专题04 三角恒等变换（高效培优专项训练）高一数学北师大版必修第二册

**基本信息** 以公式应用为核心，构建从单一公式到综合变换的递进训练体系，通过分层题型培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同角基本关系式|12题|考查平方关系、商数关系及符号判断|从定义出发，建立三角函数基本量间的联系| |两角和差公式|13题|含给值求值、角的拆分与范围确定|公式正向应用与逆用，培养角的配凑思维| |两倍角公式|11题|涉及公式变形及与同角关系结合|在和差公式基础上推导，强化公式灵活转换| |综合应用（给值求值等）|38题|含多公式联用、实际问题（如晷影长）|整合前三模块知识，提升复杂情境下的数学语言表达能力|

专题04 三角恒等变换 题型一：同角基本关系式的运用 题型一：两角和差公式的运用 题型三：两倍角公式的运用 题型四：三角恒等变换的综合应用1：给值求值 题型五：三角恒等变换的综合应用2：给值求角 题型六：三角恒等变换的综合应用3：给角求值 题型一：同角基本关系式的运用 1．(25-26高一·北京朝阳区北大附中朝阳未来学校·期中)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一下·内蒙古呼和浩特铁路局职工子弟第一中学·)已知，是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一·北京延庆区·期中)若，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则__________. 5．(25-26高三·海南定安县·)已知，则（   ） A． B． C． D．1 6．(25-26高三下·广东揭阳·)若，，则（   ） A． B． C． D． 7．若，，则（    ） A． B． C． D． 8．(25-26高一下·江西上饶名校联盟·期中)已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．(25-26高一·北京北大附中朝阳未来学校·期中)已知，且，则____. 10．(25-26高一·北京朝阳区北大附中朝阳未来学校·期中)已知是第三象限角，化简（    ） A． B． C． D． 11．(25-26高一下·上海南洋中学·期中)函数的值域是（   ） A． B． C． D． 12．(25-26高一下·广西梧州·)已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答） 题型二：两角和差公式的运用 1．(25-26高一上·安徽皖江名校联盟·期末)（    ） A． B． C． D． 2．计算（    ） A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一上·广东广州真光中学·期末)已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高一·山东枣庄第八中学·)已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．(25-26高三下·江西赣州兴国中学等校·期中)，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．(25-26高一上·河南周口西华县中都高级中学·期末)已知，，则______. 9．(25-26高一下·湖北云学联盟·期中)在中，、是方程的两个实根，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．(25-26高一上·湖南衡阳祁东县·期末)若，则（   ） A． B． C． D． 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高一下·四川资阳·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 13．若，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：两倍角公式的运用 1．下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·云南红河州、文山州·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·贵州遵义播州区·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高一上·天津瑞景中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·天津西青区·期末)求值：（    ） A． B． C． D． 9．(25-26高一上·湖南娄底部分普通高中·期末)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，若它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·黑龙江大庆实验中学·期末)已知，是第三象限角，则（   ） A． B． C． D．2 11．(25-26高一·陕西西安·期末)若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或2 题型四：三角恒等变换的综合应用1：给值求值 1．(25-26高一·浙江温州·期末)已知，则______． 2．(25-26高一·福建晋江松熹中学·期末)若，则__________. 3．(25-26高一·陕西西北大学附属中学·期末)已知，且，则_____. 4．已知，，则_______________. 5．(25-26高一上·宁夏银川第三十一中·期末)已知，则（ ） A． B． C． D． 6．(25-26高一上·福建三明·期末)已知，则_________． 7．(25-26高一·云南昭通一中教研联盟·期末)已知，则___________. 8．(25-26高一上·云南民族大学附属高级中学·期末)已知，，则（    ） A． B．7 C． D． 9．(25-26高三上·辽宁辽南协作校·期末)已知角，满足，，则（ ） A． B． C． D． 10．(25-26高一·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知为第一象限角，，，则_____. 11．(25-26高一上·安徽·期末)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．3倍 C．倍 D．7倍 题型五：三角恒等变换的综合应用2：给值求角 1．已知，为锐角，且，，则 _____． 2．已知锐角满足，则等于（    ） A． B．或 C． D． 3．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知，，，，则的值为_____. 4．(25-26高一上·安徽六安第一中学东校区·期末)若，，并且，，且，则的值为______. 5．(22-23高一上·重庆南开中学校·期末)若，且，，则______. 6．已知，且，则______，则______． 题型六：三角恒等变换的综合应用3：给角求值 1．(25-26高一上·安徽淮北第一中学·期末)下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·江苏常州正行中学·期末)下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·福建厦门杏南中学·期末)下列等式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一上·湖北荆州中学·期末)下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 5．的值是________.. 6．__________. 7．(19-20高一下·江苏镇江一中·)化简求值：_______. 8．的值为（    ） A． B． C． D． 9．(25-26高一上·河南周口淮阳·期末)（   ） A． B． C． D．1 10．(25-26高一上·黑龙江佳木斯第八中学·期末)计算：__________ 11．______． 题型七：三角恒等变换的综合应用4：解答题 1．(25-26高一上·福建莆田第六中学·期末) （1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 2．(25-26高一·江苏锡山高级中学·期末) （1）已知，求； （2）已知，且，求的值． 3．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末) （1）已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值； （2）已知，，，求． 4．(25-26高一·江苏盐城亭湖高级中学·期末)已知，是方程的两根，且，. (1)求的值； (2)求的值. 5．(25-26高一上·安徽六安第一中学东校区·期末)已知. (1)化简； (2)若，且满足，求的值. 6．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第三中学·期末)已知角且. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 7．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知 (1)求的值； (2)求的值. 8．(25-26高一上·湖北武汉外国语学校·期末)已知，且， (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 9．(25-26高一上·山东菏泽·期末)如图，在平面直角坐标系中，锐角以为始边，终边与单位圆交于点，将角的终边绕点逆时针旋转交单位圆于点．已知点的横坐标为． (1)求的值； (2)求点的横坐标． 10．(25-26高一·广东深圳高级中学（集团）·期末)如图，在平面直角坐标系中，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆交于点、． (1)求的值；(2)求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角恒等变换 题型一：同角基本关系式的运用 题型一：两角和差公式的运用 题型三：两倍角公式的运用 题型四：三角恒等变换的综合应用1：给值求值 题型五：三角恒等变换的综合应用2：给值求角 题型六：三角恒等变换的综合应用3：给角求值 题型一：同角基本关系式的运用 1．(25-26高一·北京朝阳区北大附中朝阳未来学校·期中)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，故. 2．(25-26高一下·内蒙古呼和浩特铁路局职工子弟第一中学·)已知，是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，且为第二象限角，． 3．(25-26高一·北京延庆区·期中)若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，可知位于第四象限，则，又因为，则，且，可得，即，所以. 4．已知，则__________. 【答案】 【详解】由，，可得，所以. 5．(25-26高三·海南定安县·)已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，所以，上下同除即可得， 代入，可得. 6．(25-26高三下·广东揭阳·)若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则，又，所以， 而，则，所以. 7．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，所以，又因为，所以，则，即， 联立，解得，所以. 8．(25-26高一下·江西上饶名校联盟·期中)已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将两边平方可得，解得. 因为，所以，故，所以， 因为，所以. 所以. 9．(25-26高一·北京北大附中朝阳未来学校·期中)已知，且，则____. 【答案】 【详解】， 由，则，故，故. 10．(25-26高一·北京朝阳区北大附中朝阳未来学校·期中)已知是第三象限角，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由是第三象限角，则，故. 11．(25-26高一下·上海南洋中学·期中)函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，当为第一象限角时，；当为第三象限角时，；当为第二、四象限角时，. 12．(25-26高一下·广西梧州·)已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答） 【答案】 【详解】，是关于x的方程的两个根，，解得或， 且，，，，，，或，， . 题型二：两角和差公式的运用 1．(25-26高一上·安徽皖江名校联盟·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知.故选：D. 2．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B 3．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，则，. 所以.故选：B 4．(25-26高一上·广东广州真光中学·期末)已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，，又因为，所以，，所以. 5．(25-26高一·山东枣庄第八中学·)已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则，且，可得， 又因为，则，且，可得，所以 .故选：A. 6．(25-26高三下·江西赣州兴国中学等校·期中)，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ， 则，故选：B 8．(25-26高一上·河南周口西华县中都高级中学·期末)已知，，则______. 【答案】 【详解】因为，，所以. 9．(25-26高一下·湖北云学联盟·期中)在中，、是方程的两个实根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵、是方程的两个实根，∴，， ∴，中. 10．(25-26高一上·湖南衡阳祁东县·期末)若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，可得． 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为,， 则,所以, 则.故选：A. 12．(24-25高一下·四川资阳·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，因为，所以，所以，，所以.故选：A. 13．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，. 两式相比得，即，整理得. 题型三：两倍角公式的运用 1．下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，A错误；，B正确；，C错误；，D错误． 2．(24-25高二上·云南红河州、文山州·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以.故选：C. 3．(24-25高二上·贵州遵义播州区·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故选：B 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】利用诱导公式 ，得： ， 故利用二倍角公式，得： . 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 因为所以，即，其余选项无法确定，故选：B. 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 另解：，所以. 故选：C 7．(25-26高一上·天津瑞景中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以.故选：B 8．(24-25高一上·天津西青区·期末)求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以.故选：D. 9．(25-26高一上·湖南娄底部分普通高中·期末)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，若它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，若它的终边过点，所以，所以，所以.故选：A 10．(24-25高一上·黑龙江大庆实验中学·期末)已知，是第三象限角，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因是第三象限角，则.即在二象限或四象限，.又，是第三象限角，则.则 .故选：C. 11．(25-26高一·陕西西安·期末)若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或2 【答案】D 【详解】， 又因为，则，令，则有，解得或，即或.故选：D. 题型四：三角恒等变换的综合应用1：给值求值 1．(25-26高一·浙江温州·期末)已知，则______． 【答案】/ 【详解】由题意知，.故答案为：. 2．(25-26高一·福建晋江松熹中学·期末)若，则__________. 【答案】/0.25 【详解】首先观察角度关系：题目已知，所以； 再根据诱导公式，代入，则： 最后代入已知条件：得.故答案为：. 3．(25-26高一·陕西西北大学附属中学·期末)已知，且，则_____. 【答案】 【详解】因为，所以，又，所以，所以，所以.故答案为 4．已知，，则_______________. 【答案】 【详解】因为，所以.因为，所以. 所以. 故答案为：. 5．(25-26高一上·宁夏银川第三十一中·期末)已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，两边平方得，整理得， 所以.故选：A. 6．(25-26高一上·福建三明·期末)已知，则_________． 【答案】 【详解】由题意得，即，（若 ，则 ，与 矛盾，故 .），所以两边同除以 ：，所以，即 ， 又因为，代入 和 ：所以.故答案为：. 7．(25-26高一·云南昭通一中教研联盟·期末)已知，则___________. 【答案】 【详解】因为，所以，所以 ．.故答案为：. 8．(25-26高一上·云南民族大学附属高级中学·期末)已知，，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，解得，， 所以.故选：C 9．(25-26高三上·辽宁辽南协作校·期末)已知角，满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得： 代入条件，得 移项整理则 ，代入可得 即， 代入可得：故选：A 10．(25-26高一·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知为第一象限角，，，则_____. 【答案】 【详解】因为为第一象限角，则，又，可知为第一象限角，所以，所以，又，所以.故答案为： 11．(25-26高一上·安徽·期末)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．3倍 C．倍 D．7倍 【答案】D 【详解】由题意得，则；又， 所以， 故第二次的“晷影长”是“表高”的7倍.故选：D. 题型五：三角恒等变换的综合应用2：给值求角 1．已知，为锐角，且，，则 _____． 【答案】 【详解】因为，且，， 所以，，． 故，由于， 所以．故答案为：. 2．已知锐角满足，则等于（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】因为满足，所以，.由此可得. 又因为，所以，故选：C. 3．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知，，，，则的值为_____. 【答案】 【详解】因为，，则，所以， 则，且，，， 则.故答案为： 4．(25-26高一上·安徽六安第一中学东校区·期末)若，，并且，，且，则的值为______. 【答案】/ 【详解】由，，且，得，又，所以，因为，则，所以，所以 ，且，且，所以.故答案为：. 5．(22-23高一上·重庆南开中学校·期末)若，且，，则______. 【答案】 【详解】因为，所以，，所以，所以， 所以，，所以，因为，，则， ，，所以，所以， 所以.故答案为：. 6．已知，且，则______，则______． 【答案】 【详解】因为，又，，即得又 又．故答案为：. 题型六：三角恒等变换的综合应用3：给角求值 1．(25-26高一上·安徽淮北第一中学·期末)下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：，故选项B符合题意； 选项C：，故选项C符合题意； 选项D：，故选项D符合题意. 2．(25-26高一上·江苏常州正行中学·期末)下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D不成立. 3．(25-26高一上·福建厦门杏南中学·期末)下列等式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A：因为，所以本选项计算正确； B：，所以本选项计算不正确； C：，所以本选项计算不正确； D：，所以本选项计算正确. 故选：AD 4．(25-26高一上·湖北荆州中学·期末)下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，， 所以，即， 又，所以，故C错误； 对于D， ，故D正确；故选：ABD 5．的值是________.. 【答案】/0.25 【详解】原式 .故答案为： 6．__________. 【答案】/0.75 【详解】 故答案为：. 7．(19-20高一下·江苏镇江一中·)化简求值：_______. 【答案】 【详解】解：，故答案为： 8．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】.故选：D. 9．(25-26高一上·河南周口淮阳·期末)（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】 .故选：B. 10．(25-26高一上·黑龙江佳木斯第八中学·期末)计算：__________ 【答案】 【详解】原式 .故答案为： 11．______． 【答案】 【详解】 . 题型七：三角恒等变换的综合应用4：解答题 1．(25-26高一上·福建莆田第六中学·期末) （1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 【详解】（1）由诱导公式得. （2）因为，所以， 因为，，所以，， 则 . 2．(25-26高一·江苏锡山高级中学·期末) （1）已知，求； （2）已知，且，求的值． 【详解】（1）， 又，故，； （2）已知，且， 位于第四象限，故， 位于第二象限，故， ， ，，则， ，，故，． 3．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末) （1）已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值； （2）已知，，，求． 【详解】（1）由题意，是第四象限角，是第二象限角， 所以，， 所以； （2）因为，，， 所以，，则， 所以． 4．(25-26高一·江苏盐城亭湖高级中学·期末)已知，是方程的两根，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【详解】（1）因为，是方程的两根， 所以； 由正切和角公式：. （2）因为，，所以. 又因为，所以. 5．(25-26高一上·安徽六安第一中学东校区·期末)已知. (1)化简； (2)若，且满足，求的值. 【详解】（1）由题意可知. （2）由（1）可知，又，故， 则， 可得， 且，可得，， 所以. 6．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第三中学·期末)已知角且. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【详解】（1），，， ，又，. （2）∵，，∴，则 故 ∵，， ∴，故 ∴. 7．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知 (1)求的值； (2)求的值. 【详解】（1）由题意知，故， 故； （2）由于，且，则，结合，可得， 结合（1）可得，而， 故， 由于，故. 8．(25-26高一上·湖北武汉外国语学校·期末)已知，且， (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【详解】（1），两边同时平方得，解得. （2）,则有， 联立，且，解得，所以， 则. （3）由题意，， 分式上下同时除以得，由（2）得， 将，代入得，即. 9．(25-26高一上·山东菏泽·期末)如图，在平面直角坐标系中，锐角以为始边，终边与单位圆交于点，将角的终边绕点逆时针旋转交单位圆于点．已知点的横坐标为． (1)求的值；(2)求点的横坐标． 【详解】（1）由题意知A，所以，．        因为 ，， ，. 所以 （2）由题意知点B的横坐标为，   因为 .所以点B的横坐标为. 10．(25-26高一·广东深圳高级中学（集团）·期末)如图，在平面直角坐标系中，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆交于点、． (1)求的值；(2)求的值． 【详解】（1）由已知，角的终边与单位圆交于，则，， 因为，故，所以， 故原式. （2）因为的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，则，， 因为，所以， 由（1）得，， 因此. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $