2026年北师大版七年级数学下册暑假几何提升专题讲义 第四讲 手拉手模型

暑假提升专题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第四讲全等三角形一 手拉手模型 第4讲 手拉手模型 1 暑假提升专题 一、 知识讲解 模型解读 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手 拉手全等，也叫旋转型全等，常用边角边"判定定理证明全等。 常见模型与证法 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二 个顶点记为“右手”。 C达 次于)D 佑利 发)D E临H 对应操作：左手拉左手（即连结BD),右手拉右手（即连结CE),得△ABD△ACE。 产-套四 (等腰) 等边) 2 暑假提升专题 (等腰直角) 例题精析 【例1】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点 连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手"图形 (1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC,DE分别是底边. 求证：BD=CE; (2)解决问题：如图2.若△ACB和aDCE均为等腰直角三角形.∠ACB=∠DCE=90°，点 A,D,E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE,请判断∠AEB的度数 及线段CM,AE,BE之间的数量关系并说明理由. B 图1 图2 3 暑假提升专题 【例2】△ABC和△ADE都是等边三角形. (I)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点A重 合)，有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立；请证明. (2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段 A、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明： (3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段 A、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明 B D A(P) B 图0 图② 图3 暑假提升专题 【例3】如图0.在△1BC中，∠C=90.4C=BC=6,点D,E分别在边4CBC 上，且CD=CE=2此时AD=BE.AD1E成立. B B B D 图① 图② 图③ (1)将△CDE绕点C逆时针旋转90°时，在图2中补充图形，并直接写出BE的长度； (2)当△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，AD与BE的数量关系和位置关系是否仍 然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；(3)将△CDE绕点C逆时 针旋转一周的过程中，当A,D,E三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长度. 5 暑假提升专题 【例4】（培优综合）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形， ∠AOB=∠COD=90°.连接AD,BC,点H为BC中点，连接OH. 0 图1 图2 图3 (1)如图1所示，求证：OH=2AD且OH1AD (2)将△COD绕点O旋转到图2、图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并 选择一个图形证明你的结论 6 暑假提升专题 课后作业 1.如图点O是等边三角形MBC内-点01=2.0B=1.0C=5,则A10B与 0 △BOC 的面积之和为() 5 5 3V5 A.4 B.2 C.4 D.5 2.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4,点D,E分别为边AB,BC上的中点， 且BD=BB=V2 7 暑假提升专题 D E 图1 图2 图3 (I)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度a,连接AD,EC,则线段EC与AD的关 系是 (2)如图3，DE∥BC,连接AE,判断△EAC的形状，并求出EC的长； (3)继续旋转△BDE,当∠AEC=90时，请直接写出EC的长. 3.如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E,AE=BE,D是AE上的一点，且DE=CE,连接 BD.CD B 1 图 图3 (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量 关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变 8 暑假提升专题 ①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由 ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理 由 9暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第四讲 全等三角形 —— 手拉手模型 第4讲 讲 手拉手模型 一、知识讲解 模型解读 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 常见模型与证法 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 （等腰） （等边） （等腰直角） 二、例题精析 【例1】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 图1   图2 解析： (1) 证明 ∵ ∠BAC=∠DAE ∴ ∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE 又∵ AB=AC，AD=AE 在△BAD 与△CAE 中： AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴ △BAD ≌ △CAE (SAS)，∴ BD=CE。 (2) 答案：∠AEB=90°；AE=BE+2CM 解析： 1. 全等证明：∠BAC=∠DAE=90°，可推出∠BAD=∠CAE，AB=AC，AD=AE，△BAD ≌ △CAE (SAS)，得 AD=BE，∠ADB=∠AEC； 2. 角度计算：△ADE 是等腰直角三角形，CM⊥DE，∠ADE=∠AED=45°，∠ADB=180°−45°=135°，所以∠AEC=135°； ∠AEB=∠AEC−∠AED=135°−45°=90°； 3. 线段推导：等腰直角△ADE 中，CM 垂直斜边 DE，因此 DE=2CM； AE=AD+DE，结合 AD=BE 等量代换，得 AE=BE+2CM。 【例2】和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明． (2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； (3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 解析： (1) 证明 ∵ △ABC、△ADE 是等边三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60° ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE ∴ △BAD ≌ △CAE (SAS)，∴ BD=CE。 (2) 结论：PC=PA+PB 证明：在线段 PC 上截取 CQ=PB，连接 AQ； 1. 由 (1) 全等可得∠ABP=∠ACQ，AB=AC，PB=CQ，△ABP ≌ △ACQ (SAS)； 2. AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，∠PAQ=∠BAC=60°，△APQ 是等边三角形，PQ=PA； 3. PC=PQ+CQ=PA+PB。 (3) 结论：PB=PA+PC 【例3】如图①，在中，，，点，分别在边，上，且，此时，成立． （1）将绕点逆时针旋转时，在图②中补充图形，并直接写出的长度；（2）当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将绕点逆时针旋转一周的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的长度． 解析： (1) 答案：AD=BE (2) 关系：AD=BE，AD 垂直 BE，始终成立 证明： ∵ ∠ACB=∠DCE=90°，∴ ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE； AC=BC，CD=CE，△ACD ≌ △BCE (SAS)，∴ AD=BE，∠CAD=∠CBE； 设 AD、BE 交于点 M，利用八字模型导角，可得∠AMB=∠ACB=90°，因此 AD⊥BE。 (3) 分两种情况： ① 点 D 在线段 BE 之间：BE=AD+√2 CD； ② 点 B 在线段 DE 之间：AD=BE+√2 CD。 【例4】（培优综合）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH． （1）如图1所示，求证： 且   （2）将△COD绕点O旋转到图2、图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论 解析： (1) 证明 1. 手拉手全等：∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=∠BOC，OA=OB，OD=OC，△AOD ≌ △BOC (SAS)，AD=BC，∠OAD=∠OBC； 2. Rt△BOC 中，H 是斜边 BC 中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半，OH=BH=1/2 BC=1/2 AD； 3. 角度推导：BH=OH，∠HBO=∠HOB=∠OAD，∠OAD+∠ADO=90°，因此∠HOB+∠ADO=90°；延长 OH 交 AD 于 M，∠OMD=90°，即 OH⊥AD。 (2) 结论不变：OH=1/2 AD，OH⊥AD 选图 2 证明：延长 OH 到 G，使 HG=OH，连接 BG； 1. H 是 BC 中点，△BHG ≌ △CHO (SAS)，BG=OC=OD，∠GBC=∠OCB； 2. ∠OBG=∠OBC+∠GBC=∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC，∠AOD=180°−∠BOC，所以∠OBG=∠AOD； 3. OA=OB，BG=OD，△OBG ≌ △AOD(SAS)，OG=AD，∠BOG=∠OAD； 4. OG=2OH，因此 OH=1/2 AD；导角可证 OH 与 AD 夹角为 90°，即 OH⊥AD。 课后作业 1．如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（     ） A． B． C． D． 解题思路：手拉手旋转模型，将△AOC 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到△ABD，△ADO 为等边三角形，分割图形结合勾股定理、三角形面积公式计算，对照选项选出答案。 2．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BD＝BE＝． (1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是 　 ； (2)如图3，DE∥BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长； (3)继续旋转△BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长． (1) 答案：AD=EC，AD⊥EC 解析：∠ABC=∠DBE=90°，∠ABD=∠CBE，BA=BC，BD=BE，△ABD ≌ △CBE (SAS)，得 AD=EC；利用八字模型导角，可证两条线段垂直。 (2) △EAC 是等腰三角形；EC=2√5 解析：DE∥BC，△BDE 为等腰直角三角形，∠CBE=90°，BC=4，BE=2，由勾股定理 EC=√(BC²+BE²)=√(16+4)=2√5；AE=EC，因此△EAC 为等腰三角形。 (3) 两种结果：√10±√2 3．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． （1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； （2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； （3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． (1) 结论：BD=AC，BD⊥AC 证明：∠AEC=∠BED=90°，AE=BE，CE=DE，△AEC ≌ △BED (SAS)，∴ BD=AC；延长 BD 交 AC 于 F，导角可得∠BFC=90°，BD⊥AC。 (2) 数量、位置关系不改变，依旧 BD=AC，BD⊥AC 证明：旋转后∠AEC=∠BED 仍然成立，AE=BE，CE=DE，△AEC ≌ △BED (SAS)，全等不变，线段夹角恒为 90°。 (3) 替换为等边三角形 ① 数量关系：BD=AC 理由：△ABE、△CDE 为等边三角形，∠AEC=∠BED，AE=BE，CE=DE，△AEC ≌ △BED (SAS)，BD=AC； ② 夹角度数：60° 或 120°。 6 学科网（北京）股份有限公司 $