25.3实际问题与一元二次方程（课件） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程——传播问题”，涵盖矩形面积计算、病毒传播、树枝分叉及细胞分裂等问题。课堂从矩形面积实例导入，通过不同设未知数方法复习周长面积公式，逐步过渡到传播问题，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过多情境问题培养数学眼光（抽象能力），如矩形问题多种设元方法；对比传播与分裂问题规律培养数学思维（推理意识），如区分传播源是否消失；总结公式培养数学语言（模型意识），如病毒传播公式a(1+x)^n=b。助力学生提升问题解决能力，为教师提供结构化教学资源。

25.3实际问题与一元二次方程 ——传播问题 人教版九年级上册 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例题分析 分析：假设细绳能围成面积为 96 m² 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为 x m，由周长为 40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20–x) m；再由矩形的面积为 96 m2，得 x(20–x) = 96. 解方程，得 x1= 12，x2=8. 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m. 例题分析 追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 可知 12 m 和 8 m 分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域. 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例题分析 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m² 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m. (2) 可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为 m； (10 - x) 例题分析 思考 对于例2 中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如： (1) 可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m； 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 解方程，得 x1 = 12，x2 = 8. 方法二：可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为 (10 - x) m； 根据矩形面积公式 (10 + x)(10 - x)＝96 解方程，得 x1 = 2，x2 = - 2. 则其两邻边长分别为 12 m，8 m. 方法一：设一边长为x m，邻边长为 m. 例题分析 特点： 方法一：直接利用面积公式列方程，思路直观，但会得到分式方程，需要去分母转化为一元二次方程. 方法二：利用“周长为 40，则长+宽 = 20”的对称性设未知数，方程为整式方程，计算更简便，且能直接体现长与宽的和为定值. 新知小结 即时即练 3.要在一个8 cm×12 cm的照片外侧的四周镶上宽度相 同的银边，并且要使银边的面积和照片的面积相等，设 银边的宽为x cm，那么可列方程为 ⁠ . 12 cm 8 cm (12+2x)(8+2x)=8×12×2 信息交流，揭示规律 问题1：有一人患了流感，每轮传染中平均一人 能传染6人.那么 （1）一轮传播后，有_______人患病. （2）两轮传播后，有_______人患病. （3）三轮传播后，有_______人患病. 传染源不 会消失 问题2：有一人患了流感, 每轮传染中平均一人能传染 x 人. 则第一轮，第二轮传播后各有几人患病？若最初有a个人患流感呢？ 信息交流，揭示规律 第2轮 ••• 小明 1 2 x 第1轮 第1轮传染后人数 x+1 小明 第2轮传染后人数 x(x+1)+x+1 注意：不要忽视小明的二次传染 第1轮传染后人数 a(1+x) 若最初是1个人， 第2轮传染后人数a[x(x+1)+x+1] 若最初是a个人， 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1∙x=x 1+x 第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x= 第三轮 第n轮 进一步思考：如果一人患流感，按这样的传染速度，n轮传染后有多少人患了流感？若最初a人患流感呢？ (1+x)2 (1+x)n (1+x)3 最初a个人患流感经过n轮传染后共有 a (1+x)n 人患流感. (1+x)2 (1+x)2∙x (1+x)2+(1+x)2∙x= 思路总结： 问题拓展 答：平均一个人传染了 个人. 分析： 一轮 二轮 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. (1+x)2=121 解方程，得 x1= , x2= 1+x 1+x+x(1+x) (1+x)2 1 10 -12 10 (不合题意，舍去) 例：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 传染源不 会消失 运用规律，解决问题 121+121×10=1331（人） 若一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 如果按照这样的传染速 度，经过三轮传染后共 有多少人患流感？ 想一想 1.流感病毒的传播非常快，如果开始有3人患了流感，经过两轮传染 后共有1200人患上流感. 则每轮传染中平均一人会传染几个人？ 练习 解：设每轮传染中平均一人会传染x人，由题意得 可得方程3(1+x)2=1200 解得x1=19 或 x2=-21 (舍去) 答：每轮传染中平均一人会传染19人. 某种树的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目 的小分支.树的主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 分析： 一层 二层 x x2 1 答：每个支干长出 个小分支. 解：设每个支干长出x个小分支. 1+x+x2=73 解方程，得 x1= , x2= (不合题意，舍去） 传播源不 会消失 变式练习2 交流讨论 方法总结 在分析传染病问题和树枝分叉问题中的数量关系时它们有何区别？解决这类问题有什么经验和方法？ 每名患者每轮都传染，每个树枝只分裂一次. 传播源 参与两轮传播或只参与一轮传播 传播源 参与两轮传播 传播源 参与一轮传播 a (1+x)2= 1+x+x2= 变式练习3： 第一轮 第二轮 ...... x个 x个 x个 ...... x个 x2个 解：设每轮分裂中平均一个病菌 分裂出x个. 60x2=24000 解方程，得 x1= , x2= 20 -20 答：平均一个病菌分裂出 个。 20 有60个分裂病菌，经过两轮分裂后，变成了24000个，其中每个病菌每一次可分裂出数目相同的病菌.每轮分裂中每个病菌可分裂为多少个？ 方法总结 axn=b （其中a为原有细胞数量，b为现有细胞数量，x为每轮一个细胞平均分裂数量，n为分裂次数） 细胞分裂问题（分裂源消失） ax2=b 本节课学习了哪些内容？你有什么收获？ 反思小结，观点提高 a(1+ x)n=b（其中a为传染源数量， b为现有总感染数量，x为每轮平 均一个传染源传播数量，n为传播 轮数） axn=b（其中a为原有细胞数量，b为 现有细胞数量，x为每轮一个细胞平 均分裂数量，n为分裂次数） 1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过 两轮感染后就会有81台电脑被感染，就请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 返回 布置作业，巩固提高 2某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干支干和小分支的总数是91，每 个支干长出多少小分支？ 3、为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，它设计了如下的传播规则： 将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有133人参与了传播活动，则n= . 返回 布置作业，深化提高 Lavf55.15.100 $