3.3.1 平行线分线段成比例 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“平行线分线段成比例”核心知识点，包含基本定理、三角形推论及解题技巧。通过梯子生活实例导入，结合小方格图合作探究计算比例，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以生活情境和动手操作培养几何直观与抽象能力，通过面积法推导定理及多题型练习发展推理能力，符号语言规范与易错点总结强化模型意识。采用合作探究与变式训练，课堂小结清晰，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第三章 图形的相似 3.3.1平行线分线段成比例 2026年8月3日 3.3.1 平行线分线段成比例 同步练习题 3.3.1 平行线分线段成比例 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 平行线分线段成比例基本定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 核心口诀：平行截线，对应线段成比例。 适用于任意两条直线（相交、平行均可）被三条及以上平行线截取。 2. 定理常用比例形式 设三条平行线截两条直线，截得线段依次为$$a、b$$和$$c、d$$， 则：$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$、$$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$$、$$\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{c}{c+d}$$。 3. 三角形平行线推论（重点） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 是本章最常考模型，也是证明三角形相似的重要前置依据。 4. 平行线等分线段（特殊情况） 若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其他直线上截得的线段也相等。 （比例为1:1的特殊成比例情况） 5. 解题核心技巧 找准“对应线段”是关键：横向平行、纵向截线，上下线段一一对应，不可错位交叉比。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 两条直线被一组平行线所截，所得线段满足（） A. 全部相等 B. 对应线段成比例 C. 对应线段互补 D. 无固定关系 2. 已知三条平行线截两条直线，截得线段分别为2、4和3、x，则x的值为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 3. 在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上，则下列比例式正确的是（） A. $$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$$ B. $$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{EC}{AC}$$ C. $$\dfrac{DB}{AE}=\dfrac{AD}{EC}$$ D. $$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AE}{BC}$$ 4. 若平行线在一条直线上截出相等线段，则在另一直线上截出的线段（） A. 一定相等 B. 一定不相等 C. 成比例但不等 D. 无法确定 5. 在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，则EC的长为（） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 6. 下列关于平行线分线段成比例说法错误的是（） A. 可用于三角形边长比例计算 B. 对应线段必须一一对应 C. 任意线段交叉相比都成立 D. 是相似三角形判定的重要依据 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 两条直线被一组平行线所截，________成比例。 2. 平行于三角形一边的直线截另外两边，所得________成比例。 3. 在△ABC中，DE∥BC，AD:AB=1:4，则AE:AC=________。 4. 三条平行线截两直线，一段线段比为3:5，则对应线段比为________。 5. 若$$l_1\parallel l_2\parallel l_3$$，截得线段$$a=3，b=6$$，则对应线段比值为________。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）基础比例计算： 已知直线$$l_1\parallel l_2\parallel l_3$$，截两条直线，所得线段长分别为4、6和x、9，求x的值。 2. （14分）三角形平行模型计算： 在△ABC中，DE∥BC，已知AD=4cm，DB=6cm，AE=2cm，求CE的长度和AC的总长。 3. （14分）比例份数计算： 在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=2:3，AC=15cm，求AE和EC的长。 4. （16分）综合证明与计算： 如图，AB∥CD∥EF，AC、BD交于一点，已知AC=12，CE=4，BD=10，求DF的长。 四、拓展应用题（附加10分） 在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，已知AD:DB=1:2，AB=9，AC=12，求四边形DFCE的各边长度。 --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.A 5.A 6.C 二、填空题 1. 对应线段 2. 对应线段 3. $$1:4$$ 4. $$3:5$$ 5. $$\dfrac{1}{2}$$ 三、解答题 1. 解： 由平行线分线段成比例定理得： $$\dfrac{4}{6}=\dfrac{x}{9}$$ 化简得：$$6x=36$$ 解得：$$x=6$$ 答：$$x$$的值为6。 2. 解： ∵ DE∥BC ∴ $$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{CE}$$ 代入数据：$$\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{CE}$$ 解得：$$CE=3\ \mathrm{cm}$$$$AC=AE+CE=2+3=5\ \mathrm{cm}$$ 答：CE长3cm，AC总长5cm。 3. 解： ∵ DE∥BC，$$AD:DB=2:3$$ ∴ $$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{2}{3}$$ 设$$AE=2k，EC=3k$$$$2k+3k=15$$，解得$$k=3$$$$AE=6\ \mathrm{cm}，EC=9\ \mathrm{cm}$$ 答：AE长6cm，EC长9cm。 4. 解： ∵ AB∥CD∥EF 由平行线分线段成比例得： $$\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BD}{DF}$$ 代入：$$\dfrac{12}{4}=\dfrac{10}{DF}$$$$3DF=10$$，解得$$DF=\dfrac{10}{3}$$ 答：DF的长为$$\dfrac{10}{3}$$。 拓展题答案 解： $$AD:DB=1:2，AB=9$$$$AD=3，DB=6$$ ∵ DE∥BC，DF∥AC ∴ 四边形DFCE为平行四边形 $$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{3}$$，得$$AE=4，EC=8$$ ∴ $$DF=EC=8$$ 同理：$$DE=FC=6$$ 答：四边形DFCE边长为DE=6，EC=8，CF=6，FD=8。 章节易错点总结 1. 最易出错：找错对应线段，禁止交叉乱比，必须上下对应成比例； 2. 混淆“线段比”与“整体比”，分清局部线段比和整条线段比； 3. 三角形平行模型中，误用比例式，牢记“上比下等于上比下”； 4. 忽略平行线等分线段特殊模型，比例1:1可直接得线段相等。 下图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道： AD，BE，CF 互相平行，若 AB = BC，你能猜想出什么结果呢？ a b c DE = EF D F E 【观察与猜想】 A C B 2 如图①，小方格的边长都是 1，直线 l1∥l2∥l3，分别交直线 m，n 于点 A1，A2，A3，B1，B2，B3. A1 A2 A3 B1 B2 B3 m n l1 l2 l3 图① 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 【合作探究】 (1) 计算 ， ， 的值，你有什么发现？ B1 A1 m l1 A2 B2 l2 n A3 B3 l3 图① 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） (2) 将 l2 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线 l2 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结 论还成立吗？如果将 l2 平移到其他位置呢？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 m n l1 l2 l3 图② (3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线， 用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？ 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 知识点1 平行线分线段成比例 1.如图，若 ，则下列各式错误的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 6 （第2题） 2.［教材P79“随堂练习”第1题变式］ 如图，已知 ，，，那么 的 长为( ) B A.4 B. C.5 D. 返回 举一反三 7 如图，连接 A1B2，B2C1，A2B1，B1C2. l2 l3 A2 C2 B2 A1 C1 B1 m n l1 由于△A1B1B2 底边 A1B1 上的高、△B1C1B2 底边 B1C1 上的高、△A1C1B2 底边 A1C1 上的高是同一条高线，因而由三角形的面积计算公式可得，它们的面积比等于底边长之比，即 又由于△A2B2B1 底边 A2B2 上的高，△B2C2B1 底边 B2C2 上的高、△A2C2B1 底边A2C2 上的高也相同，则它们的面积比也等于底边长之比，即 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 由于△A1B1B2，△A2B2B1 是平行线 l1，l2 之间同底等高的两个三角形，因此 由于△B1C1B2，△B2C2B1 是平行线 l2，l3 之间同底等高的两个三角形，因此 ① + ② 得， 即 l2 l3 A2 C2 B2 A1 C1 B1 m n l1 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 于是 同理可得： l2 l3 A2 C2 B2 A1 C1 B1 m n l1 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 若 a∥b∥c ，则 ， ， A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c a 【归纳总结】 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 例1 如图，已知 AA1∥BB1∥CC1，AB = 2，BC = 3，A1B1 = 1.5，求 B1C1 的长. 解 由平行线分线段成比例可知， ，即 ， 因此， A1 C1 B1 A C B 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 1.如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( ) A. B. C. D. D A C E B D F l2 l1 l3 【练一练】 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） （第3题） 3.[西安校级期中] 如图，直线，直线 和 分别与，，相交于点，，和点，， ， 若,,，则 ( ) B A.2 B.3.3 C.3 D.5.5 返回 举一反三 14 4.如图，已知直线，，分别截直线于点 ， ，，截直线于点，，，且 。 （1）若，，，求 的长； 解：， 。 又，，， , 。 举一反三 15 （2）若，，求 的长。 解： ， 。 ， 。 ，, 。 返回 举一反三 16 如图，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n 于点 A1，A2，A3，B1，B2，B3，过点 A1 作直线 n 的平行线，分别 交直线 b，c 于点 C2，C3. 图中有哪些成比例线段？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 C2 C3 【观察·思考】 例2 如图，在△ABC 中，已知 DE∥BC， 求证： 证明 如图，过点 A 作直线 MN，使 MN∥DE. 因为 DE∥BC，所以 MN ∥DE∥BC. 因此，AB，AC 被一组平行线 MN，DE，BC 所截，则由平行线分线段成比例可知， B C A M N D E 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 过点 A2 作直线 n 的平行线，分别交直线 a，c 于点 D1， D3. 图中有哪些成比例线段？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a D1 D3 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. A1 A2 A3 C2 C3 A2 D1 A3 A1 D3 【归纳总结】 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 知识点2 平行线分线段成比例的推论 （第5题） 5.如图，在中，点在边上，过点 作 ，交于点。若， ，则 的值是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 21 （第6题） 6.[陕西师大附中模拟] ［教材P82“习题3.3”第2题变式］ 如图，在中，，，若 ，则 的长为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 22 例3 如图，在 △ABC 中，E，F 分别是 AB 和 AC 上的点，且 EF//BC. (1) 如果 AE = 7，EB = 5，FC = 4， 那么 AF 的长是多少？ A B C E F 解：∵ EF//BC， ∵ AE = 7，EB = 5，FC = 4 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 (2) 如果 AB = 10，AE = 6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？ A B C E F 解：∵ EF//BC， ∵ AB = 10，AE = 6，AF = 5 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 7.[北京朝阳区校级期中] 如图， ， ，， 。 （1）求 的长； 解：， 。 又， ， ，解得 。 。 举一反三 25 （2）求证： 。 解：证明：， 。 ， 。 。 返回 举一反三 26 （第8题） 8. 如图，五线谱是由等距离、等长 度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 ，，都在横线上，若线段，则线段 的 长是( ) C A. B.1 C. D.2 返回 举一反三 27 9.如图，已知，，，，则线段 的长为 _ __。 （第9题） 返回 举一反三 28 10.［教材P83“习题3.3”第7题变式］ 如图，在中，点，， 分 别在，，上，，,且， ， ，求 的长。 举一反三 29 解：， 。 ， 。 。 ，， ， ，解得 。 返回 举一反三 30 11. 阅读下列材料，并回答相应的问题： 角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线 段和这个角的两边对应成比例，如图①，在中， 平分 ，则 。 下面是这个定理的部分证明过程。 举一反三 31 证明：如图②，过点作,交的延长线于点 举一反三 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分。 证明：,,, 。 平分， , 。 。 。 （2）如图③，在中，,, ， 平分 ，则 的周长是_ _____。 返回 举一反三 33 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ◑推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 ◑基本事实 平行线分线段成比例 课堂小结 34 34 谢谢观看 THANKS l1 l2 $