第25章　一元二次方程【章末复习】（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的核心知识，通过知识结构图构建“实际问题→设未知数列方程→一元二次方程→解法→根→实际问题答案”的完整逻辑链，分知识点细化定义、解法、判别式、韦达定理及应用，帮助学生建立知识网络。 其亮点在于采用分层练习设计，从基础选择填空到综合解答题，结合中考真题，如通过销售问题应用题培养模型意识，判别式和韦达定理练习发展推理能力，不同水平学生可针对性提升，助力教师精准把握学情，高效开展复习教学。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 章末复习 第25章　一元二次方程 人教版九年级上册第21章一元二次方程同步练习题 先说明：人教版九年级上册是第 21 章 一元二次方程（非 25 章）；下面按基础→解法→判别式→韦达定理→应用题分层出题，约 800 字、适配教材同步练习。 第 21 章 一元二次方程 同步练习题 一、选择题（每题 3 分，共 15 分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. $$x+2y=1$$ B. $$x^2-2x+3=0$$ C. $$x^2+\frac{1}{x}=4$$ D. $$2x-1=0$$ 2. 方程$$3x^2-5x+1=0$$化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. $$3,-5,1$$ B. $$3,5,1$$ C. $$3,-5,-1$$ D. $$-3,5,1$$ 3. 一元二次方程$$x^2-4x+4=0$$的根的情况是（ ） A. 两个不等实根 B. 两个相等实根 C. 无实根 D. 无法确定 4. 用配方法解方程$$x^2+6x-5=0$$，配方正确的是（ ） A. $$(x+3)^2=14$$ B. $$(x-3)^2=14$$ C. $$(x+3)^2=4$$ D. $$(x-3)^2=4$$ 5. 若$$x_1,x_2$$是方程$$x^2-3x-2=0$$的两根，则$$x_1+x_2=$$（ ） A. $$-3$$ B. $$3$$ C. $$-2$$ D. $$2$$ 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1. 方程$$x^2-9=0$$的解为\\\\\\\\。 2. 若关于$$x$$的方程$$(m-2)x^{|m|}+3x-1=0$$是一元二次方程，则$$m=$$\\\\\\\\。 3. 一元二次方程$$2x^2-4x+1=0$$的判别式$$\Delta=$$\\\\\\\\。 4. 已知方程$$x^2+kx-6=0$$的一个根为$$2$$，则$$k=$$\\\\\\\\。 5. 若$$x_1,x_2$$是方程$$x^2+2x-3=0$$的两根，则$$x_1x_2=$$\\\\\\\\。 三、解答题（共 50 分） 1. 用合适方法解方程（每题 6 分，共 24 分） (1) $$x^2-4x=0$$（因式分解法） (2) $$2x^2-4x-1=0$$（公式法） (3) $$x^2+2x-2=0$$（配方法） (4) $$(x-3)^2=2(x-3)$$ 2. （8 分）已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2-2x+m-1=0$$有两个实数根，求$$m$$的取值范围。 3. （8 分）已知$$x_1,x_2$$是方程$$x^2-5x+3=0$$的两根，求$$x_1^2+x_2^2$$的值。 4. （10 分）应用题：某商场销售一批衬衫，每件盈利 40 元，每天可售 20 件；每件降价 1 元，日销量多 2 件。要每天盈利 1200 元，且减少库存，每件应降价多少元？ 参考答案（简要） 一、1.B 2.A 3.B 4.A 5.B 二、1.$$x_1=3,x_2=-3$$ 2.$$-2$$ 3.$$8$$ 4.$$1$$ 5.$$-3$$ 三、1.(1)$$x_1=0,x_2=4$$；(2)$$x=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$$；(3)$$x=-1\pm\sqrt{3}$$；(4)$$x_1=3,x_2=5$$ 2.$$m\leq2$$ 3.$$19$$ 4. 降价 20 元 要不要我把这套题整理成可直接打印的 Word 版（含详细步骤解析）？ 本章知识结构图 实际问题 一元二次方程 ax2+bx+c=0 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 x = 实际问题的答案 设未知数，列方程 解方程 降 次 配方法 公式法 因式分解法 复习回顾 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一般形式： ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） a 二次项系数 b 一次项系数 c 常数项 知识点2 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法及适用类型： 解法 适用的方程类型 直接开平方法 x2=p或 (mx+n)2=p (m≠0，p≥0) 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程 公式法 所有的一元二次方程 因式分解法 一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 知识点3 一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. ax2+bx+c=0 (a≠0) b2–4ac>0 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 b2–4ac=0 b2–4ac<0 b2–4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ=b2– 4ac. Δ>0 Δ=0 Δ<0 知识点4 一元二次方程根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 则 x1+x2= – ，x1x2= . 注意事项 （使用前提） 方程先化为一般式，确定 a，b，c . a ≠ 0 b2–4ac ≥ 0 知识点5 一元二次方程的应用 1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系； 2. 设：设未知数； 3. 列：根据等量关系列出方程； 4. 解：解方程； 5. 验：检验解在实际问题中是否有意义； 6. 答：写出实际问题的答案. 一元二次方程几种常见问题： 知识点5 一元二次方程的应用 一元二次方程几种常见问题： 1.数字问题 2.几何图形问题 3.传播问题 4.平均变化率问题 5.循环问题 6.销售问题 复习巩固 1.解下列方程： （1）64x2–1=0； （2）4x2+12x+9=81； 解：移项，得 64x2=1. 直接开平方，得 8x=±1. 所以 x1= ，x2= – . 解：移项，二次项系数化为1，得 x2+3x–18=0. 左边分解因式，得(x+6)(x–3)=0. 于是 x+6=0，或 x–3=0， x1= –6 ，x2= 3. 随堂练习 （3）x2–7x–1=0； （4）2x2+3x=3； 解：因为 a=1，b= – 7，c= – 1. 所以 Δ=b2– 4ac=(–7)2– 4×1× (–1)=53>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= ，x2= . 解：原方程可化为 2x2+3x–3=0， 此时a=2，b=3，c= – 3. 所以 Δ=b2– 4ac=32– 4×2×(–3)= 33>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= ，x2= . 随堂练习 （5）x2–2x+1=25； （6）x(2x–5)=4x–10； 解：移项，得 x2–2x–24=0. 左边分解因式，得(x–6)(x+4)=0. 于是 x–6=0，或 x+4=0， 所以 x1= 6 ，x2= – 4. 解：原方程可化为 (2x–5)(x–2)=0. 于是 2x–5=0，或 x–2=0， 所以 x1= ，x2= 2. 随堂练习 （7）x2+5x+7=3x+11； （6）1–4x+16x2=2–8x . 解：原方程可化为 x2+2x – 4=0. 因为 a=1，b=2，c= – 4. 所以 Δ=b2– 4ac=22– 4×1×(–4) =20>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = = – 1±， 即 x1= –1+，x2= –1 – . 解：原方程可化为 16x2+4x–1=0， 此时a=16，b=4，c= –1. 所以 Δ=b2– 4ac=42– 4×16×(–1)= 80>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= ，x2= . 随堂练习 2. 解决第2页的问题1. 随堂练习 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为(100−2x) cm，宽为(50−2x) cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程 (100−2x)(50−2x)=3600. 整理并化简，得x2−75x+350=0，因式分解，得(x–5)(x–70)=0. 于是x−5=0，或 x–70=0，所以 x1=5，x2=70（舍去）. 答：矩形铁皮各角应切去边长为 5 cm 的正方形铁皮. 图1 图2 3600 cm2 100 cm 50 cm 随堂练习 3.两个数的和为 8，积为 9.75，求这两个数. 解：设其中一个数为 x，则另一个数为 8−x. 根据题意，得x(8−x)=9.75， 整理，得 x2−8x+9.75=0， 解得 x1=6.5，x2=1.5. 当 x=6.5 时，8− x = 1.5； 当 x=1.5 时，8− x = 6.5. 答：这两个数分别是 6.5 和 1.5 . 随堂练习 4.一个菱形的两条对角线的长相差2，其面积为4，求两条对角线的长. 解：设菱形的两条对角线的长分别为 x，x+2， 由菱形的性质，可知 x(x+2)=4. 解方程，得 x1=2，x2= −4（不合题意，舍去）. 答：菱形的两条对角线的长分别为 2，4. 随堂练习 5.求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2–5x–10=0； （2）2x2+7x+1=0； 解：（1）x1+x2 = – (–5) = 5，x1x2 = – 10. （3）3x2–1=2x+5； （4）x(x–1)=3x+7. （2）x1+x2 = – ，x1x2 = . （3）方程化为 3x2–2x–6=0，所以 x1+x2= – =，x1x2 = = –2. （4）方程化为 x2–4x–7=0，所以 x1+x2=4，x1x2 = –7. 随堂练习 6.已知关于 x 的方程 2x2–(4k+1)x+2k2–1=0，当 k 为何值时，方程有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根？ 综合运用 解：由题可知，a=2，b= – (4k+1)，c=2k2–1. 由根的判别式，得Δ=b2–4ac=(4k+1)2–4×2×(2k2–1)=8k+9. 所以，当 8k+9>0，即 k > – 时，方程有两个不相等的实数根； 当 8k+9=0，即 k= – 时，方程有两个相等的实数根； 当 8k+9<0，即 k < – 时，方程没有实数根. 随堂练习 7.一个直角梯形的下底比上底长 2cm，高比上底短 1cm，面积是 8cm2.画出这个梯形. 解：设梯形的上底长为 x cm， 则其下底长为(x+2)cm，高为(x–1)cm. 根据题意，得 [x+(x+2)](x–1)=8， 整理，得 x2=9. 解得x1=3，x2= –3（不合题意，舍去）. 所以 x=3，x+2=5，x–1=2. 画出这个直角梯形如图所示. 随堂练习 8.一个长方体的长与宽的比为 5∶2，高为 5cm，表面积为40cm2.画出这个长方体的展开图. 解：设这个长方体的长为 5x cm，则宽为 2x cm. 根据题意，得2(5x·5+2x·5+5x·2x)=40，整理，得2x2+7x–4=0， 解得 x1= ，x2= –4. 因为长方体的边长不能为负数， 所以 x = –4不合题意，舍去，所以 x = . 所以这个长方体的长为 5x=2.5（cm），宽为 2x=1（cm）. 随堂练习 所以这个长方体的展开图如图所示. （注意：长方体的侧面展开图不唯一，可由题意自行画出） 随堂练习 9.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应邀请 x 个球队参加比赛. 由题意，可知 x(x–1)=15，x2–x–30=0， 解得 x1=6，x2= –5（不合题意，舍去）. 所以 x = 6. 答：应邀请6个球队参加比赛. 随堂练习 10.如图，在一面墙（墙的长度不限）边，怎样用 20m 长的篱笆围成一个面积为 48 m2 的矩形菜园？ 解：设与墙垂直的篱笆长为 x m，则与墙平行的篱笆长为 (20–2x) m. 根据题意，得 x(20–2x)=48， 整理，得 x2–10x+24=0， 解得 x1=6，x2=4，所以 20–2x=8或12. 答：用 20m 长的篱笆围成一个长为 8m，宽为 6m 的矩形或长为 12m，宽为 4m. 随堂练习 11. 某银行经过两次降息，使一年期存款的年利率由1.75% 降至 1.50%.平均每次降息的百分率是多少（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位）？ 解：设平均每次降息的百分率为 x. 根据题意，得 1.75%(1–x)2=1.50%. 整理，得 (1–x)2= ，解得 x1≈0.0742，x2≈1.9258. 因为降息的百分率不能大于1，所以 x≈1.9258不合题意，舍去. 所以 x≈0.0742=7.42%. 答：平均每次降息的百分率约是7.42%. 随堂练习 12. 绿水村 2020 年的人均收入为 18000 元，2022 年的人均收入为 21000 元. 求人均收入的年平均增长率（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位）. 解：设人均收入的年平均增长率为 x. 由题意，可知 18000(1+x)2=21000，解得x=± –1， 所以 x1≈0.0801，x2≈ – 2.1. 又因为 x= – 2.1 不合题意，舍去， 所以 x=8.01%. 答：人均收入的年平均增长率为8.01%. 随堂练习 拓广探索 13.右图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图.其问题如下：今有圭垛一堆，上一束，底宽八束.问共几束？ （1）你能解决这个问题吗？ 解：由题意，得第1行共有1束；前2行共有1+2=3束；前3行共有1+2+3=6束；⋯ 所以前n行共有1+2+3+⋯+(n–2)+(n–1)+n=n(n+1)束. 当n=8时，n(n+1)=36束. 随堂练习 （2）如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第 n 行有 n 束……你能发现从上往下前行的数的和是 300 吗？（提 示：1+2+3+ ⋯ +(n–2)+(n–1)+n=n(n+1).） 解：当 n(n+1)=300时，解得x1=24，x2= –25（不合题意，舍去）. 所以，从上往下数，前24行的束数的和是300. 随堂练习 14. 一个小球以 5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止滚动. （1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？ （2）小球滚动 5m 用了多少秒（结果保留小数点后一位）？ （提示：匀速直线运动中，每个时间段内的平均速度 =（初速度与末速度的算术平均数）与路程 l ，时间 t 的关系为 l=vt.） 随堂练习 解：（1）5÷4=1.25（m/s）. 答：小球的滚动速度平均每秒减少 1.25 m/s. （2）设小球滚动 5 m 用了t s， 则可列方程 ·t =5，解得 t=4±2. 因为 t<4，所以 t=4–2≈1.2. 答：小球滚动 5 m 约用了1.2 s. 随堂练习 一、核心考点巩固 考点1 一元二次方程的有关概念 1.下列方程一定是一元二次方程的是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 30 2.已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二 次方程可能是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 31 3.已知关于的方程的一个根是，则 的值是___. 1 返回 中考考法 32 考点2 一元二次方程的解法 4.已知方程 ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其 配方成 的形式，则印刷不清楚的数字是( ) C A.6 B.9 C.2 D. 返回 中考考法 33 5.解方程： （1） ; 解：直接开平方，得 ， , . 中考考法 34 （2） ; 解：移项，得 ， 配方，得 ， 即 ， 开平方，得 ， ， . 中考考法 35 （3） ； 解：,， , ， ，, . 中考考法 36 （4） . 解：移项，得 ， 因式分解，得 ， 或 , ， . 返回 中考考法 37 考点3 一元二次方程根的判别式 6.已知关于的一元二次方程，其中， 满足 ，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( ) C A.有两个相等的实数根 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 返回 中考考法 38 7.[潍坊中考] 若一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为( ) D A. B.0 C. D.1 返回 中考考法 39 8. 已知关于的一元二次方程 有两个不 相等的实数根.请写出一个满足题意的 的值：_________________. 0（答案不唯一） 返回 中考考法 40 考点4 一元二次方程根与系数的关系 9.[苏州中考] 已知，是关于的一元二次方程 的两 个实数根，其中，则 ____. 返回 中考考法 41 10.已知关于的一元二次方程 有两个不相 等的实数根，，且，则 ___. 3 返回 中考考法 42 11.若一个菱形的两条对角线的长分别是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 ( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 43 12.已知关于的一元二次方程 有实数根. （1）求 的取值范围； 解： 关于的一元二次方程 有实数根， ， . 中考考法 44 （2）设方程的两个实数根分别为，，若 ，求 的值. 解：由根与系数的关系可知， ， ，或 . ， . 返回 中考考法 45 考点5 一元二次方程的应用 13.[重庆中考改编] 某景区2023年接待游客25万人，经过两年加大旅游 开发力度，该景区2025年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待 游客的年平均增长率为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 46 14.如图，某小区要在长为，宽为 的矩形空地上建造一个花坛， 使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小 路的宽为___ . 2 返回 中考考法 47 15.九年级乒乓球赛采用单循环赛制， 以下是小锦和小江对比赛总场数的 统计： （1）小江的说法有道理吗？请说明理由. 解：小江的说法有道理.理由如下： 设参赛者共有名，由题意得 ， 整理得，解得 ，不为整数， 所以方程的解不符合比赛规则，故小江的说法有道理. 中考考法 48 （2）赛后经查询，小锦的统计正确.因为有一人身体不适，参与 场比 赛后中途退赛.则参赛者共有多少名？ 的值为多少？ 中考考法 49 解：设参赛者共有 名， 由题意，得 ， 整理得 ， 解得 ， 所以易得 . 当时，， （负值舍去）. 答：参赛者共有10名， 的值为4. 返回 中考考法 50 $