课时作业20+椭圆及其标准方程 同步练--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习围绕椭圆及其标准方程，通过基础概念应用、综合辨析推理、问题解决层层递进，强化数学定义理解与逻辑推理能力，适配新授课知识巩固与思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|椭圆定义、标准方程参数|直接应用定义公式（如选择1-4求距离、参数范围）| |综合应用|定义辨析、几何性质综合|多条件辨析与推理（如选择5-6判断轨迹、充要条件）| |问题解决|方程求解与实际问题转化|分类讨论与方程构建（如解答13-15求标准方程）|

课时作业20 椭圆及其标准方程 一、选择题 1.设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( ) A．4 B．5 C．8 D．10 2.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为(　　) A．6　　　　　　　　　 B．7 C．8 D．9 4.若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　) A．5 B．3 C．5或3 D．8 5．(多选题)下列说法中正确的是(　　) A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 6.“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 8.已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为 A．10 B．12 C．16 D．20 二、填空题 9.若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为____________． 10．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________． 11．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的方程为__________． 12.已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为 . 三、解答题 13.求符合下列条件的椭圆的标准方程． (1)过点和； (2)过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同的焦点． 14.已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程． 15.分别求适合下列条件的方程： （1）焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程； （2）与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程. （3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则此椭圆的标准方程. 课时作业20 椭圆及其标准方程 （答案） 一、选择题 1.设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( ) A．4 B．5 C．8 D．10 解析：因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的定义知， 故选D． 2.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：因为方程表示椭圆，故：，且； 又该椭圆的焦点在轴上，故只需，解得.故选：D. 3.若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为(　　) A．6　　　　　　　　　 B．7 C．8 D．9 解析：选B　根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7. 4.若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　) A．5 B．3 C．5或3 D．8 解析：选C　由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m>4时，m＝4＋1＝5；当m<4时，4＝m＋1，∴m＝3. 5．(多选题)下列说法中正确的是(　　) A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 解析：选AC　A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A正确；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选A、C. 6.“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1＜m＜3且m≠2； 当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．故选B. 7．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 解析：选B　由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝. ∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4， ∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9. 故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1. 8.已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为 A．10 B．12 C．16 D．20 解析：椭圆，可得， 三角形的周长，， 所以：周长， 由椭圆的第一定义，，所以，周长．故选：D． 二、填空题 9.若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为____________． 解析：△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，∵|AB|＝8，∴|BC|＋|AC|＝10.∵|BC|＋|AC|＞8，∴点C到两个定点A，B的距离之和为定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点，去除直线AB上的点的椭圆．∵2a＝10,2c＝8，∴b＝3.∴顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0)． 答案：＋＝1(y≠0) 10．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________． 解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|PF2|＝6－|PF1|＝2. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ ＝＝－，∴∠F1PF2＝120°. 答案：2　120° 11．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的方程为__________． 解析：如图，当P在y轴上时 △PF1F2的面积最大， ∴×8b＝12，∴b＝3. 又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 12.已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为 . 解析：由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4， 设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①， 在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°， 所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝（2c）2＝64， 整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2＝100，③ 所以③﹣②得t1t2＝12， ∴∠F1PF2＝3． 答案：3． 三、解答题 13.求符合下列条件的椭圆的标准方程． (1)过点和； (2)过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同的焦点． 解：(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．∵椭圆过点和， ∴解得 ∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1. (2)由题意得已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2， 且焦点在x轴上，∴c2＝9－4＝5. ∴设所求椭圆方程为＋＝1. ∵点(－3,2)在所求椭圆上， ∴＋＝1.∴a′2＝15或a′2＝3(舍去)． ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 14.已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程． 解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)， 由已知条件得解得 所以b2＝a2－c2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 法二：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2. 由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4. 在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝； 在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝. 依题意有＝3，得b2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 15.分别求适合下列条件的方程： （1）焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程； （2）与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程. （3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则此椭圆的标准方程. 解：（1）由已知条件可得，可得，， 因此，所求椭圆的标准方程为； （2）易知椭圆的离心率． 当所求椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的方程为， 把点代入方程，得． 又，解得，，所以所求椭圆的方程为． 当所求椭圆的焦点在y轴上时，同理可设椭圆的方程为， 把点代入方程，得． 又，解得，，所以所求椭圆的方程为． 综上,此椭圆的标准方程是或. （3）因设椭圆的标准方程为，因为点在椭圆上， 所以，所以椭圆的标准方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $