23.2　直角三角形的性质（课件）2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形性质，涵盖两锐角互余、勾股定理、斜边上中线等于斜边一半及30°角对直角边等于斜边一半等核心知识点。课堂导入通过问题链回顾旧知，如直角三角形定义、锐角关系计算、勾股定理应用，自然过渡到新性质探究，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于融合动手操作与逻辑推理，如让学生折叠矩形纸片观察量的变化，通过“设标找列解”步骤解决折叠问题，培养几何直观与推理意识。课堂小结系统梳理性质，随堂练习结合轮船触暗礁、自动扶梯长度等实际情境，提升应用意识。学生能深化知识理解，教师可高效开展教学。

华师版 九年级 数学（上） 第23章　解直角三角形 23．2　直角三角形的性质 1 情景导入 问题：1.什么是直角三角形？直角三角形中的两锐角有什么关系？两条直角边与斜边有什么关系？ 2 问题：2．(1)在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数为______．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝30°，那么∠A＝______，∠B＝______． (2)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余的角有_______________，与∠A相等的角有________，与∠B相等的角有________． 38° 60° 30° ∠A，∠BCD ∠BCD ∠DCA (3)在直角三角形中，两条直角边分别为6，8，斜边的长为多少？ 解：斜边的长为10. 回忆 归纳已经学过的直角三角形的性质. (1)直角三角形的两个锐角互余. (2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理). 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 利用直角三角形的上述性质，可以解决某些与直角三角形有关的问题. 知识模块一　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 自学互研 例1 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°. 求证：BC= AB. A B C 6 如图，作斜边AB上的中线CD， 则CD=AB=AD=BD.(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) A B C D 证明 ∴BC=BD= AB. ∵∠A=30°， ∴∠B=60°， ∴△CBD是等边三角形. 由此可知：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 自 探 主 究 画出Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系. A B C D 发 现 CD恰好是AB的一半. 合 探 作 究 范例：已知△ABC中，BE，CF是高，M为BC的中点，连接EM，FM，求证：EM＝FM. 证明：∵BE，CF是高，M为BC的中点， ∴EM＝BC，FM＝BC. ∴EM＝FM. 仿例：如图，在△ABC中，AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，E为AB的中点，连接DE，求证：BE＝DE. 证明：∵在△ABC中，AB＝BC，BD是∠ABC的平分线， ∴BD⊥AC. 又∵E是AB边的中点， ∴BE＝AB，DE＝AB. ∴BE＝DE. 例2 如图，折叠矩形的一边AD使点D落BC上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm,求CF、CE的长. 知识模块二　30°角所对的直角边等于斜边的一半 自学互研 A B C D E F 解 由折叠可得:EF=DE，AF=AD=BC=10. 在Rt△ABF中，AB=8，AF=10， 则 BF= =6， ∴CF= 10－6 =4(cm). 设CE=x，则EF=DE=8－x. 解得x＝3. ∴CE=3cm. A B C D E F ∴在Rt△CEF中，(8－x)2=42+x2， 合 探 作 究 范例：已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB边上的高，若BD＝1，则AB的长为 ( ) A．2 B．4 C．5 D．6 B 13 仿例：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，若∠C＝2∠B，AC＝5，则BC的长为 ____. 10 知识模块三　勾股定理及其逆定理 自学互研 动手操作：发给每位学生一张矩形纸片，让其折叠一次，观察重叠部分，思考折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有变？ 不变：形状、大小(全等)、对应边、对应角． 变化：位置． 折叠即轴对称．折痕是对称轴，折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分． 利用勾股定理解决折叠问题的五个步骤： (1)设：设所求线段长为未知数(如x)． (2)标：在图形上标出所有已知线段长和用x表示的线段长． (3)找：寻找一个包含x(或与x相关的线段)的直角三角 形．这通常是解题的关键． (4)列：在这个直角三角形中，利用勾股定理列出方程． (5)解：解方程，并检验结果的合理性(是否符合三角形三边关系、实际图形长度)． 合 探 作 究 范例：如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE.已知该纸片宽AB＝6 cm，长AD＝10 cm，求EC的长． 解：∵四边形ABCD是长方形， ∴BC＝AD＝10 cm，CD＝AB＝6 cm，∠B＝∠C＝90°. 由折叠得AF＝AD＝10 cm，FE＝DE＝CD－CE＝6－EC. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 BF＝＝ ＝8(cm). ∴CF＝BC－BF＝10－8＝2(cm). ∵CF2＋EC2＝FE2， ∴22＋EC2＝(6－EC)2. ∴EC＝. ∴EC的长是 cm. 仿例：如图，有一张直角三角形纸片，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，现将△ABC折叠，使边AC与AB重合，折痕为AE，则CE的长为 ( ) A．1 cm B．2 cm C． cm D． cm C 课堂小结 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 3.有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线. 随堂练习 1.已知直角三角形两条直角边的长分别为1cm和 cm.求斜边上中线的长. 解:设斜边长为x，则 x2=12+( )2 x2=4 解得x = 2 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，斜边上中线的长为1cm. 2.如图，在A岛周围20nmile水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到点O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30 nmile.该船如果不改变航向，有触暗礁的危险吗? 22 解:在Rt△AOD中,∠AOD=30°，AO=30海里， ∴AD= AO=×30≈25.98(海里). ∵25.98>20, ∴该船如果不改变航向，没有触暗礁的危险. 3.如图是某商店自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6m.你能算出自动扶梯AB的长吗? 解:在Rt△ABC中，∠BAC=30°， BC=6米， ∴AB=2BC=2×6=12(米). 答:自动扶梯AB的长为12米. 4.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC＝6cm，BC=8cm,现将锐角B折叠，使点B与点A重合，DE是折痕，求CD的长. A B C D E 26 解:由题意得DB=AD; 设CD=x cm,则AD=DB= (8-x) cm, ∵∠C=90°, ∴在Rt△ACD中， 根据勾股定理得:AD2－CD2=AC2， 即(8－x)2 －x2=36， 解得x =； 即CD = cm . A B C D E $