关系式为. A. B. C. D. 8.某商场月份销售计算机台，如果后两个月每个月销售量都比上一个月增加相同的百分率，则这三个月销售计算机的总台数与的函数关系式是. A. 　　　　 B. 　　　　　　　　 C. D. 　 9.关于二次函数，下列说法正确的是. A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为 10.二次函数的图象如图所示，下列结论： ； ； ； 当时，随的增大而减小． 其中正确的有. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）. 11.若二次函数的图象过点，则的值是      ． 12.若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是      ． 13.将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式       ． 14.如图，用长为米的篱笆，一面靠墙墙的长度超过米，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米，则关于的函数解析式是       不写定义域． 15.若关于的函数与轴仅有一个公共点，则实数的值为_____________． 三、解答题：本题共8小题，共75分. 16.本小题分指出下列二次函数中相应的，，的值： ； ； ． 17.本小题分把二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象． 试确定，，的值； 指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18.本小题分已知二次函数的图象经过点． 求的值； 求出该二次函数图象的顶点坐标； 在所给坐标系中画出该函数的图象不要求列对应数值表，但要求尽可能画准确． 19.本小题分已知一抛物线与轴的交点是、，且经过点． 求该抛物线的解析式；求该抛物线的顶点坐标． 20.本小题分如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面的宽度为这时．拱高点到的距离为． 你能求出在图的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？ 如果将直角坐标系建成如图所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？ 21.本小题9分已知二次函数是常数． 求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； 如果把该函数图象沿轴向下平移个单位后，得到的函数图象与轴只有一个公共点，求的值？ 22.本小题分已知抛物线． 求这条抛物线的对称轴； 若该抛物线的顶点在轴上，求其解析式； 设点，在抛物线上，若，求的取值范围． 23.本小题分如图，开口向下的抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点． 求该抛物线所对应的函数解析式； 设四边形的面积为，求的最大值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】 解：化简得：不是二次函数，不合题意； B.只有当时才是二次函数，不合题意； C.是二次函数，符合题意； D.不是二次函数，不合题意； 故选C． 2.【答案】  【解析】考查二次函数的定义，同时注意系数不能忘了符号． 二次函数写成一般形式后，即可求二次项系数与常数项，即可得答案． 【解答】 解：二次项系数为，常数项为，两个数的和为． 故选B． 3.【答案】  【解析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象的平移规律是解答此题的关键． 根据“左加右减、上加下减”的平移规律进行解答即可． 【解答】 解：把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为：． 故选． 4.【答案】  【解析】解：由抛物线的解析式：， 可知：对称轴， 开口方向向下，所以有最大值， 故选． 根据抛物线的图象与性质即可判断． 本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型． 5.【答案】  【解析】 本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解为对应二次函数与轴交点的横坐标是解题关键． 根据二次函数的图象经过点，，直接得出方程的根． 【解答】 解：二次函数的图象经过点，， 关于的方程的根为，． 故选D． 6.【答案】  【解析】解：当时，，解得，， 所以抛物线与轴的两交点的坐标为，， 所以抛物线与轴的两交点间的距离为． 故选． 通过解方程得抛物线与轴的两交点的坐标，从而得到两交点间的距离． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 7.【答案】  【解析】 本题主要考查根据实际问题列出二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题． 先根据矩形一边长为，周长为得出另一边长为，再根据矩形的面积公式可得答案． 【解答】 解：矩形一边长为，周长为， 另一边长为， 矩形的面积， 故选． 8.【答案】  【解析】 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式． 根据题意列出三个月的销售量相加即可得出总销售量． 【解答】 解：根据题意得，第二个月的销售量为， 第三个月的销售量为， 故三个月销售计算机的总台数与的函数关系式是 故选A． 9.【答案】  【解析】 本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．  【解答】解：当时，，所以图象与轴的交点坐标为，错  ，对称轴为直线，错  当时，的值随值的增大而增大，错  二次函数的图象开口向上，有最小值，D正确  故选D 10.【答案】  【解析】解：抛物线开口向上，且与轴交于负半轴， ，， ，结论正确； 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， ，即，结论正确； 抛物线与轴有两个交点， ，即，结论正确； 抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，结论错误； 故选B． 二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可． 本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系． 11.【答案】  【解析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题，比较简单． 把点的坐标代入二次函数解析式计算即可求出的值． 【解答】 解：二次函数的图象过点， ， 解得． 故答案为． 12.【答案】  【解析】 本题考查了抛物线与轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 利用根的判别式列不等式求解即可． 【解答】 解：抛物线与轴没有交点， ， 即， 解得， 的取值范围是． 故答案为． 13.【答案】  【解析】 本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．  【解答】 解：抛物线向右平移个单位，得：； 再向上平移个单位，得：． 故答案为． 14.【答案】  【解析】 本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数解析式是解题的关键． 由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为米，再利用矩形的面积公式，即可得出关于的函数解析式． 【解答】 解：篱笆的总长为米，花圃垂直于墙的一边长为米， 花圃平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 15.【答案】或  【解析】 本题主要考查的是一次函数的定义，二次函数的定义，抛物线与轴的交点的有关知识，运用了分类讨论思想分为两种情况：当函数为二次函数时，当函数为一次函数时，分别求出即可． 【解答】 解：分为两种情况：当函数为二次函数时， 关于的函数与轴仅有一个公共点， ， 解得：， 当函数为一次函数时，； 故答案为或． 16.【答案】解：， ，，； ， ，，； ， ，，．  【解析】根据二次函数的定义解答． 本题考查的是二次函数的定义，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 17.【答案】解：二次函数的顶点坐标为， 把点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的点的坐标为， 原二次函数的解析式为， ，，； 由知， 二次函数的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 【解析】本题考查二次函数图象与几何变换，以及二次函数的性质． 利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，即可求出、、的值； 根据二次函数的性质求解即可． 18.【答案】解：二次函数的图象经过点． ， ； 该二次函数图象的顶点坐标为； 描点作图如下：  【解析】把代入可解得的值； 把进行配方得到，然后根据顶点式写出顶点坐标； 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为、，然后根据这些特征进行画图． 本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，当；抛物线的顶点式为，它的对称轴为直线，顶点坐标为；抛物线与轴的交点坐标为． 19.【答案】解：折抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 即； ， 所以抛物线的顶点坐标为  【解析】设交点式，然后把点坐标代入求出的值即可得到抛物线解析式； 把中的解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标； 本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法等知识，记住若给定抛物线与轴的交点坐标，，则可设交点式； 20.【答案】解：设该抛物线的解析式是， 由图象知，点在函数图象上，代入得： ， ． 该抛物线的解析式是； 设该抛物线的解析式是， 由图象知，点在函数图象上，代入得： ， 解得：，． 该抛物线的解析式是， 与抛物线比较，形状不变、表达式有变化．  【解析】由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可； 由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把，代入求出、的值即可． 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点． 21.【答案】证明：  ，  不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；  解：，  抛物线的顶点坐标为，  把该函数图象沿轴向下平移个单位后，得到的函数图象与轴只有一个公共点，  ，解得，，  即的值为．  【解析】证明即可；  先把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为，由于平移后函数图象与轴只有一个公共点，即顶点在轴上，所以，然后解关于的方程即可． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 22.【答案】解：抛物线． 抛物线的对称轴为直线； 抛物线的顶点在轴上， ， 解得或， 抛物线为或； 抛物线的对称轴为直线， 则关于对称点的坐标为， 当，时，； 当，或时，  【解析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 把解析式化成顶点式即可求得； 根据顶点在轴上得到关于的方程，解方程求得的值，从而求得抛物线的解析式； 根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的性质写出的取值． 23.【答案】解：，，， 设抛物线表达式为：， 将代入得：， 解得：， 该抛物线的解析式为：； 连接， 设点坐标为，， ，，， 可得：，，， ， 当时，最大，最大值为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $