25.3《实际问题与一元二次方程》教学课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，通过“温故而知新”导入，先回顾配方法、公式法等解法，再引导学生思考方程作为数学模型解决实际问题的价值，搭建起从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以传播、几何图形、平均变化率等问题为载体，通过“审设列解验答”六步法，培养学生数学眼光（抽象实际数量关系）、数学思维（逻辑推理求解）和数学语言（建立方程模型）。如直角三角形边长问题引导学生抽象方程，课堂小结强化建模意识，助力学生提升应用能力，也为教师提供结构化教学方案。

第二十五章 · 一元二次方程 3 实际问题与一元二次方程 数学建模的应用 人教版数学九年级上册 1.7.2013 同学们好！之前我们学习了如何解一元二次方程。今天，我们将把所学的知识应用到实际生活中。一元二次方程是一个非常强大的数学工具，能够帮助我们解决很多实际问题。这节课，我们将一起探索如何运用一元二次方程来解决传播问题、几何问题、增长率问题等，体会数学建模的魅力。 ‹#› 教学目标 1. 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程。【重点】 2. 学会运用一元二次方程解决传播、变化率、几何图形等实际问题。【重点】 3. 体会数学建模思想，培养分析和解决问题的能力。【难点】 1.7.2013 本节课我们有三个主要目标。首先，我们要学会如何从实际问题中抽象出数学模型，列出一元二次方程。其次，我们要掌握运用一元二次方程解决几种典型实际问题的方法。最后，也是最重要的，我们要通过解决这些问题，体会数学建模的思想，提高我们分析和解决问题的能力。 ‹#› 01 情境引入——温故而知新 回顾：我们已经系统学习了一元二次方程的核心解法，包括配方法、公式法和因式分解法，能够熟练运用这些方法求解各类一元二次方程。 知识回顾与应用初探 思考：一元二次方程不仅是数学理论的重要组成部分，它能否成为刻画现实世界中数量关系、解决实际问题的有效工具？ 引言：和一元一次方程一样，一元二次方程也是描述实际问题的重要数学模型。本节课，我们将探索如何运用它解决生活中的实际问题，感受数学的实用价值。 1.7.2013 在开始新知识的学习之前，我们先来回顾一下。我们已经掌握了解一元二次方程的各种方法。那么，这些方法仅仅是为了做数学题吗？当然不是。一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用。它可以帮助我们描述和解决很多实际问题。这节课，我们就将开启一段将理论知识应用于实践的旅程。 ‹#› 问题提出： 某种传染病开始有1人患病，若每轮传染中平均1人传染个人，经过两轮传染后共有121人患病。求每轮传染中平均1个人传染的人数。 建立方程： 分步推演：第一轮传染后，总人数为；第二轮传染时，这人每人再传染人，因此新增 个患者，两轮后总人数为 ，这是典型的指数增长模型。 求解思路：将方程左边因式分解得 ，利用直接开平方法解得（舍去负根），即每轮平均传染10人。 02 探究新知——传播问题 1.7.2013 我们来看第一个问题：传染病传播问题。假设开始有1个人被传染，每轮平均1个人传染x个人。那么第一轮后，总共有1+x个人被传染。到了第二轮，这1+x个人每人又会传染x个人，所以第二轮新增了x(1+x)个病人。两轮过后，总人数就是1 + x + x(1+x)。根据题意，这个数等于121。于是我们得到了方程：1 + x + x(1 + x) = 121。 ‹#› 02 探究新知—— 几何图形问题（直角三角形） 核心问题探究： 是否存在三边长为三个连续正整数的直角三角形？ 如果存在，这样的三角形有多少个？如何通过代数方法证明？ 步骤一：构建数学模型，设未知数 设三边长依次为 （为正整数，且 为斜边） 步骤二：依据勾股定理建立方程 直角边的平方和等于斜边的平方，因此可列方程： 思考与行动：将方程左边展开并整理，你会得到一个什么类型的方程？尝试化简它，看看能否求出满足条件的正整数解。 1.7.2013 接下来我们看一个几何问题。是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形呢？我们可以设三边长为x, x+1, x+2，其中x+2是最长的边，也就是斜边。根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，我们可以列出方程：x² + (x+1)² = (x+2)²。 ‹#› 02 探究新知——几何图形问题解答 直角三角形边长求解 详解 方程: Step 1 展开整理：➔ 移项化简得： Step 2 因式分解：➔ 解得： 检验与作答：由于三角形边长不能为负数，故舍去。因此，存在这样的直角三角形，其三边长分别为3, 4, 5，符合勾股定理。 1.7.2013 我们来解这个方程。首先展开并整理，得到x² - 2x - 3 = 0。因式分解后是(x-3)(x+1)=0，解得x=3或x=-1。边长不能为负数，所以x=-1舍去。那么三边长就是3, 4, 5。这是一个我们非常熟悉的直角三角形。所以，存在这样的三角形，而且只有一个。 ‹#› 02 探究新知——几何图形问题（矩形面积） 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m²的矩形区域？如果能围成，这样的矩形唯一吗？ 分析与建模：从实际问题抽象为数学方程 ① 设元：设矩形的一边长为m，因周长为40 m，故邻边长为 m； ② 列方程：根据“面积=长×宽”，得方程：。 思考：这个方程是一元二次方程吗？如何求解这个方程来验证矩形是否存在？方程的解是否都符合实际意义？ 1.7.2013 再来看一个矩形面积的问题。用一根40米长的细绳围成一个矩形，面积能不能是96平方米呢？我们设矩形的一边长为x米，因为周长是40米，所以两条邻边的和是20米，那么另一边就是(20-x)米。根据面积公式，长乘以宽等于面积，我们可以列出方程：x(20-x)=96。 ‹#› 02 探究新知——几何图形问题解答 矩形面积方程求解实例 解答 01 列出方程： 02 整理并因式分解： 03 求解方程根： 结论与检验：方程的两个解分别代表矩形的两条邻边长度。因此，可围成面积为96 m²的矩形，其两邻边长分别为8 m和12 m。 1.7.2013 解这个方程，整理后得到x² - 20x + 96 = 0。因式分解为(x-12)(x-8)=0，解得x=12或x=8。这两个解分别代表矩形的长和宽，所以这个矩形是唯一的，它的两条邻边分别是8米和12米。 ‹#› 02 探究新知——平均变化率问题 问题情境与关键已知量 两年前：甲成本10000元/吨，乙成本12000元/吨；现在：甲成本6000元/吨，乙成本7200元/吨。哪种食品成本的年平均下降率更大？ 初步计算：甲年平均下降额 = (10000-6000)÷2 = 2000元；乙年平均下降额 = (12000-7200)÷2 = 2400元。显然乙下降额更大，但下降额≠下降率。 深入思考：年平均下降额是绝对数值，而年平均下降率是相对比例。能否直接通过下降额判断下降率的大小？如何建立数学模型来计算年平均下降率？ 1.7.2013 接下来我们看一个关于变化率的问题。甲、乙两种食品的成本都下降了，我们能直接说下降额大的，下降率就大吗？不能。下降额是一个绝对量，而下降率是一个相对量。我们需要通过计算来比较它们的年平均下降率。 ‹#› 02 探究新知——平均变化率问题建模 甲种食品 设年平均下降率为 ，初始成本 10000 元。 一年后成本：；两年后成本：。 已知两年后成本为 6000 元，如何建立方程描述这一关系？ 根据题意可列出方程： 这是一个关于 的一元二次方程，体现了“初始量×变化因子=最终量”的数学逻辑。 模型总结：平均变化率问题通用公式为：。增长用“+”，下降用“-”，n 为变化次数。 1.7.2013 我们先来看甲种食品。设它的年平均下降率为x。那么一年后，成本变为原来的(1-x)倍，也就是10000(1-x)元。两年后，成本在一年后的基础上再下降x，变为10000(1-x)²元。根据题意，这个值等于6000元。于是我们得到方程：10000(1-x)² = 6000。 ‹#› 02 探究新知——平均变化率问题解答 核心方程与步骤 方程： 步骤1：化简与开方 两边同除以10000得：，开平方得：（其中√0.6 ≈ 0.775） 步骤2：求解并验证合理性 解得：，即，（舍去，下降率不能大于1） 最终结论 因此，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%。 甲种食品 1.7.2013 解这个方程，两边同时除以10000，得到(1-x)²=0.6。开平方后，1-x=±√0.6。所以x=1±√0.6。我们取近似值，√0.6≈0.775。那么x≈1-0.775=0.225，也就是22.5%。另一个解x≈1.775，意味着成本上涨了77.5%，不符合题意，舍去。所以甲种食品的年平均下降率约为22.5%。 ‹#› 02 探究新知——平均变化率问题建模 乙种食品 设年平均下降率为 ，初始成本 12000 元。 一年后成本：；两年后成本：。 已知两年后成本为 7200 元，如何建立方程描述这一关系？ 根据题意可列出方程： 这是一个关于 的一元二次方程，体现了“初始量×变化因子=最终量”的数学逻辑。 模型总结：平均变化率问题通用公式为：。增长用“+”，下降用“-”，n 为变化次数。 1.7.2013 我们先来看甲种食品。设它的年平均下降率为x。那么一年后，成本变为原来的(1-x)倍，也就是10000(1-x)元。两年后，成本在一年后的基础上再下降x，变为10000(1-x)²元。根据题意，这个值等于6000元。于是我们得到方程：10000(1-x)² = 6000。 ‹#› 02 探究新知——平均变化率问题比较 ① 列方程：12000(1 - y)² = 7200（设年平均下降率为 y） ② 化简求解： 两边同除以12000得： 舍去负根（下降率不能大于1），解得： ③ 得出结论：乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%，与甲种食品相同。 💡 核心思考：成本下降额大并不意味着下降率一定大！下降率反映的是“相对变化幅度”，需结合初始成本基数来分析。 乙种食品 1.7.2013 现在请同学们自己动手算一算乙种食品的年平均下降率。我们设它的年平均下降率为y，列出方程12000(1-y)²=7200。大家会发现，解方程后得到的结果和甲种食品一样，也是约22.5%。这说明，虽然乙种食品的成本下降额更大，但由于它的初始成本更高，所以年平均下降率是相同的。因此，我们不能只看绝对量，还要看相对量。 ‹#› 02 探究新知——比赛场次问题 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人声称算出总场数正好是300场。你认为他的计算结果正确吗？该如何验证？ 建模：从赛制到数学公式 双循环赛制核心：每两支球队之间进行两场比赛（主客场）。若有支球队参赛，每队需与其余队各赛两场，因此总场数模型为：总场数 建立方程验证：假设总场数为300，则得到方程：，整理为一元二次方程：，需判断是否存在正整数解。 1.7.2013 最后我们来看一个比赛场次的问题。在主客场双循环比赛中，每两支球队之间要踢两场比赛。如果有n支球队，那么总的比赛场数就是n(n-1)。现在有人说总场数是300场，他算得对吗？我们可以建立方程n(n-1)=300，然后看看这个方程有没有正整数解。 ‹#› 02 探究新知——比赛场次问题解答 列出方程： 01 计算判别式： 02 判别式分析：1201 不是完全平方数，因此方程的解为无理数。 03 结合实际意义：球队数量必须是正整数，但方程的解为无理数，这与实际情况矛盾。 结论：总场次不可能为300，因此该计算结果是错误的。 1.7.2013 我们来解这个方程。整理后得到n² - n - 300 = 0。我们计算它的判别式Δ，等于1的平方减去4乘以1乘以-300，结果是1201。1201是不是一个完全平方数呢？不是。这意味着方程的解是无理数。但球队的数量n必须是正整数，所以这个方程没有符合题意的解。因此，这个人算得不对。 ‹#› 03 例题解析 例1：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？ 1.7.2013 最后我们来看一个比赛场次的问题。在主客场双循环比赛中，每两支球队之间要踢两场比赛。如果有n支球队，那么总的比赛场数就是n(n-1)。现在有人说总场数是300场，他算得对吗？我们可以建立方程n(n-1)=300，然后看看这个方程有没有正整数解。 ‹#› 03 例题解析 解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台，根据题意，得 ， 即0 解得。 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台 . 1.7.2013 最后我们来看一个比赛场次的问题。在主客场双循环比赛中，每两支球队之间要踢两场比赛。如果有n支球队，那么总的比赛场数就是n(n-1)。现在有人说总场数是300场，他算得对吗？我们可以建立方程n(n-1)=300，然后看看这个方程有没有正整数解。 ‹#› 03 例题解析 例2：某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 1.7.2013 最后我们来看一个比赛场次的问题。在主客场双循环比赛中，每两支球队之间要踢两场比赛。如果有n支球队，那么总的比赛场数就是n(n-1)。现在有人说总场数是300场，他算得对吗？我们可以建立方程n(n-1)=300，然后看看这个方程有没有正整数解。 ‹#› 03 例题解析 解：设这两日定制量的日平均增长率是．由题意得： ， 即0 解得。 答：这两日定制量的日平均增长率是30% . 1.7.2013 最后我们来看一个比赛场次的问题。在主客场双循环比赛中，每两支球队之间要踢两场比赛。如果有n支球队，那么总的比赛场数就是n(n-1)。现在有人说总场数是300场，他算得对吗？我们可以建立方程n(n-1)=300，然后看看这个方程有没有正整数解。 ‹#› 03 例题解析 例3：某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． （1）若销售单价为每件45元，求每天的销售量为       件； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 1.7.2013 最后我们来看一个比赛场次的问题。在主客场双循环比赛中，每两支球队之间要踢两场比赛。如果有n支球队，那么总的比赛场数就是n(n-1)。现在有人说总场数是300场，他算得对吗？我们可以建立方程n(n-1)=300，然后看看这个方程有没有正整数解。 ‹#› 03 例题解析 解：（1）销售单价为每件45元时，每天的销售量为：： ； （2）设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件， 依题意得： 解得 . 答：每件工艺品售价应为50元. 1.7.2013 最后我们来看一个比赛场次的问题。在主客场双循环比赛中，每两支球队之间要踢两场比赛。如果有n支球队，那么总的比赛场数就是n(n-1)。现在有人说总场数是300场，他算得对吗？我们可以建立方程n(n-1)=300，然后看看这个方程有没有正整数解。 ‹#› 04随堂练习 小试牛刀 01 传播问题变式 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支。若主干、支干和小分支的总数是51，求每个支干长出多少个小分支？ 02 平均变化率问题 青山村种的水稻2020年平均每公顷产15000 kg，2022年平均每公顷产21600 kg。假设这两年产量的年平均增长率相同，求该水稻每公顷产量的年平均增长率。 💡 解题思路小贴士： ① 传播问题：理清“主干→支干→小分支”的数量层级，设支干数量为未知数，根据总数关系列方程； ② 增长率问题：套用核心公式最终产量 = 初始产量 × (1 + 增长率)ⁿ（n为增长的年数），注意时间跨度对应的指数。 1.7.2013 理论和例题都讲完了，现在是大家动手练习的时候了。这里有两道题，第一题是传播问题的变式，第二题是平均增长率问题。请大家尝试用我们今天学到的方法来解决它们。 ‹#› 04随堂练习——答案与解析 解：设每个支干长出个小分支，根据题意，得 ， 即0 解得，符合实际生长规律。 答：每个支干长出约7个小分支。 传播问题变式 1.7.2013 我们来核对一下答案。第一题，植物分支问题，答案是每个支干长出7个小分支。第二题，水稻的年平均增长率约为9.54%。第三题，握手问题，答案是共有5人。大家都做对了吗？ ‹#› 04 随堂练习——答案与解析 解：设年平均增长率为，根据题意，得 ， 即1.44 解得。 答：该水稻每公顷产量的年平均增长率为20%。 平均变化率问题 核心总结：解决此类实际问题的关键在于建立正确的数学模型，通过“设未知数→列方程→求解→检验”的步骤，将实际问题转化为数学问题，最终回归实际场景验证结果的合理性。 1.7.2013 我们来核对一下答案。第一题，植物分支问题，答案是每个支干长出7个小分支。第二题，水稻的年平均增长率约为9.54%。第三题，握手问题，答案是共有5人。大家都做对了吗？ ‹#› 05 课堂小结 用一元二次方程解决实际问题，需遵循科学的解题流程，从审清题意到最终作答，每一步都不可或缺。掌握“审、设、列、解、验、答”的六步法，是高效解决此类问题的基础，更能培养数学建模与逻辑推理的核心素养。 解题六步法与核心思想 ① 六步流程：审清题意找关系 → 设出合理未知数 → 依据等量列方程 → 正确求解方程根 → 检验解的合理性 → 规范写出答案； ② 核心思想：树立数学建模意识，将实际问题转化为方程模型；强化检验意识，确保解符合实际情境，避免出现与题意矛盾的结果。 1.7.2013 这节课的内容就接近尾声了。我们来总结一下用一元二次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答。其中，“审”和“列”是关键，“验”是保证答案正确的重要环节。希望大家能掌握这种数学建模的思想，将数学知识应用到更多实际问题中去。 ‹#› 06 课后巩固 基础题 1. 完成教材第25.3节的练习题，熟练掌握解法。 2. 一个两位数，个位与十位数字之和为7，对调后两数之积为1300，求原两位数。 提高题 某商场销售名牌衬衫，日均售20件，每件盈利40元。若每件降价1元，日均多售2件。若要日均盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 1.7.2013 最后，我给大家布置一些课后作业。基础题是为了巩固今天所学的基本方法。提高题则需要大家更灵活地运用知识解决实际的商业问题。思考题是为了让大家提前思考一元二次方程和二次函数的联系，为下节课的学习做好准备。 ‹#› 谢谢观看！ 数学是思维的体操，愿你在探索中收获智慧！ 1.7.2013 今天的课就到这里。数学是思维的体操，希望大家能通过今天的学习，感受到数学的严谨与美妙，在不断的探索中收获智慧。谢谢大家！ ‹#› $