专题03 二次函数与方程、不等式及最值综合（专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与方程、不等式及最值的综合应用，以高频题型为载体，构建从图象分析到参数求解的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与方程|10题|含交点确定根、图象判根个数符号（高频）|以抛物线与x轴交点为核心，建立函数图象与方程根的直观联系| |二次函数与不等式|10题|图象解不等式（高频）、含参数不等式（难）|通过函数值正负转化不等式解集，强化参数分类讨论| |二次函数最值|10题|指定区间最值（重、高频）|结合对称轴与区间位置关系，培养动态分析与推理能力|

专题03 二次函数与方程、不等式及最值综合 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与一元二次方程 题型1 由抛物线与 x 轴交点确定方程根 题型2 由图象判断方程根的个数与符号（高频） 考点二 二次函数与不等式二次函数最值 题型3 利用图象解一元二次不等式（高频） 题型4 含参数的一元二次不等式（难） 考点三 二次函数最值 题型5 二次函数在指定区间上的最值（重、高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与一元二次方程 ◆题型1由抛物线与 x 轴交点确定方程根 1．（2026·湖北荆门·一模）如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴交x轴于点D，，并与抛物线的对称轴交于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方，那么的解集是 ___________． 5．（2023·湖北武汉·三模）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为．下列结论：①；②；③若方程有两个根，，且，则；④方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确的结论有______．（填序号） ◆题型2 由图象判断方程根的个数与符号 1．（25-26九年级上·北京平谷·期末）二次函数的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若点，在抛物线上，当，时，则有；④若此抛物线过点，则一定是方程的一个根．其中正确结论的序号是_______ ． 2．（25-26九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，若关于的方程无实数根，则的取值范围是_______． 3．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分保持不变，下方部分沿轴向上翻折而成．直线与该图象有___________个交点；若图象与直线有四个交点，则的取值范围是___________． 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2026·安徽阜阳·三模）抛物线 与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 考点二 二次函数与不等式 ◆题型3 利用图象解一元二次不等式 1．（2026·江苏苏州·三模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 2．（2026·山东聊城·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 3．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，的取值范围是或，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2026·广东汕头·一模）已知二次函数，若关于的方程的实数根为，且，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， ◆题型4 含参数的一元二次不等式 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知和，对于的值取任意实数时均有，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知抛物线（为常数），点，，在抛物线上，且满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知点，点都在关于x的函数的图象上．若点A始终在B右侧，则n的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东济南·期末）已知当时，二次函数的图象与正比例函数的图象有交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·福建福州·三模）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围为________． 考点三 二次函数最值 ◆题型5 二次函数在指定区间上的最值 1．（2026·安徽合肥·三模）已知多项式，其中为实数： ①若，则 ②有最大值，最大值为3； ③无论取任何实数，恒成立； 以上结论正确的个数有（ ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·广东江门·二模）已知二次函数（为常数），若当时，函数有最小值，则的值为（ ） A． B． C． D．或 3．（2026·安徽宿州·二模）已知实数满足，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D．4 4．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·福建南平·二模）二次函数（m是常数且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为两倍点．若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”，如点和都是“两倍点”，若二次函数（c为常数）为两倍函数，且图象上有唯一的“两倍点”，则c的值是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象与x轴的一个交点在和之间，且对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．当时，y的值随x值的增大而增大 4．（2026·山东聊城·二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④ 5．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 1 5 y 0 5 9 5 下列结论：①；②关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；③当时，y的取值范围为；④若和是抛物线上的两点，则当时，；⑤当时，满足．其中所有正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．①②④⑤ 二、填空题 8．（25-26九年级上·安徽六安·期中）二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 9．（2026·贵州·中考真题）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 10．（2026·江苏扬州·三模）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：①当时，函数图像的顶点坐标是；②当时，函数图像截x轴所得的线段长度大于3；③当时，函数在时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图像经过两个定点．其中正确的结论有_____．（填序号） 三、解答题 11．（2026·河南三门峡·二模）已知抛物线 （b，c为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式及顶点坐标； ②已知，在该抛物线上，当时，求m的取值范围； (2)若该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，直线在第四象限内有两个交点，请直接写出n的取值范围． 12．（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 13．（2026·江苏徐州·三模）已知二次函数（其中m、n为常数）． (1)若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数并说明理由； (2)若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小． (3)若，设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当的面积为3时，求m的值． 14．（25-26九年级下·福建福州·期中）已知二次函数（为常数，）． (1)若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点； (2)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 15．（2026·浙江温州·三模）已知二次函数（k为常数且） (1)若函数图象的对称轴是直线． ①求该二次函数的表达式． ②二次函数的图象上有，两点，其中，且满足，试比较s，t的大小． (2)若抛物线的顶点在一次函数图象上，且当时，都有，求k的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与方程、不等式及最值综合 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与一元二次方程 题型1 由抛物线与 x 轴交点确定方程根 题型2 由图象判断方程根的个数与符号（高频） 考点二 二次函数与不等式二次函数最值 题型3 利用图象解一元二次不等式（高频） 题型4 含参数的一元二次不等式（难） 考点三 二次函数最值 题型5 二次函数在指定区间上的最值（重、高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与一元二次方程 ◆题型1由抛物线与 x 轴交点确定方程根 1．（2026·湖北荆门·一模）如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴交x轴于点D，，并与抛物线的对称轴交于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线与轴交点个数即可判断A；根据函数图象的开口方向和对称轴位置即可判断B；根据抛物线与轴交于点，且当时，，即可判断C；根据，结合，即可判断D． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故A错误； 该函数图象的开口向下，， ∴，故B错误； ∵抛物线与轴交于点，，根据图象可得当时，， ∴， ∴得，，即，故C错误； ∵，抛物线的对称轴交x轴于点D， ∴， ，故D正确． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，先确定抛物线开口方向与对称轴，再根据图象只经过三个象限的条件，列出关于m的不等式组求解，需保证抛物线不过第四象限且顶点在第三象限即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线：， 要使图象只经过三个象限，则抛物线需不过第四象限，且顶点在第三象限， ①当时，，要使抛物线不过第四象限，需， 即， 解得； ②顶点纵坐标为， 要使顶点在第三象限，需顶点纵坐标， 即， 解得， 综上，． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。 可知二次函数的对称轴为直线，则点关于对称轴对称的点为，可知二次函数的图象与直线的交点横坐标为0，2，进而可得答案. 【详解】解: 二次函数的对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为， 二次函数的图象与直线的交点横坐标为0，2， 关于的一元二次方程的根为，. 故选：A. 4．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方，那么的解集是 ___________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．由题意知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可得当时，它的图象位于x轴的上方，当时，它的图象位于x轴的下方，进而可得二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，再结合图象可得答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方， ∴当时，它的图象位于x轴的上方，当时，它的图象位于x轴的下方， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为和， ∴的解集是． 故答案为：． 5．（2023·湖北武汉·三模）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为．下列结论：①；②；③若方程有两个根，，且，则；④方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①③ 【分析】利用顶点坐标得出抛物线解析式，即可对①进行判断；把代入即可对②进行判断；根据抛物线与直线有两 交点，交点的横坐标分别是，即可对③进行判断；当时，方程共有4个根，即方程，有两个根，方程有两 根，利用根与系数的关系即可对④进行判断． 【详解】解抛物线的顶点坐标为， ，， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的开口向上， ， ， ，所以①正确； ，而， ，所以②错误； 方程有两个跟， 抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别是， ，所以③正确； （，为常数），当时，方程共有4个根， 即方程有两个根，方程有两个根， 所有根之和为，所以④错误． 故答案为①③． ◆题型2 由图象判断方程根的个数与符号 1．（25-26九年级上·北京平谷·期末）二次函数的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若点，在抛物线上，当，时，则有；④若此抛物线过点，则一定是方程的一个根．其中正确结论的序号是_______ ． 【答案】②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线开口向下得出，再结合抛物线对称轴得出 ，即可判断①错误；由题意可得对称轴为直线，结合抛物线过点，得出抛物线经过点，则，再结合，求出，由二次函数的顶点为，得出，即可判断②正确；由函数图象可知，当时，，当时，，即可判断③错误；点C关于对称轴对称点在抛物线上，即可判断④正确；熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴，故①错误； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的顶点为， ∴， ∴，即，故②正确； ∵抛物线与x轴交点为和， 由函数图象可知，当时，，当时，， ∴，故③错误； ∵点在抛物线上， ∴点C关于对称轴对称点在抛物线上， ∴为的一个根，故④正确． 故答案为：②④． 2．（25-26九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，若关于的方程无实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，掌握数形结合思想解答是解题的关键．先将转化成与轴的交点问题，再通过解析式得到相当于向上平移个单位长度，最后通过图像可知最小值为，对的取值范围进行求解即可． 【详解】∵如图所示，的开口向上，与轴有交点， ∴存在最小值为． ∵将看成与轴的交点问题， 又∵方程无实数根， ∴与轴无交点，在轴上方． ∵相当于向上平移个单位长度， ∴，即，． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分保持不变，下方部分沿轴向上翻折而成．直线与该图象有___________个交点；若图象与直线有四个交点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据配方法得出顶点式，可得当时，函数的最大值为4，则直线与该图象有个交点，若图象与直线有四个交点，若图象与直线有四个交点，观察图象即可得的取值范围． 【详解】解：∵函数的图象是由函数的图象轴上方部分保持不变， ∴当时，函数的最大值为4， ∴由函数图象可得直线与函数的图象有3个交点； 观察图象可得，当函数图象与直线有四个交点，则的取值范围是 故答案为：， 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 5．（2026·安徽阜阳·三模）抛物线 与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知函数图象得到方程的两根为，，即可得到抛物线 的图象与轴交点横坐标为，，据此判断即可． 【详解】解：由图象可得抛物线 与直线交点的横坐标为，， 即方程的两根为，， 当时，整理得，此时方程的两根为，， ∴抛物线 的图象与轴交点横坐标为，， 各个选项中只有B选项符合题意． 考点二 二次函数与不等式 ◆题型3 利用图象解一元二次不等式 1．（2026·江苏苏州·三模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由，当时整理得，结合函数图象即可求解． 【详解】解：当时，若，整理得， 由图象知，时，反比例函数的图象在二次函数的图象的下方， 当时，反比例函数的图象与二次函数的图象没有公共点， 则不等式的解集为． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与轴的交点得到，故选项错误；根据对称轴和一个与轴的交点可得另一个与轴的交点，即可得到选项正确；根据图象可得不等式的解集是或，当时，随的增大而增大，故、选项错误． 【详解】解：根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项， 选项：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故选项错误； 选项：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，即另一个交点坐标是， ∴方程的两根是，，故选项正确； 选项：∵由图象可知当或时，抛物线在轴的下方， ∴不等式的解集是或，故选项错误； 选项：由图象可知，当时，随的增大而增大，故选项错误． 3．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，的取值范围是或，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由题意易得，抛物线的开口向上，即，且当时，即方程有两个不相等的实数根，这两个根分别为，，然后可得，，进而问题可求解． 【详解】解：把点代入二次函数得：， ∵时，的取值范围是或， ∴抛物线的开口向上，即，当时，即方程有两个不相等的实数根，这两个根分别为，， 令， 根据一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴方程可为，， ∵，且， ∴， ∴， ∴m的值可能是5． 4．（2026·广东汕头·一模）已知二次函数，若关于的方程的实数根为，且，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定二次函数的开口方向与零点，再根据方程的几何意义判断交点横坐标的范围，即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数，二次项系数为， ∴抛物线开口向上， 令，则有，解得，， ∴抛物线与轴交点为和， 根据开口向上的抛物线的性质，可得当时，， 方程的实数根是抛物线与直线交点的横坐标， ∵，即， ∴两个交点都落在区间内， 又， ∴． 5．（2026·福建泉州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合抛物线与x轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值正负对应的自变量范围，判断选项的正确性． 【详解】解：∵ 对任意实数a，， ∴ ，即该二次函数抛物线开口向上， ∵ 抛物线与x轴交于、，且， ∴ 根据开口向上抛物线的性质，可得： 当时，；当时，或， ∵ 点在抛物线上，即， ∴ 当时，， 当时，或． 对于选项A：当时，，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意； 对于选项B：当时，或，故该选项错误，不符合题意； 对于选项C：当时，或，故该选项错误，不符合题意； 对于选项D：当时，，故该选项正确，符合题意； 故选：D． ◆题型4 含参数的一元二次不等式 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知和，对于的值取任意实数时均有，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的函数表达式，根据对于任意实数,恒成立，即该二次函数开口向上、判别式,进而求出的取值范围． 【详解】解：， 对于的值取任意实数时均有， 当，即时，，符合题意； 当时，对于的值取任意实数时均有， 需，且， 即，解得， 综上，． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知抛物线（为常数），点，，在抛物线上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质，得到对称轴，再利用抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大列不等式求解即可． 【详解】解：点，，在抛物线上， 抛物线对称轴为， 到对称轴的距离为1， 时，，且，抛物线开口向上， 当时， ，即， 或，解得或， 当时， ，即， 平方得，，整理得， 解得， 综上，时，． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知点，点都在关于x的函数的图象上．若点A始终在B右侧，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了的图象与性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，利用不等式求自变量或函数值的范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用二次函数上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，求出函数的对称轴，进而确定二次函数解析式，再根据点A在点B右侧的条件确定横坐标的取值范围，最后结合二次函数的性质求出n的取值范围． 【详解】解：∵点A、B纵坐标均为n，且在二次函数的图象上， ∴A、B关于二次函数的对称轴对称， ∵二次函数的对称轴为，且A、B横坐标的中点为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为，其对称轴为，开口向上，顶点为， ∵点A始终在B右侧， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 对于点A的横坐标，当时，， 对于点B的横坐标，当时，， 当时，二次函数随x的增大而减小， 取，则， 取，则， ∴， 当时，二次函数随x的增大而增大， 取时，则， 取时，则， ∴， 综上，的取值范围为． 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东济南·期末）已知当时，二次函数的图象与正比例函数的图象有交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查两个函数有交点的问题，利用判别式判断根的情况，求根公式，解不等式；两个函数有交点即方程 在 内有实数解，整理得 ，需满足判别式非负且至少一个根在范围内，结合根的位置条件可得的范围． 【详解】解：∵ 两函数有交点， ∴ 方程 在内有解， 整理得 ， 设 ， 判别式 ， ∴ ， 根为 ，， 若 ，则 ，即，解得； 若 ，则 ，即，解得； ∴ ， 故选：A． 5．（2026·福建福州·三模）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据二次函数的性质，开口向下时抛物线上点到对称轴的距离越大，函数值越小，结合得到关于的不等式，再代入点坐标求出，结合得到另一个关于的不等式，解不等式后取交集得到的取值范围． 【详解】解：抛物线中，，开口向下， 对称轴为， 开口向下的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ，，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 点横坐标为，到对称轴的距离为， 点横坐标为，到对称轴的距离为， 化简得， 去绝对值得， 解得， 将代入抛物线解析式得， 由得， 即， 解得或， 取与或的交集，可得， 故答案为：． 考点三 二次函数最值 ◆题型5 二次函数在指定区间上的最值 1．（2026·安徽合肥·三模）已知多项式，其中为实数： ①若，则 ②有最大值，最大值为3； ③无论取任何实数，恒成立； 以上结论正确的个数有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】分别对三个结论逐一验证，①通过列方程求解根判断正误，②利用二次函数的开口方向判断最值，③通过作差配方判断不等关系是否恒成立． 【详解】∵， ①验证结论：令，得，整理得，解得，与结论中不符，故①错误； ②验证结论：∵二次项系数，抛物线开口向上，∴只有最小值，最小值为，不存在最大值故②错误； ③验证结论：即，当时，，因此不恒成立，故③错误； 综上，三个结论全部错误，正确的个数为． 2．（2026·广东江门·二模）已知二次函数（为常数），若当时，函数有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数在给定区间上的最值问题，关键在于掌握二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，灵活运用二次函数的性质判断最值点．根据二次函数的解析式，先确定其开口方向与对称轴，再比较区间端点到对称轴的距离，判断出最小值对应的自变量取值，进而求出常数的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ， 二次函数图像开口向下，在处取得最大值， ，， 函数在处取得最小值， 即， 解得：． 故选：． 3．（2026·安徽宿州·二模）已知实数满足，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用换元法将代数式变形，把转化为关于新元的二次函数，利用平方的非负性得到新元的取值范围，再根据二次函数的性质求最大值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴，代入得：， 整理得， ∵任意实数的平方非负，， 代入得， 化简得， 解得， 将和 代入：， ∵， ∴该二次函数开口向下， ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ∴当时，取得最大值， 代入计算得：． 4．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 5．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·福建南平·二模）二次函数（m是常数且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据二次函数和一次函数解析式得出两者都恒过定点，与轴的交点都为．当时，画出大致图象，根据选项一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线与直线都恒过定点，与轴的交点都为． 当时，大致图象如下， 由图可知，当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，若，则，若，则，故选项D不一定正确，符合题意． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为两倍点．若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”，如点和都是“两倍点”，若二次函数（c为常数）为两倍函数，且图象上有唯一的“两倍点”，则c的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二倍函数的定义、二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点，将函数问题转化为方程问题是解题的关键． 由两倍点定义，点满足纵坐标为横坐标的2倍，即，代入二次函数得方程，图象有唯一两倍点等价于方程有唯一解，即判别式为零，据此列方程求得c的值即可． 【详解】解：设两倍点为，代入得：， ∴， ∵图象有唯一两倍点， ∴方程有唯一实数解， ∴，解得：． 故选C． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象与x轴的一个交点在和之间，且对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【分析】先根据对称轴公式得到与的关系，设二次函数与轴的左交点横坐标为，右交点横坐标为，根据对称性可得，结合该二次函数的增减性，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 设二次函数与轴的左交点横坐标为，右交点横坐标为， 由题意得， ∵两个交点关于对称轴对称， ∴，即， ∵， ∴， ∵，抛物线开口向上， ∴在对称轴的左侧，即时，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大， ∵当时，，时，，又， ∴，故A选项正确； ∵当时，， ∵， ∴，故B选项正确； ∵当时，，当时，， 又， ∴，故C选项错误； ∵当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故D选项正确． 4．（2026·山东聊城·二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向、对称轴位置以及抛物线与轴交点的位置，确定的正负，进而判定的正负，可判①，根据抛物线对称轴为直线，则，即可判②；先确定点的横坐标，然后根据二次函数图像的对称性求得与轴的另一个交点的横坐标，即可判定③；运用函数确定方程的根的情况，即可判定④． 【详解】解：①抛物线开口向下，故， 对称轴在轴右侧，故， 抛物线与轴交于正半轴，故， ， 故①错误，不符合题意； ②因为抛物线对称轴是直线，则， 故②正确； ③因为抛物线对称轴是直线， 所以抛物线与轴的另一个交点是，故③正确，符合题意； ④从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根， 故④正确，符合题意． 综上，正确的是②③④． 5．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“倒数点”定义，若为倒数点，则满足，即，联立各函数与，判断方程解的个数，逐个验证结论即可. 【详解】解：由定义得，倒数点满足，，即， ① 联立，则， 整理得， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ② 联立， ， ， 当时，，整理得， ， 解得，， 正根，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③ 联立， ∴， 画出函数和图象的草图如图所示： 由图象知：函数和图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④ 联立， 整理得， 当时，方程为，解得，，满足，是倒数点， 此时，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 6．（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n的表达式，先根据抛物线的图象与线段 有交点，结合A，B两点的坐标，根据顶点坐标推出且点一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当点在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b的取值范围，进而确定n的取值范围；②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴，进而确定n的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为；当时，， ∴抛物线与轴的交点纵坐标， ∵，两点的坐标分别为，，抛物线的图象与线段 有交点， ∴该抛物线的顶点的纵坐标，即， 又∵当 时，， ∴点一定在抛物线的下方， ∴①当点在抛物线的上方时一定满足条件， 即当时，， 解得， ∵，是关于的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴； ②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴， 此时对于，当时，取得最小值0，当时，取得最大值10， ∴， 综上，的取值范围是 ． 7．（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 1 5 y 0 5 9 5 下列结论：①；②关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；③当时，y的取值范围为；④若和是抛物线上的两点，则当时，；⑤当时，满足．其中所有正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用二次函数的增减性可判断；画出函数图形可判断． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； 表示抛物线上的点到对称轴的距离，开口向下的抛物线上，点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由， 解得，， ∴，， 由图形可得，当时，，即，故错误； 综上，正确的结论为． 二、填空题 8．（25-26九年级上·安徽六安·期中）二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 【详解】解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． 9．（2026·贵州·中考真题）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 【答案】 【分析】设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果． 【详解】解：设，， 则两个函数都经过点，对称轴分别为和， ∵一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，， ∴，为抛物线与轴的交点的横坐标，，为抛物线与轴的交点的横坐标， ∵， ∴抛物线与抛物线的对称轴均在轴的左侧， ∴，， ∴，， ∴两条抛物线的开口向上， ∵， ∴抛物线的开口大于抛物线的开口， ∴， ∵两条抛物线与轴都有两个交点， ∴，， ∴，， 综上：． 10．（2026·江苏扬州·三模）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：①当时，函数图像的顶点坐标是；②当时，函数图像截x轴所得的线段长度大于3；③当时，函数在时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图像经过两个定点．其中正确的结论有_____．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据特征数定义得到函数解析式，依次利用二次函数的顶点性质，图象与x轴交点计算，二次函数增减性，定点判定方法对四个结论逐一验证即可． 【详解】解：由特征数定义，得函数解析式为 ， ①当 时，，则函数解析式为， 整理得，顶点坐标为，不是，故①错误； ②令，则，因式分解得，解得， 截x轴所得线段长度为（ 时，绝对值可去掉）， 化简得， 因为，所以， 故长度大于，②正确； ③二次函数对称轴为直线， 当 时，，抛物线开口向下， 化简对称轴得，即对称轴在直线左侧，开口向下时对称轴右侧y随x增大而减小， 故时y随x增大而减小，③正确； ④整理函数得， 令，解得或，代入得对应y值为和， 故不论m取何值，函数都经过两个定点和，④正确； 综上，正确的结论为②③④． 三、解答题 11．（2026·河南三门峡·二模）已知抛物线 （b，c为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式及顶点坐标； ②已知，在该抛物线上，当时，求m的取值范围； (2)若该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，直线在第四象限内有两个交点，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①， ；②或 (2) 【分析】（1）①根据题意得抛物线过点和，用待定系数法即可求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可求顶点坐标；②根据抛物线的对称性求出关于的对称点为，结合增减性，列不等式求解即可； （2）由抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，得，再求出，画出抛物线图象，找出临界点求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知抛物线过点和， ∴解得， ∴； ∴顶点坐标为； ②由①可知抛物线关于对称，开口向上， 则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴关于的对称点为， ∵， ∴或， 解得或； （2）解：∵该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3， ∴，即， 将代入得，， 解得， ∴， 又∵直线在第四象限内与抛物线有两个交点， ∴令，解得（舍去）或， ∴当经过点时，在第四象限内与抛物线有1个交点， 即解得； 令即， 当时，解得； ∴直线在第四象限内与抛物线有两个交点时，． 12．（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 13．（2026·江苏徐州·三模）已知二次函数（其中m、n为常数）． (1)若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数并说明理由； (2)若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小． (3)若，设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当的面积为3时，求m的值． 【答案】(1) 二次函数的图象与轴有2个公共点， 理由：∵， ∴， ∴二次函数的图象与轴有个公共点； (2) (3) 或 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）开口向上的抛物线，点距离对称轴的距离越大函数值越大； （3）先求出、、的坐标，然后根据的面积为3，列出关于的方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵的对称轴为， ∴，， ∵开口向上，越靠近对称轴的函数值越小， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 当时，， 解得， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得或. 14．（25-26九年级下·福建福州·期中）已知二次函数（为常数，）． (1)若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点； (2)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）利用一元二次方程的判别式判断根的个数，先计算判别式，再结合条件，判断，从而证明方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有两个公共点； （2）先将抛物线解析式化为顶点式，得到抛物线的对称轴和顶点，当时，令顶点在轴下方，且区间端点、处的函数值均大于，列不等式组求解；当时，令顶点在轴上方，且区间端点、处的函数值均小于 ，列不等式组求解，最后合并两种情况，得到最终结果． 【详解】（1）证明：根据题意可知，， ， ，， ， 故该函数的图象与轴有两个公共点． （2）解：，可知该抛物线的顶点坐标为，对称轴为， 当，抛物线开口向上，若，则抛物线的顶点在轴下方，当和时，， ， 解得； 当，抛物线开口向下，若，则抛物线的顶点在轴上方，当和时，， ， 解得， 综上，的取值范围是或． 15．（2026·浙江温州·三模）已知二次函数（k为常数且） (1)若函数图象的对称轴是直线． ①求该二次函数的表达式． ②二次函数的图象上有，两点，其中，且满足，试比较s，t的大小． (2)若抛物线的顶点在一次函数图象上，且当时，都有，求k的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)k的取值范围为 【分析】（1）①由题意易得，然后问题可求解；②由题意易得，则有，即，然后可得，，进而作差进行求解即可； （2）由题意易得抛物线的顶点坐标为，代入一次函数可得，则有，然后可得，令，则有，进而根据题意可分当时，当时，当时，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：①由对称轴是直线可知：， ∴， ∴二次函数的表达式为； ②∵， ∴， ∵， ∴，即， 由①可知：二次函数的表达式为，且，两点在该函数图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：由可知：顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在一次函数图象上， ∴，解得：， ∴， ∴， 令，则有， ∴此函数的对称轴为直线， ∵当时，都有，即当时，都有， ∴当时，都有， 则可分：①当时，则需满足时，，即即可， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； ②当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴； ③当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； 综上所述：k的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与方程、不等式及最值综合 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与一元二次方程 题型1 由抛物线与 x 轴交点确定方程根 题型2 由图象判断方程根的个数与符号（高频） 考点二 二次函数与不等式二次函数最值 题型3 利用图象解一元二次不等式（高频） 题型4 含参数的一元二次不等式（难） 考点三 二次函数最值 题型5 二次函数在指定区间上的最值（重、高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与一元二次方程 ◆题型1由抛物线与 x 轴交点确定方程根 1．D 2．D 3．A 4．/ 5．①③ ◆题型2 由图象判断方程根的个数与符号 1．②④ 2． 3． 4．B 5．B 考点二 二次函数与不等式 ◆题型3 利用图象解一元二次不等式 1．A 2．B 3．D 4．B 5．D ◆题型4 含参数的一元二次不等式 1．C 2．A 3．B 4．A 5． 考点三 二次函数最值 ◆题型5 二次函数在指定区间上的最值 1．A 2．B 3．C 4．A 5．2 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．D 2．C 3．C 4．D 5．B 6．D 7．B 二、填空题 8． 9． 10．②③④ 三、解答题 11．(1)①， ；②或 (2) 【分析】（1）①根据题意得抛物线过点和，用待定系数法即可求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可求顶点坐标；②根据抛物线的对称性求出关于的对称点为，结合增减性，列不等式求解即可； （2）由抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，得，再求出，画出抛物线图象，找出临界点求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知抛物线过点和， ∴解得， ∴； ∴顶点坐标为； ②由①可知抛物线关于对称，开口向上， 则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴关于的对称点为， ∵， ∴或， 解得或； （2）解：∵该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3， ∴，即， 将代入得，， 解得， ∴， 又∵直线在第四象限内与抛物线有两个交点， ∴令，解得（舍去）或， ∴当经过点时，在第四象限内与抛物线有1个交点， 即解得； 令即， 当时，解得； ∴直线在第四象限内与抛物线有两个交点时，． 12．(1)． (2) 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 13．(1) 二次函数的图象与轴有2个公共点， 理由：∵， ∴， ∴二次函数的图象与轴有个公共点； (2) (3) 或 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）开口向上的抛物线，点距离对称轴的距离越大函数值越大； （3）先求出、、的坐标，然后根据的面积为3，列出关于的方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵的对称轴为， ∴，， ∵开口向上，越靠近对称轴的函数值越小， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 当时，， 解得， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得或. 14．(1)见解析 (2)或 【分析】（1）利用一元二次方程的判别式判断根的个数，先计算判别式，再结合条件，判断，从而证明方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有两个公共点； （2）先将抛物线解析式化为顶点式，得到抛物线的对称轴和顶点，当时，令顶点在轴下方，且区间端点、处的函数值均大于，列不等式组求解；当时，令顶点在轴上方，且区间端点、处的函数值均小于 ，列不等式组求解，最后合并两种情况，得到最终结果． 【详解】（1）证明：根据题意可知，， ， ，， ， 故该函数的图象与轴有两个公共点． （2）解：，可知该抛物线的顶点坐标为，对称轴为， 当，抛物线开口向上，若，则抛物线的顶点在轴下方，当和时，， ， 解得； 当，抛物线开口向下，若，则抛物线的顶点在轴上方，当和时，， ， 解得， 综上，的取值范围是或． 15．(1)①；② (2)k的取值范围为 【分析】（1）①由题意易得，然后问题可求解；②由题意易得，则有，即，然后可得，，进而作差进行求解即可； （2）由题意易得抛物线的顶点坐标为，代入一次函数可得，则有，然后可得，令，则有，进而根据题意可分当时，当时，当时，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：①由对称轴是直线可知：， ∴， ∴二次函数的表达式为； ②∵， ∴， ∵， ∴，即， 由①可知：二次函数的表达式为，且，两点在该函数图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：由可知：顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在一次函数图象上， ∴，解得：， ∴， ∴， 令，则有， ∴此函数的对称轴为直线， ∵当时，都有，即当时，都有， ∴当时，都有， 则可分：①当时，则需满足时，，即即可， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； ②当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴； ③当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； 综上所述：k的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $