4.5角的比较与补（余）角 第2课时 教学设计 2026-2027学年沪科版七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦余角与补角的概念及性质，以比萨斜塔倾斜角度为情境导入，引导学生思考角度关系，衔接角的比较旧知，搭建从生活实例到数学概念的学习支架。 资料亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过折叠长方形纸片动手操作抽象概念，结合问题探究推理补余角性质，例题与练习渗透方程思想。既培养学生抽象能力、推理意识，又为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

第四章 直线与角 4.5 角的比较与补(余)角 第2课时 补(余)角   一、教学目标 1.知道互为余角、互为补角的意义，会求一个角余角和补角的度数. 2.知道并理解补角和余角的性质，培养初步的推理能力. 3.在具体情境中了解余角与补角，并能运用这些性质解决一些简单的问题.   二、教学重难点 重点：余角与补角的概念，等角的补角或余角相等. 难点：证明等角(或同角)的补角或余角相等.   三、教学过程 （一）创设情境 情境：著名的比萨斜塔，历经约两百年才完工，它的最初设计是垂直于地面的，但由于塔下地基土层的特殊性造成了它的倾斜，现在塔与地面成85°角。 思考：①塔与铅垂线成多少度角呢，它与85°角有什么关系？ ②塔的另一侧与地面成多少度角，它与85°角又有什么关系？ 师生活动：教师在图片上放著名建筑比萨斜塔，吸引学生的兴趣，引导学生观察思考。 预设：思考中的问题与今天所学内容息息相关，要解决思考中的问题，先要学习本节课内容，就势引出本节新课内容。 设计意图：比萨斜塔是世界著名建筑，利用比萨斜塔的角度提出相关的问题进行设疑导入，能够吸引学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，感受生活中数学的魅力。 （二）探究新知 任务一：探究余角和补角的概念 动手操作 ：请同学们拿出一张长方形纸片，沿一个角折叠后展开，观察折痕与长方形的边所形成的角，仔细观察并思考如下的问题： 1.折痕与长方形的边形成了几个角？ 2.相邻的两个角有什么数量关系？ 师生活动：教师引导学生动手操作并思考相关问题，学生先独立操作，再观察思考，上台展示自己的结论。 预设答案： 如图，一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了四个角。 相邻的角：∠1和∠2，∠3和∠4 数量关系：∠1+∠2=90°，∠3+∠4=180° 总结：有这种特殊数量关系的角就是余角和补角 余角：如果两个角的和等于一个直角 ，那么我们就称这两个角互为余角 (简称互余). 如图，可以说∠1 是∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和∠2互余. 补角：如果两个角的和等于一个平角 ，那么我们就称这两个角互为补角 (简称互补). 如图，可以说∠3 是∠4 的补角，或∠4 是∠3的补角，或∠3和∠4互补. 概念理解： ①定义中的“互为”一词如何理解？ 如果 ∠1 与∠2互余，那么∠1 的余角是∠2，同样∠2的余角是∠1 ； 如果∠1 与∠2互补，那么∠1 的补角是∠2， 同样∠2的补角是∠1 。 备注：互余，互补必须是两个角之间的关系． ②互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？ 两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。 填一填： 解：85°；175°；32°；148°；45°；45°；13°；103°；(90-n)°；(180-n)°； 总结：锐角的补角比它的余角大90° 设计意图：通过一系列的动手操作、观察、思考、探究活动，让学生得出两种特殊数量关系的角，从而引出余角和补角的概念，并及时用练习进行巩固，有利于加深学生的印象。提高学生对概念的理解。 任务二：探究余角和补角的性质 探究 ：问题①：如下图，∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？ 问题②：如下图，已知∠1=∠3 ，∠1与∠2互补，∠3 与∠4互补 ，那么∠2与∠4相等吗？ 1.完成问题①和问题② 2.据此得到关于补角的什么结论？ 3.余角有类似的结论吗？如果有，请给出结论并说明道理。 师生活动：教师引导学生仔细审题，利用余角和补角的概念解答问题①和问题②，据此归纳出关于补角的结论，并用相同的方式归纳出余角的结论。学生先独立完成问题①和问题②，再进行小组讨论，合作完成探究中的问题。 预设答案： 问题①：解：因为∠1与∠2互补 所以∠2=180°−∠1 因为∠1与∠3互补 所以∠3=180°−∠1 所以∠2=∠3 问题②：解：因为∠1与∠2互补，所以∠2=180°−∠1 因为∠2与∠3互补，所以∠2=180°−∠3 因为∠1=∠3，所以∠2=∠4 根据问题①可得结论：同角的补角相等。 根据问题②可得结论：等角的补角相等。 这两条也是补角的性质，而以上的过程就是证明补角的性质的过程。 类比补角的性质的探究过程，同样可得到余角的性质：同角(或等角)的余角相等。 证明方法与补角的证明方法类似： ①已知∠1=∠3 ，∠1与∠2互余，∠3 与∠4互余 ，那么∠2与∠4相等。 理由如下： 因为∠1与∠2互补，所以∠2=90°−∠1 因为∠2与∠3互补，所以∠2=90°−∠3 因为∠1=∠3，所以∠2=∠4 ②已知∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °，则∠1=∠2. 理由如下： 因为∠AOB = 90 ° 所以∠1+∠3=90 ° 因为∠COD = 90 ° 所以∠2+∠3=90 ° 所以∠2=∠3 总结： 设计意图：通过一个问题得出关于补角和余角的一般性结论，既向学生展示有关的性质，也是相关性质的证明过程，逻辑性强，便于学生理解。 （三）应用举例 例1：如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． (1)∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________; (2)OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由． 解：(1)∠COE、∠BOE;∠COE、∠BOE; (2)OE平分∠BOC，理由如下： 因为∠DOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°， 所以∠COD+∠COE=90°， 所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE， 因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD， 所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC． 例2：已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数. 解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为(3x+30)°. 根据题意得：x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°. 总结：我们在求有关图形的角度问题时，通常把一个角设为未知数，表示出其他角，进而利用方程求解，这时我们用到的便是方程思想． 设计意图：通过两道例题，进一步巩固补角和余角的概念和性质，加深学生对概念的理解，例题选用了不同的题型，让学生体会不同的做题思路和方式，提高学生的解题能力，培养了学生的发散思维。 （四）课堂练习 1.下列结论：互余且相等的两个角的度数都是；锐角的补角是钝角；锐角没有余角，钝角没有补角；两个钝角不可能互补．其中结论正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 解：C  2.如图，，则下列说法错误的是(    ) A. 与，与互为余角 B. ， C. 与，与互为余角 D. ， 解：B  3.如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和，其中互补的角共有(    ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 解：，， 互补的角有与， 与，与， 与，与共对，选C． 4.如图，，则图中与相等的角为          ，与互余的角为          ，与互补的角为          ． 解： ， 5.如图，，是内部的两条射线，，，与互为补角，求的度数． 解：与互为补角， ， ，， ， ，， ， ． 6.如图，与互为补角，与互为余角，且． 求的度数； 若平分，求的度数． 解：(1)与互为余角， ． ， ． (2)与互为补角， ． ． 平分， ， ． 设计意图：通过练习，巩固了补角和余角的概念和性质，有利于培养学生的逻辑思维能力，规范学生的答题过程，提高学生逻辑思维能力、解决问题的能力。 （五）总结归纳 1.互为补角，互为余角的含义是什么？ 2.补角和余角的性质是什么？ 3.本节课你经历了怎样的学习过程,收获了哪些知识与方法？ 设计意图：先提问学生学到的知识与方法，让学生在脑中回忆本节课所学习的新内容，帮助他们自己整理学习方法，再通过思维导图的形式展示本节课的所有内容，帮组学生查漏补缺. 学科网（北京）股份有限公司 $