第1章 一元二次方程（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册数学一元二次方程单元培优冲刺卷，以“基础巩固-能力提升-创新应用”为梯度，融合文化传承（如《增删算法统宗》“圆中方”问题）、现实应用（校园农场、梨膏糖销售）及数学史（欧几里得图解法）情境，全面考查单元核心知识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/27|定义、配方、根的判别式等|第4题三角点阵结合求和公式，考查数学抽象| |填空题|6/18|实际应用、根与系数关系等|第10题农场道路问题，体现模型意识| |解答题|10/75|解法、综合应用、创新定义|25题梨膏糖销售利润问题，融合函数与方程，发展运算能力与应用意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·培优冲刺（参考答案） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A B D D B D B B A 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 11. 12． 13． 14．或 15．12 16．或 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（7分） 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，；（4分） （2）解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，．（8分） 18．（8分） (1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（4分） （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为．（8分） 19．（10分） 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：；（2分） （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得；（5分） （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：将代入方程得， 因式分解得， 或， 解得，．（3分） （2）选择甲的说法进行判断：甲的说法错误，理由如下： 对，因式分解得， 或， 解得，， 当时，，方程有两个相等的实数根，故甲的说法错误．（6分） 选择乙的说法进行判断：乙的说法正确，理由如下： 对，因式分解得， 或， 解得，， 无论取任何值，恒为整数， 无论为何值，方程至少有一个整数根，故乙的说法正确．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，；（2分） （2）①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值（6分） ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2．（10分） 22．（12分） 【详解】（1）解：设运动秒后的面积为． 根据题意，知． 则． 则，即． 解得或3． 故运动2秒或3秒后，的面积为；（4分） （2）根据勾股定理，得，即． 解得（不合题意，舍去）或， ． 故运动3秒后，的长度为；（8分） （3）不能．理由如下： 根据三角形的面积公式，得， 则， 即， ，方程无实数根． 故线段不能把分成面积相等的两部分．（12分） 23．（14分） 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为；（4分） （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元；（8分） （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克． ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若关于的方程是由方程配方后得到的，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 3．（本题3分）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 5．（本题3分）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 6．（本题3分）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 7．（本题3分）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 8．（本题3分）为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 10．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为______（化为一般形式）． 12．（本题3分）如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 13．（本题3分）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是________． 14．（本题3分）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 15．（本题3分）已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 16．（本题3分）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 3、 解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 19．（本题10分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 20．（本题10分）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求该方程的根． (2)甲说：无论为何值，方程都有两个不相等的实数根；乙说：无论为何值，方程至少有一个整数根．请选择其中一人的说法进行判断，并说明理由．（若选择两个人的说法分别作答，以第一个计分） 21．（本题10分）关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 22．（本题12分）如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动，点P，Q同时开始运动． (1)运动几秒后，的面积为？ (2)运动几秒后，的长度为？ (3)P，Q运动过程中，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P，Q的运动时间；如果不能，请说明理由． 23．（本题14分）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 2．（本题3分）若关于的方程是由方程配方后得到的，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的方程是由方程配方后得到的， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 3．（本题3分）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 4．（本题3分）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 【答案】D 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和为． A、若和为100，则，即，解得：，无正整数解，故A不符合题意； B、若和为93，则，即，解得：，无正整数解，故B不符合题意； C、若和为86，则，即，解得：，无正整数解，故C不符合题意； D、若和为78，则，即，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故D符合题意． 5．（本题3分）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 6．（本题3分）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 7．（本题3分）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 8．（本题3分）为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设正方形水池的边长为米， 水池的每条边到圆周的距离均为米，且正方形中心到边的距离为边长的一半， 圆的半径． 绿植部分的面积为平方米， 圆面积正方形面积， 即． 9．（本题3分）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程一定有两个不相等的实数根；说法①正确； ∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程没有实数根；说法②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 将代入得：， ∴是方程的一个根；说法③正确； ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，则说法④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：B． 10．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为______（化为一般形式）． 【答案】 【详解】由题意得， ， 整理得，． 故答案为：． 12．（本题3分）如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 【答案】 【详解】解：，，且、是两个不相等的实数， 、是方程的两不等实数根， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解、根与系数的关系、已知式子的值求代数式的值，解题关键是结合根与系数的关系得出、的值． 13．（本题3分）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：是关于字母的二次三项式， ， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 14．（本题3分）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 15．（本题3分）已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（本题3分）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 3、 解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，； （2）解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，． 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 19．（本题10分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 20．（本题10分）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求该方程的根． (2)甲说：无论为何值，方程都有两个不相等的实数根；乙说：无论为何值，方程至少有一个整数根．请选择其中一人的说法进行判断，并说明理由．（若选择两个人的说法分别作答，以第一个计分） 【答案】(1)， (2) 选择甲的说法进行判断：甲的说法错误，理由如下： 对，因式分解得， 或， 解得，， 当时，，方程有两个相等的实数根，故甲的说法错误． 选择乙的说法进行判断：乙的说法正确，理由如下： 对，因式分解得， 或， 解得，， 无论取任何值，恒为整数， 无论为何值，方程至少有一个整数根，故乙的说法正确． 【详解】（1）解：将代入方程得， 因式分解得， 或， 解得，． （2）略 21．（本题10分）关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 22．（本题12分）如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动，点P，Q同时开始运动． (1)运动几秒后，的面积为？ (2)运动几秒后，的长度为？ (3)P，Q运动过程中，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P，Q的运动时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)运动2秒或3秒后，的面积为 (2)运动3秒后，的长度为 (3) 不能．理由如下： 根据三角形的面积公式，得， 则， 即， ，方程无实数根． 故线段不能把分成面积相等的两部分． 【详解】（1）解：设运动秒后的面积为． 根据题意，知． 则． 则，即． 解得或3． 故运动2秒或3秒后，的面积为； （2）根据勾股定理，得，即． 解得（不合题意，舍去）或， ． 故运动3秒后，的长度为； （3）略 23．（本题14分）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 80元 (3) ①日产量定为60千克；②不能实现 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为； （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元； （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克． ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若关于的方程是由方程配方后得到的，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 3．（本题3分）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 5．（本题3分）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 6．（本题3分）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 7．（本题3分）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 8．（本题3分）为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 10．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为______（化为一般形式）． 12．（本题3分）如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 13．（本题3分）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是________． 14．（本题3分）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 15．（本题3分）已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 16．（本题3分）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 3、 解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 19．（本题10分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 20．（本题10分）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求该方程的根． (2)甲说：无论为何值，方程都有两个不相等的实数根；乙说：无论为何值，方程至少有一个整数根．请选择其中一人的说法进行判断，并说明理由．（若选择两个人的说法分别作答，以第一个计分） 21．（本题10分）关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 22．（本题12分）如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动，点P，Q同时开始运动． (1)运动几秒后，的面积为？ (2)运动几秒后，的长度为？ (3)P，Q运动过程中，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P，Q的运动时间；如果不能，请说明理由． 23．（本题14分）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $