25.3 第3课时 循环问题、数字问题及其他问题 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程实际应用，核心涵盖循环问题（单/双循环）、数字问题及销售问题，通过排球邀请赛赛程情境导入，衔接方程解法，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点是分层习题设计与模型聚焦，以握手、比赛等实例区分单/双循环公式，训练数字问题代数表达，发展推理意识与模型观念。学生能提升方程建模能力，教师可高效开展分层教学与中考基础巩固。

人教版（新教材）数学九年级上册 第25章 一元二次方程 25.3 第3课时 循环问题、数字问题及其他问题 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/16 人教版数学九年级上册25.3第3课时 循环问题、数字问题及其他问题专项练习 本次专项练习紧扣人教版九年级上册25.3第3课时教学内容，聚焦一元二次方程实际应用中的循环问题、数字问题两大经典模型，同时涵盖握手、比赛、互赠礼物、数位数值变换等常考衍生题型。习题分层递进、贴合教材重难点与中考基础题型，重点训练学生分析循环规律、拆解数位关系、准确建立方程的解题能力，规避循环次数算错、数位表示混淆、重复计数漏检等易错点，配套完整详细解析，适配课后巩固、专项拔高与课堂检测。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 某次聚会多人两两握手，所有人共握手21次，设参加聚会人数为x，列方程正确的是（） A. x(x-1)=21 B. x(x+1)=21 C. $$\frac{1}{2}$$x(x-1)=21 D. $$\frac{1}{2}$$x(x+1)=21 2. 一个两位数，十位数字为3，个位数字为x，该两位数的数值表示为（） A. 3x B. 30+x C. 3+x D. 10x+3 3. 若干球队进行单循环比赛，总比赛场次为15场，则参赛球队数量为（） A. 5支 B. 6支 C. 7支 D. 8支 4. 一个两位数，个位与十位数字之和为8，数字乘积为12，则这个两位数是（） A. 26 B. 62 C. 26或62 D. 35 5. 班级同学互赠贺卡，每两人之间互相赠送一张，共送出90张贺卡，设班级人数为x，方程为（） A. x(x-1)=90 B. $$\frac{1}{2}$$x(x-1)=90 C. x(x+1)=90 D. x²=90 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 单循环问题公式：x个对象两两组合不重复，总组合数为__________。 7. 一个两位数，十位数字为x，个位数字比十位大2，该两位数可表示为__________。 8. 若干人单循环下棋，总场次28场，则参与人数为__________人。 9. 两个连续正整数的乘积为56，则这两个数为__________。 10. 互赠礼物为双向循环问题，x人互赠礼物，总礼物数为__________。 三、解答题（共40分） 11. 某次座谈会参会人员两两握手，统计总握手次数为36次，求参会总人数。（8分） 12. 已知一个两位数，十位数字比个位数字小3，两个数字的乘积比这个两位数小18，求这个两位数。（8分） 13. 校园足球联赛实行单循环赛制，每两队之间只赛一场，已知总比赛场次为45场，求参赛球队总数。（8分） 14. 全班同学互赠书签，每两名同学相互赠送一枚，全班共送出156枚书签，求班级总人数。（16分） 四、拓展提升题（20分） 15. 已知两个连续偶数的积为120，求这两个偶数的和。 16. 一次学术会议结束后，所有参会人员互相交换名片，共交换210张名片，若每人均与其他人交换一次名片，求参会人数。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. C 解析：两两握手无重复，属于单循环问题，总次数公式为$$\frac{1}{2}$$x(x-1)。 2. B 解析：十位数字代表几个十，3个十加个位数字，数值为30+x。 3. B 解析：代入公式$$\frac{1}{2}$$x(x-1)=15，解得x=6，负值舍去。 4. C 解析：设十位为x，个位为8-x，列方程x(8-x)=12，解得x=2或6，对应两位数26、62。 5. A 解析：互赠贺卡为双向行为，甲乙互赠算两张，无需乘二分之一，公式为x(x-1)。 二、填空题 6. $$\frac{1}{2}$$x(x-1) 7. 11x+20 8. 8 9. 7、8 10. x(x-1) 三、解答题 11. 解：设参会人数为x，列方程$$\frac{1}{2}$$x(x-1)=36，整理得x²-x-72=0，解得x₁=9，x₂=-8（舍去）。答：参会总人数为9人。 12. 解：设十位数字为x，个位数字为x+3，两位数为10x+x+3。列方程x(x+3)=(11x+3)-18，整理得x²-8x+15=0，解得x=3或x=5，对应两位数36、58。答：这个两位数为36或58。 13. 解：设参赛球队x支，$$\frac{1}{2}$$x(x-1)=45，整理得x²-x-90=0，解得x₁=10，x₂=-9（舍去）。答：参赛球队共10支。 14. 解：设班级人数为x，互赠书签双向计数，列方程x(x-1)=156，整理得x²-x-156=0，解得x₁=13，x₂=-12（舍去）。答：班级总人数为13人。 四、拓展提升题 15. 解：设较小偶数为x，较大偶数为x+2，列方程x(x+2)=120，解得x₁=10，x₂=-12（舍去）。两数为10、12，和为22。答：两个偶数的和为22。 16. 解：设参会人数为x，交换名片为双向循环，列方程x(x-1)=210，解得x₁=15，x₂=-14（舍去）。答：参会人数为15人。 本次练习重点突破单循环、双向循环、数字数位三大高频模型，核心区分握手、比赛（单向无重复）与赠礼、换名片（双向重复计数）的公式差异，熟练掌握两位数、连续数的代数表示方法。通过专项训练，可彻底厘清循环类问题的计数逻辑，攻克数字类方程建模难点，全面完成一元二次方程实际应用全模块知识覆盖，适配基础巩固与应试提分。（字数：1212） 情境导入 1. 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤. 2. 通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.(重、难点) 学习目标 问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛一场)，受场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 情境导入 探究 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如果有  支球队参赛，那么比赛的总场数为 . 假设这个人算得对，即  支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300， 那么n(n-1)=300. 解方程，得. 由于1 201不是完全平方数，所以  不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 由总场数为n(n-1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，，240，272，306，. 探究新知 球赛类问题的解决策略 类型 等量关系 单循环赛：每两支球队之间比赛一场. 类似的还有握手问题、多边形对角线条数等. m=， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 双循环赛：所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 类似的还有互发微信、车票类型等. m=n(n−1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 探究新知 北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计. (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； 例1 解：(1) 小诚的说法有道理. 理由如下： 设有x人报名参赛，由题意，得 解得 ∵  x1 与 x2 都不是整数，∴ 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理. 探究新知 北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计. (2)赛后经查询，小米的统计正确.因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛. 例1 解：(2) 设原来有  人参加比赛，则 解得x1=9，x2=-6 (不符合题意，舍去). ∴ 原来有 9 人参加比赛. 探究新知 1.[教材变式]某校九年级组织一次篮球比赛， 每两班之间都比赛一场，共进行了55场比赛，则该 校九年级共有班级个数为(　C　) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 C 举一反三 2. 一个两位数的个位数字与十位数字的和为 11，并且个位数字与十位数字的平方和为 85，求这个两位数. 解：设个位数字为x，则十位数字为(11－x). 由题意得x2＋(11－x)2＝85，解得x1＝2，x2＝9.当x ＝2时， 两位数为92，当x＝9时，两位数为29. 答：这个两位数为92或29. 解：设个位数字为 x，则十位数字为 (11－x). 由题意得 x2＋(11－x)2＝85，解得 x1＝2，x2＝9. 当 x＝2 时， 两位数为 92，当 x＝9 时，两位数为29. 答：这个两位数为92或29. 举一反三 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 单件利润 / 元 销售量 / 件 总利润 / 元 降价前 降价后 (方法一：设销售单价降低x元) 分析： 60−x−40 300+20x (60−x−40)(300+20x)=6 080 60-40 300 探究新知 解：方法一（间接设未知数）设商品的销售单价应降低x元， 则商品的销售单价为(60-x)元，销售量为(300+20x)件， 列方程，得(60-x-40)(300+20x)=6 080. 整理，得x2-5x+4=0. 解方程，得x1=1，x2=4， 要使顾客得实惠，取x=4，所以销售单价定为56元， 答：应将销售单价定为56元. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 探究新知 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 单件利润 / 元 销售量 / 件 总利润 / 元 降价前 60−40 300 降价后 (方法二：设销售单价为x元) 分析： x−40 300+20(60−x) (x−40)[300+20(60−x)]=6 080 探究新知 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 解：方法二（直接设未知数）设销售单价为x元. 列方程，得 (x-40)[300+20(60-x)]=6 080. 整理，得 x2-115x+3 304=0. 解方程，得 x1=56，x2=59. 要使顾客得实惠，取x=56. 答：应将销售单价定为56元. 探究新知 3.商场以每件 100 元的价格购进纪念品，以每件 150元的价格出售，平均每天可销售 30 件.经试验发现，纪念品的销售单价每提高 1 元，平均每天的销售量就减少 10 件.若销售这种纪念品每天获得的利润为 520 元，求销售单价.x 解：设销售单价提高x元， 由题意得(150－100＋x)(30－10x)＝520. 化简得x2＋47x－98＝0，即(x－2)(x＋49)＝0. 举一反三 解得x1＝2，x2＝－49(舍去). 故150＋2＝152(元). 解得x1＝2，x2＝－49(舍去). 故150＋2＝152(元). 答：当销售单价为152元时，每天获得的利润为 520元. 3. 商场以每件100元的价格购进纪念品，以每件150元的价格出售，平均每天可销售30件.经试验发现，纪念品的销售单价每提高1元，平均每天的销售量就减少10件.若销售这种纪念品每天获得的利润为520元，求销售单价.即(x－2)(x＋49)＝0. 举一反三 1. 返回 问题：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少个人参加聚会？ 解题方案：设有x个人参加聚会．第1个人分别与其他______个人握手，第2个人分别与其他______个人握手……依次类推，共x个人，如此共握手________次，但此时每两人之间都是按握手两次进行计算的，因此，x个人每两人之间握一次手共握了________次，我们就得到方程：____________． (x－1) (x－1) x(x－1) 考试考法 16 返回 2. 某学校组织女子冰壶比赛，有x支队伍参加了比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则可列方程为______________． 考试考法 返回 3. 某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都比赛一场)，计划安排15场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应该邀请x支球队参加比赛， 依题意，得 x(x－1)＝15， 解得x1＝6，x2＝－5(不符合题意，舍去)． 答：应该邀请6支球队参加比赛． 考试考法 返回 4. 【河北人文信息】[石家庄市城市轨道交通5号线一期工程，全长约19.9 km，站点设置依次为宫北路站－红旗南大街站－红旗桥站－…－谈固北大街站，从宫北路站到谈固北大街站一共需要设计342种往返车票，则这条线路共有站点(　　) A．17个 B．18个 C．19个 D．20个 C 考试考法 为号召学生加强锻炼，某校计划开展足球比赛活动，已知参赛球队进行双循环赛(每两队之间进行两场比赛)，总共进行110场比赛，求有多少支球队参加比赛． 返回 5. 解：设有x支球队参加比赛， 依题意，得x(x－1)＝110， 解得x1＝11，x2＝－10(不符合题意，舍去)． 答：有11支球队参加比赛． 考试考法 【新考向 传统文化】“八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意．”每年中秋节前是购买月饼的高峰期，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，若每盒降价1元，则每天可多售出2盒．设每盒降价x元，则降价后每盒盈利_______元，每天可多售出____盒，每天一共售出_________盒，所以每天可获利________________元，若要每天盈利1 650元，则可列方程为_______________________． 返回 6. (20－x) 2x (100＋2x) (20－x)(100＋2x) (20－x)(100＋2x)＝1 650 考试考法 返回 7. 如图，一艘轮船以10 n mile/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以20 n mile/h的速度由南向北移动，距台风中心10 n mile的圆形区域(包括边界)都属于台风区域．当轮船航行到点A处时，测得台风中心已经移动到位于点A正南方向的点B处，且AB＝50 n mile.若这艘轮船从点A处按原速度继续航行，在途中 是否会遇到台风？请说明理由． 考试考法 解：在途中不会遇到台风．理由如下： 如图，假设途中会遇到台风，设最初遇到台风时轮船从 点A处开始航行了t h，此时轮船位于点C处， 台风中心移动到点E处，连接CE， 则CE＝10 n mile，AC＝10t n mile，AE＝AB－BE＝(50－ 20t)n mile.易知AC2＋AE2＝EC2，∴(10t)2＋(50－20t)2＝102， 整理，得5t2－20t＋24＝0.∵Δ＝(－20)2－4×5×24＝－80<0， ∴方程无实数根，∴轮船在途中不会遇到台风． 返回 考试考法 实际问题与 一元二次方程 球赛问题 销售问题 单循环：m=， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 双循环：m=n(n−1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 课堂小结 谢谢观看 THANKS x(x－1) x(x－1)＝10 x(x－1)＝45 $