南昌市第十二中学暑假复习高一升高二北师大版数学必修第二册复习试卷

**基本信息** 北师大数学必修二复习检测卷，19题150分，覆盖复数、三角函数、立体几何等核心知识，通过无人机编队、费马点等创新情境，考查数学眼光、思维与语言，适配暑假复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数坐标、线面关系、圆锥侧面积|基础巩固，梯度合理| |多选题|3/18|三角恒等变换、向量投影、立体几何轨迹|部分得分制，区分度高| |填空题|3/15|扇形面积、三角形面积最值、外接球表面积|小综合，渗透数学思想| |解答题|5/77|复数方程、三角函数化简、费马点应用|结合历史文化与科技情境，考查综合应用能力|

北师大数学必修二复习检测卷 本卷共19题 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题（共40分）(每道题共有4个选项，请在四个选项中选出最佳选项) 1．（本题5分）若复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（本题5分）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则，是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（本题5分）若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知中，假如，则的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数，其部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 8．（本题5分）某次航展中，地面雷达显示：三架无人机A，B，C（A，B，C均视为质点）在同一水平面上，且，，A，B均以的速度沿正东方向匀速直线飞行，B在A的正北方向处，在直线的西侧的C保持的速度紧随其后．忽略其他因素，若要求A，B，C完成一字型编队（A，B，C三点共线），则所需的最短时间为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分，每道题共4个选项，请从中选出多个正确选项，选对部分的得部分分，错选得0分） 9．（本题6分）（多选）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）. A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 11．（本题6分）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若该正方体的顶点都在球的球面上，则球的体积为 B．若∥平面，则点的轨迹长度是 C．若，则点的轨迹长度为 D．过点，，的平面截正方体所得的截面图形的面积为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为_______. 13．（本题5分）已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为______． 14．（本题5分）在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形.若，则三棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题（共77分，请做必要的文字符号或算术说明） 15．（本题13分）已知复数的虚部为，模为，且在复平面内对应的点位于第一象限． (1)求复数． (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 16．（本题15分）已知角为锐角，且满足方程． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 17．（本题15分）如图所示，已知两条异面直线与所成的角等于φ且，，平面与、都平行，且M、N、P、Q依次在线段、、、上．    (1)求证：是平行四边形； (2)当M点在何位置时，的面积最大?最大面积是多少? 18．（本题17分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若点D满足，且，求△ABC面积的最大值． 19．（本题17分）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点．当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：在中，角的对边分别为． (1)若是边长为的正三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)若，且是的费马点． （i）若，求； （ii）在（i）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《北师大数学必修二复习检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C D D B C ABD AB 题号 11 答案 AC 1．D 【难度】0.95 【来源】陕西延安中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题 【知识点】复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先求出复数在复平面内对应点的坐标，再结合象限的坐标特征判断点的位置。 【详解】复数，在复平面内对应点的坐标为， 该点位于第四象限. 2．B 【难度】0.9 【来源】四川省广安加德学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题 【知识点】特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】由题意得. 3．D 【难度】0.85 【来源】江苏省海门中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试卷 【知识点】异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断、判断线面平行、线面垂直证明线线垂直 【详解】对于A，若，，则或与相交或，是异面直线，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，是异面直线，故B错误； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 4．C 【难度】0.85 【来源】湖北省高中名校联盟2027届高三上学期8月联考数学试卷 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【详解】由题意，圆锥的底面半径，设母线长为，则， 所以该圆锥的侧面积为. 5．D 【难度】0.75 【来源】广东省佛山市第一中学2026届高三五月阶段性检测数学试题 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据余弦定理及三角形面积公式即可求解． 【详解】， 因为，所以， 所以． 6．D 【难度】0.75 【来源】上海市莘庄中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】利用函数周期性，图象经过点以及单调性分析求解即可. 【详解】由图象可知，函数的周期，所以符合题意， 又函数经过点，且在该点附近单调递增， 所以由得：，解得：， 又，所以当时，， 所以函数的解析式为. 7．B 【难度】0.42 【来源】第29题 五法破ω取值范围（每日一题）8月刊 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图像的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值． 【详解】因为为的零点，为图象的对称轴， 所以,即，所以,即为正奇数. 因为在上单调，则，即， 解得：，当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 所以当时，单增；当时，单减， 即在不单调，不满足题意； 当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 此时在单调递减，符合题意； 故的最大值为9. 8．C 【难度】0.42 【来源】江西新余市部分校2025-2026学年高一下学期6月训练数学试卷 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】先建立坐标系，用余弦定理求出的边，再用三角形等面积求C横坐标，进而得到C的坐标，接着写出飞行秒后三点坐标，最后利用A，B，C共线的条件即可解出所需的最短时间. 【详解】以无人机A的初始位置为原点，正东为轴正方向，正北为轴正方向，如图: 初始时刻，C在直线（轴）的西侧，故， 已知，在中，由余弦定理： ，代入可得， 又，即， 解得，， 得（两点纵坐标介于0和70之间），即初始， 由A，B速度向东,C速度向东,则： ， A，B横坐标相同，连线是竖直线，由A，B，C三点共线， C横坐标也等于，即， 那么. 9．ABD 【难度】0.82 【来源】假期必刷13三角恒等变换 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【详解】，，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 10．AB 【难度】0.68 【来源】山西大同市实验中学2025-2026学年第二学期高一数学第一次月考试卷 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】先由单位向量的夹角求出 ，再分别利用向量模、投影向量及数量积与夹角的关系判断各选项． 【详解】因为 ， 均为单位向量，且夹角为 ，所以. 对于A，，故 ，A正确； 对于B， 在 方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，， 当 时，， 但当时，，两向量同向共线，夹角为不是锐角，故D错误． 11．AC 【难度】0.4 【来源】河南商丘市商师联盟2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（B版） 【知识点】球的体积的有关计算、证明线面垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】对于A：利用正方体外接球直径为体对角线，套球体体积公式；对于B：面面平行判定找底面内动点轨迹线段，对比长度；对于C：线面垂直推导线线垂直，在底面作垂线求轨迹线段长；对于D：找到截面图形，计算面积验证. 【详解】正方体棱长 ， 分别为 中点。 选项 A ，正方体外接球的直径等于正方体的体对角线长，棱长为 2，面对角线长 ，体对角线长：， 所以外接球半径 ，球体积，A 正确； 选项 B，取 中点 ，连接 ，，则∥，平面，平面， 所以∥平面， ∥，平面，平面，所以∥平面， 因为平面 所以平面 ∥ 平面 ， 点在底面 内，满足 ∥ 平面 的点轨迹是线段 ，，B错误； 选项 C ，取 中点 ，连接，设，在正方体中，平面，平面， 所以 ，在直角中，， 同理，在直角中，，所以， 所以，所以，所以, 因为平面，所以平面 ， 因为平面 ，所以， 若，点是正方形内一动点（含边界）,则点的轨迹为， ，则点的轨迹长为，C 正确； 选项 D， 延长，过点作∥交于，此时, 连接交于，连接, 延长到，使得，连接，则三点共线，连接 ,连接，因为∥，∥，所以∥， 所以过点，，的平面截正方体所得的截面图形为五边形， 因为，所以，同理得， 由面面平行的性质，平面与上下底面的交线互相平行，故∥， 在中，，得 由相似比例可得 ，， 将五边形拆分为梯形和等腰两部分： 梯形的高（两平行线与的距离）： 梯形面积： 底边，底边上的高 三角形面积： 截面面积，D 错误. 12． 【难度】0.92 【来源】江西省赣州市某校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷 【知识点】扇形面积的有关计算 【详解】因为扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为. 13． 【难度】0.65 【来源】福建莆田第四中学2025-2026学年高二上学期返校考试数学试题 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】根据余弦定理求得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】由，，则， 即，又， 又，得. 由正弦定理得， 所以， 故 ， 又，所以， 则，得， 所以，当且仅当时取等号， 又的面积， 所以的面积的最大值为. 14．/ 【难度】0.45 【来源】第1题 空间几何体的外接球的三种解法（每日一题）8月刊 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求二面角 【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心位置，再利用球的截面圆性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】由题意，如图所示，取中点，连接，， 因为与都是边长为的等边三角形，所以，， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以是等边三角形， 所以， 设与的外接圆圆心分别为，， 则，， 同理，， 分别过点，作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球球心一定是两条垂线的交点，记为点， 由对称性，，则， 所以，， 所以三棱锥外接球的表面积为，    15．(1) (2) 【难度】0.86 【来源】福建福州市福清市2025-2026学年第二学期高一期末适应性练习数学试卷 【知识点】由复数模求参数、复数范围内方程的根 【详解】（1）由题意可设， 则，解得． 故． （2）由题意得，， 整理得，， 故， 解得． 16．(1) (2) (3) 【难度】0.83 【来源】河北承德市2025-2026学年高一下学期7月期末巩固训练数学（一） 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【详解】（1）因为为锐角，所以， 所以方程两边同除以， 得，解得或， 由为锐角知. （2）， ， 故. （3）. 17．(1)由平面，平面，平面平面，则， 又平面，平面平面，则，故， 由平面，平面，平面平面，则， 又平面，平面平面，则，故， 所以，，则是平行四边形； (2)当M点位于中点时的面积最大，且为． 【难度】0.62 【来源】第五章 立体几何与空间向量 �5.4 直线、平面平行的判定与性质 【知识点】三角形面积公式及其应用、基本（均值）不等式的应用、平行公理、线面平行的性质 【分析】（1）利用线面平行的性质及平行公理得、，即可证； （2）由（1）及异面直线所成角知，设，根据已知及三角形面积公式有，结合基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）略 （2）由与所成的角等于φ且，，则， 设，则，， 则，， 于是， 其中当且仅当时，达到最大值， 故M点位于中点时，的面积最大，且为. 18．(1) (2) 【难度】0.52 【来源】陕西咸阳市乾县晨光中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用正弦定理，把含角的比式转化为边的关系，再与余弦定理比较，即可求出. （2）由可知，点将边按内分，以点为起点表示，利用 和得到关于的约束，再求乘积的最大值，从而得到△ABC面积的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，则， 因为 ，所以. （2）以点为起点，记，则 且由，有， 因为， 所以， 由，得， 解得， 即，则，即， 当且仅当，即时取等号， 则， 故△ABC面积的最大值为. 19．(1) (2)（i）；（ii）． 【难度】0.42 【来源】四川南充高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用定义求向量的数量积 【分析】（1）由三角形是正三角形得费马点在三角形内且与正三角形的中心重合，进而可得所求距离； （2）（i）由条件及正、余弦定理可得，因而可得费马点在三角形内，设，再由条件及数量积的定义得，再由得所求值；（ii）由（i）及余弦定理得，进而得，再由不等式恒成立得，用基本不等式求得最小值，进而可所求值的范围. 【详解】（1）因为是边长为的正三角形，所以三个内角均小于， 故费马点在三角形内且与正三角形的中心重合， 所以，且， 如图：过作于，则，故 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为 （2）因为，由正弦定理， 得，即， 由余弦定理得，因为，所以． 所以的三个内角都小于 （i）由费马点定义知费马点在三角形内，且， 设， 所以 即，由 得：，整理得， 因此． （ii）由（i）知① 在中，，，由余弦定理，， 即② 分别在中，由余弦定理，， 将三个等式左右分别相加可得：， 将①②代入整理得， 于是， 即， 从而， 依题意，当时，不等式恒成立， 即在上恒成立，因为， 当且仅当时等号成立， 故有，即实数的取值范围为． 答案第2页，共15页 答案第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $