第四章 几何图形初步（复习讲义）数学沪科版2024七年级上册

该初中数学复习讲义通过知识框架图系统梳理了“几何图形初步”单元体系，涵盖立体图形认识、点线面体关系、直线射线线段、角的计算等核心内容，用对比表格呈现直线射线线段的区别，以口诀归纳正方体展开图类型，突出点线面体关系、线段与角计算等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“生活情境化”练习设计，如农民插秧用“两点确定一条直线”解释，钟表角度问题培养数学眼光，分层题型（基础巩固含线段中点计算、能力提升含动点问题）助力不同学生发展空间观念与推理能力，支持教师精准教学和学生自主复习。

第四章 几何图形初步（复习讲义） 1、 学习目标 1、 了解几何图形的基本概念，掌握平面展开图以及点线面体相关的内容 2、 了解直线、射线、线段的基础知识，掌握线段的长短比较与计算方法 3、 了解角与角度的基础知识，掌握角度计算方法 2、 学习重点： 1、 点线面体的关系 2、 线段与角的计算 3、 余角和补角的概念和运用 3、 学习难点： 线段和角的计算 知识点01 立体图形的认识 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 知识点02 正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 知识点3 点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 知识点4 直线的概念与性质 1.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD 基本概念： 名称 直线 射线 线段 图形 B A A B B A 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA） 作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 2.直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 知识点5 射线、线段的概念 1.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字 2.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 知识点6 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 知识点7 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 知识点8 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 知识点9 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 知识点10 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 知识点11 角的概念 1.角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点12 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 知识点13 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点14 方向角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点15 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点16 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点17 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点18 余角、补角的概念 1.余角概念 余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.补角概念 补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补. 知识点19 余角、补角的性质 1.余角的性质：同角或等角的余角相等. 2.补角的性质：同角或等角的补角相等. 题型一 几何体的识别 1．请写出下面立体图形的名称． （1）______（2）______（3）______（4）______（5）______ 2．下列生活物品中，从整体形状上看，可以看作是圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 3．下列几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 4．下列图形属于棱柱的有（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 题型二 立体图形的分类 5．围成下列几何体的各个面中，每个面都是平的是（　　） A． B． C． D． 6．按柱体、锥体、球体分类，下列立体图形中与其他三个不属于同一类的是（   ） A． B． C． D． 7．下面四个立体图形中，和其他三个立体图形不同类型的是（    ） A．   B．   C．   D．   8．下列几何体中，含有曲面的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 几何体中的点、棱、面 9．若一个棱柱有10个顶点，则它的侧面的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 10．某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 11．下列立体图形中，面最少的是（   ） A．三棱柱 B．圆锥 C．球 D．圆柱 12．瑞士数学家欧拉（Euler，）发现并证明了多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在一个有趣的关系式，这个关系式被后人称为欧拉公式．观察下面画出的多面体，解答下列问题： (1)完成表格中的空格： 多面体 顶点数V 面数F 棱数E 四面体 4 4 长方体 8 6 八面体 8 五棱柱 7 你发现各个多面体顶点数V、面数F、棱数E之间存在的关系式是______ (2)一个多面体的面数比顶点数多8，且有条棱，这个多面体是几面体？ (3)一个玻璃饰品的外形是多面体，它的表面是由三角形和八边形两种多边形围成，且一共有个顶点，每个顶点处都有3条棱，这个玻璃饰品是几面体？ 题型四 点线面体之间的关系 13．硬币在桌面上快速地转动时看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交得到线 14．点动成   线动成    面动成 15．“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”，句中，雨“像细丝”说明（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 16．如图是一张长方形纸片，长为，长为，将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周． (1)所得到的几何体是______，这个现象用数学知识解释为______（选填“点动成线”，成面”“面动成体”）； (2)求形成的几何体的表面积（结果保留）． 题型五 平面图形旋转构造立体图形 17．铁一陆港学校在11.3日开展了“节约粮食，文明就餐”的主题班会，初一年级某小组同学在筹备班会的过程中查阅资料获悉：据国家粮食和物资储备局发布，截至”2025年9月30日，全国各类粮食经营主体累计收购小麦10795万吨，早籼稻1281万吨，油菜籽587万吨收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图． (1)该粮仓的示意图可以由图2中的图___________旋转一周后得到 (2)求该“粮仓”的体积．（结果保留） 18．如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为 ． 19．如图，某直角三角形纸片两直角边分别为，将纸片绕着它的某条直角边所在的直线旋转，可以得到一个几何体． (1)如果把直角三角形纸片看成一个面，那么这一过程体现的数学原理是______，最终形成的几何体是______； (2)求最终形成几何体的体积（结果保留）． 20．指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 题型六 直线、线段、射线的概念 21．下列说法正确的是（    ） A．延长直线 B．延长线段和延长线段的含义相同 C．直线和直线是同一条直线 D．射线和射线是同一条射线 22．下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．射线和射线是同一条射线 C．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” D．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 24．如图，点三点在同一水平线上，下列说法不正确的是（   ） A．线段和线段是同一条线段 B．直线和直线是同一条直线 C．射线和射线是同一条射线 D．射线和射线是同一条射线 题型七 画直线、线段和射线 25．请按要求画图： (1)分别延长线段和，相交于点E； (2)延长线段，交的延长线于点F； (3)连接，交于点G． 26．画出线段． (1)在线段上画出异于点A，B的1个点，图中共有几条线段? (2)在线段上画出异于点A，B的2个点，图中共有几条线段? (3)在线段上画出异于点A，B的3个点，图中共有几条线段? 27．请按要求画图： (1)画线段，延长至点，使； (2)画一个点，过点P画直线，在直线外画一个点． 28．如图，A，B，C是平面内的三个点．请画出下列图形： (1)直线； (2)射线； (3)线段． 题型八 两点确定一条直线的运用 29．2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，盛大阅兵仪式在天安门广场举行，受阅部队的口令“向右看齐”应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间线段最短 30．农民在播种时，常常希望种子能成行排列，便于管理和生长，他会在田地的两端各插一根竹竿，然后拉紧一根长绳，使其贴近地面并与两根竹竿底部接触，接着，他沿着这根绳子撒下种子．这种做法用几何知识解释应是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．直线可以向两边无限延伸 D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 31．农民插秧时，为使插秧的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段可以比较大小 D．线段有两个端点 32．如图，小强的爸爸只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，这其中的道理是（   ） A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 题型九 直线、线段、射线的数量问题 33．如图所示，图中不同的线段的条数是 条． 34．如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的个点表示个车站．在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（   ） A．10种 B．22种 C．20种 D．25种 35．如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 36．若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点，，，则可以确定______条线段，______条射线； (2)若平面上有四个点，，，，则可以确定______条线段，______条直线； (3)2026年世界杯预选赛中国队所在小组共有六支球队，进行的是双循环赛（即每两支球队之间进行两次比赛），则需要进行多少场比赛？ 题型十 线段的应用 37．已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 38．（1）图①中的黑色实线是弯的吗？ （2）图②中线段m和线段n的长度相等吗？ 39．生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 40．问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 题型十一 线段的和差计算 41．已知线段，点C在直线上，且，则 ． 42．如图，已知点C是线段上一点，，，分别是，的中点，，，求线段的长． 43．如图，点C在线段上，，．点P以的速度从点A沿线段向点B运动；同时点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，当点P运动到点B时，点P、Q都停止运动．设点P运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点C为中点时，求t的值； (4)若点D是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 44．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧 (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 题型十二 线段作法 45．如图，已知线段． (1)延长到点C，使． (2)请找出线段的中点O，并求线段的长度． 46．如图，已知三点、、，请完成作图． (1)画直线、射线； (2)连接，并在延长线上取点，使得；（尺规作图并保留作图痕迹） (3)在（2）条件下，若，，点为的中点，求线段的长． 47．（1）观察图中的线段和，你认为哪条线段较长？ （2）用比较线段长短的方法，比较线段和的长短． （3）你的直观判断和（2）中比较的结果一样吗？ 48．已知线段a，Q为直线l外一点．请在l上找出所有与点Q的距离等于a的点． 题型十三 线段中点的有关计算 49．如图，已知线段，点M是的中点，点C在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N是的中点，求线段的长． 50．如图，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 51．已知A，B，C在同一直线上，，D为的中点，，则 ． 52．如图，已知，，，四点在同一线段上，线段． (1)若点是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点满足，，求线段的长度． 题型十四 两点之间线段最短的运用 53．下列说法正确的个数是（    ） ①线段就是点与点之间的距离； ②倒数等于本身的数是； ③八棱柱有条棱，个顶点； ④两点之间直线最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 54．下列说法正确的是（  ） A．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” B．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 C．画一条直线，使它的长度为 D．射线和射线是同一条射线 55．如图，已知点，，，，按要求画图． (1)连接，作射线； (2)画点，使的值最小； (3)画点，使点既在直线上，又在直线上． 56．如图，把弯曲的河道改成直道，可以缩短航程，是因为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线 D．两点之间，直线最短 题型十五 线段等分点的相关计算 57．如图，已知M是线段的三等分点，E是线段的中点，且线段，求线段的长度． 58．如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 59．线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 60．【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 题型十六 线段动点问题 61．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 62．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 63．如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 64．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 题型十七 最短路径问题 65．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 66．如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 67．如图，平面内有A，B，C，D四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P，要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 68．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 题型十八 角的概念 69．图中共有多少个角？请把它们分别表示出来． 70．如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 71．如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 72．如图，按要求写出符合条件的角． (1)能用一个字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中共有几个小于平角的角？请表示出来． 题型十九 角的表示 73．请将下列各角用符号表示出来： 74．请写出下列各图中的角： 75．如图，请将图形中标有弧线的角表示出来． 76．如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 题型二十 角的分类 77．两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 78．下列四个角中，是直角的是（   ） A． B． C． D． 79．下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 80．有下列说法：①1个周角=2个平角；②1个平角=2个直角；③1个直角=2个锐角；④钝角是大于的角．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二十一 钟表角度问题 81．每天下午14点20分上课铃都会如约而至，此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为 ． 82．如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 83．经过，钟表的时针转过的角度是 ，分针转过的角度是 ；经过，分针转过的角度是 ，时针转过的角度是 ． 84．时钟的时针从某一时刻所在的位置开始，旋转一个直角和一个平角，各需要多长时间？分针走过和，各旋转了多少度？ 题型二十二 方向角的表示 85．水族馆在大象馆东偏北度方向，大象馆在水族馆的西偏南度方向．( ) 86．小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 87．一架飞机向东偏北方向飞行，接到指令后，改向相反的方向飞行，那么这架飞机向（   ）方向飞行． A．东偏南 B．西偏南 C．西偏北 88．如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 题型二十三 角度计算问题 89．计算： (1)___________°___________＇； (2)___________°； (3)___________； (4)___________． 90．计算： (1)； (2)； (3)． 91．计算： (1)； (2)． 92．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型二十四 方向角计算问题 93．如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 94．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 95．小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 96．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏东的方向，同时轮船B在南偏西的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 题型二十五 角度换算 97．已知，，求和的度数． 98． ． 99．请用度表示下列各角： (1)； (2)； (3)； (4)． 100．请用度、分、秒表示下列各角： (1)； (2)； (3)． 题型二十六 角度大小比较 101．比较大小： 填“>”“<”或“=” 102．比较大小： （填“”“ ”或“”） 103． 和的大小关系为 ．（填相等或不相等） 104．已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 题型二十七 角平分线的运用 105．如图，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 106．已知，射线和射线在内部，且，，射线分别平分，，则 107．如图，点A，O，B在同一条直线上，与互余，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，则的度数为________． 108．如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为 ； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 题型二十八 角等分线的运用 109．如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    110．如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 111．综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 112．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 题型二十九 余角和补角的计算 113．如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 114．如图，是直线，O是上一点，，，平分．图中与互余的角有哪些，与互补的角有哪些?为什么? 115．（1）如图（），和都是直角，请指出和之间的数量关系，并说明理由． （2）当绕点按顺时针方向旋转到图（）所示的位置时，上述结论还成立吗?请说明理由． 116．如图，点O在直线上，是的平分线，是的平分线，．求的度数． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列几何体中，属于锥体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球体，注意球和圆的区别，球是立体图形，圆是平面图形．利用锥体的意义，直接选择答案即可． 【详解】解：①是圆锥，属于锥体，符合题意， ②是三棱锥，属于锥体，符合题意， ③是四棱柱，属于柱体，不符合题意， ④是球体，不符合题意， ⑤是圆柱，属于柱体，不符合题意， ∴属于锥体的有①②，共个． 故选：B． 2．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，图中能用一个大写字母表示的角有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，用一个大写字母表示，这种表示方法表示角时，这个字母即为这个角的顶点，但要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时,不能用一个大写字母，据此作答即可． 【详解】图中能用一个大写字母表示的角有，共2个， 故选：B． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了补角的概念及计算，掌握补角的概念和计算方法是关键． 补角是指如果两个角的和是，那么这两个角叫互为补角，由此即可求解． 【详解】解：若，则的补角， 故选：D ． 4．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）尺规作图：作，如图，下列作图过程中，错误的是（    ）    A．作射线 B．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点 C．以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点 D．以点为圆心，以任意长为半径作弧，与已知的弧交于点 【答案】D 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作法即可判断求解，掌握基本作图方法是解题的关键． 【详解】解：选项错误，应该以点为圆心，以的长为半径作弧，与已知的弧交于点， 故选：． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：A． 6．（25-26七年级上·辽宁阜新·期中）如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义．直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线，射线，线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A． 射线和射线不是同一条射线，原说法错误； B． 直线和直线是同一条直线，原说法正确； C． 线段和线段是同一条线段，原说法正确； D． 图中以点A为端点的射线有两条，原说法正确； 故选：A． 7．（21-22七年级上·河南南阳·期末）如图，点B，O，D在同一条直线上，若∠AOC＝90°，∠2＝115°， 则∠1的度数为(   ) A．15° B．25° C．26° D．65° 【答案】B 【分析】先计算∠2的补角，再利用余角定义解得∠1的度数． 【详解】解：由题意得，∠2＝115°， ∠BOC＝180°-115°=65°， ∠1=90°-65°=25° 故选：B． 【点睛】本题考查余角、补角，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 8．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，将一副三角尺按不同方式摆放，其中与一定互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角，补角及平角的定义．根据同角的余角相等，平角的定义和三角板的度数对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、根据等角的余角相等可得，但与不一定互余，故本选项不符合题意； B、由图知，即与一定互余，故本选项符合题意； C、由图知，与不互余，故本选项不符合题意； D、由图知，与互补，故本选项不符合题意； 故选：B． 9．（20-21六年级下·山东济南·期末）已知A，B，C三点共线，线段，，点M，N分别是线段AB，BC的中点，则MN的长为（　　） A．16cm B．16cm或4cm C．4cm D．6cm或12cm 【答案】B 【分析】分情况讨论，当点C在线段AB的延长线上时，进行计算即可得，当点C在线段AB上时，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，当点C在线段AB的延长线上时， ∵，， ∴cm，cm， ∴（cm）， 如图所示，当点C在线段AB上时， ∵，， ∴cm，cm， ∴（cm）， ∴（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的表示线段的和差倍分，并分情况讨论． 10．（21-22七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图所示，点M，N是线段AB上的两个点，且M是AB的中点，N是MB的中点，若AB＝a，NB＝b，下列结论：①AM＝a②AN＝a﹣b③MN＝a﹣b④MN＝a．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据线段的中点定义可得AM＝MB＝AB，BN＝NM＝BM，再根据线段之间的和差关系列出等式即可． 【详解】解：∵M是线段AB的中点， ∴AM＝MB＝AB＝a，故①正确； AN＝AB﹣BN＝a﹣b，故②正确； MN＝MB﹣NB＝AB﹣BN＝a﹣b，故③正确； ∵M是线段AB的中点，N是AM的中点， ∴AM＝BM＝AB＝a，MN＝MB＝×a＝a，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查线段中点的有关计算．能结合图形正确分析得出线段之间的和差关系是解题关键． 二、填空题 11．（24-25六年级下·山东淄博·期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的转换以及角的大小比较，掌握这知识点是解本题的关键． 将不同单位表示的角度统一为相同单位后比较大小即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，一艘船在A处遇险，则救生船B在船A的 方向． 【答案】北偏东（答案不唯一） 【分析】本题主要考查方位角，熟练掌握方位角是解题的关键；因此此题可根据图形直接进行求解即可． 【详解】解：由图可知：救生船B在船A的北偏东方向或东偏北方向； 故答案为：北偏东． 13．（24-25六年级上·山东青岛·阶段练习）如图是三种几何体的表面展开图，则该三种几何体由左到右分别是 ． 【答案】圆锥、圆柱、三棱柱 【分析】本题考查了立体图形的展开与折叠，圆是圆锥的底面，半圆是圆锥的侧面；两个圆是圆柱的两个底面，长方形是圆柱的侧面；两个三角形是三棱柱的两个底面，三个长方形是三棱柱的侧面． 【详解】图中三种图形由左到右分别是圆锥、圆柱、三棱柱的表面展开图， 故答案为：圆锥、圆柱、三棱柱． 14．（22-23七年级上·江西赣州·期末）已知，是的平分线，，是的平分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，先根据角平分线的定义得出，，再分当在内部时，当在外部时两种情况，结合角平分线定义及各角之间的数量关系得出答案，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：当在内部时，如图， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， 当在外部时，如图， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：或． 三、解答题 15．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请将图形中标有弧线的角表示出来． 【答案】，，，， 【分析】此题考查了角的定义，也考查了角的表示，先找到图中有弧线的角的顶点，再找到角的两边，从而找到角，以各顶点为切入点，把角表示出来即可． 【详解】解：图形中标有弧线的角有，，，，. 17．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，把一根绳子对折成线段AB，从P处把绳子剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，求绳子的原长． 【答案】或 【分析】根据题意得知AP与PB的关系，再确定剪断后的各段绳子中最长的一段，然后代入数值即可． 【详解】解：本题有两种情形： （1）当点A是绳子的对折点时，将绳子展开如图1． 图1 ，剪断后的各段绳子中最长的一段为，则，即，，绳子的原长（）； （2）当点B是绳子的对折点时，将绳子展开如图2． 图2 则，剪断后的各段绳子中最长的一段为，，即，．绳子的原长（）． 综上，绳子的原长为或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，体现了思维的严密性，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个 体，用数学知识可解释为“__________”． （2）如图，找出给定三角形绕直线旋转一周后形成的对应几何体．并把它们用线连接． 【答案】（1）球；面动成体；（2）见解析 【分析】本题考查了点、线、面、体，难度不大，学生应注意培养空间想象能力． （1）根据面动成体这个知识点解答即可； （2）根据三角形绕直线旋转的性质，找出对应的几何体并进行连线即可． 【详解】解：（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个球体，用数学知识可解释为“面动成体”； 故答案为：球；面动成体. （2）如图： 19．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求完成下列问题．（注：此题作图不要求写出画法，请用直尺，2B铅笔作图） (1)作直线； (2)分别连接、； (3)用适当的语句表示点与直线的位置关系：______； (4)判断线段与的数量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点在直线外 (4) 【分析】本题考查了直线，线段的画法，点和直线的位置关系，两点之间，线段最短等知识 （1）根据直线的画法画图即可； （2）根据线段的画法画图即可； （3）根据点和直线的位置关系回答即可； （4）根据两点之间，线段最短进行求解即可； 【详解】（1）如图所示，直线即为所求； （2）如图所示，线段、即为所求； （3）由图可得，点在直线外． 故答案为：点在直线外． （4）根据两点之间，线段最短，可知： 20．（21-22六年级上·山东泰安·阶段练习）观察表中的几何体，解答下列问题： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 18 面数c 5 6 7 (1)补全表中数据； (2)观察表中的数据，推测n棱柱的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ．（用含n的式子表示） 【答案】(1)8，15，8，见解析 (2)2n，3n，n+2 【分析】（1）根据四棱柱上面4个顶点，下面四个顶点可以知道四棱柱的顶点数；五棱柱上底面5条棱，下底面5条棱，侧棱5条可以知道五棱柱的棱数；根据六棱柱有6个侧面和2个底面知道六棱柱的面数； （2）根据表格推测即可． 【详解】（1）解：∵四棱柱上面4个顶点，下面四个顶点， ∴四棱柱的顶点数是8； ∵五棱柱上底面5条棱，下底面5条棱，侧棱5条， ∴五棱柱的棱数是15； ∵六棱柱有6个侧面和2个底面， ∴六棱柱的面数是8； 故答案为：8；15；8； 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 （2）解：n棱柱的顶点数为2n， 棱数为3n， 面数为n+2， 故答案为：2n；3n；n+2． 【点睛】本题主要考查几何体的初步认识，熟练掌握棱柱的概念是解题的关键． 21．（22-23七年级上·福建南平·期末）如图，直线，相交于点，射线是的平分线，，，求的度数． 【答案】的度数是 【分析】根据平角的概念和性质，可求出，根据角平分线的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵直线，相交于点，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数是． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，理解并掌握平角的定义和性质，角平分线的定义是解题的关键． 22．（25-26八年级上·山东济宁·月考）作图与计算． (1)已知：，（图（1）、图（2））． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在图（2）中过点引射线，且，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，角的计算，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，与角的两边相交于、．以为圆心，以为半径画弧，与角的两边相交于、，然后以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，过、作射线即可得到； （2）分两种情况讨论：①当在内部时，②当在外部时；画出图形，根据角的和差代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示： 就是所求的角． （2）解：分两种情况讨论： 当在内部时，如图， ，， ； 当在外部时，如图， ，， ． 23．（21-22六年级下·山东烟台·期中）如图1，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段是三角板的两条直角边，射线是的平分线． (1)当时，求的度数； (2)当时，则______（用含的式子表示）； (3)当三角板绕点O逆时针旋转到图2位置时，，它条件不变，则______（用含的式子表示） 【答案】(1)60° (2)2α (3)360°-2α 【分析】（1）利用已知求得∠DOE=60°，利用角平分线的性质得到∠AOD=2∠DOE，再利用平角的定义，∠BOD可求； （2）利用（1）中方法可求； （3）利用已知可求∠DOE=α-90°，然后利用（1）中的方法求得∠BOD的度数． 【详解】（1）∵∠COD=90°，∠COE=30°， ∴∠DOE=90°-30°=60°． ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠DOE=2×60°=120°． ∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-120°=60°． （2）∵∠COD=90°，∠COE=α， ∴∠DOE=90°-α． ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠DOE=2×（90°-α）=180°-2α． ∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（180°-2α）=2α． 故答案为：2α． （3）由题意：∠DOE=α-90°． ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠DOE=2α-180°． ∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（2α-180°）=180°-2α+180°=360°-2α． 故答案为：360°-2α． 【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义．正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南郑州·月考）下列图形中不是柱体的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下午5点整，钟面上时针与分针所成的角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·山东烟台·期末）以学校为观测点，广场在北偏西的方向上，则图中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）一副三角板按如图所示的方式摆放，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）如果一个角的补角比这个角的倍大，那么这个角的余角为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22七年级上·贵州毕节·期末）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法运用的数学知识是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．射线只有一个端点 D．过一点有无数条直线 7．（2025九年级下·浙江·学业考试）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，若，则下列说法正确的有（   ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 11．（21-22七年级上·河南平顶山·阶段练习）用一根钉子钉木条时，木条会来回晃动，用数学知识说明理由： ； 用两根钉子钉木条时，木条会被固定不动，用数学知识说明理由： ； “把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是 ． 12．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知长方形的长为，宽为，记这个长方形绕它的长旋转一周得到的圆柱的侧面积为，这个长方形绕它的宽旋转一周得到的圆柱的侧面积为，则的值为 ． 13．（2022·河北唐山·一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示． （1）C、D两站的距离为 ；（2）若a＝3，C为AD的中点，b= ． 14．（24-25六年级下·山东淄博·期中）我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． （1）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角为 ； （2）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是，则这两个角的平分线的夹角度数为 ． 三、解答题 15．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知，，分别是的平分线，求的度数． 16．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求完成下列问题．（注：此题作图不要求写出画法，请用直尺，2B铅笔作图） (1)作直线； (2)分别连接、； (3)用适当的语句表示点与直线的位置关系：______； (4)判断线段与的数量关系是______． 17．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由． 18．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，线段上两点B、C将分成三部分，M是的中点，若，求线段的长． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知和． (1)请用直尺和圆规作两个角，使它们分别等于和．（保留作图痕迹） (2)请用两种方法比较这两个角的大小． 20．（20-21七年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知线段，若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点N以每秒3个单位的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动．E，F分别为和的中点．设运动时间为t． (1)当M，N两点相遇时，求线段的长； (2)当t为何值时，线段的长为线段的； (3)在运动过程中，E，F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段的长．若不存在，请说明理由． 21．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知：如图，．    (1)操作发现：在同一平面内，以点为顶点，为始边画出，使，观察图形后请直接写出的度数为________________． (2)探究延伸：在（1）的条件下画出的平分线的平分线，观察图形后请直接写出的度数为________________． (3)探究拓展：在（1）（2）的条件下，若将“”改为“”，其他条件不变，你能求出的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由． 22．（24-25七年级上·山东青岛·月考）问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 23．（24-25七年级上·四川达州·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、、、、五点在同一直线上，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 几何图形初步（复习讲义） 1、 学习目标 1、 了解几何图形的基本概念，掌握平面展开图以及点线面体相关的内容 2、 了解直线、射线、线段的基础知识，掌握线段的长短比较与计算方法 3、 了解角与角度的基础知识，掌握角度计算方法 2、 学习重点： 1、 点线面体的关系 2、 线段与角的计算 3、 余角和补角的概念和运用 3、 学习难点： 线段和角的计算 知识点01 立体图形的认识 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 知识点02 正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 知识点3 点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 知识点4 直线的概念与性质 1.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD 基本概念： 名称 直线 射线 线段 图形 B A A B B A 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA） 作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 2.直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 知识点5 射线、线段的概念 1.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字 2.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 知识点6 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 知识点7 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 知识点8 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 知识点9 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 知识点10 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 知识点11 角的概念 1.角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点12 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 知识点13 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点14 方向角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点15 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点16 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点17 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点18 余角、补角的概念 1.余角概念 余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.补角概念 补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补. 知识点19 余角、补角的性质 1.余角的性质：同角或等角的余角相等. 2.补角的性质：同角或等角的补角相等. 题型一 几何体的识别 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请写出下面立体图形的名称． （1）______（2）______（3）______（4）______（5）______ 【答案】（1）长方体；（2）圆柱；（3）球体；（4）圆锥；（5）三棱锥 【分析】本题考查了常见几何体的名称，熟练掌握常见几何体的名称是解题的关键．根据常见几何体的特征逐一判断即可． 【详解】解：由图可知，（1）长方体；（2）圆柱；（3）球体；（4）圆锥；（5）三棱锥． 故答案为：长方体；圆柱；球体；圆锥；三棱锥． 2．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列生活物品中，从整体形状上看，可以看作是圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆柱体，圆柱体是由两个大小相等、相互平行的圆形(底面)以及连接两个底面的一个曲面(侧面)围成的几何体，据此逐一判断即可． 【详解】解：．整体形状有两个平行且相等的圆形底面，侧面是曲面，符合圆柱体的特征，故该选项符合题意； ．底面是多边形，不是圆形，不符合圆柱体“底面是圆形”的特征，故该选项不符合题意； ．形状是圆台(上底面和下底面大小不同的圆形)，不符合圆柱体“两个底面大小相等”的特征，故该选项不符合题意； ．形状是球体与其他部分的组合不是圆柱体，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立体图形的识别， 根据圆柱体特征的理解逐项判断即可得出答案． 【详解】解：图C是圆柱． 故选：C． 4．（15-16七年级上·江苏盐城·月考）下列图形属于棱柱的有（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据棱柱的特点：上下两个面大小，形状完全相同，侧棱都相等，侧面都是平行四边形去判断． 【详解】解：根据题意，图中的第1个，第2个，第4个都是棱柱，共有3个棱柱， 故选：B． 题型二 立体图形的分类 5．（2020·重庆·中考真题）围成下列几何体的各个面中，每个面都是平的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是立体图形的认识，掌握平面与曲面的概念是解题的关键．根据平面与曲面的概念判断即可． 【详解】解：A、六个面都是平面，故本选项正确； B、侧面不是平面，故本选项错误； C、球面不是平面，故本选项错误； D、侧面不是平面，故本选项错误； 故选：A． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）按柱体、锥体、球体分类，下列立体图形中与其他三个不属于同一类的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的认识．根据立体图形的特征判断即可．对于本题要掌握柱体、锥体和球体的定义.柱体：一个多面体由一个曲面和两个平面组成，有两个面互相平行，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱.球体:空间中到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做球体.锥体：圆锥和棱锥这样的立体图形是锥体.以直角三角形的一个直角边为轴旋转一周所得到的立体图形就是圆锥.棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥…… 【详解】解：A、D都是四棱柱，B是圆柱是柱体，C为圆锥是锥体． 故选：C． 7．（2021七年级上·全国·专题练习）下面四个立体图形中，和其他三个立体图形不同类型的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形．根据棱锥，棱柱的特征，逐项判断，即可求解． 【详解】解：B是棱锥，A，C，D是棱柱． 所以和其他三个立体图形不同类型的是B． 故选：B 8．（22-23七年级上·湖北随州·期末）下列几何体中，含有曲面的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用曲面和平面的定义区分即可． 【详解】解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面，三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，都是平面图形，六棱柱由两个六边形，六个矩形组成，都是平面图形． ∴含有曲面的有2个． 故选B． 【点睛】本题主要考查曲面和平面的定义，熟练掌握并区分平面和曲面是解决本题的关键． 题型三 几何体中的点、棱、面 9．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若一个棱柱有10个顶点，则它的侧面的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是棱柱的特点，根据棱柱的性质，顶点数等于底面边数的两倍，侧面个数等于底面边数即可解答. 【详解】解：∵ 棱柱的顶点数底面边数， 给定顶点数为10， ∴ 底面边数， ∴ 底面边数， 又∵ 侧面个数底面边数， ∴ 侧面个数为5. 故选：A 10．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 【答案】A 【分析】本题考查正多面体与多边形，掌握知识点是解题的关键． 利用欧拉公式，其中，每个面为正五边形，先计算总边数，再求解顶点数． 【详解】解：∵每个面是正五边形，有5条边，总面数， ∴总边数（每条边被两个面共享）． 代入欧拉公式：， ∴， ∴， ∴． 故选A． 11．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列立体图形中，面最少的是（   ） A．三棱柱 B．圆锥 C．球 D．圆柱 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的认识，解题的关键在于能够熟练掌握几何体的特点． 直接根据几何体的特点进行逐一判断即可． 【详解】解：三棱柱有5个面，圆锥有2个面，球有1个面，圆柱有3个面， 故面最少的是C； 故选：C． 12．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）瑞士数学家欧拉（Euler，）发现并证明了多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在一个有趣的关系式，这个关系式被后人称为欧拉公式．观察下面画出的多面体，解答下列问题： (1)完成表格中的空格： 多面体 顶点数V 面数F 棱数E 四面体 4 4 长方体 8 6 八面体 8 五棱柱 7 你发现各个多面体顶点数V、面数F、棱数E之间存在的关系式是______ (2)一个多面体的面数比顶点数多8，且有条棱，这个多面体是几面体？ (3)一个玻璃饰品的外形是多面体，它的表面是由三角形和八边形两种多边形围成，且一共有个顶点，每个顶点处都有3条棱，这个玻璃饰品是几面体？ 【答案】(1)6，6，， (2) (3) 【分析】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数及它们之间的关系，数字规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据已知空间图形即可填空，最后可得规律顶点数面数棱数； （2）由题意得，代入（1）中的公式计算即可得到面数； （3）一共有个顶点，每个顶点处都有3条棱，且两点确定一条直线，则共有条棱，代入（1）中的公式计算即可得到面数． 【详解】（1）解：四面体的棱数为6，正八面体的顶点数为6，五棱柱的棱数为15，关系式为：； 故答案为：6，6，，； （2）解：由题意得，代入得， ， ， ， 解得； （3）解：有个顶点，每个顶点处都有3条棱，且两点确定一条直线， 共有条棱， 那么， ， 解得， 故为面体． 题型四 点线面体之间的关系 13．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）硬币在桌面上快速地转动时看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交得到线 【答案】C 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的运动关系，熟练掌握“面动成体”的几何原理是解题的关键． 判断硬币（圆面）转动形成球体对应的几何原理，结合点、线、面、体的运动关系分析． 【详解】解：硬币是圆面（面），快速转动时该面的运动形成球体（体），这种现象反映的数学原理是面动成体， 故选：C． 14．（25-26七年级上·安徽阜阳·开学考试）点动成   线动成    面动成 【答案】 线 面 体 【分析】本题考查的是点、线、面的关系，理解点动成线，线动成面，面动成体的定义是解题关键．根据点、线、面的关系直接填空即可． 【详解】解：点动成线，线动成面，面动成体． 故答案为：线；面；体． 15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”，句中，雨“像细丝”说明（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系．根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：雨“像细丝”说明了：点动成线． 故选：A． 16．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一张长方形纸片，长为，长为，将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周． (1)所得到的几何体是______，这个现象用数学知识解释为______（选填“点动成线”，成面”“面动成体”）； (2)求形成的几何体的表面积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2)形成的几何体的表面积是 【分析】本题主要考查了求圆柱的表面积，面动成体， 对于（1），根据长方形旋转得出圆柱解答； 对于（2），根据表面积等于两个底面积加上侧面积解答即可． 【详解】（1）解：所得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体． 故答案为：圆柱，面动成体； （2）解：绕所在直线旋转一周，形成底面半径为，高为的圆柱， ． 形成的几何体的表面积是． 题型五 平面图形旋转构造立体图形 17．（25-26七年级上·陕西西安·期中）铁一陆港学校在11.3日开展了“节约粮食，文明就餐”的主题班会，初一年级某小组同学在筹备班会的过程中查阅资料获悉：据国家粮食和物资储备局发布，截至”2025年9月30日，全国各类粮食经营主体累计收购小麦10795万吨，早籼稻1281万吨，油菜籽587万吨收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图． (1)该粮仓的示意图可以由图2中的图___________旋转一周后得到 (2)求该“粮仓”的体积．（结果保留） 【答案】(1)① (2) 【分析】本题主要考查立体图形的体积，点、线、面、体之间的关系． （1）根据图形可知该几何体是由圆锥和圆柱所构成，然后问题可求解； （2）根据圆柱及圆锥的体积公式及图中所给数据可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可知是由①旋转而成的， 故答案为：①； （2）解：由题意得“粮仓”的体积为圆柱的体积加圆锥的体积： ， 答：该“粮仓”的体积为． 18．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面图形的旋转体和圆柱的体积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的体积，即可得出结果． 【详解】解：如图甲，圆柱的体积为， 如图乙，圆柱的体积为， 则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为． 故答案为： 19．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，某直角三角形纸片两直角边分别为，将纸片绕着它的某条直角边所在的直线旋转，可以得到一个几何体． (1)如果把直角三角形纸片看成一个面，那么这一过程体现的数学原理是______，最终形成的几何体是______； (2)求最终形成几何体的体积（结果保留）． 【答案】(1)面动成体；圆锥 (2)最终形成几何体的体积为或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体，理解题意是解决本题的关键． （1）根据面动成体可知，将直角三角形纸片绕它的某条直角边旋转一周，得到的几何体是圆锥； （2）分两种情况确定出圆锥的底面半径和高，再根据圆锥的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将直角三角形纸片绕它的某条直角边旋转一周，得到的几何体是圆锥，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：面动成体，圆锥； （2）解：圆锥体积公式为（r为底面半径，h为高），分两种旋转情况： 情况1：绕的直角边（）旋转： 此时圆锥的高，底面半径， 代入公式得 ； 情况2：绕的直角边（）旋转： 此时圆锥的高，底面半径， 代入公式得 ． 综上所述，最终形成几何体的体积为或． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【答案】题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成． 【分析】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目． 【详解】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成； 题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成； 题图③由五棱柱、球组成． 题型六 直线、线段、射线的概念 21．（25-26七年级上·福建厦门·月考）下列说法正确的是（    ） A．延长直线 B．延长线段和延长线段的含义相同 C．直线和直线是同一条直线 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的基本概念，根据直线、射线、线段的定义和性质判断各选项的正确性即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、直线是无限延伸的，不可延长，故原选项错误，不符合题意； 、延长线段是从点延长，延长线段是从点延长，方向不同，故原选项错误，不符合题意； 、直线没有方向，直线和直线表示同一条直线，故原选项正确，符合题意； 、射线有端点，射线以为端点，射线以为端点，不是同一条射线，故原选项错误，不符合题意； 故选：． 22．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，理解直线、射线、线段的定义和性质是解答关键． 根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，故说法错误； （2）射线是不可度量的，故说法错误； （3）线段和线段是同一条线段，故说法正确； （4）射线和射线不是同一条射线，故说法错误； （5）直线和直线是同一条直线，故说法正确； ∴正确的有2个． 故选：B． 23．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．射线和射线是同一条射线 C．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” D．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了角、射线的定义，直线公理和线段的性质，熟练掌握这些几何基本概念是解题的关键．逐一对每个选项结合角、射线、直线公理、线段性质的概念进行判断，确定正确选项． 【详解】解：平角是由公共端点的两条射线组成的角，直线无端点，故A项错误． 射线的端点是，射线的端点是，端点不同，故B项错误． 用两个钉子固定木条，应用的是“两点确定一条直线”的公理，故C项正确． 高速公路取直缩短路程，应用的是“两点之间，线段最短”的性质，故D项错误． 故选：C． 24．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点三点在同一水平线上，下列说法不正确的是（   ） A．线段和线段是同一条线段 B．直线和直线是同一条直线 C．射线和射线是同一条射线 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确解答的关键． 根据直线、射线、线段的定义进行解答即可． 【详解】解：．线段和线段是同一条线段，因此选项不符合题意； ．直线和直线是同一条直线，因此选项不符合题意； ．射线和射线不是同一条射线，因此选项符合题意； ．射线和射线是同一条射线，因此选项不符合题意． 故选：． 题型七 画直线、线段和射线 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）请按要求画图： (1)分别延长线段和，相交于点E； (2)延长线段，交的延长线于点F； (3)连接，交于点G． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查直线、射线与线段的基本性质及平面几何作图能力． （1）从A点出发沿方向延长，从C点出发沿方向延长，两条延长线相交于点E； （2）从点A出发沿方向延长，从点B出发沿方向延长，两条延长线相交于点F； （3）连接A，C两点作线段，与相交于点G，即可． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示． （2）解：所求图形，如图所示． （3）解：所求图形，如图所示． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）画出线段． (1)在线段上画出异于点A，B的1个点，图中共有几条线段? (2)在线段上画出异于点A，B的2个点，图中共有几条线段? (3)在线段上画出异于点A，B的3个点，图中共有几条线段? 【答案】(1) 作图见解析，3 (2) 作图见解析，6 (3) 作图见解析，10 【分析】本题考查了线段的计数规律，解题的关键是利用线段计数公式（个点时线段数为）计算． 先确定线段上的总点数（原端点新增点）；再代入线段计数公式计算线段总数． 【详解】（1）解：在线段上画1个点，总点数为， 线段数为． 答：共有3条线段． （2）解：在线段上画2个点，总点数为， 线段数为． 答：共有6条线段． （3）解：在线段上画3个点，总点数为， 线段数为． 答：共有10条线段． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）请按要求画图： (1)画线段，延长至点，使； (2)画一个点，过点P画直线，在直线外画一个点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本几何作图，画直线． （1）根据线段的画法可画出符合条件的线段，根据延长线段的条件，可作出线段； （2）根据直线的画法可画出一条直线，根据在直线上，在直线外，可得答案． 【详解】（1）解：如图，画线段，再延长至点，使， ． （2）如图，画一个点P，过点P画直线，在直线外画一个点， ． 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是平面内的三个点．请画出下列图形： (1)直线； (2)射线； (3)线段． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了画直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题关键． （1）根据直线的定义画出图形即可得； （2）根据射线的定义画出图形即可得； （3）根据线段的定义画出图形即可得． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，射线即为所求． （3）解：如图，线段即为所求． 题型八 两点确定一条直线的运用 29．（25-26七年级上·河北衡水·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，盛大阅兵仪式在天安门广场举行，受阅部队的口令“向右看齐”应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线． “向右看齐”口令要求士兵调整方向，使队伍形成一条直线，这直接应用了“两点确定一条直线”的几何性质． 【详解】解：在队列中，士兵以相邻士兵为参考点调整位置，使所有士兵的视线或身体对齐形成一条直线； ∴这基于“两点确定一条直线”的原理，即通过两个点可唯一确定一条直线，其他点均落在此直线上． 故选：A． 30．（25-26七年级上·广东佛山·期中）农民在播种时，常常希望种子能成行排列，便于管理和生长，他会在田地的两端各插一根竹竿，然后拉紧一根长绳，使其贴近地面并与两根竹竿底部接触，接着，他沿着这根绳子撒下种子．这种做法用几何知识解释应是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．直线可以向两边无限延伸 D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线的性质，正确掌握直线的性质，联系实际生活是解题的关键； 直接利用直线的性质分析即可得到答案． 【详解】解：这种做法的几何知识解释应是：两点确定一条直线， 故选：B． 31．（25-26七年级上·山东济南·期中）农民插秧时，为使插秧的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段可以比较大小 D．线段有两个端点 【答案】B 【分析】本题考查直线的性质，农民固定两根木桩拉紧细线，利用两个点确定一条直线的原理来确保秧苗排列整齐，据此进行判断即可． 【详解】解：由题意，运用的数学原理是两点确定一条直线； 故选B． 32．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，小强的爸爸只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，这其中的道理是（   ） A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题主要考查两点确定一条直线的公理．根据“两点确定一条直线”解答即可． 【详解】解：只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上， 其中的数学原理是：两点确定一条直线， 故选：D． 题型九 直线、线段、射线的数量问题 33．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，图中不同的线段的条数是 条． 【答案】10 【分析】本题考查了线段，理解线段的定义是解题的关键．以点为起点的线段有，以点为起点的线段有，以点为起点的线段有，以点为起点的线段有，然后加起来即可． 【详解】解：以点为起点的线段有， 以点为起点的线段有， 以点为起点的线段有， 以点为起点的线段有， 共有（条） 故答案为：10． 34．（2025七年级上·上海·专题练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的个点表示个车站．在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（   ） A．10种 B．22种 C．20种 D．25种 【答案】C 【分析】本题主要考查了数线段的条数，熟知两点构成一条线段是解题的关键．根据有多少条线段单程就需要印制多少种车票进行求解即可． 【详解】解：∵图中线段有共10条， ∴单程要10种车票，往返就是20种， 故选：C． 35．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了线段数量的计算，理解图示，掌握线段数量计算与实际问题的运用是解题的关键．根据题意，分别从端点开始找出线段即可求解． 【详解】解：以点开始，有4段，即， 以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即， 以点开始，有1段，即， 同理，反向如此， ∴共有， 故选：A． 36．（25-26七年级上·河北衡水·期中）若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点，，，则可以确定______条线段，______条射线； (2)若平面上有四个点，，，，则可以确定______条线段，______条直线； (3)2026年世界杯预选赛中国队所在小组共有六支球队，进行的是双循环赛（即每两支球队之间进行两次比赛），则需要进行多少场比赛？ 【答案】(1)3，6 (2)6，1或4或6 (3)30场 【分析】本题考查了线段、射线、直线的定义，有理数乘法的应用，解题的关键是正确理解线段、射线、直线的定义的区别． （1）根据线段和射线的定义即可求解； （2）根据线段的定义即可求解条数，然后数直线需要分类讨论，画图求解即可； （3）根据共有6支队伍，则每个队伍需要比赛5场，即可求解总场数． 【详解】（1）解：直线l上有三个点，，，则可以确定线段，共3条； 分别以为端点，左右两边各1条，共条； 故答案为：3，6 （2）解：平面上有四个点，，，，则可以确定线段，共6条； 当四个点，，，共线时，如图： 则只有1条直线； 当有3个点共线时，如图： 有条直线； 当有2个点共线时，如图： 有条直线， ∴可以确定直线条数为1或4或6， 故答案为：6，1或4或6； （3）解：由题意得，（场） 答：需要进行30场比赛． 题型十 线段的应用 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 【答案】C 【分析】本题考查线段长短比较的叠合法．通过将线段与一端重合，观察另一端的位置判断长短． 【详解】 将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上， 点位于点和点之间， ． 选项A观察可能不准确；选项B量得、，表明；选项D点在延长线上，表明．故只有C能说明比短． 故选：C． 38．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）图①中的黑色实线是弯的吗？ （2）图②中线段m和线段n的长度相等吗？ 【答案】（1）通过直尺验证，图①中的黑色实线是直的． （2）通过测量，图②中线段m与线段n的长度相等． 【分析】本题考查了线段的认识及线段长短的比较，注意刻度尺的使用． （1）用直尺验证即可； （2）用直尺直接量出两线段的长度，比较即可． 【详解】解：（1）通过直尺验证，图①中的黑色实线是直的； （2）通过测量，图②中线段m与线段n的长度相等． 39．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的数学，估计的知识，解题的关键是要联系生活实际．结合题意，并联系生活实际逐项判断，即可解题． 【详解】解：A.一支水笔的长度约1拃，估计正确，符合题意；     B. 课桌的高度约2拃，估计错误，不符合题意； C. 黑板的长度约3拃，估计错误，不符合题意；     D. 试卷的宽度约6拃，估计错误，不符合题意； 故选：A． 40．（24-25七年级上·山东青岛·月考）问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30 【分析】本题主要考查了单循环球赛赛制场次计算．熟练掌握计算原理和方法，建立数学模型，是解题的关键． （2）6支足球队进行单循环比赛，共要安排15场比赛； （3）n支足球队进行单循环比赛，共要安排场比赛； （4）46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手1035次； （5）6个车站，在这段线路上往返行车，要准备车票30种． 【详解】（2）6支足球队，任何一支球队都要分别与其他5支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：15； （3）n支足球队，任何一支球队都要分别与其他支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：； （4）46位新同学，任何一位同学都要分别与其他45位同学相互握一次手，全班同学总共握手次； 故答案为：1035； （5）6个车站，任何一个车站都要分别与其他5个车站准备车票，且往返车票种类不同，要准备车票的种数共种． 故答案为：30． 题型十一 线段的和差计算 41．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知线段，点C在直线上，且，则 ． 【答案】4或20 【分析】本题主要考查了线段的和与差以及分类讨论的思想解决数学问题，运用数形结合，列出方程是解题的关键．点C在直线上，需分两种情况讨论：当点C在线段上时，根据线段和差关系求解；当点C在线段的延长线上（B点右侧）时，根据线段和差关系求解，点C在A点左侧的情况不存在，因为会导致负距离，由此求解即可． 【详解】设，， 当点C在线段上时，， 已知，则， 解得， 因此， 当点C在线段的延长线上（B点右侧）时，， 又，故， 解得， 因此， 综上，的长为4或20． 故答案为：4或20． 42．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，已知点C是线段上一点，，，分别是，的中点，，，求线段的长． 