第25章 一元二次方程【章末复习】 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根与系数关系及实际应用，通过知识框架图和求解流程图将定义、解法步骤、判别式、模型应用等核心内容串联，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于聚焦循环问题、数字问题等实际模型，设计分层递进练习，如基础题巩固握手问题公式，拓展题提升连续偶数乘积的方程建模能力，培养学生数学抽象和模型意识。配套详细解析和中考考法，助力教师精准教学，学生高效巩固。

人教版（新教材）数学九年级上册 第25章 一元二次方程 章末复习 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/16 人教版数学九年级上册25.3第3课时 循环问题、数字问题及其他问题专项练习 本次专项练习紧扣人教版九年级上册25.3第3课时教学内容，聚焦一元二次方程实际应用中的循环问题、数字问题两大经典模型，同时涵盖握手、比赛、互赠礼物、数位数值变换等常考衍生题型。习题分层递进、贴合教材重难点与中考基础题型，重点训练学生分析循环规律、拆解数位关系、准确建立方程的解题能力，规避循环次数算错、数位表示混淆、重复计数漏检等易错点，配套完整详细解析，适配课后巩固、专项拔高与课堂检测。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 某次聚会多人两两握手，所有人共握手21次，设参加聚会人数为x，列方程正确的是（） A. x(x-1)=21 B. x(x+1)=21 C. $$\frac{1}{2}$$x(x-1)=21 D. $$\frac{1}{2}$$x(x+1)=21 2. 一个两位数，十位数字为3，个位数字为x，该两位数的数值表示为（） A. 3x B. 30+x C. 3+x D. 10x+3 3. 若干球队进行单循环比赛，总比赛场次为15场，则参赛球队数量为（） A. 5支 B. 6支 C. 7支 D. 8支 4. 一个两位数，个位与十位数字之和为8，数字乘积为12，则这个两位数是（） A. 26 B. 62 C. 26或62 D. 35 5. 班级同学互赠贺卡，每两人之间互相赠送一张，共送出90张贺卡，设班级人数为x，方程为（） A. x(x-1)=90 B. $$\frac{1}{2}$$x(x-1)=90 C. x(x+1)=90 D. x²=90 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 单循环问题公式：x个对象两两组合不重复，总组合数为__________。 7. 一个两位数，十位数字为x，个位数字比十位大2，该两位数可表示为__________。 8. 若干人单循环下棋，总场次28场，则参与人数为__________人。 9. 两个连续正整数的乘积为56，则这两个数为__________。 10. 互赠礼物为双向循环问题，x人互赠礼物，总礼物数为__________。 三、解答题（共40分） 11. 某次座谈会参会人员两两握手，统计总握手次数为36次，求参会总人数。（8分） 12. 已知一个两位数，十位数字比个位数字小3，两个数字的乘积比这个两位数小18，求这个两位数。（8分） 13. 校园足球联赛实行单循环赛制，每两队之间只赛一场，已知总比赛场次为45场，求参赛球队总数。（8分） 14. 全班同学互赠书签，每两名同学相互赠送一枚，全班共送出156枚书签，求班级总人数。（16分） 四、拓展提升题（20分） 15. 已知两个连续偶数的积为120，求这两个偶数的和。 16. 一次学术会议结束后，所有参会人员互相交换名片，共交换210张名片，若每人均与其他人交换一次名片，求参会人数。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. C 解析：两两握手无重复，属于单循环问题，总次数公式为$$\frac{1}{2}$$x(x-1)。 2. B 解析：十位数字代表几个十，3个十加个位数字，数值为30+x。 3. B 解析：代入公式$$\frac{1}{2}$$x(x-1)=15，解得x=6，负值舍去。 4. C 解析：设十位为x，个位为8-x，列方程x(8-x)=12，解得x=2或6，对应两位数26、62。 5. A 解析：互赠贺卡为双向行为，甲乙互赠算两张，无需乘二分之一，公式为x(x-1)。 二、填空题 6. $$\frac{1}{2}$$x(x-1) 7. 11x+20 8. 8 9. 7、8 10. x(x-1) 三、解答题 11. 解：设参会人数为x，列方程$$\frac{1}{2}$$x(x-1)=36，整理得x²-x-72=0，解得x₁=9，x₂=-8（舍去）。答：参会总人数为9人。 12. 解：设十位数字为x，个位数字为x+3，两位数为10x+x+3。列方程x(x+3)=(11x+3)-18，整理得x²-8x+15=0，解得x=3或x=5，对应两位数36、58。答：这个两位数为36或58。 13. 解：设参赛球队x支，$$\frac{1}{2}$$x(x-1)=45，整理得x²-x-90=0，解得x₁=10，x₂=-9（舍去）。答：参赛球队共10支。 14. 解：设班级人数为x，互赠书签双向计数，列方程x(x-1)=156，整理得x²-x-156=0，解得x₁=13，x₂=-12（舍去）。答：班级总人数为13人。 四、拓展提升题 15. 解：设较小偶数为x，较大偶数为x+2，列方程x(x+2)=120，解得x₁=10，x₂=-12（舍去）。两数为10、12，和为22。答：两个偶数的和为22。 16. 解：设参会人数为x，交换名片为双向循环，列方程x(x-1)=210，解得x₁=15，x₂=-14（舍去）。答：参会人数为15人。 本次练习重点突破单循环、双向循环、数字数位三大高频模型，核心区分握手、比赛（单向无重复）与赠礼、换名片（双向重复计数）的公式差异，熟练掌握两位数、连续数的代数表示方法。通过专项训练，可彻底厘清循环类问题的计数逻辑，攻克数字类方程建模难点，全面完成一元二次方程实际应用全模块知识覆盖，适配基础巩固与应试提分。（字数：1212） 情境导入 Δ＝b2－4ac 学习目标 实际问题 设未知数，列方程 实际问题的答案 一元二次方程 ax2+bx+c=0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 x= 检验 解方程 降次 配方法 公式法 因式分解法 3 知识点1 一元二次方程的有关概念 一元二次方程定义： 如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)， 二次项：ax2，二次项系数：a. 一次项：bx，一次项系数：b. 常数项：c. 知识点1 一元二次方程的有关概念 一元二次方程的解（根）： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值. 知识点2 解一元二次方程 直接开平方法： 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. 一般地，对于方程 x2=p, (1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1​=，x2​=−​； (2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1​=x2​=0； (3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 配方法： 把方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 二化（二次项系数化为 1）：左、右两边同时除以二次项系数； 三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方； 五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项. 知识点2 解一元二次方程 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2= p的形式. 1.当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根 2.当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根. 3.当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有0，所以方程 无实数根. 知识点2 解一元二次方程 1.一元二次方程的根的判别式 内容 定义 式子 b2−4ac 可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式. 表示 用 “Δ” 表示，即 Δ=b2−4ac. 与根的关系 当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ<0 时，方程无实数根. 一元二次方程的根的判别式： 知识点2 解一元二次方程 一元二次方程的求根公式： 当 Δ≥0 时，方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的实数根可写为x=的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式. 公式法： 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作 公式法. 知识点2 解一元二次方程 因式分解法： 先对方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的左边分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作 因式分解法. 知识点2 解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)移项：将方程的右边化为0； (2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； (3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解. 知识点2 解一元二次方程 一元二次方程根与系数的关系： 一元二次方程 +bx +c=0 的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1+x2 =﹣ ， x1x2 = . 知识点2 解一元二次方程 1. 返回 下列方程一定是一元二次方程的是(　　) A．ax2＋bx＋c＝0 B． ＋x－1＝0 C．2x2－9＝0 D．x2＝(x－1)(x－2) C 考点1　一元二次方程及相关概念 考试考法 14 返回 2. 若关于x的一元二次方程(k－3)x2－5x＋k2－9＝0的一个解为x＝0，则k＝________． －3 考试考法 返回 3. 【新考法 逆向思维法】已知方程x2－6x＋4＝□，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成(x－p)2＝7的形式，则印刷不清楚的数字是(　　) A．6 B．9 C．2 D．－2 C 考点2　一元二次方程的解法 考试考法 返回 4. 如图所示的是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为(　　) C 考试考法 解下列方程： (1)(2x－1)2＝49； 返回 5. 解：直接开平方，得2x－1＝±7. ∴x1＝4，x2＝－3. (2)x2＋2x－1＝0； 解：移项，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2. 考试考法 返回 考试考法 (4)3x(x－1)＝2－2x. 返回 解：移项，得3x(x－1)＋2x－2＝0. 因式分解，得(x－1)(3x＋2)＝0， ∴x－1＝0或3x＋2＝0， ∴x1＝1，x2＝ 考试考法 [北京中考]若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 返回 6. C 考点3　一元二次方程根的判别式 考试考法 返回 7. [广州中考]关于x的方程x2－x＋k2＋2＝0的根的情况为(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 C 考试考法 返回 8. 【新视角 条件开放题】[南通中考]已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：________________. 0(答案不唯一) 考试考法 返回 9. 【新视角 新定义题】[保定高碑店期中]若一个一元二次方程有一个实数根为1，则称该方程为“归一方程”．例如：x2－4x＋3＝0就是“归一方程”． (1)一元二次方程2x2＋x－3＝0________“归一方程”；(填“是”或“不是”) 是 考试考法 24 (2)若关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0为“归一方程”，且方程有两个相等的实数根，求a和c的值． 返回 解：∵ax2－4x＋c＝0为“归一方程”， ∴ax2－4x＋c＝0有一个实数根为1， ∴a－4＋c＝0，∴c＝4－a. ∵方程ax2－4x＋c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(－4)2－4ac＝(－4)2－4a(4－a)＝0，整理， 得a2－4a＋4＝0，即(a－2)2＝0，∴a＝2，∴c＝4－2＝2. 考试考法 返回 10. [乐山中考]若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x12x2＋x1x22的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 C 考点4　一元二次方程的根与系数的关系 考试考法 26 返回 11. 若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(　　) C 考试考法 27 返回 12. 若a≠b，且a2－4a＋1＝0，b2－4b＋1＝0，则(1)a＋b的值为________； 4 1 考试考法 28 13. 毕业前夕，班主任王老师让每一名同学给班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是(　　) A．40 B．30 C．29 D．39 B 返回 考点5　一元二次方程的实际应用 考试考法 14. [威海中考]如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的棱长为________cm. 返回 考试考法 15. 某超市购进甲、乙两种商品，2024年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2026年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； 返回 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意，得125(1－x)2＝80， 解得x＝0.2＝20%或x＝1.8(舍去)． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. 考试考法 返回 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100－m)件， 由题意，得(125－25×2)m＋80(100－m)≤7 800， ∴75m＋8 000－80m≤7 800， 解得m≥40. 答：最少购进40件甲种商品． (2)2026年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 考试考法 谢谢观看 THANKS － ②x＝(b2－4ac≥0)　 A．＋1 B．－＋1 C．＋1或－＋1 D．无法确定 开平方，得x＋1＝±， ∴x1＝－1＋，x2＝－1－. (3)x2－x－＝0； 解：∵a＝1，b＝－，c＝－， ∴Δ＝(－)2－4×1×＝4>0， ∴x＝，即x1＝，x2＝. －. A. B．2 C． D．2 (2)＋的值为________． $