专题03 正方形的性质和判定（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，以9类分层题型覆盖计算、证明、折叠、作图等核心考法，构建从基础应用到综合攻坚的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|题型1-4（12题）|求角度、线段长、面积及证明，结合中点、对角线等条件|以正方形边、角、对角线性质为核心，渗透方程思想与转化思想| |判定应用|题型6-7（6题）|补充判定条件、性质与判定综合，关联菱形/矩形判定|从性质逆推判定，强化特殊四边形判定体系的逻辑链| |能力提升|题型5、8-9（15题）|折叠问题（含多解）、无刻度作图、综合证明（含动态）|融合轴对称、全等、勾股定理，培养几何直观与推理能力|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3正方形的性质和判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1根据正方形的性质求角度（重） 题型2根据正方形的性质求线段长（高频） 题型3根据正方形的性质求面积（高频） 题型4根据正方形的性质证明与求解（高频） 题型5正方形中的折叠问题（难） 题型6添一个条件使四边形是正方形（重） 题型7根据正方形的性质与判定求解（高频） 题型8与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）（高频） 题型9正方形的性质与判定的综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1根据正方形的性质求角度 1.30 2.40°140度 3.70° ◆题型2根据正方形的性质求线段长 4. o (4-io) 5.10 5.12 6.2或5 1/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3根据正方形的性质求面积 7.1:2 8. 1 AE2+BE2=20E2 9.25cm2 ◆题型4根据正方形的性质证明与求解 10. 【答案】(I)BE⊥AF,理由如下： :四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=∠ADC=90°， 在△ABE和△DAF中， AB=AD ∠BAD=∠ADC AE=DF 、.△ABE≌aDAF(SAS), ∴.∠ABE=∠DAF, .LDAF+∠BA0=90°， .∠ABE+∠BAO=90°， .∠AOB=180°-（∠BAO+∠ABE)=90° .BE L AF, (2)解：：四边形ABCD是正方形， .BC=CD=AB=4,∠C=90°， AE DF=1, ..CF=CD-DF=3. 在RtABCF中，BF=VBC2+CF2=V42+32=5, 由(1)可知，BE LAF, .∠BOF=90°， 在RtABOF中，P是BF的中点， OP-F- 2/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11. 【答案】(I)∠AFD=∠GEC,理由如下： ,四边形ABCD是正方形， .∠BCD=90°， ,EH⊥AF于点H, .∠EHF=∠FHG=90°， ∴.∠GEC+∠CFH=360°-∠BCD-LEHF=180°， .∠AFD+∠CFH=180°， .∠AFD=∠GEC; (2)EH+FH=√2CH,理由如下： 如图2，作CI1EG于点I,CL⊥AF交AF的延长线于点L,则∠CIE=∠L=90°， G B 图2 ,∠AFD=∠CEI,∠AFD=∠CFL, .∠CEI=∠CFL, 在△CEI和△CFL中， 「∠CIE=∠L ∠CEI=∠CFL, CE=CF .△CEI≌aCFL(AAS) ∴.EI=FL,CI=CL, ,∠CIH=∠IHL=∠L=90°， ∴四边形CIHL是矩形， .CI=CL, ∴四边形CIL是正方形， .HII HL CL, ∴.EH+FH=HI+EI+FH=HI+FL+FH=HⅢ+HL=2HL, 3/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,CH=VH+CL=V2H=√2HL, cn, 2 .2mxCH-cH, 2 ∴.EH+FH=V2CH: (3)解：如图3，作EK⊥AD于点K,连接FG,则∠EKG=∠D=∠AHG=90°， B 图3 .∠KEG=∠DAF=90°-∠AGH, AG=2,DG=1, ..AB=CD=BC=AD=AG+DG=2+1=3. .∠AKE=∠BAK=∠B=90°， .四边形ABEK是矩形， .BE=AK,EK=AB=AD, 在△EKG和△ADF中， ∠EKG=∠D EK=AD ∠KEG=∠DAF .△EKG≌aADF(ASA), .KG=DF,EG=AF, ..BC=CD,CE=CF, ∴BC-CE=CD-CF, ∴BE=DF, .AK=DF =KG, ..AK+KG=AG=2, 4/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DF+DF=2, .DF=1, ..EG=AF=AD2+DF2=3+1=10. ∴.FG=VDF2+DG2=VP+12=√2， 1 1 :2xi0GH=2×2x1=S.4m, .G=v 5 m=6-0=而-4.m=c-a-a--2, 55 .EH+FH-41021060 51 55 由(2)得EH+FH=V2CH, 2CH=6v 5, .CH=6/5 5 12. 【答案】(1)解：结合图形可知，点P是对角线AC上一动点，由于正方形是轴对称图形，点B、D关于 直线AC对称，故PB=PD, (2)①解：猜想EF=DP. 证明：四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，∠PAB=∠PAD=45°，AB=AD. PE⊥AB,PF⊥BC,∠ABC=90°， ∴.四边形PEBF是矩形， ∴.EF=PB 在△PAB和△PAD中， (AB=AD ∠PAB=∠PAD AP=AP .△PAB≌△PAD(SAS). 5/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.PB=PD, .EF=DP. ②②解：EF=PB, .求EF的最小值即求PB的最小值. 点P在对角线AC上运动， 当PB⊥AC时，PB最小 在正方形ABCD中，对角线AC⊥BD,且互相平分， .当P为AC与BD的交点时，PB⊥AC AB=4, ..BD=42, 8=0=25. ∴.EF的最小值为2V2」 (3)解：△DHP是直角三角形，∠PDH=90°. 理由：四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠PAB=∠PAD=45°，ABIICD,AD⊥CD 在△PAB和△PAD中， AB=AD ∠PAB=∠PAD AP=AP .APAB≌△PAD(SAS)」 .∠PBA=∠PDA」 AB∥CD,即AB∥DG, .∠PBA=∠DGB .∠PDA=∠DGB」 点G在CD的延长线上，点O在AD上，AD⊥CD, ∴.∠GDQ=90° ∴△GDO是直角三角形 点H是斜边GO的中点， ..DH=OH ∴.∠DQG=∠HDQ 6127 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△GDQ中，∠DGB+∠DQG=90°， ∴.∠PDA+∠HDQ=90° 又：点Q在AD上，DP与DH分别在直线AD两侧， ∴.∠PDH=∠PDA+∠ADH=90, ∴△DHP是直角三角形 ◆题型5正方形中的折叠问题 715 13.4或4 14. 【答案】(I)△ABM是等边三角形，证明如下： 由第一步折叠可知，EF垂直平分线段AB, .AM=BM 由第二步折叠可知，AB=BM. ∴.AB=BM=AM, 故△ABM是等边三角形. D (2)解：由(1)得∠ABM=60°， ,正方形中，∠BAD=∠C=90°， .∠CBM=∠ABC-∠ABM=30°， 由折叠性质得∠BMP=∠BAD=90° .∠BMQ=180°-∠BMP=90° :.∠BMQ+∠C=180° ∴.∠CBM+∠CQM=180° .∠PQD+∠CQM=180° .∠POD=∠CBM-30° 7/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P D E F Q B C (3)解：连接B0,设AP=xcm, ,正方形边长为8cm, .PD=(8-x)cm ,O是FC中点，EF平分正方形边长， :.Cg=2cm,D0=8-2=6(cm). AB=BC,AB=BM, .BC=BM, 由(2)知，∠BMQ=90° .∠C=90°，BQ=BQ, .RtABMO≌RIABCO(HL). :.Mo=CO=2cm,PM=AP=xcm, .P2=PM+M0=(x+2）(cm). 在RtPD0中，由勾股定理得：PD+Dg=Pg, 代入得（⑧-x)2+62=(x+2)2, 展开整理：64-16x+x2+36=x2+4x+4, .20x=96, 24 解得x= 5· 24 ·AP的长为5cm(或4.8cm). A ◇ D F 8/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15 【答案】(1)解：如图，连接BQ, D B 由折叠的性质得：A0=BO,AQ=AB,PQ=BP,∠BAP=∠QAP, .AO=BO=AB :.△ABQ为等边三角形 .∠BAQ=60° ∴.∠BAP=30°， ∴.AP=2BP, ,四边形ABCD为矩形， .∠ABC=90°， .AB=AP2-BP2 =3BP, ,AB=4, ·5BP=4' 即BP-4V5 3 4v5 .'.PO 3 (2)解：设MF=x, 同理(1)得：∠BAQ=60° 连接AM, D B :四边形ABCD为正方形，且边长为6， .∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=CD=6, .∠DAQ=∠BAD-∠BAQ=30°. 9127 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由折叠的性质得：40=B,DFCD=3,∠40P=∠B=90, :∠AQM=180°-∠A0P=90°，A0=AD,DM=3-x, .∠DMQ=360°-∠DAQ-∠D-∠AQM=150°， .∠FMQ=180°-∠DMQ=30°， ..MO=2FO ..FM =MO2-FO2=3F0, :FM=5M0=x, 23 .MO= 3t, AMAM, .RtADMRtAAOM (HL). ·DM=M0-=2 -x, 3 DM+MF DF, .25 ·3°x+x=3, 解得：x=6V3-9, 即MF=63-9: (3)解：如图，连接PF, B ,四边形ABCD为正方形，且边长为6， ∴.∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=BC=CD=6, 折叠的性质得：A0=AB=6,CF=DF=CD=3,∠4OP=∠B=90 2 ∴.AF=VAD2+DF2=3V5, 10/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OF=AF-A0=3V5-6. 设PC=y,则BP=PO=6-y, 在Rt△PFO中，PF2=Pg+FQ2=(6-y)'+35-6, 在Rt△PFC中，PF2=PC2+FC2=y2+32=y2+9, y2+9=(6-y)+(35-6, 解得：y=9-3v5. 即PC=9-3v5 :PN⊥AD,即∠PND=90, ∴四边形CDNP为矩形， .ND=PC=9-35. ◆题型6添一个条件使四边形是正方形 16.∠DAB=90°（答案不唯一） 17.①②或②③（填写一组即可） 18.AB=BC(答案不唯一) ◆题型7根据正方形的性质与判定求解 19.①②④ 20.4V5-4或4V2 21.135或90或45 ◆题型8与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 22. 【答案】(1)如图1，点F即为所求： 11/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 aB D F 图1 (2)如图2，点H即为所求.（作法不唯一） B H G 图2 (2)设BF与AC交于点G,连接DG并延长，交CB于点H,则点H即为所求 B H D 图2 【详解】(1)证明：连接BF, :四边形ABCD为正方形， .BO=DO,ABICD ∴.∠EBO=∠FDO,∠BEO=∠DFO, .△BEO≌aDFO(AAS). ∴.BE=DF, :BE∥DF, .四边形BEDF为平行四边形， ∴.DE∥BF: (2)解：DE∥BF, ∴.∠ODE=∠OBF. :正方形ABCD中，AC⊥BD,BO=DO, ∴.AC垂直平分BD, .DG=BG, 12/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠OBF=∠ODH, ∴.∠OBE=∠ODH, :正方形ABCD中，∠DBE=∠DBH=45°，BD=BD, ·.△BED≌△BHD(ASA), ∴.BE=BH, :正方形ABCD中，AB=BC, .AB-BE BC-BH .AE=CH, :4B=2AB, 3 ..cH-38c. 3 23. 【答案】(1)证明：连接AC,如图所示： :四边形ABCD为菱形， :.AC⊥BD,AO=CO, 根据作图可知：AE=AF, :.OE=OF, ∴，四边形AECF为平行四边形， :AC⊥EF, ∴四边形AECF是菱形： (2)连接AC,交BD于点O,以点O为圆心，OA为半径画弧，交BD于点M、N,连接AM、CM、AN、 CN,则四边形AMCN即为所求 B (3)解：如图， 13/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AB=x, :四边形ABCD是菱形， BA=BC,BD平分∠ABC,AC⊥BD, .∠ABC=60°， ÷6MBC是等边三角形，∠AB0=)×60°=30°， .AC=AB=x, 1 .0A=5AC=)x, 2 2 0B-AB-O3 t, .BD =20B=3x. 2AC·BD='x 2 即x2= 3 2S, :四边形AMCN为正方形， :MN=AC=x, .SE方形4MCN 125=5s. 23S= 3 24. 【答案】(I)如图，四边形EFGH即为所求作的正方形， 14/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由作图可知，OB=OD,EG⊥HF, ,矩形ABCD, .AD∥BC, .∠ADB=∠CBD,∠DEO=∠BGO」 .△DOE≌△BOG(AAS), .'.OE =OG. 由作图可知，OE=OG=OF=OH,即EG=FH, ∴.四边形EHGF为矩形， .EG⊥HF, .四边形EHGF为正方形： (2)解：连接BE, :OB=OD,EG⊥BD」 ∴.EG垂直平分BD, .BE=DE 在Rt△ABE中，BE=DE=AD-AE=4-AE,AB=2, 由勾股定理得2+AE2=(4-AE)2, 一 ◆题型9正方形的性质与判定的综合问题 25. 【答案】(I)证明：矩形ABCD, .∠BAF=∠ABE=90°」 ,EF⊥AD, 15/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠B=∠BAF=∠AFE=90°， ∴四边形ABEF是矩形. :AE平分∠BAD, ∴.∠DAE=∠BAE, :矩形ABCD中，AD‖BC, .∠DAE=∠AEB, .∠AEB=∠BAE, ∴.BA=BE, ∴.四边形ABEF是正方形： (2)证明：：DG1AE,而由(1)得∠B=90°， ∴.∠AGD=∠ABE=90°， ,AE平分∠BAD .∠DAG=∠BAE」 在△AGD和△ABE中， [∠DAG=∠BAE ∠AGD=∠ABE, AD=AE .△AGD≌△ABE(AAS). .AB=AG; (3)解：连接AO, F D B E ,四边形ABEF是正方形， ∴.AB=AF=EF=1,∠AFO=90°，∠AEF=45°， .AB=AG, .AG=AF=1. DG⊥AE, ∴.∠AG0=∠AFO=90°. AO=AO, 16/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..RtAAGO2RtAAFO(HL), ..OG=OF, 设OG=OF=x, ..OE=EF-OF=1-x, :DG⊥AE,∠AEF=45°， ∴.aOGE为等腰直角三角形，G0=GE, ∴.由勾股定理得：OG2+GE2=OE2, .0E=V2x=1-x, 解得：x=V2-1, 0G=2-1. 26. 【答案】(I)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ABC=∠ADC,∠ABC+∠ADC=I8O°， ∴.∠ADC=∠ABC=90°， 平行四边形ABCD是矩形， :AB=BC, 平行四边形ABCD是正方形： (2)证明：在正方形ABCD中，AB=BC, .∠ABC=∠BCF=90°， △ABE≌△BCF, .∠BAE=∠CBF, ∴.∠ABF+∠CBF=∠ABF+∠BAE=90°， .∠AHB=90°， AE⊥BF; (3)解：如下图所示，过点A作AM⊥AH交HP延长线于M,连接DM, :AE⊥BF, .∠AHF=90°， :HP平分∠AHF, .∠AHP=45°， :AM⊥AH, 17/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠MAH=90°， .∠AHP=∠AMP=45°， .AH AM, ∴△AHM为等腰直角三角形， .∠EAM=∠BAD=90°. .∠BAH=∠DAM, AB=AD 在 和 中， ∠BAH=∠DAM, △ABH△ADM AH=AM △ABH≌△ADM, ∠AMD=∠AHB=∠MAH=90°，MD=BH, .AH DM .∠PHN=∠PMD, BH =HN .MD=HN I∠HPN=∠MPD 在 和 中， {∠PHN=∠PMD PNH PDM HN=MD .APNH≌APDM, .:PM=PH, ∴AP⊥PH,∠HAP=45°， 延长CB到点G,使BG=D0, AB=AD 在 和 中， ∠ABG=∠ADC=90°， Rt△ADO RIAABG BG=DO ∴.△ADQ≌△ABG ∴.∠DAQ=∠BAG AG=AQ ∴.∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAQ+∠BAE=45°， ∠GAE=∠QAE=45°， AG=AO 在 和中， ∠GAE=∠QAE, △AGE△AQE AE=AE 18/27 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AEG≌△AEQ, ∴.DQ=BG,EG=EQ, .BE+DO=BE+BG=GE=EO. ∴.CE2+CQ2=EQ」 D B E DO=x,BC=CD=2x,CE=BC-BE=2x-10,EO=GE=BE+BG=x+10 可得：x2+(2x-1o=(x+1o, 解得：，=0（不符合题意，舍去），5=30 2 .AB=CD=310 .AE=√AB2+BE2=10, 54B8服=468别， .3V10×V10=10×BH, .BH=3,HE=BE2-BH2=1,AH=AE-HE=10-1=9, 过点D作DK⊥AN于K, :∠ADK+∠DAK=90°，∠DAK+∠BAE=90°， ∴∠ADK=∠BAE, [∠AKD=∠AHB=90° 在 和 中， ∠ADK=∠BAE △ADK△ABH AD=AB △ADK≌△ABH, .AK=BH=3,DK=AH=9,KN=AH-AK-NH=3. ∴.DN=√DK2+KW2=3V10, 19/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DP=IDN-3/ 2 2· 27. 【答案】(I)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD,∠BCE=∠DCE, 又：CE=CE, ∴.△CDE≌ACBE(SAS) (2)证明：①如图2，：△CDE≌△CBE, .DE=BE,∠CBE=∠CDE, ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠DCB=90°， EF⊥DE ∴∠DEF=90°， ∠CDE+∠EFC=360°-90°-90°=180°， .∴∠CBE+∠EFC=180° :∠EFB+∠EFC=180°， .∠CBE=∠EFB. .BE EF, :.DE EF ,四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形. ②如图2：CE=CD」 E G F 图2 ∴.∠CED=∠CDE ,四边形ABCD是正方形 ∴BC=AD=CD=CE,∠ADC=∠DEF=90°，∠DAE=∠ECF=45°， ∴.∠ADC-∠CDE=∠DEF-∠CED,即∠ADE=∠CEF, 20127 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .·AADE≌ACEF(ASA), :AE=CF, :在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=V2BC2=√2BC=V2(BF+CF), AC=AE+CE=CF+BC=CF+BF+CF=2CF+BF, 2(BF+CF)=2CF+BF, (W2-)BF=(2-2)CF, BE cr= (3)解：如图3，EF⊥DE,EF⊥BN, A D E M N B C 图3 .DE BN 点N是CD的中点， ∴.点M是CE的中点，BC=CD=2NC, ∴.MN是△CDE的中位线， :DE =2MN=2; .△CDE≌△CBE、 .BE=DE=2,∠CED=∠CEB, .:DENI BN, ∴.∠CED=∠BME, .∠CEB=∠BME, ∴.BM=BE=2, ∴BN=BM+MN=3, 在RtABCN中，由勾股定理得BC2+CN2=BW2即(2CN)2+CN2=9, ow-5, :cD=65 5 21/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.D 2.A 3.c 4.B 二、填空题 5.67.5° 6.2W5 7.5 8.25 三、解答题 9. 【答案】(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， 点O为AC的中点， ,点E为AN的中点， .OE为△ACN的中位线， ..OE I CN: (②)证明：，四边形ABCD为平行四边形，且∠BAD=90°， ∴四边形ABCD为矩形， .CN⊥AC, .∠ACN=90°， ..OEII CN .∠AOE=∠ACN=90°. .BD⊥AC, ,四边形ABCD为矩形且对角线互相垂直， 四边形ABCD为正方形： (3)解：如图，连接CE,ND, 22127 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 由(I)知OE为△ACN的中位线， O-CN.OEICN, 由(2)知四边形ABCD为正方形， .OA=OB=OC=OD,∠AOD=∠BOC=90°. 设OE=a,则CN=2a, ,四边形ECND为平行四边形， .DE=CN=2a,OA=OB=OC=OD=OE+DE=3a. 在RtAAOE中，AE=VOA+OE2=V10a, 在RtABOC中，BC=VOB2+OC2=3v2a, AE Oa5 “.BC3W2a3 10. 【答案】(I)证明：矩形ABCD, .∠BAF=∠ABE=90° ,EF⊥AD, ∴.四边形ABEF是矩形 AE平分∠BAD, ∴.EF=EB, ∴四边形ABEF是正方形； (2)证明：，AE平分∠BAD, .∠DAG=∠BAE DG⊥AE ∴.∠AGD=∠ABE=90° 在△AGD和△ABE中， 23/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAG=∠BAE ∠AGD=∠ABE, AD=AE ·.△AGD≌aABE(AAS), .'.AB=AG (3)解：由(1)知，四边形ABEF是正方形： ∴.AB=BE=1. 由(2)知△AGD≌△ABE, ∴.DG=BE=AB=AG=1, .AD=VAG2+DG2=VP+1P=√2， .DF=AD-AF=2-1. 11. 【答案】(1)解：，四边形ABCD和ABCD都是正方形，且这两个正方形的边长都是1， .∠BCD=∠B4D=90°，CD=1,OC=OD,AC⊥BD, .AD,⊥DC,即∠AMC=90°， ∴，四边形OMCN是矩形， 又：OC=OD,AC⊥BD .OM=CM -CD= 2 .矩形OMCN是正方形， 111 ∴重叠部分四边形OMCN的面积是2×24· (2)解：四边形OMCN的面积不发生变化.证明如下： :四边形ABCD和四边形AB,CD都为正方形， .∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC,∠B0C=90°，∠DOB=90°， :∠BON+∠CON=90°，∠CON+∠COM=90°， ∴.∠BON=∠COM, 在△COM和△BON中， [∠OCM=∠OBN OC=OB ∠COM=∠BON 24127 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴ACOM≌aBON(ASA). ∴.SACOM=SABON, ∴.重叠部分四边形OMCV的面积为S&COM+SCON =SABON SACON -S.OBC _SE方形ABCD 1 =二×1×1 4 1 =4' 即四边形OMCV的面积不发生变化. (3)解：：四边形ABCD和AB,CD都是正方形，且这两个正方形的边长都是1， 1 六∠ADC=∠BCD=∠BAD=90°，AD=CD=I,OC=2AC, ∴.在Rt△ACD中，AC=VAD2+CD2=√2， ..OC= 2 2 如图，取MN的中点E,连接AE,CE,, B 0(4) B. DM∥ D ∴在RaMN中，4E=,在R△CW中，CE=M 又：AE+CE≥OC,当且仅当A,E,C三点共线时，等号成立， ∴w+w≥E 21 25/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小MW的绿短长度是号。 12. 【答案】 【详解】(1)解：，四边形ABCD为正方形， CB=CD,∠D=∠B=90°. 由折叠的性质可得CD'=CD,∠D=∠CD'E=90°， .∠CD'H=180°-∠CD'E=90°，CB=CD', 在RtACD'H和Rt△CBH中， CD'=CB CH=CH' ..RtACD'HRtACBH (HL). .BH=D'H: (2)解：①，四边形ABCD为正方形， .AB=AD=CD=BC=4,∠D=∠A=∠ABC=90°， ,四边形ABCD是正方形纸片，将该纸片对折，使DC与AB重合，折痕为EF,展开铺平， 1 DE=4E-74D=2, 由折叠的性质可得D'E=DE=2, 由(1)可得BH=D'H, 设BH=D'H=x,则EH=D'E+D'H=2+x,AH=AB-BH=4-x, 由勾股定理得AE2+AHP=EH2, .22+(4-x)2=(2+x), 得 朗 ②如图，连接BM, 26127 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M D 由折叠的性质可得EF垂直平分BC, CF=2BC=2, BM=CM ∠MCF-∠MBF, .∠ABC=90° .∠MCF+∠CHB=90°，∠MBF+∠MBH=90°， ∴.∠CHB=∠MBH, ∴.BM=HM, .CM=HM, .MF为△CBH的中位线， 2 F=,BH三 由折叠的性质可得∠DCE=∠D'CE,EF IDC,EF=CD=4, ∴.∠FEC=∠DCE, .∠FEC=∠D'CE, ∴GE=GC, 由勾股定理可得GF2+CF2=GC2, .GC=GE=EF-GF=4-GF, GF2+22=(4-GF), .GF=3 ·GE=EF-GF= 2 3 G=2=3 27127 专题03 正方形的性质和判定 常考题型·精准突破 题型1 根据正方形的性质求角度（重） 题型2 根据正方形的性质求线段长（高频） 题型3 根据正方形的性质求面积（高频） 题型4 根据正方形的性质证明与求解（高频） 题型5 正方形中的折叠问题（难） 题型6 添一个条件使四边形是正方形（重） 题型7 根据正方形的性质与判定求解（高频） 题型8 与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）（高频） 题型9 正方形的性质与判定的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1根据正方形的性质求角度 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，是正方形外一点，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，，结合已知条件证得是等边三角形，即，进而求出的度数，利用等腰三角形的性质求出，同理可得，最后利用角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 同理可得， ∴． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形和四边形分别是菱形与正方形．若，则________． 【答案】/40度 【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解． 【详解】解：连接， ， 在菱形和正方形中， ∴平分， ∴ ∵， ∴, ∴ ∵ ∴． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】利用直角三角形的性质求得，再求得，最后利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型2 根据正方形的性质求线段长 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，点，分别在正方形的边和上，，，，则的长是_______，的长是_______． 【答案】 【分析】根据勾股定理即可求解的长；添加辅助线，延长至点，使得，连接，证明与全等，由此可得，再利用角度的关系得到边的关系，可得的长度，由此可求解的长． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， 在中，， 延长至点，使得，连接，如图， 则有， 在中，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号） 【答案】 【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求的长． 【详解】解：连接、，如图， 四边形和四边形都是正方形，，， ，，，， ， 在中，， 是的中点， ． 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）若正方形的边长为4，E为边上一点，，M为线段上一点，射线交正方形的一边于点F，且，则的长为______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①射线交边于点F，证明，得到，根据勾股定理求出，连接，证明四边形是矩形，根据矩形的性质求解；②射线交边于点F，证明得到，进而证明，得到，根据的面积求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图，射线交边于点F ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴在中，． 连接， ∵在正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ②如图，射线交边于点F， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ∴在中，． ∵， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． ◆题型3 根据正方形的性质求面积 7．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，设，则，根据直角三角形性质求出，再结合正方形面积公式，以及菱形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 四边形为正方形，， 变形后四边形满足为菱形， 设，则， ， ， 四边形的面积为：； 正方形的面积为：； 四边形的面积与原正方形面积之比为． 8．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长均为2，正方形可绕点转动且始终保持点在正方形内部，则四边形的面积为_________，、和的数量关系为_________． 【答案】 1 【分析】由题可证，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形的面积；连接，由勾股定理得到，再根据得到，，即可得出结论． 【详解】∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积； 如图，连接， ∵四边形、四边形均为正方形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，即． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点、、、是各正方形的对角线交点，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图连接正方形对角线， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形边长， ∴正方形面积， ∴， 同理可知：四块阴影的面积都是， ∴所有正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． ◆题型4 根据正方形的性质证明与求解 10．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点，是的中点，连接． (1)与之间有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由正方形的性质容易证明，则，由等量代换可得，因此； （2）先利用勾股定理计算出，再利用直角三角形的性质求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 由（1）可知，， ∴， 在中，是的中点， ∴． 11．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图1，四边形是正方形，E，F分别是边，上的点，连接，作于点H，延长交边于点 G． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由： (3)在（2）的条件下，若，，则的长为 ． 【答案】(1)，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)，理由如下： 如图2，作于点I，交的延长线于点L，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由正方形的性质得，由，得，则，再根据等角的补角相等，即可得出结论； （2）作于点I，交的延长线于点L，可证明，得，，再证明四边形是正方形，得，可推导出，因为，所以，进而可得结论； （3）作于点K，连接，由，，得，再证明四边形是矩形，得，，进而证明，得，，由，得，可求得，由勾股定理求得，，由求出，进而可求、，再结合（2）的结论即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，作于点K，连接，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）【问题情境】 (1)如图，四边形是正方形，点________是对角线上一动点，则与的数量关系为________． (2)【深入探究】 如图，在正方形中，点是对角线上一动点，过点分别作，，垂足分别为、，连接． ①试猜想与的数量关系．并证明你的猜想． ②若，求的最小值． (3)【拓展应用】 如图，延长，交于点，与交于点，点为的中点，连接，请判断的形状．并说明理由． 【答案】(1)，． (2)①解：猜想． 证明： 四边形是正方形， ，，． ，，， 四边形是矩形， ． 在和中， ， ， ， ． ② 的最小值为． (3)解：是直角三角形，． 理由： 四边形是正方形， ，，，． 在和中， ， ， ． ，即， ， ． 点在的延长线上，点在上，， ， 是直角三角形． 点是斜边的中点， ， ． 在中，， ． 又 点在上，与分别在直线两侧， ， 是直角三角形． 【分析】（1） 利用正方形关于对角线对称，得． （2）① 由，，可知四边形为矩形，故，再结合(1)得．     ② 由，转化为求对角线上动点到定点的最小距离，即点到直线的距离． （3）先证得，再由转化角；在中利用斜边中线性质得，最后通过互余关系证． 【详解】（1）解：结合图形可知，点是对角线上一动点，由于正方形是轴对称图形，点B、D关于直线对称，故． （2）① 略； ② 解：， 求的最小值即求的最小值． 点在对角线上运动， 当时，最小． 在正方形中，对角线，且互相平分， 当为与的交点时，． ， ， ， 的最小值为． （3）略 ◆题型5 正方形中的折叠问题 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的边长为，，分别是边，上的点，沿着将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，若点将分成两部分，则的长是_______． 【答案】或 【分析】根据题意，得点将分成的两部分的长为，，分或，利用勾股定理，结合方程的思想求解即可； 【详解】解：正方形的边长为， ， 点将分成两部分， 点将分成的两部分的长为，， 当时，如图，连接，则，设，则 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， ， 解得； 当时，如图，连接，则，设，则 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， ， 解得； 故的长是或． 14．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： (1)【课本再现】第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，展平后连接、．根据以上操作，当点M在上时，如图②，连接，判断的形状并证明． (2)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，_______； (3)【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A、D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在正方形内部的点M处，连接、，并延长交于点Q，连接．当Q是的中点时，请求出的长． 【答案】(1)是等边三角形，证明如下： 由第一步折叠可知，垂直平分线段， ∴． 由第二步折叠可知，． ∴ ， 故是等边三角形． (2) (3)的长为（或）． 【分析】（1）首先根据折叠的性质可得，再由是对折矩形的折痕，可知垂直平分，由此可推导，由沿折叠可知，．即可判断的形状． （2）可得，利用折叠性质得，得，由四边形内角和得知，结合平角性质得． （3）设的长为，根据折叠性质得，，证明得到，结合是中点求出、的长度，再用表示出、的长度，最后在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）略． （2）解： 由（1）得， ∵正方形中，， ∴， 由折叠性质得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接，设， ∵正方形边长为， ∴． ∵是中点，平分正方形边长， ∴，（）． ∵， ∴， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴，又， ∴（）． 在中，由勾股定理得： ， 代入得 ， 展开整理： ， ∴ ， 解得 ． ∴的长为（或）． 15．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）综合实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． 【操作判断】 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点P，沿折叠，使点B落在矩形内部点Q处，把纸片展平，连接． (1)根据以上操作，如图①，当点Q落在上，，求的长； 【迁移探究】 (2)如图②，甲同学将矩形纸片换成边长为6的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点Q落在上，延长交于点M，则的长 ； 【拓展应用】 (3)乙同学将边长为6 的正方形纸片对折，得到折痕，连接， 沿折叠，B的对应点Q落在上，如图③，过P点作于点N，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）设，同理（1）得：，连接，根据正方形的性质以及折叠的性质可得，，再求出，可得，从而得到，证明，可得，再由，即可求解； （3） 连接，根据正方形的性质以及折叠的性质可得，，根据勾股定理求出，可得，设，则，在和中，利用勾股定理可得，可求出y的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：设， 同理（1）得：， 连接， ∵四边形为正方形，且边长为6， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即； （3）解：如图，连接， ∵四边形为正方形，且边长为6， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， 即 ∵，即， ∴四边形为矩形， ∴． ◆题型6 添一个条件使四边形是正方形 16．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得菱形是正方形．这个条件可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正方形的判定，解答即可； 【详解】解：根据有一个角是直角的菱形是正方形，可以添加条件，，答案不唯一； 17．（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）． 【答案】 ①②或②③（填写一组即可） 【分析】根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形； 当选择②；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形； 当选择①；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是菱形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或②③均可以． 18．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件___________，使矩形成为正方形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是正方形的判定．有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，再根据正方形的判定方法分析即可． 【详解】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”， 可添加：； 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加：； 故答案为：（答案不唯一） ◆题型7 根据正方形的性质与判定求解 19．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，将矩形沿按图1的方式折叠，点的对应点落在上；再按如图2所示将所得梯形纸片沿折叠，边恰好与折痕完全重合．已知，的长为．下列结论：①；②；③四边形的面积为；④．其中一定正确的结论有______（填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】先利用矩形和第一次折叠的性质，求出的度数；再结合第二次折叠的性质，得到，从而判断；利用折叠性质和角度关系得到是等腰直角三角形，进而判断②、④；设，根据和求出的值，再利用折叠性质和勾股定理求出、的长度，最后用割补法计算四边形的面积，即可判断． 【详解】解：由矩形知，，，， 由第一次折叠知，，，， ∴， 四边形是矩形， ∵， 矩形是正方形， ∴， 由第二次折叠知，与重合， ， ，故①正确； 由第二次折叠知，落在上的点， ，，， 由①得， 则， ∴， 又， 是等腰直角三角形， ，，②正确， ∴，④正确； 设，则， 由①知， ， ，， ， ， 解得， ，， ∴ ，③错误． 20．（2026·河北石家庄·一模）如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求的长． 【详解】解：①如图，若， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵将沿着翻折， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ②如图，若， ∵将沿着翻折， ∴，，， ∵， ∴点，点，点三点共线， ∵， ∴． ③若， ∵， ∴点不可能落在直线上， ∴不存在， 综上所述：或． 21．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段检测）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 【答案】或或 【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，两种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数． 【详解】解：是四边形的美丽线， 是等腰三角形． ， 如图，当时， ，， 是正三角形， ． ， ， ， ． 如图，当时， ． ， 四边形是正方形， ； 如图，当时， 过点作于点，过点作于点，如图3所示， ，， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． ◆题型8 与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 22．（25-26八年级下·江西上饶·期末）如图，在正方形中，点E 是边上一点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)在图1中，，在边上作出点F，使得； (2)在图2 中，，在边上作出点 H，使得 【答案】(1)如图1，点 F 即为所求； (2)如图2，点H 即为所求．(作法不唯一) 【分析】（1）连接、，交于点O，连接并延长，交于点F，则点F即为所求； （2）设与交于点G，连接并延长，交于点H，则点H即为所求． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵正方形中，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知是菱形的对角线． (1)如图1，以A为圆心，适当长度为半径作弧，交于点E，F，连接，，，．求证：四边形是菱形； (2)尺规作图：在图2中作正方形，其中M，N在上（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）的条件下，已知，菱形面积为S，求正方形的面积（用含S的代数式表示）． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， 根据作图可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2)连接，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点、，连接、、、，则四边形即为所求． (3) 【分析】（1）连接，证明菱形的判定解题； （2）连接，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点、，连接、、、，则四边形即为所求； （3）设，用含的式子表示出菱形的面积和正方形的面积，进而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， 设， ∵四边形是菱形， ∴，平分，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，矩形中，．    (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边，上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求出（1）中的长． 【答案】(1)如图，四边形即为所求作的正方形，    (2) 【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形； （2）连接，由（1）知垂直平分，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，，即， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）解：连接，    ∵，， ∴垂直平分， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 解得． ◆题型9 正方形的性质与判定的综合问题 25．（25-26八年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； (2)证明：∵，而由（1）得， ∴， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接，证明，设，则，可得为等腰直角三角形，，则，即可求解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 26．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平行四边形中，，． (1)求证：平行四边形是正方形； (2)如图1，点，分别在边，上，，与相交于点．求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，点在上，，连接，平分交于点，连接并延长交于的，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平行四边形是矩形， ，   平行四边形是正方形； (2)证明：在正方形中，，   ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据可证四边形是正方形； （2）根据正方形的性质可证，根据全等三角形的性质可证； （3）作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形和勾股定理求出线段的长度即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如下图所示，过点作交延长线于，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，    ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 延长到点，使， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ． 设，  则，，， 可得：， 解得：（不符合题意，舍去），，   ， ， ， ， ，，， 过点作于， ，， ， 在和中，， ， ，，， ，   ． 27．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）【问题情境】在正方形中，点为对角线上一点（不与、重合），连接、，过点作，交于点． (1)【猜想证明】如图所示，求证：． (2)【解决问题】如图所示，分别以，为邻边作矩形，①求证：四边形是正方形；②若，求的值． (3)【拓展提升】如图所示，点是的中点，连接交于点，若，，则正方形的边长为________．（直接填写结果） 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ，，                 又， ． (2)证明：①如图，， ， ，        ∵四边形是正方形， ， ， ，                ， ， ， ，                 ， ， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形 ．    ② (3) 【分析】（1）利用正方形的性质以及“边角边”即可证明结论； （2）①先根据全等三角形的性质、正方形的性质得到，利用等角对等边可得，即；然后根据邻边相等的矩形是正方形即可证明结论；②先利用正方形的性质证明可得，利用勾股定理以及线段的和差可得；进而得到，即，然后整理即可解答； （3）如图，先说明是的中位线，即；利用全等三角形的性质、平行线的性质、等角对等边可得，即；再在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）①：略； ②如图， ， ∵四边形是正方形 ，，， ，即， ， ， 在中，， 又∵， ， ， ． （3）解：如图，，， ， 点是的中点， 点是的中点，， 是的中位线， ； ， ，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得即， ， ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（     ） A．当时，四边形是菱形 B．当平分时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 选项A，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴当时，四边形是菱形，选项A结论正确，不符合题意； 选项B，当平分时，可得，又∵平行四边形中，∴，∴，∴，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故四边形是菱形，选项B结论正确，不符合题意； 选项C，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，∴当时，四边形是矩形，选项C结论正确，不符合题意； 选项D，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴当时，四边形是矩形，不一定是正方形，选项D结论错误，符合题意． 2．（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质可得，，，，则，，然后通过勾股定理和线段的和与差即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为，则两个正方形重叠部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与交于点，与交于点，根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为 ． 4．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按图位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上，如图，小明将正方形绕点逆时针旋转，当点恰好落在线段上时，此时的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，由正方形性质得到相关线段长及角度，再由全等三角形的判定与性质得到，在中，由勾股定理得到，数形结合表示出，代入线段长度计算即可． 【详解】解：连接，交于点，如图所示： 在正方形中，，， 则， ，， 在正方形中，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ． 二、填空题 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，点在的延长线上，连接，，且，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得出，利用等边对等角及三角形外角的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴ 在中，． 6．（2026·江苏南京·三模）正方形中，点O为对称中心，过点O且点E在上，点F在上，，．则____________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质及中心对称性得出，从而求出正方形的边长及的长，过点作的垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算的长． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形，点为对称中心 点与点关于点对称， 在和中 四边形是正方形 ，， 四边形是矩形 在中，由勾股定理得 ． 7．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质推出，进而推出，即得出阴影部分的面积等于的面积，即大正方形面积的一半． 【详解】解：如图，连接， 四边形和右侧四边形均为正方形， 、分别为正方形的对角线， ， ， ， 大正方形的面积为， ，即阴影部分的面积为． 8．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，等边三角形的边长为，正方形的四个顶点分别落在的三边上，则正方形的边长为__________． 【答案】 【分析】根据等边三角形和正方形的性质，找出全等三角形，再根据直角三角形的性质和勾股定理建立方程，即可求解正方形的边长． 【详解】∵为等边三角形且边长为， ， ∵四边形为正方形， ， ， ∴在和中， ， ∴， ， 设， ， ， 在中，， ， ∵， 即， 解得， ． 三、解答题 9．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为平行四边形，，，与交于点E，且E为中点． (1)求证：； (2)求证：四边形为正方形； (3)连接，，若四边形为平行四边形，直接写出的值． 【答案】(1)证明： ∵四边形为平行四边形， ∴点O为的中点 ， ∵点E为的中点， ∴为的中位线， ∴； (2)证明： ∵四边形为平行四边形，且， ∴四边形为矩形 ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∵四边形为矩形且对角线互相垂直， ∴四边形为正方形； (3) 【分析】(1)根据四边形为平行四边形及点E为的中点，证得为的中位线，即可得出结论； (2)首先，证得四边形为矩形 ，再由， ，证得，即可得出结论； (3)连接，，由(1)知为的中位线，得，，再由(2)知四边形为正方形，得，，设，则，再由四边形为平行四边形，得，，然后，由勾股定理得到用含有a的式子表示，最后，求比值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，， 由(1)知为的中位线， ∴，， 由(2)知四边形为正方形， ∴，， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 在中，， 在中，， ∴． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴， ∴四边形是正方形； (2)证明：∵平分， ∴． ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）根据正方形得，再由可得，即可求得，结合即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知，四边形是正方形； ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是__________； (2)当正方形绕点旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论； (3)在正方形绕着点旋转的过程中，请直接写出的最短长度是多少． 【答案】(1) (2)解：四边形的面积不发生变化．证明如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积为 ， 即四边形的面积不发生变化． (3) 【分析】（1）先得出四边形是正方形，再求出的长即可； （2）证出，则，进而可得重叠部分四边形的面积等于的面积，由此即可得； （3）先求出的长，再取的中点，连接，，则，，然后根据（当且仅当三点共线时，等号成立）求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形和都是正方形，且这两个正方形的边长都是1， ∴，，，， ∵，即， ∴四边形是矩形， 又∵，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴重叠部分四边形的面积是． （2）解：略． （3）解：∵四边形和都是正方形，且这两个正方形的边长都是1， ∴，，， ∴在中，， ∴， 如图，取的中点，连接，，， ∴在中，；在中，， 又∵，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴，即， ∴的最短长度是． 12．（25-26八年级下·广东佛山·期末）综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动． 【动手操作】 第一步：如图①，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图②； 第二步：沿直线折叠，使点落在处，交于点，如图③； 第三步：延长交于点，连接交于点，如图④． 【解决问题】 (1)线段与的数量关系是________； (2)若正方形的边长为．①求的长；②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由折叠的性质可得，，从而得出，，再证明，即可得解； （2）①由正方形的性质可得，，则，由折叠的性质可得，由（1）可得，设，则，，再结合勾股定理计算即可得出结果； ②连接，由折叠的性质可得垂直平分，则，，证明为的中位线，得出，由折叠的性质可得，，，证明，由勾股定理计算可得，从而得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平， ∴， 由折叠的性质可得， 由（1）可得， 设，则，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②如图，连接， 由折叠的性质可得垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3正方形的性质和判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1根据正方形的性质求角度（重） 题型2根据正方形的性质求线段长（高频） 题型3根据正方形的性质求面积（高频） 题型4根据正方形的性质证明与求解（高频） 题型5正方形中的折叠问题（难） 题型6添一个条件使四边形是正方形（重） 题型7根据正方形的性质与判定求解（高频） 题型8与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）（高频） 题型9正方形的性质与判定的综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1根据正方形的性质求角度 1.(25-26八年级下浙江台州期未)如图，M是正方形ABCD外一点，MC=MD=AD,则∠AMB的度 数为 D M 2.(25-26八年级下福建厦门期末)如图，四边形ABCD和四边形AECF分别是菱形与正方形.若 ∠BAE=25°，则∠D=】 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下浙江杭州期末)如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD边上的点， ∠EAF=45°，∠AFD=65°，则∠AEB的度数为一· A D B ◆题型2根据正方形的性质求线段长 4.(25-26八年级下湖北武汉期末)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边AB和BC上， ∠AEC=2∠DFC,AE=2,CD=3,则EC的长是一，BF的长是 B F 5.(25-26八年级下河南南阳期末)如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC=4, CE=2,H是AF的中点，那么CH的长为一·（保留根号） D E 6.(25-26八年级下·河南周口期末)若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，CE=1,M为线段 AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM的长为一. ◆题型3根据正方形的性质求面积 7.(25-26八年级下·河南漯河期末)如图，正方形ABCD是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时， 学具发生了形变，此时∠4BC=30°，则变形后四边形4BCD的面积与原正方形ABCD面积之比为 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A--------D A D C 8.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形 ABC0的一个顶点，且这两个正方形的边长均为2，正方形4B,C0可绕点O转动且始终保持B点在正方 形ABCO内部，则四边形EBFO的面积为， AE、EB和OE的数量关系为 D B B C 9.(25-26八年级下山东烟台期末)如图，将5个边长都为5m的正方形按如图所示的方法摆放，点A、 B、C、D是各正方形的对角线交点，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为 ◆题型4根据正方形的性质证明与求解 10.(25-26八年级下·河北唐山期末)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在AD,CD上，且 AE=DF,BE与AF相交于点O,P是BF的中点，连接OP. E B (I)BE与AF之间有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若AE=1,AB=4,求OP的长. 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26八年级下辽宁大连期末)如图1，四边形ABCD是正方形，E,F分别是边BC,CD上的点， 连接AF,作EH⊥AF于点H,延长EH交边AD于点G. G D H B B B E E E 图1 图2 备用图 (I)判断∠AFD与∠GEC的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若CE=CF,连接CH,判断线段EH,FH,CH的数量关系，并说明理由： (3)在(2)的条件下，若AG=2,DG=1,则CH的长为， 12.(25-26八年级下·甘肃白银期末)【问题情境】 D C D G D E 图1 图2 图3 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，点 是对角线AC上一动点，则PB与PD的数量关系为 (2)【深入探究】 如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P分别作PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别 为E、F,连接EF. ①试猜想EF与DP的数量关系.并证明你的猜想. ②若AB=4,求EF的最小值， (3)【拓展应用】 如图3，延长BP,CD交于点G,BG与AD交于点Q,点H为GQ的中点，连接HD,请判断△DHP的形 状.并说明理由。 ◆题型5正方形中的折叠问题 13.(25-26八年级下·湖北武汉期末)如图，正方形ABCD的边长为8，E,F分别是边AB,CD上的点， 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 沿着EF将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点G处，若点G将BC分成1：3两部分，则CF的长是 A-- D B G 14.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末)取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： D E ① ② ③ (I)【课本再现】第一步：如图①，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，折痕为EF,把纸片展平；第 二步：在AD上选一点P,沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，展平后连接PM、BM.根据 以上操作，当点M在EF上时，如图②，连接AM,判断△ABM的形状并证明， (②)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为8c的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸 片ABCD按照(I)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接B0,当点M在EF上时，∠POD= (3)【拓展延伸】在(2)的探究中，改变点P在AD上的位置（点P不与点A、D重合），沿BP折叠纸片， 如图③，使点A落在正方形内部的点M处，连接PM、BM,并延长PM交CD于点O,连接BQ.当O是 FC的中点时，请求出AP的长 15.(25-26八年级下·辽宁大连·期末)综合实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动， 具体探究过程如下。 【操作判断】 操作一：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平： 操作二：在BC上取一点P,沿AP折叠，使点B落在矩形内部点Q处，把纸片展平，连接AP. 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D D F B 图① 图② 图③ (1)根据以上操作，如图①，当点Q落在EF上，AB=4,求P巴的长： 【迁移探究】 (2)如图②，甲同学将矩形纸片换成边长为6的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按 照上述操作，点O落在EF上，延长PO交CD于点M,则MF的长_； 【拓展应用】 (3)乙同学将边长为6的正方形纸片对折，得到折痕EF,连接AF,△ABP 沿AP折叠，B的对应点O落在AF上，如图③，过P点作PN⊥AD于点N,求DN的长度 ◆题型6添一个条件使四边形是正方形 16.(25-26八年级下·湖北宜昌期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.在不添加 辅助线的前提下，增加一个条件，使得菱形ABCD是正方形.这个条件可以是 17.(2026广西玉林·模拟预测)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小欣同学欲添加两个 条件使四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AB=AD:②AC=BD:③AC⊥BD.则正 确的组合是 (只需填一种组合即可)· D 18.(24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末)如图，O是矩形ABCD对角线的交点，添加一个条件 使矩形ABCD成为正方形（填一个即可）. 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型7根据正方形的性质与判定求解 19.(25-26八年级下·湖北武汉·期中)如图，将矩形ABCD沿AE按图1的方式折叠，点B的对应点B落 在AD上；再按如图2所示将所得梯形纸片AECD沿AG折叠，边AD恰好与折痕AE完全重合.己知 AD=V2AB,CE的长为1.下列结论：①∠GAD=22.5°：②CE=CG:③四边形AECG的面积为3+2√2： ④DG:CG=√2：1.其中一定正确的结论有 (填写序号即可)· A B D G E E(D)C 图1 图2 20. (2026河北石家庄·一模)如图，四边形ABCD是一个矩形纸片，AB=4,AD=8.E是AD边上一 点.将△ABE沿着BE翻折，A点的对应点为A'.在翻折的过程中，当△ADE是直角三角形时，AD的长为 D 21.(24-25九年级上·上海嘉定·阶段检测)如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么 我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”.己知AC是四边形ABCD的“美丽线”，如果AB=BC=AD ∠BAD=90°，那么∠BCD=°. ◆题型8与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 22.(25-26八年级下·江西上饶期末)如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上一点，连接DE,请仅 用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹） 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E E B B 图1 图2 1中，AE=AB,在DC边上作出点P,使得 ②在图2中，E=B,在CB边上作出点H,使得CH=号BC, 2 3 3 23.(25-26八年级下浙江金华期末)已知BD是菱形ABCD的对角线， A B D C 图1 图2 (I)如图I,以A为圆心，适当长度为半径作弧，交BD于点E,F,连接AE,AF,CE,CF.求证：四 边形AECF是菱形： (2)尺规作图：在图2中作正方形AMCN,其中M,N在BD上（保留作图痕迹，不写作法） (3)在(2)的条件下，己知∠ABC=60°，菱形ABCD面积为S,求正方形AMCN的面积（用含S的代数式 表示) 24.(25-26八年级下·福建福州期末)如图，矩形ABCD中，AB<AD. D (I)求作正方形EFGH,使得点E,G分别落在边AD,BC上，点F,H落在BD上；（要求：尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹) (2)若AB=2,AD=4,求出(1)中AE的长. ◆题型9正方形的性质与判定的综合问题 25.(25-26八年级下·陕西商洛阶段检测)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E, 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF⊥AD于F,DG⊥AE于点G,DG与EF交于点O. (I)求证：四边形ABEF是正方形： (2)若AD=AE,求证：AB=AG: (3)在(2)的条件下，已知AB=1,求OG的长. 26.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC. D H E B E 图1 图2 (I)求证：平行四边形ABCD是正方形： (②)如图1，点E,F分别在边BC,CD上，BE=CF,AE与BF相交于点H.求证：AE⊥BF: (3)如图2，在(2)的条件下，点N在AH上，HN=BH,连接DN,HP平分∠AHF交DN于点P,连接 AP并延长交CD于的Q,若DQ=CQ,BE=V10,求线段DP的长， 27.(25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末)【问题情境】在正方形ABCD中，点E为对角线AC上 一点（不与A、C重合），连接DE、BE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F. D E E B 图1 图2 图3 (I)【猜想证明】如图1所示，求证：△CDE≌△CBE (2)【解决问题】如图2所示，分别以DE,EF为邻边作矩形DEFG,①求证：四边形DEFG是正方形： BE ②若cE=CD,求CF的值. (3)【拓展提升】如图3所示，点N是CD的中点，连接BN交EC于点M,若EF⊥BN,MN=1,则正方 9/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形ABCD的边长为， (直接填写结果) 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下四川凉山期末)已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是() A.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 B.当BD平分∠ABC时，四边形ABCD是菱形 C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 2.(25-26八年级下陕西延安期末)如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E是OA 上一点，连接DE,若OE=1,DE=3,则AE的长为() D A.2√2-1 B.V2-1 C.2-√2 D.2√2-2 3.(25-26八年级下河北保定期末)如图，正方形ABCD的对角线相交于点0，点O又是另一个正方形 AB'CO的一个顶点.如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为() D A.3 B.6 C.9 D.4 4.(25-26八年级下·天津河东阶段检测)数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为√2的 正方形ABCD与边长为V5的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一 条直线上，如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，此时BE的长 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为() G R E 图1 图2 A.1 B.3 c.√2 D.3W2-4 二、填空题 5.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，连接AC, AE,且AC=CE,则∠BAE的度数为 D E 6.(2026江苏南京·三模)正方形ABCD中，点O为对称中心，EF过点O且点E在AD上，点F在BC 上，BF=3,CF=1.则EF= A E D 7.(25-26八年级下广东肇庆·期末)如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为10，小正方 形的面积为6，则阴影部分的面积为 E B 8.(25-26八年级下浙江金华·期末)如图，等边三角形ABC的边长为4+2V3,正方形DEFG的四个顶 点分别落在△ABC的三边上，则正方形DEFG的边长为 11/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 9.(25-26八年级下河北秦皇岛期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD=90°，CN⊥AC, AN与BD交于点E,且E为AN中点. O (1)求证：OE∥CN: (2)求证：四边形ABCD为正方形： AE (3)连接CE,ND,若四边形ECND为平行四边形，直接写出BC的值. 10.(25-26八年级下·山东泰安期末)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,EF⊥AD 于点F,DG⊥AE于点G,DG与EF交于点O. F (I)求证：四边形ABEF是正方形： (2)若AD=AE,求证：AB=AG; (3)在(2)的条件下，已知AB=1,求DF的长。 11.(25-26八年级下河北秦皇岛期末)正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形AB,CD的顶点A与 点O重合，且这两个正方形的边长都是1.已知AD,AB与正方形ABCD的边分别交于M,N两点. 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O()N 6 Q(A) M D M D 图1 图2 C ()如图1，若AD⊥DC,则重叠部分四边形OMCN的面积是 (2)当正方形ABCD绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形OMCN的面积是否发生变化？证明你的结 论 (3)在正方形ABCD绕着点O旋转的过程中，请直接写出MN的最短长度是多少. 12.(25-26八年级下·广东佛山期末)综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动， B A B H D D 图① 图② 图③ 图④ 【动手操作】 第一步：如图①，四边形ABCD是正方形纸片，将该纸片对折，使DC与AB重合，折痕为EF,展开铺平， 如图②： 第二步：沿直线CE折叠，使点D落在D'处，CD'交EF于点G,如图③： 第三步：延长ED'交AB于点H,连接CH交EF于点M,如图④. 【解决问题】 (I)线段BH与D'H的数量关系是一： GF (②若正方形4BCD的边长为4·①求BH的长：②求GE的值。 13/13