3.1.1 椭圆及其标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，基础巩固与能力提升衔接紧密，通过定义应用、方程求解到综合拓展的路径，培养数学眼光、思维与语言表达。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|椭圆定义、标准方程及简单应用|含折叠问题（数学眼光）、多选题（数学思维），强化概念理解与基础运算| |能力提升练|轨迹综合、参数最值及跨情境应用|融入动圆轨迹（数学语言）、光学性质（创新意识），发展逻辑推理与综合应用能力|

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 基础练习 题型一　椭圆的定义及其应用 1.如图,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是(　　) A.椭圆　　B.双曲线　　 C.抛物线　　D.圆 2.(多选题)(2026河南郑州八校联盟期中)已知F1,F2分别是椭圆C:+y2=1的左、右焦点,P是C上一点,若△PF1F2是直角三角形,则|PF1|的值可以为(　　) A.　　B.　　C.2　　D. 3.(2025河南信阳高中月考)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上.若∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为(　　) A.4　　B.6　　C.8　　D.9 4.(多选题)(2026江苏南京航空航天大学附属高级中学月考)已知椭圆M:+y2=1,O为坐标原点,若P在椭圆M上,F1,F2分别是椭圆M的左、右焦点,则下列说法正确的有(　　) A.若|PF1|=|PF2|,则∠PF1F2=30° B.△F1PF2面积的最大值为 C.|PF1|-|PF2|的最大值为2 D.满足△F1PF2是直角三角形的点P有4个 题型二　求椭圆的标准方程 5.(2025浙江南太湖联盟联考)在△ABC中,B(-4,0),C(4,0),|AB|+|AC|=10,则顶点A的轨迹方程是(　　) A.+=1(x≠±3)　　 B.+=1(x≠±5) C.+=1(x≠±3)　　 D.+=1(x≠±5) 6.(2026江苏南通海安实验中学月考)若平面内动点P(x,y)的坐标满足方程+=2,则动点P的轨迹方程为(　　) A.+=1　　B.+=1　　 C.-=1　　D.-=1 7.(2025福建泉州四校期中联考)已知M(-2,0),P是圆N:x2-4x+y2-32=0上一动点,线段MP的垂直平分线交直线NP于点Q,则动点Q的轨迹方程为　　　　　　　.  8.(2026湖南长沙周南中学月考)过点A(-,3)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为　　　　　　　.  9.(教材习题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且经过点(5,0); (2)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2); (3)经过点P(-2,0),Q(0,2)两点; (4)经过两点A(2,-1),B. 10.(2025福建三明一中月考)已知椭圆E的两个焦点坐标分别为(-4,0),(4,0),并且经过点. (1)求E的标准方程; (2)在E上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,垂足为D,若点M满足=,当点P在E上运动时,求点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状(当点P经过椭圆与x轴的交点时,规定点M与点P重合). 题型三　椭圆标准方程的应用 11.(2026北京师范大学附属学校期中)方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(　　) A.(4,10)　　B.(4,7)　　C.(7,10)　　D.(7,+∞) 12.(2025陕西师大附中期中)已知椭圆C:+=1(m>4)的焦距为2,则x轴被椭圆C截得的线段长度为(　　) A.　　B.2　　C.2　　D.4 13.(2025黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期中)已知椭圆C:+y2=1,则椭圆C上的点到点B(0,1)的距离的最大值是(　　) A.2　　B.　　C.　　D. 14.(2026北京育才学校期中)设椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=3,|PF2|=5. (1)求椭圆C的方程; (2)点M在椭圆C上,且△MF1F2的面积为2,求点M的坐标. 能力提升练 题型一　椭圆的定义及其应用 1.(2025重庆巴蜀中学期中)已知圆C1:(x+3)2+y2=100和C2:(x-3)2+y2=4,若动圆P与这两圆一个内切一个外切,记该动圆圆心的轨迹为M,则M的方程为(　　) A.+=1　　B.+=1　　C.+=1　　D.+=1 2.(2026湖南永州期中)设F是椭圆+=1的左焦点,P是椭圆上的动点,A是直线3x+4y+25=0上的动点,则|PA|-|PF|的最小值为(　　) A.　　B.　　 C.　　D.3 3.如图,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上的点,直线PT为△F1PF2的外角平分线所在直线,F2T⊥PT,则|OT|=(　　) A.1　　 B.2　　C.　　D.4 4.(2025河南南阳一中月考)已知椭圆C:+=1的一个焦点为F,且P,Q是C上关于原点对称的两点,则|PF|2+6|QF|的取值范围为(　　) A.[2,26]　　 B.[51,52]　　C.[51,76]　　D.[52,76] 5.(多选题)(2026湖北孝感期中)已知点P是椭圆+=1上的一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,M(1,1),N(-1,2),则(　　) A.存在点P,使得∠F1PF2=75° B.存在点P,使得|PF1|=2|PF2| C.|PN|-|PF2|的最小值为2 D.|PF1|+|PM|的最小值为3 题型二　椭圆的标准方程及其应用 6.(2025河北衡水二中月考)已知在平面直角坐标系Oxy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的两焦点分别为F1,F2,与y轴的一个交点为M,若ab=2,且△MF1F2为等边三角形,则椭圆C的标准方程是　(　　) A.+=1　　B.+=1　　C.+=1　　D.+=1 7.(多选题)(2026重庆一中月考)椭圆具有光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆C:+y2=1(a>0),其左、右焦点分别是F1,F2,P为椭圆C上任意一点,△PF1F2面积的最大值为,椭圆C在点P处的切线为l,过点P且与l垂直的直线与x轴交于点M,且M在椭圆内,已知点Q(0,2),则下列说法正确的是(　　) A.a=2 B.|PQ|+|PF2|的最大值为4+ C.当点P的横坐标为1时,△PF1F2的内切圆半径r= D.若|PM|=|MF2|,则|PF1|=3|PF2| 8.(2026广东广州期中)已知M是椭圆+=1上一点,则点M到直线l:4x-5y+40=0的最小距离是　　　　.  答案 第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 基础练习 1.A　由题意知,M,F关于折痕CD对称, ∵P在折痕CD上,∴|PM|=|PF|, ∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|,为定值, 显然|MO|>|FO|,∴根据椭圆的定义可推断出点P的轨迹是以F,O为焦点的椭圆. 2.ABD　由题意知F1(-1,0),F2(1,0), 若PF1⊥F1F2,令x=-1,得y=±,所以|PF1|=,故A正确; 若PF2⊥F1F2,则|PF2|=,又|PF1|+|PF2|=2,所以|PF1|=,故D正确; 若PF1⊥PF2, 则 所以|PF1|=|PF2|=,故B正确. 3.B　因为点P在椭圆C:+=1上,左、右焦点分别为F1,F2, 所以由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a=8,且|F1F2|=2c=2×=2, 因为∠F1PF2=90°,所以由勾股定理可得+=, 即-2|PF1|·|PF2|==40,解得|PF1|·|PF2|=12, 则△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=6. 4.ABC　易得|PF1|+|PF2|=2a=4,|F1F2|=2c=2×=2, 若|PF1|=|PF2|,则P为椭圆与y轴的交点,且|PF1|=|PF2|=2,又|OF1|=c=, 所以cos∠PF1F2==,又0°<∠PF1F2<180°,所以∠PF1F2=30°,A正确; 设△F1PF2的边F1F2上的高为d,则dmax=b=1, 所以=|F1F2|d≤×2×1=,即其面积的最大值为,B正确; 易知-|F1F2|≤|PF1|-|PF2|≤|F1F2|,即-2≤|PF1|-|PF2|≤2,当且仅当P,F1,F2三点共线时取-2或2,C正确; 当P为椭圆与y轴的交点时,在△F1PF2中,由余弦定理的推论得cos∠F1PF2===-,所以∠F1PF2>, 所以当∠F1PF2=90°时,满足条件的点P有4个, 当∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°时,满足条件的点P各有2个, 所以满足△F1PF2是直角三角形的点P有8个,D错误. 5.B　∵在△ABC中,B(-4,0),C(4,0), ∴|BC|=8, 又|AB|+|AC|=10,∴|AB|+|AC|>|BC|, ∴点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,但不包括与x轴的交点,且2a=10,2c=8,∴a=5,c=4,则b==3, 因此所求轨迹方程为+=1(x≠±5). 6.A　由题意得,点P(x,y)到两个定点(-1,0),(1,0)的距离之和为2, 又2>2,所以根据椭圆的定义可知,点P(x,y)的轨迹是焦点为(-1,0),(1,0)的椭圆, 且2a=2,2c=2,即a=,c=1, 则b2=a2-c2=2,所以动点P的轨迹方程为+=1. 7.答案　+=1 解析　圆N:x2-4x+y2-32=0即(x-2)2+y2=36,所以其圆心为N(2,0),半径为6, 由线段MP的垂直平分线与直线NP的交点为Q,得|QM|=|QP|, (已知条件与圆、线段的垂直平分线有关,故利用相关几何性质列出几何条件来解决问题较为方便) 所以|QN|+|QM|=|QN|+|QP|=|PN|=6>|MN|=4, 根据椭圆的定义,知点Q的轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4, 所以a=3,c=2,所以b=, 因此动点Q的轨迹方程是+=1. 8.答案　+=1 解析　由椭圆方程为+=1, 可知a2=8,b2=4,c2=a2-b2=4,且焦点在y轴上,故可设所求椭圆的标准方程为+=1(a'>b'>0), 由两椭圆焦点相同,知c'2=c2=4, ∴∴ ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 9.解析　(1)由题意知,椭圆的焦点在x轴上,可设它的标准方程为+=1(a>b>0),易知c=4,a=5, ∴b2=a2-c2=9,故所求椭圆的标准方程为+=1. (2)根据题意可知c=2,又焦点在y轴上,∴可设它的标准方程为+=1(a>b>0),且焦点坐标为(0,2),(0,-2), ∵椭圆经过点M(3,2),∴由椭圆的定义可得2a=+=8,即a=4, ∴b2=a2-c2=12,故所求椭圆的标准方程为+=1. (3)由题意得P,Q分别是椭圆与x,y轴的交点,且椭圆的焦点在x轴上, ∴a=2,b=2,∴所求椭圆的标准方程为+=1. (4)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 焦点位置不确定,应分两种情况分别求解,此种设法避免了讨论. ∵椭圆经过两点A(2,-1),B-,,∴解得 ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 10.解析　(1)由已知得椭圆的焦点在x轴上,且c=4, 由椭圆的定义知2a=+ =10, 所以a=5,所以b2=a2-c2=25-16=9, 所以E的标准方程为+=1. (2)设M(x,y),P(x0,y0),则D(x0,0), 所以=(x-x0,y),=(0,y0), 因为=, 所以则 又因为P(x0,y0)在椭圆上,所以+=1, 把代入可得x2+y2=25, 所以点M的轨迹方程为x2+y2=25,该轨迹是以(0,0)为圆心,5为半径的圆. 11.C　因为方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆, 所以解得7<k<10, 故实数k的取值范围是(7,10). 12.B　对于+=1,令y=0,得x=±,所以所求线段长度为2.由椭圆C:+=1(m>4)的焦距为2,得2=2,解得m=5,从而2=2. 13.C　设P(x,y)是椭圆C上的一个动点,则x2=4-4y2, 则|PB|= == =, 因为4-4y2≥0,所以-1≤y≤1,故当y=-时,|PB|取得最大值,为=. 14.解析　(1)因为点P在椭圆C上, 所以|PF1|+|PF2|=3+5=2a⇒a=4, 因为PF1⊥F1F2,所以+=|PF2|2⇒=|PF2|2-|PF1|2=25-9=16⇒|F1F2|=4⇒2c=4⇒c=2, 所以b2=a2-c2=12,故椭圆C的方程为+=1. (2)设M(x0,y0), 因为△MF1F2的面积为2, 所以·|F1F2|·|y0|=2⇒×4×|y0|=2⇒|y0|=, 因为点M在椭圆C上, 所以+=1⇒=12⇒x0=±2, 所以点M的坐标为(2,)或(2,-)或(-2,)或(-2,-). 能力提升练 1.A　由题可得圆C1,C2的圆心、半径分别为C1(-3,0),C2(3,0),r1=10,r2=2, 由|C1C2|=6<10-2=8可知圆C2内含于圆C1, 设动圆半径为R,由题意知动圆P与圆C1内切,与圆C2外切,则|PC2|=r2+R,|PC1|=r1-R, 两式相加可得|PC1|+|PC2|=r1+r2=12>|C1C2|=6, 故P点的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,其中2a=12,2c=6,所以a=6,c=3, 所以a2=36,b2=a2-c2=27,所以所求方程为+=1. 2.A　由+=1⇒a=3,b=⇒c==2, 设F'为该椭圆的右焦点,则F'(2,0),所以|PF|+|PF'|=2a=6, 于是|PA|-|PF|=|PA|+|PF'|-6, 显然当F',P,A三点共线,P在F',A之间,且PA所在直线与直线3x+4y+25=0垂直时,|PA|+|PF'|取得最小值,即|PA|-|PF|取得最小值,最小值为-6=. 3.B　延长F2T,交F1P的延长线于点M,如图所示, 因为直线PT为∠MPF2的平分线所在直线,F2T⊥PT, 所以△PTF2≌△PTM,所以|PF2|=|PM|,|TF2|=|TM|, 结合椭圆的定义得|MF1|=|PF1|+|PM|=|PF1|+|PF2|=4, 又T为F2M的中点,O为F1F2的中点, 所以在△F1F2M中,|OT|=|MF1|=2. 4.C　不妨设椭圆C的另一个焦点为F1, 由+=1知a2=25,b2=16,所以c2=9,因此5-3≤|PF|≤5+3,即2≤|PF|≤8. 又P,Q是C上关于原点对称的两点,F1,F也关于原点对称,所以四边形PF1QF为平行四边形,(点拨:对角线互相平分的四边形是平行四边形) 即|PF|=|QF1|,因此|QF|=2a-|QF1|=10-|PF|, 因此|PF|2+6|QF|=|PF|2+6×(10-|PF|)=|PF|2-6|PF|+60=(|PF|-3)2+51, 又|PF|∈[2,8],故|PF|2+6|QF|的取值范围为[51,76]. 5.BD　由椭圆+=1,知a=2,b=,c=1,则F1(-1,0),F2(1,0). 对于A,在△F1PF2中,由余弦定理的推论得 cos∠F1PF2====-1,因为|PF1|·|PF2|≤=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时等号成立,所以cos∠F1PF2=-1≥,因为y=cos x在[0,π]上单调递减,且cos =,所以∠F1PF2≤,则不存在点P,使得∠F1PF2=75°,故A错误; 对于B,假设存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,由于|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|=,|PF2|=,设P(x,y), 则解得即P,将代入椭圆方程得+=1,成立,则存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,故B正确; 对于C,|PN|-|PF2|=|PN|-(2a-|PF1|)=|PN|+|PF1|-4≥|NF1|-4=2-4=-2,当且仅当N,F1,P三点共线,且P在N,F1之间时取等号,则|PN|-|PF2|的最小值为-2,故C错误; 对于D,|PF1|+|PM|=2a-|PF2|+|PM|=4+|PM|-|PF2|,由||PM|-|PF2||≤|MF2|=1,得-1≤|PM|-|PF2|≤1, 则|PF1|+|PM|=4+|PM|-|PF2|≥3,当且仅当P,M,F2三点共线,且P在以F2为起点,过M的射线上时取等号,则|PF1|+|PM|的最小值为3,故D正确. 6.A　对于+=1,令x=0可得y=±b,∴|MF1|=|MF2|==a,又△MF1F2为等边三角形,∴a=2c,联立可得a=2,b=, ∴椭圆C的标准方程为+=1. 7.ABD　对于A,由椭圆C:+y2=1,可得b=1, 由△PF1F2面积的最大值为,可得|F1F2|×b=,解得|F1F2|=2,所以c=,所以a==2,所以A正确. 对于B,由A知椭圆方程为+y2=1,可得F1(-,0),F2(,0),连接QF1,则|QF1|=, 由椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF2|=4-|PF1|, 则|PQ|+|PF2|=4+|PQ|-|PF1|≤4+|QF1|=4+, 当且仅当P,Q,F1共线,且P在QF1的延长线上时,等号成立,所以B正确. 对于C,当P的横坐标为1时,将x=1代入椭圆的方程,可得y=±, 不妨取点P的坐标为,则△PF1F2的面积为=×2c×=. △PF1F2的周长l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+2, 则lr=,即×(4+2)r=, 解得r==,所以C不正确. 对于D,由椭圆的光学性质,可得过点P且与l垂直的直线为∠F1PF2的平分线所在直线, 则∠F1PM=∠F2PM,==, 设==k,k>0, 则|PF1|=k|PF2|且|F1M|=k|F2M|, 因为|PF1|+|PF2|=4且|F1M|+|F2M|=2, 所以|F2M|=|PM|=,|F1M|=,|PF2|=,|PF1|=, 易知cos∠F1PM=cos∠F2PM, 所以=, 整理得k2-4k+3=0,解得k=1或k=3, 当k=1时,==1,此时M与O点重合,不符合题意,舍去, 所以k=3,所以|PF1|=3|PF2|,所以D正确. 8.答案　 解析　设点M(5cos θ,3sin θ),θ∈[0,2π), (利用三角代换,构造三角关系式,利用三角函数知识求最小值) 则点M到直线l的距离d= = =,其中tan φ=, 易知当cos(θ+φ)=-1时,dmin==. 7 学科网（北京）股份有限公司 $