第二章《平面向量》单元测试提升卷-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

平面向量单元测试提升卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.如图，在菱形中， ，则下列说法中错误的是（ ） A. 与相等的向量只有一个不含 B. 与的模相等的向量有9个不含 C. 的模恰为的模的倍 D. 与不共线 2.已知是所在平面内的一个动点，且满足，则射线经过的 （ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 3．向量，，在正方形网格中的位置如图所示.若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4．已知点，，，则向量（ ） A. B. C. D. . 5.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，也是第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6.已知点是内一点，满足，，则实数（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7．已知非零向量，满足，且，则是（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰（非等边）三角形 D. 等边三角形 8.若平面向量，满足，则对于任意实数 ，的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 1 2． 多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与的夹角为 D. 若与垂直，则 10.如图，在平行四边形中，已知，分别是上靠近，的四等分点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11.已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 3． 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.在平行四边形中，是边的中点，与相交于点，若，则的值是________. 13.设，，，若，，三点能构成三角形，则实数的取值范围是________ 14.若，且，则______，的最大值为________. 4. 解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知，，三点的坐标分别为，，，且，. （1） 求点，的坐标； （2） 判断向量与是否共线. 16.在平面直角坐标系中，是坐标原点，向量，，. （1） 若，且，求 的值； （2） 若，的夹角为钝角，求的取值范围. 17. 已知点，，为坐标原点，为轴上一动点. （1） 若，求点的坐标； （2） 当取最小值时，求向量与的夹角 的余弦值. 18.如图，在中，点是边的中点，点是线段上靠近点的三等分点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，其中 ，. （1） 试用与表示，； （2） 求证： 为定值，并求出此定值. 19.在平面直角坐标系中，向量，，，，其中，，. （1） 若，，三点共线，求实数的值； （2） 若四边形为菱形，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量单元测试提升卷（解析版) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=120°，则下列说法中错误的是( A.与AB相等的向量只有一个不含AB飞 B.与AB的模相等的向量有9个不含AB( C.BD的模恰为DA的模的3倍 D.C与DA不共线 【答案】D 【解析】与AB相等的向量只有DC,故A中说法正确；·在菱形 ABCD中，∠DAB=120°，.∠ABC=60°，.AC=AB=BC=CD=DA,每 一条线段可得方向相反的两个向量，它们的模都相等，故与AB的模 相等的向量有5×2-1=9（个），故B中说法正确：计算得D0=DA, .BD=V3DA,即BDV3 VDAV,故C中说法正确：由四边形ABCD 为菱形知CB与DA共线，故D中说法错误.故选D. 2.己知P是△ABC所在平面内的一个动点，且满足AP=λ，则射线AP 经过△ABC的() A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【答案】A 【解析】西，A花分别表示的是恋'A花方向上的单位向量， GABVi GACViG 由向量加法运算法则可知，射线AP在△ABC中∠BAC平分线所在的射 线上，故射线AP经过△ABC的内心. 故选A. 3.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若a=入b+μc(入，μ∈R), 则哈=() A青 B. 1 2 C.2 D.3 【答案】C 【解析】在正方形网格中，设e1,e2分别是方向为水平向右、竖直向 上的单位向量， 则b=e1,c=e1+e2,a=3e1+e2, 所以a=a6+1e-3e+e=2e*lG+e=a+wue吗-3-子： 所以=2 4.已知点A(0,1),B(3,2),AC=(-4,-3),则向量BC=(() A.（-7,-4) B.(7,4) C.（-1,4) D.(1,4) 【答案】A 【解析】设C(x,y),·A(0,1), ∴.AC=(x,y-1)=(-4,-3), 解得之 y=-2, .C(-4,-2),又B(3,2),.BC=(-7,-4). 5.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾 股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出 的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现， 是中国古代数学的图腾，也是第24届国际数学家大会的会徽.如图， 大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的， 若AB=a,AD=b,E为BF的中点，则AF=i() E C B. 4 2 5a+ 306 C. D. 【答案】A 【 解 析 】 示=A8+脏=恋+B就+亦=+而-2应=B+疝-}B+)“亦=}a+b=应=0 故选A. 6.已知点O是△ABC内一点，满足OA+2OB=mOC, S△AOB=4 , 则实数 m=t() A.2 B.-2 C.4 D.-4 【答案】D 【解析】解法一：由oA+2O=m0元，得}oi+号O=O元. 设o元=0D,则}oi+号0i=0市， .A,B,D三点共线，且OC,OD方向相反，如图所示， ∴.ODV -6 CDVi SAAOB=ODV- SAABC v8=m=4,解得m=-4, m-3-76 解法二（奔驰定理）：己知O为△ABC内一点，则有 SAOBCOA+SAOAC0B+SAOABOC=0. 由题目条件整理可得，OA+2OB-mOC=0, 所以SAOAB:SAOAC:SAOBC=-m:2:1, 即SAOAB:S△ABc=-m:(-m+3), 所以n中3号解得m=-4 AB·AC 7.已知非零向量AB,AC满足，且恋vCv=,则△ABC是( A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰（非等边）三角形 D.等边三角形 【答案】D 【解析】由题意d,可得∠BAC的平分线垂直于BC,所以AB=AC,因 为 LABVLAGV&=sE’A花)}且('花∈10，”所以 AB·AC ∠BAC=子，所以△ABC为等边三角形.故选D. 8.若平面向量a,b满足iavivbvia·b=2,则对于任意实数入， a+(1-)bv的最小值是（) A.3 B.3 C.2 D.1 2 【答案】A 【解析】解法一：(a+b):[λa+(1-)b]=6, 设a+b与aa+(1-入)b的夹角为y,则ia+bvV1a+(1-)bVcos y-=6, .Va+bi2=a2+b2+2a.b=12,..VAa+(1-A)bVcosy=3,yEi, .V1a+(1-)bV≥3.故选A. 解法二：i1a+(1-)bVi LVEE iλ☐2a2+21(1-)ab+it 元41☐2-4λ+4 4a-+3≥3，当a=时取得最小值，故选A 二.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分)· 9.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),则() A.若a/元b,则x=-2 B.若x=1,则b-aVi5 C.若x=-1,则a与b的夹角为60°D.若a+2b与a垂直，则x=3 【答案】ABD 【解析】若a/ib,则x-2×(-1)=0,解得x=-2,故选项A正确；若 x=1,则b=(2,1),所以b-a=(2,1)-(1,-1)=(1,2),所以b-aVi5,故 选项B正确；若x=-1,则b=(2,-1),所以ab=(1,-1)(2,-1)=3,且 b)=- a·b iaviV2,ibvi5,所以cos(a, Gavaby=3”,数选顶C昔吴 a+2b=(1,-1)+2(2,x)=(5,2x-1),由a+2b与a垂直，可得 1×5+(-1)×(2x-1)=0,解得x=3,故选项D正确.故选ABD. 10.如图，在平行四边形ABCD中，己知F,E分别是CD上靠近C,D的 四等分点，则下列结论正确的是() A.1 =}恋 B.A亦=-3A恋+D c. 庞-子恋+办 D.驼亦=A-9恋 16 【答案】AD 【解析】对于A,市=D心=AB,正确： 对于B,A=AD+D=AD+3D心=3A恋+A市，错误： 对于C,酝=BC+C应=AD+3CD=-3AB+心，错误； 对于D,亦=(-丽+ǜ)层+本)=亦-，正确。 11.已知向量a,b满足aV1,bVi2,ia+bvi3,则下列结论中正 确的是() A.a.b=-2 B.a⊥(a+b) C.ta-bvi7D.a与b的夹角 为娟 【答案】BC 【解析】Va+b2=a2+2ab+b2=1+2ab+4=3, .a·b=-1,故A中结论错误. .a(a+b)=a2+a…b=1+(-1)=0, ∴.a⊥(a+b),故B中结论正确， ia-bvi√a2-2ab+b2=7,故C中结论正确. b= a.b ..cos(a, iovibvi= a与b的夹角为，故D中结论错误，故选BC, 三.填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.) I2.在平行四边形ABCD中，E是AD边的中点，BE与AC相交于点F, 若萨=mA+n(m,n∈R,则g的值是 【答案】-2 【解析】解法一：根据题意可知△AF一△cB,“熙铝-枚 1 酥-西-西-号西龙号西-号而而，号2 6 解法二：如图所示， AD=2AE,EF=m AB+nAD, .'AF=AE+EF=mAB+(2n+1)AE, F,E,B三点共线，.m+2n+1=1, .m=-2. n 13.设OA=(2,-1),OB=(3,0),OC=(m,3),若A,B,C三点能构成三 角形，则实数m的取值范围是 【答案】(-∞，6)U(6,+∞) 【解析】A,B,C三点能构成三角形， .AB与AC不共线. 又：AB=0B-OA=(1,1), AC=OC-OA=(m-2,4), ∴.1×4-1×(m-2)≠0，解得m≠6， ∴.m的取值范围是(-∞，6)U(6,+∞). 14.若AB·AC=AB=9,且AV元2，则ABVi,C萨·AB的最大值 为 【答案】3；-3 【解析】因为AB=9,所以ABV3. 因 为 CP·AB=(A2-AC)·A=A.AB-AC·AB=A.AB-9=iAPV.VA峦Vcos(A2 AB)-9=6cos(AP,AB)-9≤-3，当(A2,AB=0°，即A2,AB同向时， 等号成立，所以P·AB的最大值为-3. 四.解答题：（本题共5小题，共77分.其中15题13分，16、17 题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) 15.己知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0)，(3，-1)，(1,2)，且 A正=}A花，萨=B心， (1)求点E,F的坐标； (2)判断向量萨与AB是否共线， 【答案】(1)设出点E和点F的坐标，由正=AC得点E的坐标， 同理求得点F的坐标： (2)先求出向量范和萨的坐标，再根据两个向量共线的条件可得 EF/化AB. 【解析】 (1)设E(x1,y),F(x2,y2).依题意得，AC=(2,2),BC=(-2,3).由 +12 1 X1= 花=号花得，x+1,y2,2,· 解得 3 .点E的坐 y13 y3 标为号号由=号胶得，3+1-2,3，k3系解得 2 y2+1=1, 7 x,=3“.点F的坐标为3,0. y2=0, (2)由()可知，成=写0)-号=g,又丽=4,1 “壶=(4,1)=号，“向量亦与B共线。 16.在平面直角坐标系中，0是坐标原点，向量OA=(1,2),O8=(-2,1), OM=(t,3). (1) 若OD=λ(OA+O),且OD(DA+DB)=-10,求1的值； (2) 若BO,OM的夹角为钝角，求t的取值范围. 【解析】 (1) 因为 OA=(1,2), 0B=(-2,1), 所 以 OD=λ(OA+OB)=λ(-1,3)=(-λ，3入)， 由 OD·(DA+DB)=-10得 OD·(oA-oD+08-0ò)=-10， 即 (-1,3)[(1,2)-(-λ，3)+(-2,1-（-λ，3)]=-10， 即 （-,37)(21-1,3-6)=-2λ☐2+1+91-181☐=-10， 整 理 得 (2+1)(2-1)=0,解得入=-或=1. (2)依题意得B0=(2,-1),OM=(t,3),因为B0,OM的夹角为钝角， 所以 0oM=213<0,解得<号，且≠-6，所以的取值范围是 2×3≠(-1)×t, ,-6juf-63》 17.已知点A(2,3),B(6,1),O为坐标原点，P为x轴上一动点 (1)若AP⊥B2,求点P的坐标； (2)当AP·B驴取最小值时，求向量AP与B2的夹角0的余弦值. 【解析】 15.根据题意，设点P(x,0),则A2=(x-2,-3),B2=(x-6,-1. (1)由A2⊥B2,得AP.B2=(x-2(x-6)+(-3)×(-1)=x2-8x+15=0, 解得x=3或x=5,∴.点P的坐标为3,0)或(5,0). (2)由(1)得，A2B驴=x2-8x+15=乙，当x=4时，A2·B2取得最小 值-1，此时2=(2，-3)，B2=(-2,-1),tAv13,B2V5, AP·B ∴.cos0= -1 65, Av元BDv8=13×95-65 I8.如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是线段AD上靠近点A 的三等分点.过点E的直线与边AB,AC分别交于点P,Q.设P=λAP, QC=μA0,其中，μ≥0. B (1)试用AD与BC表示AB,AC; (2)求证：入+μ为定值，并求出此定值. 【解析】 (1) 因为点D是边BC的中点，所以 AB=AD+DB=AD+CB=AD-BC,AC=AD+DC=AD+1BC (2)因为PB=λAP,QC=μAQ,所以AB=(1+)A2,AC=(1+μ)A0, 因为A=恋+AC,所以应-}4D=君（丽+AC)=+告0，因 为P,E,Q三点共线，所以告1，可得+1=4，即+为定值 4. 19.在平面直角坐标系中，向量0A=(1,-1),OB=(8,m),0C=(7,3), OD=(x,y),其中m,x,y∈R. (1)若A,B,C三点共线，求实数m的值： (2)若四边形ABCD为菱形，求x+y的值. 【解析】 (1)由已知得AB=OB-OA=(7,m+1,AC=0元-OA=(6,4),因为A, B,C三点共线，所以恋，AC共线，所以7×4=6m+1,解得m=号. (2)AD=OD-OA=(x-1,y+1),AC=(6,4),AB=(7,m+1),由四边形 ABCD为菱形得ABViVAD Vi,即V49+iC,即49+i,由四边形ABCD为 菱形得=+ǜ，所以114解得，2将v02代 入①，解得m=-5,所以x+y=-m+2=7.