【答案】3 【分析】本题主要考查了线段的和差关系， 先根据线段中点的定义计算得出，进而求出，再根据线段中点的有关计算得出，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：是的中点， ， 又， ， 是的中点， ， ． 43．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点C在线段上，，．点P以的速度从点A沿线段向点B运动；同时点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，当点P运动到点B时，点P、Q都停止运动．设点P运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点C为中点时，求t的值； (4)若点D是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)， 【分析】（1）求出当时，， ，然后列式求解即可； （2）首先求出点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为，然后分两种情况列式即可； （3）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论，分别表示出求解即可． 【详解】（1）当时，， ∴； （2）∵，点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，点P以的速度从点A沿线段向点B运动， ∴点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为 ∴当时， ∴； 当时，； （3）当时，，， ∵点C为中点， ∴，即 解得，（此时点三点重合，舍去）； 当时，，， ∵点C为中点， ∴，即， 解得 综上所述，； （4）当时， ∵点D是线段的中点， ∴ ∴ ∴的长度随t的变化而变化 当时， ∴ ∴，是定值 ∴当时，的长度不变，为3． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键． 44．（25-26七年级上·全国·月考）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧 (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，线段的和差，比较难，需要熟练进行分类讨论． （1）根据，，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，根据中点定义即可求的长； ②分情况讨论，即点在点的左侧或右侧，分别讨论即可解答； （2）根据，，线段在直线上移动，满足关系式，可以设，，用含和的式子表示线段长，从而得出与的等量关系，即可求出的值． 【详解】（1）解：，，， ，， ①如图， 为中点， ， ， ； ②分两种情况：i）当点E在点F的左侧，且E在线段上，如图， ， ， ， ， ； 当点E在点F的左侧，且E在线段上，如图， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，解得，此时，（不合题意舍去） ⅱ）当点E在点F的右侧，如图， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，解得（不合题意舍去） 综上所述，的长为； （2）解：，，满足关系式， Ⅰ、当点在点右侧时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ． Ⅱ、当点在点左侧时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ． 点在点右侧，及点在点右侧， 无解，不符合题意； 当在线段内部时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，不符合题意，舍去． 其他情况不存在，舍去． 故答案为：或． 题型十二 线段作法 45．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段． (1)延长到点C，使． (2)请找出线段的中点O，并求线段的长度． 【答案】(1)见详解 (2)线段的长度为 【分析】本题主要考查画已知线段和中点的计算， （1）延长使得，得到C点即可； （2）首先找到的中点O，利用中点知识计算即可． 【详解】（1）解：延长到点C，使得，如图， （2）解：线段的中点O，如图所示， ∵，， ∴， ∵O是线段的中点， ∴， 即线段的长度为． 46．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知三点、、，请完成作图． (1)画直线、射线； (2)连接，并在延长线上取点，使得；（尺规作图并保留作图痕迹） (3)在（2）条件下，若，，点为的中点，求线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)5.5 【分析】本题考查画直线，射线和线段，与线段中点有关的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据直线和射线的定义，画图即可； （2）以点为圆心，的长为半径画弧交射线于一点，再以该点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，即可； （3）先求出的长，中点求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图直线、射线即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 47．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）观察图中的线段和，你认为哪条线段较长？ （2）用比较线段长短的方法，比较线段和的长短． （3）你的直观判断和（2）中比较的结果一样吗？ 【答案】(1)我认为较长 (2)见解析 (3)不一样 【分析】本题主要考查了作一条线段等于已知线段． (1)通过观察认为； (2)用圆规以点为圆心为半径画弧，恰好经过点，可知； (3)由(1)和(2)可知直观判断与实际比较的结果不一样． 【详解】(1)解：通过观察，我认为； (2)解：如下图所示， 以点为圆心为半径画弧，恰好经过点， ； (3)我的直观判断和(2)中比较的结果不一致． 48．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段a，Q为直线l外一点．请在l上找出所有与点Q的距离等于a的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆与直线的交点问题，解题的关键是利用圆的定义确定点的轨迹，再找与直线的交点． 以点为圆心、线段的长为半径作弧，该弧与直线的交点即为所求点． 【详解】解：以点为圆心，线段的长度为半径作弧；与直线相交于点、． 如图所示，点M、N即为所求． 题型十三 线段中点的有关计算 49．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，已知线段，点M是的中点，点C在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N是的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差． （1）先根据线段的中点定义得到，再由线段的和差得到即可； （2）根据线段的中点得到，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴ ∵， ∴ （2）解：∵N是的中点，， ∴， ∴． 50．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1)8 (2)14 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可； （2）由线段中点的定义得出即可． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∵， ∴． 51．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）已知A，B，C在同一直线上，，D为的中点，，则 ． 【答案】9或 18 【分析】本题考查了线段的中点和两点间的距离的求法，解答关键是通过分类讨论思路画出不同情况的图形． 分别画出当点在点左侧和点在点右侧时的图形，分别利用中点定义、线段之间位置和数量关系计算即可． 【详解】解：当点在点左侧时，如图 ∵为的中点，， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时，如图 ∵为的中点，， ， ， ， ， ； 故答案为：9或 18． 52．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，已知，，，四点在同一线段上，线段． (1)若点是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点满足，，求线段的长度． 【答案】(1)6 (2)2 【分析】本题主要考查线段中点的定义、两点间的距离． （1）由线段中点的定义可得，再由求得，于是； （2）求得，，则． 【详解】（1）解：因为，点是线段的中点， 所以， 又，， 所以， 所以； （2）解：因为，，， 所以，， 所以． 题型十四 两点之间线段最短的运用 53．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①线段就是点与点之间的距离； ②倒数等于本身的数是； ③八棱柱有条棱，个顶点； ④两点之间直线最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查几何概念、倒数、棱柱性质及距离公理，熟记相关的概念和性质，是解题的关键．据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①点与点之间的距离指线段的长度，而非线段本身，说法错误； ②设数为，则，解得，，说法正确； ③八棱柱有条棱，但顶点数为个，非个，说法错误； ④两点之间线段最短，直线是无限延伸的，说法错误． 综上，只有②正确，故正确个数为个． 故选：A． 54．（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列说法正确的是（  ） A．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” B．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 C．画一条直线，使它的长度为 D．射线和射线是同一条射线 【答案】A 【分析】本题考查几何基本概念，包括直线的性质、射线的定义以及公理的应用．选项A正确应用了“两点确定一条直线”的原理；选项B混淆了“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”；选项C错误地认为直线有长度；选项D错误地认为方向相反的射线是同一条射线． 【详解】解：∵两点确定一条直线，选项A中用两个钉子固定木条符合这一原理，∴A正确． ∵选项B中缩短路程是基于“两点之间线段最短”的公理，而非“两点确定一条直线”，∴B错误． ∵直线是无限延伸的，没有固定长度，∴C错误． ∵射线是以A为端点向B方向延伸，射线是以B为端点向A方向延伸，方向相反，不是同一条射线，∴D错误． 故选：A． 55．（2025七年级上·上海·专题练习）如图，已知点，，，，按要求画图． (1)连接，作射线； (2)画点，使的值最小； (3)画点，使点既在直线上，又在直线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画直线、射线，两点之间线段最短； （1）根据题意画射线，即可求解； （2）根据两点之间线段最短，连接交于点，点即为所求； （3）根据题意作直线交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，连接交于点，点即为所求； （3）解：如图，作直线交于点，则点即为所求． 56．（2025七年级上·上海·专题练习）如图，把弯曲的河道改成直道，可以缩短航程，是因为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线 D．两点之间，直线最短 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，根据线段的性质即可求解． 【详解】解：把弯曲的河道改成直道，可以缩短航程，是因为两点之间，线段最短 故选：B． 题型十五 线段等分点的相关计算 57．（12-13七年级上·安徽·期末）如图，已知M是线段的三等分点，E是线段的中点，且线段，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差． 先根据M是线段的三等分点求出，再根据E是线段的中点求出，根据计算即可． 【详解】解：M是线段的三等分点且， ， E是线段的中点， ， （）． 58．（20-21七年级上·江西赣州·期末）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 【答案】8或10 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故答案为：8或10． 59．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【答案】(1)41 (2)49 【分析】本题考查了线段的和差计算及线段上点的位置关系，解题的关键是根据点C的不同位置（线段上或延长线上）确定线段的长度，再结合线段的比例关系求出相关线段长度，进而得到的长.​ （1）当点C在线段上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． （2）当点C在线段的延长线上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 60．（25-26七年级上·江西吉安·期中）【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 【答案】（1）3；（2）或；（3）t为9，，54秒 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）点C是线段的三等分点分两种情况：和进行讨论求解即可； （3）根据题意先确定秒后，点的位置，再分点B是的三等分点和点C在的三等分点进行讨论求解． 【详解】解：（1），， ， 解得， 故答案为：3； （2）点C是线段的三等分点分两种情况： 当；，则， ，解得， 当；，则， ，解得， 综上，或． （3）数轴上点A表示，点B表示10，运动t秒后： 点C的位置：（速度1单位/秒，向右运动）； 点D的位置：（速度2单位/秒，向右运动）， 需分两种情况讨论“一个点是另外两点的三等分点”： 情况1：点B是的三等分点， B在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得． 情况2：点C在的三等分点时 C在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得（舍去）． 所以，t为9，，54秒时，B，C，D中有一个点是另两个点的三等分点． 题型十六 线段动点问题 61．（20-21七年级上·江苏苏州·月考）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】(1)， (2)2.25或2.75秒 (3)9或11秒 (4)图见解析，线段MN的长度不发生变化，其值为10 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点间距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系等，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据点B在点A的左侧，且，可得点B表示的数；根据点P的初始位置及运动速度、方向，可得点P表示的数； （2）分点P、Q相遇之前，相遇之后两种情况，分别列一元一次方程，即可求解； （3）设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：点P、Q相遇之前，相遇之后，分别列方程，即可求解； （4）分两种情况：点P在点A、B两点之间运动，点P运动到点B的左侧，画出图形，根据线段之间的和差关系求解． 【详解】（1）解：数轴上点B表示的数：， 点P表示的数：， 故答案为：，； （2）解：若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 由题意得，解得； ②点P、Q相遇之后， 由题意得，解得． 答：若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2； （3）解：设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 则， 解得：， ②点P、Q相遇之后， 则， 解得：， 答：若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2； （4）解：线段的长度不发生变化，都等于10；理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： ， ②当点P运动到点B的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为10． 62．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 63．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ∴， ， ∴的值不变，故②错误； ， ， 解得：，故③正确； 故选：D． 64．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． （1）非负性求出的值即可； （2）根据题意，得到，进而求解即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （4）先求出的值，进而求出的值，再分两种情况求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 题型十七 最短路径问题 65．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 66．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 【答案】(1) (2)车站应设在村庄的左边或右边处 (3)车站应设在村庄处 【分析】本题考查了两点间的距离、列代数式，理解题意是解答的关键． （1）由题意得，，； （2）让（1）所求得的代数式的值为102，求得x即可； （3）路程和最小，那么x应最小，此时为0，P与C重合． 【详解】（1）解：由题意得，，， 路程之和为； （2）解：根据题意，得：， 解得， ∴车站应设在村庄的左边或右边处； （3）解：当时，最小， ∴车站建在C处路程和最小， ∴车站应设在村庄处． 67．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，平面内有A，B，C，D四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P，要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）①根据射线的定义画图即可； ②根据线段的定义画图即可； ③根据直线的定义画图即可； （2）线段与直线的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图所示，射线即为所求； ②如图所示，线段即为所求； ③如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求． 68．（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 题型十八 角的概念 69．（25-26七年级上·全国·课后作业）图中共有多少个角？请把它们分别表示出来． 【答案】20个，见详解 【分析】此题考查了角的定义，也考查了角的表示，以各顶点为切入点，把角表示出来即可． 【详解】解：图中共有20个角， 它们是∶，，， ，， ， ， ， ， ， ， ，，，，和两个平角及两个平角． 70．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了角的识别，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解答本题的关键． 的角即为平角，要找小于的角，即是找小于平角的角观察图形，分别找出以O为顶点的角有哪些，就可找出所有的角． 【详解】解：小于的角有， ∴有5个， 故选：C． 71．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 72．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． (1)能用一个字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中共有几个小于平角的角？请表示出来． 【答案】(1)， (2)，， (3)有7个：，，，，，，． 【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有2个：； （2）解：以为顶点的角有3个：； （3）解：图中小于平角的角有7个：． 【点睛】本题主要考查了角的概念，熟练掌握是解决本题的关键． 题型十九 角的表示 73．（25-26七年级上·全国·课后作业）请将下列各角用符号表示出来： 【答案】(或)，(或)，(或)， 【分析】本题主要考查角用符号表示，角的表示有：一个大写英文字母；三个大写英文字母；一个阿拉伯数字；一个希腊字母．根据题干选择三个大写英文字母表示即可． 【详解】解：根据题干可知，或() ，或()，或()． 74．（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出下列各图中的角： 【答案】见解析 【分析】本题考查角的表示，根据角的定义及表示方法表示各图中的角即可． 【详解】解：第一个图中的角是，，，； 第二个图中的角是， 第三个图中的角是，，，，，，，，，，，． 75．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请将图形中标有弧线的角表示出来． 【答案】，，，， 【分析】此题考查了角的定义，也考查了角的表示，先找到图中有弧线的角的顶点，再找到角的两边，从而找到角，以各顶点为切入点，把角表示出来即可． 【详解】解：图形中标有弧线的角有，，，，. 76．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【答案】A 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 题型二十 角的分类 77．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角的定义． 两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，因此可能是锐角、直角或钝角． 【详解】解：设两个锐角分别为和，其中，， 则它们的和满足， ∴两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角． 故选：D． 78．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个角中，是直角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察各选项图形，结合直角、平角、锐角、钝角的特征进行判断． 【详解】解：A、图形为平角，不是直角，不符合题意； B、图形为锐角，不是直角，不符合题意； C、图形的角度等于，是直角，符合题意； D、图形为钝角，不是直角，不符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查了直角的定义，解题关键是掌握直角、平角、锐角、钝角的特征，通过图形特征判断角的类型． 79．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】D 【分析】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角． 【详解】周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D． 【点睛】本题考查了角的分类以及周角、平角、直角的度数，掌握周角、平角、直角的度数，计算出各选项角的度数，再根据锐角定义判断是解题的关键． 80．（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①1个周角=2个平角；②1个平角=2个直角；③1个直角=2个锐角；④钝角是大于的角．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题需要根据周角、平角、直角、锐角、钝角的定义，逐一分析每个说法的正确性，从而确定正确说法的个数． 【详解】①周角是，平角是，，所以1个周角=2个平角，该说法正确； ②平角是，直角是，，所以1个平角=2个直角，该说法正确； ③直角是，锐角是大于而小于的角，例如两个的锐角和为，所以1个直角不一定等于2个锐角，该说法错误； ④钝角是大于而小于的角，仅说大于的角不一定是钝角（如平角、周角），该说法错误． 综上，①②说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的分类的定义，掌握根据各类角的度数范围，判断角之间的数量关系及角的类型是解题的关键． 题型二十一 钟表角度问题 81．（25-26七年级上·宁夏银川·月考）每天下午14点20分上课铃都会如约而至，此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查钟面角问题．时针每分钟移动0.5度，分针每分钟移动6度，通过计算时针和分针在2点20分时的位置角度差来求解． 【详解】解：下午14点整时，时针指向2，分针指向12，角度为， 经过20分钟，时针顺时针旋转，分针顺时针旋转， 故此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为：， 故答案为：． 82．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握钟表上每相邻两个数字之间的夹角为是解题的关键．根据钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，题中钟表上为9点30分，时针和分针之间相隔个数字，据此列式解答即可． 【详解】解：∵钟表上12个大格，一圈， ∴每相邻两个数字之间的夹角为， ∵分针每走一圈，时针走一个大格， ∴钟表上9点30分，时针和分针之间相隔个大格， ∴此时分针与时针所成的角的度数为． 故选：B． 83．（25-26七年级上·全国·课后作业）经过，钟表的时针转过的角度是 ，分针转过的角度是 ；经过，分针转过的角度是 ，时针转过的角度是 ． 【答案】 /30度 /360度 /90度 【分析】题目主要考查钟面角的计算，熟练掌握是解题关键． 钟表圆周为，时针12小时转一圈，每小时转；分针60分钟转一圈，每分钟转，根据时间计算对应角度即可． 【详解】解：时针每小时转过的角度为，故1小时时针转； 分针每小时转，故1小时分针转； 分针每分钟转，故15分钟分针转； 时针每分钟转， 故15分钟时针转， 故答案为． 84．（25-26七年级上·全国·课后作业）时钟的时针从某一时刻所在的位置开始，旋转一个直角和一个平角，各需要多长时间？分针走过和，各旋转了多少度？ 【答案】时针旋转一个直角需要180分钟，旋转一个平角需要360分钟；分针走过20分钟旋转120度，走过30分钟旋转180度． 【分析】本题考查时钟指针的旋转角度与时间的关系．时针旋转一圈360度需12小时（720分钟），因此每分钟旋转0.5度；分针旋转一圈360度需60分钟，因此每分钟旋转6度．根据这些速度计算所需时间或角度． 【详解】解： 时针旋转360度需12小时，即720分钟， 时针每分钟旋转， 旋转一个直角需， 旋转一个平角需， 分针旋转360度需60分钟， 分针每分钟旋转， 分针走过20分钟旋转， 分针走过30分钟旋转， 则时针旋转一个直角需要180分钟，旋转一个平角需要360分钟；分针走过20分钟旋转120度，走过30分钟旋转180度． 题型二十二 方向角的表示 85．（2025六年级上·湖南长沙·专题练习）水族馆在大象馆东偏北度方向，大象馆在水族馆的西偏南度方向．( ) 【答案】 【分析】本题主要考查了方向角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据方向的相对性，当观测点互换时，方向相反且角度需相应调整。水族馆在大象馆东偏北度方向，则大象馆应在水族馆的西偏南度方向或南偏西度方向，而非西偏南度方向． 【详解】解：设大象馆为点，水族馆为点， 由题意，水族馆在大象馆东偏北度方向，即从点观测点的方向为东偏北度， 根据方向的相对性，当观测点互换时，方向应相反：东的相反方向为西，北的相反方向为南，且偏角不变， ∴从点观测点的方向应为西偏南度， 或者，等价地，由于西与南之间的夹角为度，西偏南度方向可转换为南偏西度方向（计算：）， 题干中大象馆在水族馆的西偏南度方向即从点观测点的方向为西偏南度， 但根据推导，正确方向应为西偏南度或南偏西度， 西偏南度方向不等于西偏南度方向（角度不同），也不等于南偏西度方向（因为西偏南度对应南偏西度方向）， ∴题干说法错误， 故填：． 86．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】本题考查方向角的有关计算，根据题意，得到小明向左转，即逆时针转，进行求解即可． 【详解】解：由题意，小明向左转，即逆时针转， 故左转后，他面向的是北偏西； 故选：D． 87．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）一架飞机向东偏北方向飞行，接到指令后，改向相反的方向飞行，那么这架飞机向（   ）方向飞行． A．东偏南 B．西偏南 C．西偏北 【答案】B 【分析】本题主要考查方向角的辨别，注意方向的相对性，相反方向即方向角增加，东偏北的相反方向为西偏南． 【详解】解：∵飞机原飞行方向为东偏北， ∴相反方向为原方向旋转， ∵东的相反方向为西，北的相反方向为南， ∴东偏北的相反方向为西偏南． 故选：B． 88．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】A 【分析】本题考查了仰角与方向角；过B作水平方向射线，垂直方向射线，则，；由此可求得，从而可确定点位于点的方向． 【详解】解：过B作水平方向射线，垂直方向射线，则，； 则， ∴点位于点的方向为南偏西方向上． 故选：A． 题型二十三 角度计算问题 89．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)___________°___________＇； (2)___________°； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1)49；54 (2) (3) (4) 【分析】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． （1）将小数度转换为度分； （2）将度分转换为度； （3）进行角度加法，需从秒开始计算，满60进一位； （4）进行角度减法，不够减时需借位． 【详解】（1）解：， 故答案为：49；54． （2）解：， 故答案为：． （3）解： ， ， 故答案为：． （4）解：， 故答案为：． 90．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的和差，熟练掌握角的和差是解题关键． （1）根据，角的和差运算法则计算即可得； （2）根据，角的和差运算法则计算即可得； （3）先计算角的和，再计算角的差即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 91．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 92．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可； （3）根据角的四则运算法则求解即可； （4）根据角的四则运算法则求解即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 题型二十四 方向角计算问题 93．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：表示北偏东方向的一条射线，表示南偏东方向的一条射线， ． 故选：D． 94．（2025七年级上·全国·专题练习）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角以及角的和差，正确理解方向角的概念以及利用角的和差确定出 的构成是解题的关键．利用方向角的定义求解即可． 【详解】解：根据题意如图所示： ， 故选：C． 95．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】本题考查方向角的有关计算，根据题意，得到小明向左转，即逆时针转，进行求解即可． 【详解】解：由题意，小明向左转，即逆时针转， 故左转后，他面向的是北偏西； 故选：D． 96．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏东的方向，同时轮船B在南偏西的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与方向角有关的计算，根据方向角的描述进行求解即可 【详解】解：根据题意可知：，， ∴， ∴ 故选：D 题型二十五 角度换算 97．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了角的运算，角度制，熟练掌握是解题关键．直接把，分别代入和进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ； ． 98．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中） ． 【答案】37.35 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握“”的换算关系是解题的关键． 将分转化为度，利用“”的换算关系，把除以60转化为度，再与相加． 【详解】解：， 故答案为： 99．（25-26七年级上·全国·课后作业）请用度表示下列各角： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角度单位的换算，需要将分和秒转换为度，利用，，，的关系进行除法运算． （1）利用度、分和秒之间的换算计算即可； （2）利用度、分和秒之间的换算计算即可； （3）利用度和分之间的换算计算即可； （4）利用度和秒之间的换算计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵ ，， ∴，， 则． （3）解：∵ ， ∴． （4）解：∵， ∴． 100．（25-26七年级上·全国·课后作业）请用度、分、秒表示下列各角： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查度、分、秒之间的换算．换算规则为：，．对于小数度的部分，乘以60得到分；如果分有小数，再乘以60得到秒． (1) 利用度、分、秒之间的换算规则计算即可； (2) 利用度、分、秒之间的换算规则计算即可； (3) 利用度、分、秒之间的换算规则计算即可； 【详解】（1）解： ∵ ，， ∴ 分部分为，， ∴ 秒部分为， 因此，． （2）解：∵ ，， ∴ 分部分为 ，， ∴ 秒部分为， 因此，． （3）解：∵ ， 且 是整数，没有小数分， ∴ ． 题型二十六 角度大小比较 101．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 【答案】> 【分析】本题主要考查角度制换算和角的大小比较，通过将角度统一单位为度后比较大小。 【详解】∵ = = ， 又∵ ， ∴ ． 102．（25-26七年级上·河北唐山·期中）比较大小： （填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算，关键是掌握度、分、秒相邻单位之间是60进制．将转换为度分形式，再与比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：． 103．（19-20六年级下·黑龙江哈尔滨·期末） 和的大小关系为 ．（填相等或不相等） 【答案】不相等 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的转换关系是解题的关键． 将化成度分秒的形式后，与比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， 和的大小关系为不相等， 故答案为：不相等 104．（20-21七年级上·甘肃天水·期末）已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小比较，度、分、秒的换算．首先根据，将转化为，再比较即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A 题型二十七 角平分线的运用 105．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的和差计算与角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质及角的和差关系是解题的关键． 先求出的度数，再利用角平分线的定义得到的度数，最后通过角的差计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ OD平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 106．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）已知，射线和射线在内部，且，，射线分别平分，，则 【答案】5 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义， 根据已知条件，计算和的度数，再利用角平分线的定义得到和度数，最后求的度数． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵，平分， ∴． ∴． 故答案为：5． 107．（2025七年级上·上海·专题练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，与互余，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，则的度数为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查余角的定义、角平分线的定义、角的和差计算，掌握互余的概念，角平分线的定义是关键． （1）根据互余得到，由角的和差即可求解； （2）根据题意得到，由角平分线的定义即可求解； （3）设，则，，所以，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵是的平分线， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 108．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为 ； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)6秒或秒或13秒 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据求解即可得； （3）先求出，再分三种情况：①当是的角平分线时，②当是的角平分线时，③当是的角平分线时，利用的度数除以旋转速度即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵在射线上，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∵三角尺在的内部，， ∴． （3）解：∵平分，， ∴， 由题意可知，当到达处停止旋转时，运动时间为秒， ∴． 分以下三种情况： ①当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ②当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ③当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； 综上，的值为6秒或秒或13秒． 故答案为：6秒或秒或13秒． 题型二十八 角等分线的运用 109．（22-23七年级上·山西太原·期末）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 110．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 111．（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 【答案】（1）7；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：（1），， ， 点，分别是和的中点， ，， ， 故答案为：7； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ． 故答案为：； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：80． 112．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 题型二十九 余角和补角的计算 113．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，根据余角定义求出这个角的度数，再根据补角定义求出补角． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数是， ∴这个角的补角度数是． 故选：C． 114．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是直线，O是上一点，，，平分．图中与互余的角有哪些，与互补的角有哪些?为什么? 【答案】与互余的角有；与互补的角 【分析】本题考查了互余和互补的定义，角平分线的定义，解题的关键是正确“相加等于90度的两个角互余，相加等于180度的两个角互补”． 由得到，以及角平分线得到，即可得到与互余的角；由，，且，即可得到与互补的角． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互余， ∵平分， ∴， ∴与互余； ∵，，且， ∴与互补的角． 115．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）如图（），和都是直角，请指出和之间的数量关系，并说明理由． （2）当绕点按顺时针方向旋转到图（）所示的位置时，上述结论还成立吗?请说明理由． 【答案】（）与互补，理由见解析；（）仍然成立，理由见解析． 【分析】本题考查了角度和差，互补定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由和都是直角，得，则，，所以，从而求解； （）由和都是直角，由，则，从而求解． 【详解】解：（）与互补，理由如下： ∵和都是直角， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （）仍然成立，理由如下， ∵和都是直角， ∴， ∵， ∴， ∴与互补． 116．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点O在直线上，是的平分线，是的平分线，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算问题，涉及平角的定义、角平分线的定义，解题的关键是熟知平角及角平分线的定义并掌握角度的运算法则． 先根据角平分线的定义及平角的定义求出，再由与互余即可解答． 【详解】解：是的平分线，是的平分线， ， ， ， 即； ， ， ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列几何体中，属于锥体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球体，注意球和圆的区别，球是立体图形，圆是平面图形．利用锥体的意义，直接选择答案即可． 【详解】解：①是圆锥，属于锥体，符合题意， ②是三棱锥，属于锥体，符合题意， ③是四棱柱，属于柱体，不符合题意， ④是球体，不符合题意， ⑤是圆柱，属于柱体，不符合题意， ∴属于锥体的有①②，共个． 故选：B． 2．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，图中能用一个大写字母表示的角有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，用一个大写字母表示，这种表示方法表示角时，这个字母即为这个角的顶点，但要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时,不能用一个大写字母，据此作答即可． 【详解】图中能用一个大写字母表示的角有，共2个， 故选：B． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了补角的概念及计算，掌握补角的概念和计算方法是关键． 补角是指如果两个角的和是，那么这两个角叫互为补角，由此即可求解． 【详解】解：若，则的补角， 故选：D ． 4．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）尺规作图：作，如图，下列作图过程中，错误的是（    ）    A．作射线 B．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点 C．以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点 D．以点为圆心，以任意长为半径作弧，与已知的弧交于点 【答案】D 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作法即可判断求解，掌握基本作图方法是解题的关键． 【详解】解：选项错误，应该以点为圆心，以的长为半径作弧，与已知的弧交于点， 故选：． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：A． 6．（25-26七年级上·辽宁阜新·期中）如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义．直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线，射线，线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A． 射线和射线不是同一条射线，原说法错误； B． 直线和直线是同一条直线，原说法正确； C． 线段和线段是同一条线段，原说法正确； D． 图中以点A为端点的射线有两条，原说法正确； 故选：A． 7．（21-22七年级上·河南南阳·期末）如图，点B，O，D在同一条直线上，若∠AOC＝90°，∠2＝115°， 则∠1的度数为(   ) A．15° B．25° C．26° D．65° 【答案】B 【分析】先计算∠2的补角，再利用余角定义解得∠1的度数． 【详解】解：由题意得，∠2＝115°， ∠BOC＝180°-115°=65°， ∠1=90°-65°=25° 故选：B． 【点睛】本题考查余角、补角，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 8．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，将一副三角尺按不同方式摆放，其中与一定互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角，补角及平角的定义．根据同角的余角相等，平角的定义和三角板的度数对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、根据等角的余角相等可得，但与不一定互余，故本选项不符合题意； B、由图知，即与一定互余，故本选项符合题意； C、由图知，与不互余，故本选项不符合题意； D、由图知，与互补，故本选项不符合题意； 故选：B． 9．（20-21六年级下·山东济南·期末）已知A，B，C三点共线，线段，，点M，N分别是线段AB，BC的中点，则MN的长为（　　） A．16cm B．16cm或4cm C．4cm D．6cm或12cm 【答案】B 【分析】分情况讨论，当点C在线段AB的延长线上时，进行计算即可得，当点C在线段AB上时，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，当点C在线段AB的延长线上时， ∵，， ∴cm，cm， ∴（cm）， 如图所示，当点C在线段AB上时， ∵，， ∴cm，cm， ∴（cm）， ∴（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的表示线段的和差倍分，并分情况讨论． 10．（21-22七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图所示，点M，N是线段AB上的两个点，且M是AB的中点，N是MB的中点，若AB＝a，NB＝b，下列结论：①AM＝a②AN＝a﹣b③MN＝a﹣b④MN＝a．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据线段的中点定义可得AM＝MB＝AB，BN＝NM＝BM，再根据线段之间的和差关系列出等式即可． 【详解】解：∵M是线段AB的中点， ∴AM＝MB＝AB＝a，故①正确； AN＝AB﹣BN＝a﹣b，故②正确； MN＝MB﹣NB＝AB﹣BN＝a﹣b，故③正确； ∵M是线段AB的中点，N是AM的中点， ∴AM＝BM＝AB＝a，MN＝MB＝×a＝a，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查线段中点的有关计算．能结合图形正确分析得出线段之间的和差关系是解题关键． 二、填空题 11．（24-25六年级下·山东淄博·期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的转换以及角的大小比较，掌握这知识点是解本题的关键． 将不同单位表示的角度统一为相同单位后比较大小即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，一艘船在A处遇险，则救生船B在船A的 方向． 【答案】北偏东（答案不唯一） 【分析】本题主要考查方位角，熟练掌握方位角是解题的关键；因此此题可根据图形直接进行求解即可． 【详解】解：由图可知：救生船B在船A的北偏东方向或东偏北方向； 故答案为：北偏东． 13．（24-25六年级上·山东青岛·阶段练习）如图是三种几何体的表面展开图，则该三种几何体由左到右分别是 ． 【答案】圆锥、圆柱、三棱柱 【分析】本题考查了立体图形的展开与折叠，圆是圆锥的底面，半圆是圆锥的侧面；两个圆是圆柱的两个底面，长方形是圆柱的侧面；两个三角形是三棱柱的两个底面，三个长方形是三棱柱的侧面． 【详解】图中三种图形由左到右分别是圆锥、圆柱、三棱柱的表面展开图， 故答案为：圆锥、圆柱、三棱柱． 14．（22-23七年级上·江西赣州·期末）已知，是的平分线，，是的平分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，先根据角平分线的定义得出，，再分当在内部时，当在外部时两种情况，结合角平分线定义及各角之间的数量关系得出答案，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：当在内部时，如图， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， 当在外部时，如图， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：或． 三、解答题 15．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请将图形中标有弧线的角表示出来． 【答案】，，，， 【分析】此题考查了角的定义，也考查了角的表示，先找到图中有弧线的角的顶点，再找到角的两边，从而找到角，以各顶点为切入点，把角表示出来即可． 【详解】解：图形中标有弧线的角有，，，，. 17．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，把一根绳子对折成线段AB，从P处把绳子剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，求绳子的原长． 【答案】或 【分析】根据题意得知AP与PB的关系，再确定剪断后的各段绳子中最长的一段，然后代入数值即可． 【详解】解：本题有两种情形： （1）当点A是绳子的对折点时，将绳子展开如图1． 图1 ，剪断后的各段绳子中最长的一段为，则，即，，绳子的原长（）； （2）当点B是绳子的对折点时，将绳子展开如图2． 图2 则，剪断后的各段绳子中最长的一段为，，即，．绳子的原长（）． 综上，绳子的原长为或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，体现了思维的严密性，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个 体，用数学知识可解释为“__________”． （2）如图，找出给定三角形绕直线旋转一周后形成的对应几何体．并把它们用线连接． 【答案】（1）球；面动成体；（2）见解析 【分析】本题考查了点、线、面、体，难度不大，学生应注意培养空间想象能力． （1）根据面动成体这个知识点解答即可； （2）根据三角形绕直线旋转的性质，找出对应的几何体并进行连线即可． 【详解】解：（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个球体，用数学知识可解释为“面动成体”； 故答案为：球；面动成体. （2）如图： 19．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求完成下列问题．（注：此题作图不要求写出画法，请用直尺，2B铅笔作图） (1)作直线； (2)分别连接、； (3)用适当的语句表示点与直线的位置关系：______； (4)判断线段与的数量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点在直线外 (4) 【分析】本题考查了直线，线段的画法，点和直线的位置关系，两点之间，线段最短等知识 （1）根据直线的画法画图即可； （2）根据线段的画法画图即可； （3）根据点和直线的位置关系回答即可； （4）根据两点之间，线段最短进行求解即可； 【详解】（1）如图所示，直线即为所求； （2）如图所示，线段、即为所求； （3）由图可得，点在直线外． 故答案为：点在直线外． （4）根据两点之间，线段最短，可知： 20．（21-22六年级上·山东泰安·阶段练习）观察表中的几何体，解答下列问题： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 18 面数c 5 6 7 (1)补全表中数据； (2)观察表中的数据，推测n棱柱的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ．（用含n的式子表示） 【答案】(1)8，15，8，见解析 (2)2n，3n，n+2 【分析】（1）根据四棱柱上面4个顶点，下面四个顶点可以知道四棱柱的顶点数；五棱柱上底面5条棱，下底面5条棱，侧棱5条可以知道五棱柱的棱数；根据六棱柱有6个侧面和2个底面知道六棱柱的面数； （2）根据表格推测即可． 【详解】（1）解：∵四棱柱上面4个顶点，下面四个顶点， ∴四棱柱的顶点数是8； ∵五棱柱上底面5条棱，下底面5条棱，侧棱5条， ∴五棱柱的棱数是15； ∵六棱柱有6个侧面和2个底面， ∴六棱柱的面数是8； 故答案为：8；15；8； 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 （2）解：n棱柱的顶点数为2n， 棱数为3n， 面数为n+2， 故答案为：2n；3n；n+2． 【点睛】本题主要考查几何体的初步认识，熟练掌握棱柱的概念是解题的关键． 21．（22-23七年级上·福建南平·期末）如图，直线，相交于点，射线是的平分线，，，求的度数． 【答案】的度数是 【分析】根据平角的概念和性质，可求出，根据角平分线的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵直线，相交于点，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数是． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，理解并掌握平角的定义和性质，角平分线的定义是解题的关键． 22．（25-26八年级上·山东济宁·月考）作图与计算． (1)已知：，（图（1）、图（2））． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在图（2）中过点引射线，且，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，角的计算，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，与角的两边相交于、．以为圆心，以为半径画弧，与角的两边相交于、，然后以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，过、作射线即可得到； （2）分两种情况讨论：①当在内部时，②当在外部时；画出图形，根据角的和差代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示： 就是所求的角． （2）解：分两种情况讨论： 当在内部时，如图， ，， ； 当在外部时，如图， ，， ． 23．（21-22六年级下·山东烟台·期中）如图1，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段是三角板的两条直角边，射线是的平分线． (1)当时，求的度数； (2)当时，则______（用含的式子表示）； (3)当三角板绕点O逆时针旋转到图2位置时，，它条件不变，则______（用含的式子表示） 【答案】(1)60° (2)2α (3)360°-2α 【分析】（1）利用已知求得∠DOE=60°，利用角平分线的性质得到∠AOD=2∠DOE，再利用平角的定义，∠BOD可求； （2）利用（1）中方法可求； （3）利用已知可求∠DOE=α-90°，然后利用（1）中的方法求得∠BOD的度数． 【详解】（1）∵∠COD=90°，∠COE=30°， ∴∠DOE=90°-30°=60°． ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠DOE=2×60°=120°． ∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-120°=60°． （2）∵∠COD=90°，∠COE=α， ∴∠DOE=90°-α． ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠DOE=2×（90°-α）=180°-2α． ∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（180°-2α）=2α． 故答案为：2α． （3）由题意：∠DOE=α-90°． ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠DOE=2α-180°． ∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（2α-180°）=180°-2α+180°=360°-2α． 故答案为：360°-2α． 【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义．正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南郑州·月考）下列图形中不是柱体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的分类，根据柱体可分为圆柱和棱柱，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、图形是圆柱，是柱体，不符合题意； B、图形是正方体，是柱体，不符合题意； C、图形是圆锥，不是柱体，符合题意； D、图形是三棱柱，是柱体，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下午5点整，钟面上时针与分针所成的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查钟面角，根据题中的图示，结合钟面每一个大格对应的角度是，数出此时钟面上时针与分针所成的角包含的大格个数求解即可得到答案，熟记钟面每一个大格的度数是解决问题的关键． 【详解】解：钟面每一个大格对应的角度是， 下午5点整，钟面上时针与分针所成的角的度数是， 故选：A． 3．（24-25六年级下·山东烟台·期末）以学校为观测点，广场在北偏西的方向上，则图中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方位角，根据方位角的定义即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：以学校为观测点，广场在北偏西的方向上的是： 故选：D． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）一副三角板按如图所示的方式摆放，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，能根据题意得出算式是解此题的关键．根据题意得出和，两等式相减，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）如果一个角的补角比这个角的倍大，那么这个角的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的运算，一元一次方程的知识，解题的关键是设这个角的度数为，则其补角为，根据题意，列出方程，解出，再根据余角的定义，进行解答，即可． 【详解】解：设这个角的度数为， ∴其补角为， ∴， 解得：， ∴该角的余角为：． 故选：C． 6．（21-22七年级上·贵州毕节·期末）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法运用的数学知识是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．射线只有一个端点 D．过一点有无数条直线 【答案】A 【分析】两个学生看成点，根据两点确定一条直线的知识解释即可． 【详解】∵两点确定一条直线， ∴选A． 【点睛】本题考查了两点确定一条直线的原理，正确理解原理是解题的关键． 7．（2025九年级下·浙江·学业考试）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点之间线段最短，合情推理，考查学生的计算能力，找到最短路线是解决本题的关键．选择数据较小的路线，确定到达4个村庄的最短路线即可 【详解】解析：最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B，D，然后从D到C， ∴能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是 故选：B 8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，中点的性质，根据图形，找到线段之间的关系，即可求解，根据图形找到线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 故选：． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，若，则下列说法正确的有（   ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．对每个选项逐一分析即可. 【详解】解：在中，，平分，故①说法错误，不符合题意； 在中，，平分，故②④说法错误，不符合题意； 在中，，平分，故③说法正确，符合题意； 在中，，平分，故⑤说法正确，符合题意； 故③⑤说法正确. 故选：． 10．（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解析：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，， ∴，正确，①符合题意； ②，， 当时， 或20； 故②不符合题意； ③， 故正确，③符合题意． 故答案为：B． 二、填空题 11．（21-22七年级上·河南平顶山·阶段练习）用一根钉子钉木条时，木条会来回晃动，用数学知识说明理由： ； 用两根钉子钉木条时，木条会被固定不动，用数学知识说明理由： ； “把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】 过一点有无数条直线 过两点有且只有一条直线 两点之间线段最短 【分析】根据直线和线段的性质进行解答即可． 【详解】解：用一根钉子钉木条时，木条会来回晃动，数学道理：过一点有无数条直线； 用两根钉子钉木条时，木条会被固定不动，数学道理：过两点有且只有一条直线； “把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是： 两点之间线段最短； 故答案为：过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线，两点之间线段最短． 【点睛】本题考查了直线的性质，过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线，两点之间线段最短，解题关键是掌握直线和线段的性质． 12．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知长方形的长为，宽为，记这个长方形绕它的长旋转一周得到的圆柱的侧面积为，这个长方形绕它的宽旋转一周得到的圆柱的侧面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平面图形的旋转体、圆柱的侧面积计算法则，解题关键是熟练掌握圆柱的侧面积计算法则．先根据题意得到旋转得到圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的侧面积计算法则进行计算即可得解． 【详解】解：依题得：长方形绕它的长旋转一周得到的圆柱底面半径为，高为， 则侧面积； 长方形绕它的宽旋转一周得到的圆柱底面半径为，高为， 则侧面积， ． 故答案为：． 13．（2022·河北唐山·一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示． （1）C、D两站的距离为 ；（2）若a＝3，C为AD的中点，b= ． 【答案】 a+3b/3b+a 2 【分析】(1)利用即可求解； （2）先利用求得，再利用C为AD的中点，代入 即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵C为AD的中点， ∴， 即， 当时，则，解得， 故答案为：（1）（2） 【点睛】本题考查了整式的加减，根据图形列出代数式是解题的关键． 14．（24-25六年级下·山东淄博·期中）我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． （1）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角为 ； （2）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是，则这两个角的平分线的夹角度数为 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了新定义，以及角平分线的有关计算，画出图形，分类讨论是解答本题的关键． （1）分的角在的内部和外部两种情况求解即可； （2）分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）如图1， ， 则； 如图2， ， 则； 故答案为：或； （2），分别是，的平分线，， 如图3， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 如图4， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 如图5， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：或． 三、解答题 15．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知，，分别是的平分线，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线的性质．根据题意，需要分两种情况进行讨论，即在内部及在外部． 【详解】解：①当在内部时，如图 分别是的平分线,， , ； ②当在外部时，如图 分别是的平分线,， , ． 综上，的度数为或． 16．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求完成下列问题．（注：此题作图不要求写出画法，请用直尺，2B铅笔作图） (1)作直线； (2)分别连接、； (3)用适当的语句表示点与直线的位置关系：______； (4)判断线段与的数量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点在直线外 (4) 【分析】本题考查了直线，线段的画法，点和直线的位置关系，两点之间，线段最短等知识 （1）根据直线的画法画图即可； （2）根据线段的画法画图即可； （3）根据点和直线的位置关系回答即可； （4）根据两点之间，线段最短进行求解即可； 【详解】（1）如图所示，直线即为所求； （2）如图所示，线段、即为所求； （3）由图可得，点在直线外． 故答案为：点在直线外． （4）根据两点之间，线段最短，可知： 17．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由． 【答案】情景一：原因是两点之间线段最短；情景二：图见解析，理由是两点之间线段最短 【分析】本题考查数学定理的实际应用． 本题两个情景均可用“两点之间线段最短”这一定理解答． 【详解】解：情景一：从教室到图书馆,总有少数同学不走人行道而横穿草坪,根据两点之间线段最短可知可少走几步路. 情景二：连接线段与的交点为P，如下图所示，理由是两点之间线段最短． ． 18．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，线段上两点B、C将分成三部分，M是的中点，若，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握知识点是解题的关键。 先求出,推导出，,再由M是的中点，得到,则，即可解答。 【详解】解：∵线段上两点B、C将分成三部分，， ∴, ∴,, ∴, ∵M是的中点， ∴, ∴. 答：线段的长为1. 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知和． (1)请用直尺和圆规作两个角，使它们分别等于和．（保留作图痕迹） (2)请用两种方法比较这两个角的大小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查作一个角等于已知角和两个角大小比较，解题的关键是熟悉作一个角等于已知角的方法． （1）根据作一个角等于已知角的做法作图即可； （2）用量角器直接测量，或利用作一个角等于已知角的作法比较两个角的大小即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 方法一：由测量法可知∶ ； 方法二：利用作图方法，比较大小； 作，则， 即． 20．（20-21七年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知线段，若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点N以每秒3个单位的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动．E，F分别为和的中点．设运动时间为t． (1)当M，N两点相遇时，求线段的长； (2)当t为何值时，线段的长为线段的； (3)在运动过程中，E，F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段的长．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)EF的长为10 (2)当t＝6时，当EF的长为线段AB的 (3)存在，线段EF＝ 【分析】（1）由E，F分别为AM和BN的中点得EM＝AM，FN＝BN，可证明当点M与点N相遇时，则EF＝AB，因为AB＝20，所以EF＝10； （2）因为点N的速度比点M的速度快，所以点N先到达终点，求出t的取值范围是0≤t≤，再根据EF＝AB＝×20＝5列方程求出t的值并进行检验，得出问题的正确答案； （3）由EF＝20−（t＋t）＝20−t可知，EF的长随t的增大而减小，可见当t取得最大值时，则EF取得最小值，将t＝代入EF＝20−t求出EF的值即可． 【详解】（1）解：∵E，F分别为AM和BN的中点， ∴EM＝AM，FN＝BN， 当M、N两点相遇时，则AM＋BN＝AB＝20，EF＝EM＋EN， ∴EF＝EM＋FN＝（AM＋BN）＝×20＝10， ∴EF的长为10． （2）当点N到达点A时，则3t＝20， 解得t＝， ∴t的取值范围是0≤t≤， ∵AB＝20， ∴AB＝×20＝5， ∵AM＝2t，BN＝3t， ∴AE＝AM＝t，BF＝BN＝t， ∴EF＝20−（t＋t）或EF＝t＋t−20， 当EF的长为线段AB的，即EF＝5时，则20−（t＋t）＝5或t＋t−20＝5， 解得t＝6或t＝10（不符合题意，舍去）， ∴当t＝6时，当EF的长为线段AB的． （3）存在，EF＝． 由（2）得， ∴EF随t的增大而减小， ∴当t＝时，EF的值最小，此时，， ∴当线段EF最短时，则线段EF＝． 【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、线段上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长是解题的关键． 21．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知：如图，．    (1)操作发现：在同一平面内，以点为顶点，为始边画出，使，观察图形后请直接写出的度数为________________． (2)探究延伸：在（1）的条件下画出的平分线的平分线，观察图形后请直接写出的度数为________________． (3)探究拓展：在（1）（2）的条件下，若将“”改为“”，其他条件不变，你能求出的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】(1)图见解析，或 (2)图见解析， (3)能，的度数为，理由见解析 【分析】 分两种情况: 当在内部时,；当在外部时,, 计算可得； 在前两种情况中，分别计算出的度数, 内部时、外部时可得； 在前两种情况中，分别计算出的度数, 内部时、外部时可得. 【详解】（1）有两种情况: 分在的内部和外部.    ①当在内部时,； ②当在外部时,； 故答案为：或 （2）    ①当在内部时, ∵, 由 知, ∵平分,平分， ∴， ∴； ②当在外部时,, ,、 ∵平分,平分, ∴， ∴； 综上,度数为， 故答案为：. （3）能, ①当在内部时, ∵, ∴. ∵分别平分, ，， ∴； ②当在外部时, ∵, ∴. ∵分别平分, ，， ∴. 综上,的度数为. 【点睛】本题主要考查利用角平分线进行角的计算，这里分在角的内部和外部两种情况计算是前提，属中档题. 22．（24-25七年级上·山东青岛·月考）问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30 【分析】本题主要考查了单循环球赛赛制场次计算．熟练掌握计算原理和方法，建立数学模型，是解题的关键． （2）6支足球队进行单循环比赛，共要安排15场比赛； （3）n支足球队进行单循环比赛，共要安排场比赛； （4）46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手1035次； （5）6个车站，在这段线路上往返行车，要准备车票30种． 【详解】（2）6支足球队，任何一支球队都要分别与其他5支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：15； （3）n支足球队，任何一支球队都要分别与其他支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：； （4）46位新同学，任何一位同学都要分别与其他45位同学相互握一次手，全班同学总共握手次； 故答案为：1035； （5）6个车站，任何一个车站都要分别与其他5个车站准备车票，且往返车票种类不同，要准备车票的种数共种． 故答案为：30． 23．（24-25七年级上·四川达州·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、、、、五点在同一直线上，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变， 【分析】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转，掌握图形旋转的特征是解题的关键． （1）利用直角三角形的内角和直接求得； （2）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解； （3）根据图形的旋转，设运动时间为秒，可得，，即可得知是定值． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：不变． 设运动时间为秒，则， ，， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $