3.2《探索三角形相似的条件》第4课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“黄金分割”，通过五角星、国旗等生活实例导入，引导学生测量线段比值，关联相似三角形知识，类比一元二次方程解法推导黄金比，构建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过动手操作、相似推理培养数学思维，结合帕特农神庙、故宫等实例彰显数学审美与文化价值，帮助学生养成数学观察习惯，教师可借助完整教学流程提升教学效果。

第三章 图形的相似 第2课 探索三角形相似的条件 新版北师大数学九年级上册数学 第4课时 黄金分割 学习目标 1.通过观察五角星、故宫建筑等生活实例,能说出黄金分割的定义，识别黄金分割点和黄金比. 2.通过类比一元二次方程的解法,能独立推导出黄金比的数值,理解黄金比的由来. 3.通过分析黄金矩形和黄金分割作图的原理,能运用黄金分割的知识解决简单的实际问题,了解古今中外黄金分割的应用实例，感受数学的文化价值和美学价值,增强文化自信. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 为什么0.618这个数字被称为“黄金”？ 它藏在哪些我们熟悉的事物中，又如何用数学的方法找到它？ 问题构建 第一站：国旗上的发现——从直觉到测量 同学们，每天我们都会仰望五星红旗.大家有没有想过，为什么国旗上的五角星看起来那么匀称、那么好看？ 其实，这个我们每天都能看到的图形里，藏着一个困扰了人类几千年的数学秘密.今天，我们就从这里出发，一起去探索它！ 问题构建 动手操作：测量与计算 问题1:请拿出手中的五角星学具,用直尺测量线段AB、AC、BC的长度（精确到 0.1cm）,并计算比值,将结果记录在下方表格中. 线段名称 长度(cm) 比值计算 AB 7.4 BC 4.6 0.62 AC 2.8 ≈0.62 追问:观察你计算出的两个比值，你发现了什么规律？ 两个比值相等，都等于0.62 问题构建 小亮打算从本章学习的相似三角形的角度展开研究,他对五角星中点进行了标记,并连接了线段CD. 问题2:你能在图中找出相等的角、相等的线段吗？ 相等的角：​ ①∠A=∠B=∠E=∠K=∠G ②∠KLC=∠KCL=∠ALD=∠BHC等 ③∠DLC=∠LCH=∠CHF=∠LDF等 相等的线段：​ ①AL=LK=KC=CB等 ②LD=LC=CH=FH=DF ③AC=BL=KH=CG等 追问1:在图中找出相似比不同的两对相似三角形 △LDC∽△LEB;△ACD∽△AGC等 问题构建 追问2：小亮认为，，你同意他的看法吗？说说你的理由 依据刚才观察到的相似三角形△ACD∽△ABF， ∴,CD=CB,BF=AC ∴ 第二站：数学家的思考——从现象到定义 当古人发现这个比例后,并没有停留在好看的直觉层面.数学家们开始思考：能不能给这个现象下一个准确的、普遍适用的数学定义？ 对图形进行简化处理，聚焦线段AB上的数量关系开始研究 问题构建 问题3:刚才我们证明了请大家用自己的话描述一下这个等式的含义 较长线段AC与原线段AB的比,等于较短线段BC与较长线段AC的比 问题4:结合刚才的描述,你能尝试给黄金分割下一个准确的数学定义吗？ 一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果​ ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫作线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫作黄金比. 追问:如果点C是线段AB的黄金分割点,那么一定有AC>BC吗？一条线段有几个黄金分割点？ 不一定，一条线段有两个黄金分割点 问题构建 现在我们有了黄金分割的定义，但是这个“黄金比”到底是多少呢？我们能不能用数学的方法精确地计算出它的值？ 第三站：破解黄金密码——从定义到计算 问题5:为了方便计算,我们通常设原线段AB的长度为1.如果设AC=x,那么 BC的长度是多少？ BC=AB-AC=1-x 追问1:把AC=x，BC=1-x代入你能得到一个关于x的一元二次方程吗？ x²=1×(1-x)，即x²+x-1=0 协作破冰 追问2:请大家用求根公式解这个方程x²+x-1=0,你能得到几个根？ x₁=，x₂= 追问3:这两个根都符合题意吗？为什么？ x₂不符合题意，因为线段的长度不能为负数，所以舍去 追问4:现在我们可以得出黄金比的准确值了吗？它的近似值约等于多少？ 黄金比 =≈0.618 我们用数学的方法精确地算出了黄金比.这个看似简单的数字，为什么会被无数人奉为最美比例呢？它在我们的生活中又有哪些体现呢？ 协作破冰 第四站：建筑中的奇迹——从线段到矩形 黄金分割的美,不仅体现在线段上,更体现在由线段组成的图形中.其中最著名的，就是黄金矩形.让我们把目光投向古希腊的帕特农神庙,看看它是如何运用黄金矩形的 问题6：如果我们沿着帕特农神庙的外轮廓画一个矩形ABCD，然后以它的宽AD为边，在内部作一个正方形AEFD。请大家观察剩下的小矩形 EBCF，它和原来的大矩形ABCD有什么关系？ 小矩形EBCF和大矩形ABCD相似 教师示范 追问1:如果两个矩形相似,那么它们的对应边成比例.请写出这个比例式,并结合正方形的性质进行化简. 因为BC=AE,所以 追问2:根据这个比例式,点E是线段AB的黄金分割点吗？为什么？ 是.因为它满足黄金分割的定义 追问3:既然点E是AB的黄金分割点,那么等于黄金比.又因为AE=BC，所以等于多少？这说明矩形ABCD的宽与长的比是什么？ =这说明矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 教师示范 追问4:现在你能给黄金矩形下一个定义吗？ 宽与长的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形 其实,中国古代的工匠们早在帕特农神庙建成之前,就已经在建筑中运用了黄金分割的思想.比如北京故宫的太和殿,它的宽高比就非常接近黄金比.这说明了什么？ 对美的追求是人类共同的天性,中国古代劳动人民有着非凡的智慧和审美能力 巩固拓展 第五站：尺规间的智慧——从理论到实践 通过今天的探索之旅,我们从一个简单的五角星出发,经历了观察、测量、猜想、证明、定义、计算、拓展、作图的完整过程,终于揭开了黄金分割的神秘面纱. 当堂检测 1.下列关于黄金分割的说法中，正确的是（ ）A.黄金分割点把线段分成相等的两段 B.黄金比的近似值是0.618 C.一条线段只有一个黄金分割点 D.黄金分割只存在于建筑和艺术中 B 黄金比近似值是0.618的理由是什么？ 当堂检测 2.已知点C是线段AB的黄金分割点，且 AC>BC，AB=10cm，则AC=______cm（结果保留根号） 5(-1) 要是没有AC＞BC的条件？AC会等于多少？ 5() 当堂检测 3.已知线段AB=7cm，用尺规作图的方法作出它的一个黄金分割点C（保留作图痕迹，不写作法），并计算AC的长度（结果保留根号） AC=cm 或 AC=)cm 当堂检测 4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是边AC上一点，且BC=BD=AD，这样的△ABC称为“黄金三角形”.图中哪些线段的长度与黄金比有关系？ 图中与黄金比有关的线段长度关系包括： AB与BC的比（或AC与BC的比） AC与AD的比​ AD与DC的比（或BD与DC的比，因BD=AD） 这些比例都等于黄金比 反思总结 1.今天我们学习了黄金分割,你能用自己的话说说什么是黄金分割吗？黄金比是多少？ 2.我们是如何从五角星的观察出发，一步步推导出黄金比的？这个过程中用到了哪些以前学过的知识？ 3.黄金分割在生活中有哪些应用？你觉得学习黄金分割有什么意义？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第71页 第1题 二、素养类作业 课本第74页 第12题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $