精品解析：湖南株洲市炎陵县第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

炎陵县第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试 数 学 试 题 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解各个集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故，故C正确. 故选：C 2. 数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30的第70百分位数是（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30，共有10个数据，可得， 所以数据的第70百分位数是第7个数和第8个数的平均数，即为. 故选：B. 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦函数、指数函数的性质判断存在量词命题、全称题词命题的真假. 【详解】由于，则命题是假命题，是真命题； 命题是真命题，是假命题， 故选：B 4. 在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到该几何体，再根据圆柱和圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】依题意，旋转后所得的几何体的上部分为圆锥，下部分为圆柱内挖去一个与上部分完全相同的圆锥，如下图所示， 在边长为2的菱形ABCD中，， 则圆柱底面圆的半径为，圆锥的高为， 所以一个圆锥的侧面积为，一个圆柱的侧面积为， 所以该几何体的表面积为． 5. 已知角满足，角的终边与角的终边关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得出，根据与的关系得出，最后根据弦化切即可得出答案. 【详解】因为，所以，又角的终边与角的终边关于轴对称， 所以，. 则. 故选：C 6. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 7. 在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的三棱锥的结构特征，将该三棱锥补形为长方体，求出长方体的体对角线即可. 【详解】在三棱锥中，， 三棱锥的相对棱相等，将其置于长方体中，如图： 则，解得， 所以三棱锥的外接球半径为. 故选：C 8. 对任意实数表示不超过的最大整数，如，关于函数，有下列命题：①是奇函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数有两个不同的零点，其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意计算可得，即可得函数周期，则有，即可得其奇偶性及其值域，结合值域即可得零点. 【详解】， 故为周期函数，且周期为， 当时，， 当时，， 即，， 故不是奇函数也不是偶函数，故①、②错误； 结合其周期性可得的值域为，故③正确； 令可得，令可得， 又，，故函数有两个不同的零点，故④正确. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 与垂直的单位向量为 B. 已知在上的投影向量为且，则 C. 若非零向量，满足，则与的夹角是 D. 已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，设所求向量坐标为，由此可得，进一步即可验算；对于B，一方面有，进一步有，由此即可验算；对于C，由已知首先得，进一步，且，由此结合向量夹角的余弦公式即可求解；对于D，可以说明时，与夹角为锐角不成立即可判断. 【详解】对于A，设与垂直的单位向量的坐标为，则，解得或，故A错误； 对于B，因为在上的投影向量为，所以， 又因为，所以，从而，故B正确； 对于C，若非零向量，满足，则， 即有，所以， 又， 所以与的夹角的余弦值为， 则与的夹角是，故C正确； 对于D，当时，与平行，不满足与夹角为锐角， 所以若与夹角为锐角，则的取值范围不包含0，故D错误. 故选：BC. 10. 某中学高一（3）班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示.在班级里随机选一人，事件 “选到男生”， 事件“选到女生”，事件“选到团员”，则（ ） 团员 非团员 合计 男生 15 10 25 女生 12 8 20 合计 27 18 45 A. B. C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，直接用古典概型概率的计算方法计算即可；对于C，说明两事件可能同时发生即可，对于D，根据相互独立事件的定义判断即可． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，事件“选到非团员”，则，故B正确， 对于C，由于存在既是团员也是女生的人，故事件与事件可能同时发生， 从而不是互斥事件，故C错误； 对于D，，， ， 则事件与事件相互独立，故D正确． 11. 已知函数的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（ ） A. 是函数的一个周期 B. C. 不等式的解集为， D. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象所对应的函数是偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，得，由，得，所以再依次判断选项即可． 【详解】对于A，由题意及函数的图象可知，.设函数的最小正周期为， 则阴影部分的面积为，则.因为的最小正周期为， 所以也是的一个周期，故A正确. 对于B，因为，所以.因为，即， 所以.因为， 所以，所以，故B正确. 不等式，即，所以，， 解得，，故C错误. 将的图象向右平移个单位长度后， 所得图象的函数解析式为，为偶函数，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则=________. 【答案】 【解析】 【详解】由题可得：, 所以 13. 如图，为测量武汉防汛纪念碑的高度及取景点与之间的距离（在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点，且三点共线），华中师大一附中研究性学习小组同学在三点处测得顶点的仰角分别为，若米，则纪念碑的高度为______米，取景点与之间的距离为______米． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据题意可知，再由边角关系可求得AB；求出CB和FB在中由余弦定理即可求解. 【详解】解：由题可知等腰三角形，故, 中，， 故纪念碑的高度为米； 中，， ， 又，由余弦定理可得： ， 解得：， 故取景点与之间的距离为米. 故答案为：；. 14. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，若在四棱锥内挖掉一个体积最大的圆柱，则剩余几何体的表面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】首先将挖掉的圆柱放在一个正四棱柱里面，根据体积公式列出圆柱体积的表达式，利用导数工具判断体积最大值时圆柱的高和底面半径，最后求出剩下几何体的表面积即可. 【详解】如图，在四棱锥内作出正四棱柱， 其中点，，，，，分别在棱，，，，，上， 则要使挖掉的圆柱体积最大， 则需其底面圆为正四棱柱底面的内切圆， 连接，设挖掉的圆柱的底面圆半径为，高为， 则，．连接， 易知点在上、在平面内， 易知，则，即，即， 故挖掉的圆柱的体积，． 则， 当时，，当时，， 所以当时，挖掉的圆柱体积最大，此时， 故剩余几何体的表面积等于四棱锥的表面积与圆柱的侧面积之和， 即剩余几何体的表面积． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查圆柱的体积、几何体表面积的求解，考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．试题以考生比较熟悉的几何体为载体，需要借助图形建立数量关系，对考生思维的灵活性要求较高，考查的学科素养是理性思维、数学探索、数学应用． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数.为虚数单位. （1）若为实数，求的值； （2）若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】（1）  （2） 【解析】 【分析】（1）将复数除法化简为代数形式，根据实数的虚部为0列方程求解； （2）先计算复数乘法得到的代数形式，再根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解范围. 【小问1详解】 已知，故， 由题知为实数，故虚部， 解得. 【小问2详解】 易知  ， 由题知在复平面上对应的点在第二象限，故  ， 解得， 即的取值范围为. 16. 某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定、、、、共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分.等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的化学成绩中随机抽取名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中的值；并估计这名学生原始成绩的平均分； （2）现用分层随机抽样的方法，从这名学生的原始成绩在区间，，的学生中抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求这人原始成绩均在的概率； （3）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（结果保留整数）. 【答案】（1） ，平均分为分 （2） （3） 分 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求解，利用组中值乘以对应频率求和计算平均数； （2）根据分层抽样比例确定各区间抽取人数，利用古典概型概率公式求解； （3）根据等级及以上的占比确定原始分排名的百分位数，结合直方图计算具体分数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为， 则， 解得， 即， 所以， 这名学生原始成绩的平均分为： 分.  【小问2详解】 原始成绩在区间，，的频率分别为： ，，， 对应的人数分别为人，人，人， 采用分层随机抽样抽取人，抽样比为. 则在区间，，中抽取的人数分别为人，人，人， 记抽取的人中，成绩在的人为，其余人为. 从人中随机抽取人， 总的基本事件数为， 设“这人原始成绩均在”为事件， 则事件包含的基本事件数为. 所以， 【小问3详解】 由题意可知，等级及以上（含等级）的排名占比为， 即需要估计原始分的前的分数线， 由直方图可知，成绩在的频率为，成绩在的频率为， 因为，所以等级及以上的原始分分数线位于区间内， 设原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上， 则， 解得， 所以， 因为结果保留整数，且分数需不少于该值， 所以估计该校本次化学成绩原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上. 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）由正弦定理得，结合求出，再由三角形的面积公式可得答案. 【小问1详解】 由， ， 由，； 【小问2详解】 ，由正弦定理得①， 又②， 联立①②解得，， ． 18. 如图，在三棱柱中，，为中点，侧面为矩形． （1）求证：； （2）若，四棱锥的体积为，求侧棱与底面所成角； （3）令，若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）取中点，连接、、， 由题知，，则，又，则， ∵平面，∴平面． ∵平面．∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再应用线面垂直的性质得出线线垂直即可； （2）应用线面角定义得出即为侧棱与底面所成角，再应用等体积得出，即可求出角的值； （3）应用二面角定义结合面面垂直的性质定理得出即为二面角的平面角，再结合正切函数的值域计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，为中点，∴， ∵，∴点到三顶点距离相等，∴点在底面的射影为的外心． ∵为直角三角形，为斜边中点， ∴平面，∴即为侧棱与底面所成角， 又∵，∴ 由， ∴，又∵，∴． ∴侧棱与底面所成角为． 【小问3详解】 由（1）知平面．平面， ∴平面平面． ∵平面平面， 过作于，则平面，平面， 过作于，连接， 则即为二面角的平面角． ∵， ∴，，中，，得． ∴． ∵，∴，∴． ∴二面角的正弦值的取值范围． 19. 某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异.通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数.对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）.小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数. （1）设函数，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）试判断在上的凹凸性，并说明理由； （3）设，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 因为，， 所以，故判断在上为凹函数， 证明如下： ，可知， 则 ， 所以在上为凹函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）结合单调性化简不等式得，由条件可得，由此确定结论； （2）判断函数的凹凸性，结合凹函数的定义证明结论； （3）结合（2）判断为凹函数，结合琴生不等式求的最值. 【小问1详解】 已知，所以在上单调递增. 要使不等式恒成立，即不等式恒成立， 即， 所以，即. ①当时，因为，所以，所以； ②当时，，又，所以，则，所以. 综上，实数的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令. 由（2）可知在上为凹函数， 所以在上为凹函数. 由， 得. 由琴生不等式可得， 即， 可得，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 炎陵县第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试 数 学 试 题 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30的第70百分位数是（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角满足，角的终边与角的终边关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 对任意实数表示不超过的最大整数，如，关于函数，有下列命题：①是奇函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数有两个不同的零点，其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 与垂直的单位向量为 B. 已知在上的投影向量为且，则 C. 若非零向量，满足，则与的夹角是 D. 已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 10. 某中学高一（3）班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示.在班级里随机选一人，事件 “选到男生”， 事件“选到女生”，事件“选到团员”，则（ ） 团员 非团员 合计 男生 15 10 25 女生 12 8 20 合计 27 18 45 A. B. C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 11. 已知函数的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（ ） A. 是函数的一个周期 B. C. 不等式的解集为， D. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象所对应的函数是偶函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则=________. 13. 如图，为测量武汉防汛纪念碑的高度及取景点与之间的距离（在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点，且三点共线），华中师大一附中研究性学习小组同学在三点处测得顶点的仰角分别为，若米，则纪念碑的高度为______米，取景点与之间的距离为______米． 14. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，若在四棱锥内挖掉一个体积最大的圆柱，则剩余几何体的表面积等于______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数.为虚数单位. （1）若为实数，求的值； （2）若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 16. 某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定、、、、共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分.等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的化学成绩中随机抽取名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中的值；并估计这名学生原始成绩的平均分； （2）现用分层随机抽样的方法，从这名学生的原始成绩在区间，，的学生中抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求这人原始成绩均在的概率； （3）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（结果保留整数）. 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 18. 如图，在三棱柱中，，为中点，侧面为矩形． （1）求证：； （2）若，四棱锥的体积为，求侧棱与底面所成角； （3）令，若，求二面角的正弦值的取值范围． 19. 某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异.通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数.对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）.小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数. （1）设函数，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）试判断在上的凹凸性，并说明理由； （3）设，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $