专题01 一元二次方程（专项练习）2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以概念-解法-性质-应用为逻辑主线，融合易错题与中考真题，强化运算能力与模型意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与一般形式|8题（含易错题/中考真题）|辨析/求参数/化为一般形式|从定义出发构建认知基础| |四种解法|22题（各含易错题/中考真题）|选择/填空/解答，覆盖步骤易错点|按从特殊到一般递进（直接开方→配方→公式→因式分解）| |根的判别式与韦达定理|6题（含易错题/中考真题）|判断根的情况/求参数/定理应用|性质推导基于解法原理| |实际应用|4题（含易错题/中考真题）|比赛场次/利润/几何问题|模型构建衔接代数与现实情境|

专题01一元二次方程 北师大版新教材 · 含易错题、中考真题 · 总题量：40题 一、一元二次方程的概念与一般形式 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 2. 若方程是关于的一元二次方程，求的值。 3. 将一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 4. 易错题：关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A．　　B．　　C．　　D． 5. 若是一元二次方程的一个根，则a的值是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 6. 中考真题（2023·四川）：下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 7. 若一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和为25，求k的值。 8. 易错题：判断方程是否一定是一元二次方程，并说明理由。 二、一元二次方程的解法：直接开平方法 9. 方程的解是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 10. 解方程： 11. 易错题：解方程，下列解法正确的是（ ） A．直接开方得，解得 B．化为，开方得，解得 C．化为，开方得，解得 D．直接得，解得 12. 中考真题（2022·江苏）：方程的解是__________。 13. 解方程： 三、一元二次方程的解法：配方法 14. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 15. 易错题：用配方法解方程，变形后正确的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 16. 将配方成的形式，写出和的值。 17. 用配方法解方程： 18. 中考真题（2023·山东）：用配方法将化为的形式，正确的是（ ） A．　　 B．　　 C．　　 D． 19. 证明：无论x取何值，代数式的值恒大于0。 四、一元二次方程的解法：公式法 20. 一元二次方程的求根公式是（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 21. 用公式法解方程： 22. 易错题：方程中，的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 23. 中考真题（2022·广东）：用公式法解方程。 24. 已知一元二次方程有一个根为1，求另一个根和的值（用公式法求解）。 五、一元二次方程的解法：因式分解法 25. 方程的解是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 26. 因式分解法解方程： 27. 易错题：解方程，下列方法正确的是（ ） A．两边同时除以得=1，所以原方程的根为=1 B．移项得，因式分解得，所以 C．移项得，即，所以=1或=2 D．展开得，所以，即 28. 中考真题（2023·湖南）：方程的解为__________。 29. 解方程： 30. 解方程： 六、根的判别式与根与系数的关系（韦达定理） 31. 一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根　 　B．有两个相等的实数根　　 C．没有实数根　　 D．无法判断 32. 易错题：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 33. 中考真题（2023·福建）：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m=__________。 34. 已知一元二次方程的两根为，求和的值。 35. 已知一元二次方程的两根为，求的值。 36. 若方程的两根互为倒数，求的值。 七、一元二次方程的实际应用 37. 易错题：某校准备组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 38. 中考真题（2023·浙江）：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？ 39. 一个矩形的周长为20，面积为24，求矩形的长和宽（设长为x，列一元二次方程求解）。 40. 某商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件。 （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少？ （2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，定价提高到元，投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价。 1页 学科网（北京）股份有限公司 专题一元二次方程（专项训练） 参考答案 一、一元二次方程的概念与一般形式 1. B 2. 解：由一元二次方程定义得且，解得，，又，故 3. 解：展开整理得，二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-12 4. B 5. C 6. C 7. 解：由题意得，整理得，解得 8. 解：一定是一元二次方程，理由：因为，所以，二次项系数恒不为0，故一定是一元二次方程 二、一元二次方程的解法：直接开平方法 9. C 10. 解：开方得，解得 11. B 12. 13. 解：整理得，开方得，解得 三、一元二次方程的解法：配方法 14. B 15. A 16. 解：，故 17. 解：移项得，系数化为1得，配方得，开方得，解得 18. C 19. 证明：，因为，所以，故无论x取何值，代数式的值恒大于0 四、一元二次方程的解法：公式法 20. A 21. 解：这里，，所以，即 22. B 23. 解：这里，，所以，即 24. 解：把代入方程得，得，原方程为，，，解得，故另一个根为， 五、一元二次方程的解法：因式分解法 25. C 26. 解：因式分解得，即，解得 27. B 28. 29. 解：移项得，因式分解得，即，解得 30. 解：整理得，因式分解得，解得 六、根的判别式与根与系数的关系（韦达定理） 31. B 32. B 33. 34. 解：由韦达定理得， 35. 解：由韦达定理得，，所以 36. 解：由韦达定理得，因为两根互为倒数，所以，即，解得，又方程有实根，所以，当时，，舍去；当时，，故 七、一元二次方程的实际应用 37. B 38. 解：设衬衫单价应降x元，根据题意得： 整理得：，解得 答：衬衫的单价应降10元或20元 39. 解：设矩形长为x，则宽为，根据题意得： 整理得，因式分解得，因为长大于宽，所以，宽为 答：矩形长为6，宽为4 40. 解：（1）设每件定价为t元，原收入为（万元），根据题意： 整理得，解得，故每件定价最高为40元 （2）由题意，销售收入不低于原收入与总投入之和： 整理得，因为，当且仅当即时取等号，故 答：销售量至少达到10万件，此时每件定价为30元 $