第29章圆典例精讲与课后巩固2026-2027学年数学九年级上册人教版

**基本信息** 聚焦九年级上册圆的核心知识，通过典例精讲（作图、计算、证明）与课后巩固（选择、填空、解答）的梯度设计，培养几何直观、推理能力与模型意识，适配新授课教学需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|4题型|圆的概念、垂径定理、圆周角、弧长面积|题型3多问设计（求角度/半径/函数解析式），分层考查逻辑推理与数学建模| |课后巩固-解答题|5题|内接四边形、等弦圆、旋转面积|第20题结合“等弦圆”材料阅读，第5题月洞门情境渗透文化传承，体现应用意识|

第29章圆典例精讲与课后巩固-2026-2027学年数学九年级上册 人教版（新教材） 典例精讲 题型1：圆的有关概念 如图，已知⊙O和点P,按如下方式作图： ①连接OP,作线段OP的垂直平分线交OP于点A: ②以点A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙0于点B,D: ③连接PB,交OP的垂直平分线于点C, 请依据题意完成作图.（保留作图痕迹，不写作法） 题型2：垂直于弦的直径 如图，MB是o0的直径，弦DL4B于点H,∠C=60°，CD=25, ⊙0 求 的半径的长 B H D 试卷第1页，共3页 题型3：圆周角 如图，四边形ABCD内接于OO,直径AC与弦BD相交于点P,连接OB,OD. B 备用图 (1)若∠DCB=110°，求∠BOD的大小： (2)若∠APB=45°，且PD2+PB2=18,求⊙0的半径长； (③)记△MBD,aBCD,08D的面积分别为S,,了，设S=x,S-S=y,求y关 于x的函数解析式. 题型4：孤长和扇形面积 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是OO的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°.请解 答下列问题： B A (I)LCAD的度数； (2)若AD=6,求图中阴影部分的面积. 试卷第2页，共3页 ○课后巩固 一、单选题 1.下列命题中真命题是() A.一个角的补角一定大于这个角 B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.等边三角形是中心对称图形 D.平分弦的直径垂直于弦 2.用反证法证明“直线a,b,l在同一平面内，若a11,b⊥1，则ab.”,应先假设 () A.a∥b B.a与b相交 C.a⊥b D.a不垂直于l 3.如图，△ABC内接于OO,CD是⊙0的直径，AB与CD交于点P,若∠ABC=60°， ∠ACB=50°，则∠BPC=() 0 A.95° B.100° C.1059 D.110° 4.某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩.若该圆锥的母线长30©m,侧面展开图是圆心 角为180°的扇形，则这个圆锥的侧面积为() A.450z cm2 B 500xcm2 C.600z cm2 D.700πcm2 5.月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图）， 图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是1，点O是圆心，A, B是网格线交点且均在O0上，整个图形是轴对称图形.若OB=B ⊙0 AB ,则优弧”的长为 () 试卷第3页，共3页 图1 图2 p 8π 6.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决 方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D, 交MB于点C,测出4B=16cm,CD=4cm, 则圆形工件的半径为() C D A B A.14cm B.12cm C.10cm D 8cm 7.如图，△MBC内接于O0,D是1C上-点，且OD LAC于点E.若∠ADE=50°，则 ∠B的度数为() D E A.85° B.80° C.75° D.70 8,如图，扇形O1B ,点c在B 上.若∠40B=60 则<AC6 的度数是() 试卷第4页，共3页 60° O A.150° B.140° C.130° D.120° 9.如图，AB为⊙0直径，弦CD⊥AB于E,OB=CD=2,则OE长为() A.1 B.V3 C.2 D.5 10.如图，己知AB是O0的直径，AD为⊙0的弦，CO‖AD,连接AC,CD.分别以点 A,C为圆心，以大于24C的长为半径作弧，并使两弧交于一点G.直线0G交4D于点 连接CE.若<B0C=56, E 则<CAE 为() A.56° B.40° C.38° D.28 二、填空题 11.用反证法证明“在△ABC中，若AB>AC,则∠B<∠C”时，应提出假设 12.已知⊙0中，弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为 cm 试卷第5页，共3页 13.△ABC的∠A是30°，BC边长2.4cm,此三角形外接圆的直径为 14.如图，两矩形ABCD和BFEG彼此相邻内接于半圆O,其中点C、D、E在圆上，点 AB AB、G在直径MN上，已知AB=2BC,BG=2BF,则BG E BG 15.如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OA⊥BC,∠OAB=60°，则∠ABC的度 数为. A 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=2,现将△ABC绕着点B顺时针旋转 90°得到△ABC',其中A,C的对应点分别为A,C',则边AC扫过的区域（图中阴影 部分)的面积为 C B y 三、解答题 17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC上一点，点D到AB边的距离等于DC, 连接AD, 试卷第6页，共3页 备用图 (I)用直尺和圆规作⊙O,点O在AB上，且⊙O经过B、D两点（不写作法，保留作图痕 迹)； (2)在(1)的条件下，若∠B=30°，CD=6,则⊙0的半径为 ⊙O与△ABC的 重叠部分面积为 (如需画草图，请使用备用图) 18.如图，⊙0的直径AB垂直于弦CD,垂足为点E,F为AB上一点，∠CFD=100°.求 ∠CFE与∠DFE的大小. B 19.如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格 和一把无刻度直尺按要求作图.（两题都要保留作图痕迹）· 图① 图② (1)图①中，在边BC上找一点D,连接AD,使得△ACD面积为。ABC面积的3： (2)图②中找出△ABC的外接圆的圆心O:并在圆上找点D,使得PD最小， 20.【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等， 试卷第7页，共3页 我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”. A D E B G 【问题解决】如图，OO是△ABC的“等弦圆”，AD,AE,FG是⊙O截得的三条弦. (I)求证：AO平分∠BAC (2)若∠BAC=90°，FG=4,求图中阴影部分的面积. 21.已知四边形ABCD内接于⊙O,连接AC、BD,∠ACD+∠ADB+∠CAD=90°； B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：BC是⊙0的直径； (2)如图2，点E在BD上，连接AE、CE,且AE=CE,∠ABD=2LCAE,求证：CE平 分∠ACD: (3)如图3，在(2)的条件下，点F在BD上，连接CF,若∠CFD=2∠ACE,BF=4, AC=16,求⊙0的半径长. 试卷第8页，共3页 ○典例精讲解析 题型1：圆的有关概念 如图，己知⊙0和点P,按如下方式作图： P ①连接OP,作线段OP的垂直平分线交OP于点A; ②以点A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B,D: ③连接PB,交OP的垂直平分线于点C, 请依据题意完成作图.（保留作图痕迹，不写作法） B 【答案】 【分析】根据步骤作图即可； 【详解】按照题干步骤完成作图，如下： ①连接OP,作线段OP的垂直平分线交OP于点A,保留垂直平分线的作图痕迹： ②以点A为圆心，OA长为半径作圆，交O0于点B,D,保留画圆的痕迹： ③连接PB,交OP的垂直平分线于点C,作图完成，所有痕迹保留； 如图： 答案第1页，共2页 题型2：垂直于弦的直径 刻图，是0的直径，弦D1于点以.∠C=60,CD=25,求O0 的半径的长」 A D 【答案】2 【分析】由垂径定理得到CH=CD=5,求出∠OCH=30°，再解Rt△OCH求出OC的长， 即可得到⊙0的半径长. 【详解】解：连接OC, B D ,直径AB⊥CD CH-CD-x2 2 .∠ACD=60°，∠AHC=90° .∠A=90°-60°=30°， ..OA=OC. .∠AC0=∠A=30°， 答案第2页，共2页 .∠OCH=∠ACH-∠ACO=30°， cos ZOCH=cos30=CH_3 0C2, .0C=2, :⊙0的半径长是2. 题型3：圆周角 如图，四边形ABCD内接于⊙O,直径AC与弦BD相交于点P,连接OB,OD, B B D 备用图 (1)若∠DCB=110°，求∠BOD的大小： (2)若∠APB=45°，且PD2+PB2=18,求⊙0的半径长； ③记△ABD,BCD,0BD的面积分别为，S,S,设S=,S-S=y,求y关 于x的函数解析式 【答案】(1)140° (2)3 ③2 【分析】(1)根据圆内接四边形对角互补求得∠BAD=70°，再根据圆周角定理求解即可： (2)过O作OG1BD于G,根据垂径定理得BG=DG,设BG=DG=m,根据 PD2+PB2=18 m2+PG2=9 △OGP G=OG 可得 ,证明 是等腰直角三角形得到 ,则 m2+0G2=9 ,进而可求解； 答案第3页，共2页 (3)利用三角形的面积公式可得BE+DF=2x. >1， OP,进而可 求解。 【详解】(1)解：：四边形ABCD内接于⊙0，∠DCB=110 .∠BAD=180°-∠DCB=70°， BD=BD, .∠BOD=2∠BAD=140°： (2)解：如图，过O作OG⊥BD于G,则BG=DG, B 设BG=DG=m,则PB=m+PG,PD=m-PG, ,PD2+PB2=18, :.(m-PG}+(m+PG}=18 整理，得2m2+2PG2=18,即m2+PG2=9, ,∠APB=45°，∠0GP=90° ∴.△OGP是等腰直角三角形， .PG=OG,则m2+0G2=9, 在Rt△BOG中，OB2=BG2+OG2=m2+OG2=9, ∴OB=3,即⊙0的半径长为3： (3)解：如图，过B作BE⊥AC于E,过D作DF⊥AC于F, 答案第4页，共2页 备用图 S=Sw+Sa号AP-BE+号4PDF-4P(BE+Dr), 5CFCPE DF). -OP-RE+iOP.DF-2OP-(BE+DF). S3=S.BoP+S.DOP S3=x BE+DF =2x 则8-8p,-0 OP 又：AP=OA+OP,CP=OC-OP,OA=OC, .AP-CP 20P y=- AP.x CP.x lx(AP-CP)-2x OP OP OP 即y=2x 题型4：孤长和扇形面积 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°.请解 答下列问题： B (1)∠CAD的度数： (2)若AD=6,求图中阴影部分的面积. 答案第5页，共2页 【答案】(1)30° 月3、96 4 【分析】(1)先利用同弧所对圆周角相等得到∠ADC=∠ABC=60°，再由AD是OO的直 径得∠ACD=90°，最后通过直角三角形两锐角互余计算出∠CAD度数： (2)先根据直径长度得到圆半径OA,借助30°直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求 和高 出底边AC 2,再依据圆周角定理得出∠10C,最后 S影=S%oc-S.oC算出阴 影部分面积. 【详解】(1)解：·AC=AC .∠ADC=∠ABC=60°， ,AD是⊙0的直径， ∴.∠ACD=90°」 .∠CAD=90°-∠ADC=30°； (2)解：如图，连接OC,过点0作O01AC于点2， B 10 C :AD是⊙O的直径，AD=6, ∴0A=3, 在Rt△AOQ中，∠CAD=30°， Γ2 :40-v0P-o0= 2, 答案第6页，共2页 .OQ⊥AC :4C=2A0=35 :∠AOC=2∠ABC=120° :S脂=Sme0c-Souc= 120×π×321 3 360 35x3=3-95 2 2 4 3z、9v3 即阴影部分的面积 4 课后巩固解析 1.B 【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，例如120°的角，其补角为60°， 60°<120°，则此项是假命题； B、平行于同一条直线的两条直线平行，则此项是真命题； C、等边三角形旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，则此项是假命题： D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，则此项是假命题. 2.B 【详解】解：用反证法证明“直线a,b,I在同一平面内，若a⊥l,b⊥I,则ab”时， 应假设直线a与直线b不平行，即直线a与直线b相交. 3.B 【分析】根据CD是直径得到∠CBD=9O°，因此根据角的和差求出∠ABD,根据三角形的 内角和定理求出∠A,即可得到∠D,再根据三角形外角的性质即可求解. 【详解】解：，CD是直径， .∠CBD=90°， .∠ABC=60°， .∠ABD=∠CBD-∠ABC=90°-60°=30°， :∠ABC=60°，∠ACB=50°， .∠A=180°-∠ABC-∠ACB=70°， 答案第7页，共2页 .∠D=∠A=70° .∠BPC=∠D+∠ABD=70°+30°=100° 4.A 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公 式即可求出圆锥侧面积 【详解】解：圆锥的母线长为30m,侧面展开图是圆心角为180°的扇形， ∴.展开扇形的半径R=30cm,圆心角n=180°， ,圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， S=mR2_180mx302 =450πcm2 360 360 5.A 【分析】先证明△AOB为等边三角形，得出∠AOB=60°，进而得出优弧AB所对圆心角， 根据弧长公式进行计算即可求解， 【详解】由图可得，AB=2,,OB=AB,OA=OB, .△AOB为等边三角形， .∠AOB=60° :优弧MB所对圆心角为 60°-∠AOB=300° 300π·OA300元×210元 ∴优弧AB的长为180 1803 故选：A. 6.c 【分析】由垂径定理，可得出BD的长；设圆心为O,连接OB,在Rt△OBD中，可用半 径OB表示出OD的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径. 【详解】解：CD是线段AB的垂直平分线， ∴，直线CD经过圆心，设圆心为O,连接OB. 答案第8页，共2页 D 中， BD=1 AB =8cm RtAOBD 2 根据勾股定理得： OD2+BD2=OB2 ,即： (0B-4)2+82=0B2 解得：OB=10 故圆形工件的半径为10cm, 7.B 【分析】连接CD,证明△ACD是等腰三角形，得到∠ADC=I0O°，再根据四边形ABCD 内接于⊙O即可求出∠B的度数. 【详解】解：如图，连接CD, OD⊥AC于点E. AE=CE, .OD垂直平分AC, .AD=CD」 .△ACD是等腰三角形， .∠ADE=∠CDE=50° ∴.∠ADC=∠ADE+∠CDE=100° ,四边形ABCD内接于⊙O :.∠B=180°-∠ADC=80° 8.A 答案第9页，共2页 【分析】连接OC,则OA=OC=OB,根据等边对等角与三角形内角和定理得到 ∠4C0=90°-A0c,∠BC0-90°-∠B0C,根据∠ACB=∠ACO+∠BC0即可求出 ∠ACB的度数. 【详解】解：连接OC,则OA=OC=OB, 460° B ∠Ac0=∠0ac-s0-∠A0c)-90-∠40C, ∠Bc0=L0nC=80-∠B0C)=90P-号B0C. ∠4CB=∠4c0+∠Bc0-90p-540C+90B0c=180-40c+∠B0C)） 408=10×6w=150 =180°-1 9.B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出CE的长，再在Rt△OCE中利用 勾股定理求出OE的长即可. 【详解】解：：AB为OO直径，CD1AB,OC=OB=CD=2, :.CE=CD=1 2 在RtAOCE中， 0E=0C2-CE2-V22-F=V5 10.D 【分析】由等腰三角形的性质得∠OCA=∠OAC,由平行线的性质得∠BOC=∠OAD, ∠OCA=CAD,则∠OAC=∠CAD,即可求解. 【详解】解：OC=OA, .∠OCA=∠OAC 答案第10页，共2页 COll AD .∠BOC=∠OAD=56°，∠OCA=∠CAD. ∠OAC=∠CAE=，∠OAD=28° 1 11.∠B≥∠C 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设命题的结论不成立，因此只需找出原结论的 反面，即可得到反证法需要提出的假设 【详解】解：该命题需要证明的结论为∠B<∠C,反证法需假设结论不成立，即∠B不小 于∠C, 因此应提出的假设为∠B≥∠C. 12.5 【分析】过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求 出圆的半径 【详解】解：如图所示，过点O作OC⊥AB于点C,连接OA, B OC⊥AB,AB是⊙0的弦， &4c-4a, AB =8cm, 1 .AC=)×8=4cm 2 在Rt△OAC中，OC=3cm,AC=4cm, :0A=VOC+AC=V3+4=V云=5cm,即此圆的半径为5cm 13.4.8cm 【分析】构造△ABC外接圆，利用圆周角定理可证△OBC是等边三角形，根据等边三角形 的性质可知圆的半径是2.4cm，,根据半径与直径的关系可求外接圆的直径 答案第11页，共2页 【详解】解：如下图所示，作△ABC外接圆⊙O,连接BO、CO, 则有OB=OC, :∠A=30°， .∠B0C=2∠A=60°， ∴△OBC是等边三角形， .0B=0C=BC=2.4cm, ∴⊙0的直径为2.4×2=4.8cm. 14.5 【分析】连接OD,OC,OE,根据矩形的性质得BF=EG,AD=BC, ∠DAB=∠CBA=90°，证明Rt△DAO≌RIACBO,然后利用全等三角形的性质可得 OA=0B-)4B,从而可得O1=OB=BC,设0A=OB=BC=aBF=EG=h:则 BG=2bRt△OB 在 中，利用勾股定理可得OC=V5a,从而可得0C=0E= .再在 Rt△OEG中，利用勾股定理进行计算可得a=5b,从而进行计算即可解答. 【详解】解：如图，连接OD,OC,OE, D M A BG :四边形ABCD和四边形BFEG都是矩形， .BF=EG,AD=BC,∠DAB=∠CBA=90°， ..OD=OC, Rt△DAO≌Rt△CBO(HL) :04=OB=1 AB 2 答案第12页，共2页 AB=2BC. ..OA=OB=BC, OA=OB=BC=a,BF=EG=b. .BG=2BF, .'.BG=2b 在RIAOBC中，OC=VOB+BC=V2a ,0C=0E=V2a 在RtAOEG中，OE2=OG2+EG2, .（2aj=(a+2b}+b. 整理得：a2-4ab-5b2=0, (a-5b)(a+b)=0 .a=5b或a=-b(舍去)， AB_2a_a=5b=5 ·BG2bbb 15.30° 【分析】根据题意可得△OAB为等边三角形，进而可得∠OBC=30°，再求∠ABC即可. 【详解】解：OA=OB,∠OAB=60°， ∴∠0BA=∠OAB=60°，则∠A0B=60°， .△OAB 为等边三角形， OA⊥BC, .∴∠OBC=90°-∠AOB=30°， .∠ABC=∠OBA-∠OBC=60°-30°=30°， π 16.4 【分析】根据旋转的性质可得△ABC=△A'BC,边AC扫过的区域面积等于扇形ABA的面 积减去扇形CBC'的面积，利用勾股定理求出BC的长，再根据扇形面积公式计算即可， 答案第13页，共2页 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=2, .AC=1 由勾股定理得BC=VAB-AC=V22-P=V5 由旋转的性质可知，△ABC≌△A'BC',∠ABA=∠CBC'=90°， .SAABC=S△fac ·阴影部分的面积 S前形HBr+S.fBC-S.AC-S扇形CaC =S扇形AB一S扇形CBC 90z×2290z×(N5)2 360 360 3 =π-47 4 17.(1) ⊙0即为所求： B 245.8a+12V5 【分析】此题考查了角平分线的性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识，正确作图是 关键， (1)作BD的垂直平分线交BD于点T,交AB于点O,以点O为圆心，OB的长为半径画 圆即可； (2)求出1D=DB=2CD=12,进一步得到DT=TB=6,OB=4W5,0r=25 ∠DOJ=60°，即可求出⊙O与△ABC的重叠部分面积. 答案第14页，共2页 【详解】(1)略 (2)解：：∠C=90°，点D是BC上一点，点D到AB边的距离等于DC, .AD平分∠BAC, ∠B=30°， ∠BAC=60°， :∠CAD=∠DAB=)∠BAC=30, .AD=2CD=12,∠B=∠DAB, .DB=AD=12, DT=TB=IDB=6 2 OB=、6 =4W5.0T=0B=25 c0s30 2 OT垂直平分DB, ∴.OD=BO .∠ODB=∠B=30°」 .∠DOJ=∠ODB+∠B=60° ·O0与。4BC的重叠部分面积为 0T42x25=8s+28 360 4V58π+123 故答案为： 18.∠CFE=∠DFE=50° 【分析】根据垂径定理求出EF⊥CD,CE=DE,求出FC=DF,根据等腰三角形的性质 得出LCFE=∠DFE即可. 【详解】解：⊙O的直径AB垂直于弦CD, .EF⊥CD,CE=DE, :FC=DF, .∠CFE=∠DFE. ,∠CFD=100°， .∠CFE=∠DFE=50° 答案第15页，共2页 19.(1)》 图① (2) 图② 【分析】(d)取格点D,连接AD·由网格的特点可得CD-兮BC,则S9 3 (2)取格点E、F、G,连接EF,CG交于点O,连接OP交圆于点D,由网格的特点可得 ∠EAF=∠CBG=90°，则EF,CG为圆的直径，则点O为圆心，则点D即为所求. 【详解】(1)略 (2)略 20.(1)证明见解析 (2)2π-4 【分析】(1)连接OD,OE,由AD=AE,OD=OE,OA=OA,可得 △40D≌△A0E(SS),得出∠0MD=∠01E,即可得证； (2)连接OF,OG,由A0平分∠BAC,∠BAC=90°可得∠A0E=90°，由AE=FG可得 AE=FG 进而得出∠FOG=∠A0E=90°，从而得出△OFG是等腰直角三角形，可求出 0r=号rG=25 ,最后由S阴影=S形oG-SAoG即可求出结果。 【详解】(1)证明：连接OD,OE,如图所示， 答案第16页，共2页 D .AD=AE, 又OD=OE,OA=OA, ∴.△AOD≌△AOE(SSS) .∠OAD=∠OAE, .AO平分∠BAC (2)解：由(1)得A0平分∠BAC, .∠BAC=90° ÷∠0AE=∠BAC=45°， .OA=OE, .∠AE0=∠OAE=45°， .∠AOE=90°， 连接OF,OG,如图所示， D E B G C .·AE=FG :.AE=FG ∴.∠F0G=∠AOE=90°， .OF=OG ∴.△OFG是等腰直角三角形， 又.FG=4, :0r=5rG=22 2 答案第17页，共2页 5e-5ee-50-805-02=2a-4. 2L.(1)证明：AD=AD .∠ACD=∠ABD .CD=CD .∠CAD=∠CBD, :B=6 .∠ADB=∠ACB」 :∠ACD+∠ADB+∠CAD=90°， ∴.∠ABD+∠ACB+∠CBD=∠ABC+∠ACB=90° .∠BAC=90°， .BC是⊙O的直径； (2)证明： AD=AD ∴.∠ACD=∠ABD 又：∠ABD=2∠CAE ∴.∠ACD=2∠CAE .AE=EC ∴.∠CAE=∠ECA ∴.∠DCE=∠ACD-∠ACE=2∠CAE-∠ACE=∠ACE,即CE平分∠ACD: 517 (3)2 【分析】(1)根据等弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD,∠CAD=∠CBD, ∠ADB=∠ACB,结合已知进而证明∠BAC=90°，从而得出BC是OO的直径： (2)根据∠ACD=∠ABD,结合已知得出∠ACD=2LCAE,根据等边对等角可得 ∠CAE=∠ECA,进而可得CE平分∠ACD; (3)延长CE、BA交于点M,过点E,分别作AM,AC的垂线，垂足分别为N,H,证明 答案第18页，共2页 四边形MHEN是矩形，证明 ECH≌AEDC(ASA)△BNE≌AFDC(AAS 得出CF=AB BE=FC,设EF=AB=x,在RtACDF中，勾股定理求得x=13,在Rt△ABC中，勾股定 理求得BC的长，即可求解。 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，延长CE、BA交于点M,过点E,分别作AM,AC的垂线，垂足分别为 N,H B 图3 ∠CAB=90° .∠CAM=90°， .EN⊥AB NEAC 由(2)知∠CAE=∠ACE, 设∠CAE=∠ACE=a,则∠ABD=2a,∠NEA=∠EAC=a .∠M=90°-∠ACE=90°-a, ∠EAM=90°-∠NEA=90°-a, ∠BEM=180-∠ABD-∠M=180°-2a-(90°-m)=90°-a=∠M .BE=BM, ∠EAM=90°-a=∠M ∴.EM=AE=CE 答案第19页，共2页 .AN AM .4C=16AE=CE,EH⊥AC .AH=HC=8 ·.:∠CAM=∠ANE=∠AHE=90° ∴四边形AHEN是矩形， .EH=AH=8,EH AN=MN, '∠ACE=∠DCE=a ∴.∠CEH=90°-a=∠CED 又EC=EC, :△ECH≌aEDC(ASA) .DC=HC=8=EN, 又：已知∠CFD=2∠ACE=∠ABD,∠BNE=∠FDC=90 :.△BNE≌aFDC(AAS) ..CF=AB,BE=FC 设EF=AB=x BF=4, .'FC=BE=EF+BF=x+4, ∴.BM=BE=FC=x+4 :AN-MN-BM-AB-x+4-x=2 2 2 ·.ED=EH=AN=2 在RtACDF中，FD=EF+ED=x+2,CD=8,FC=x+4 CD+DF2=CF2 :.82+(x+2}=(x+4} 解得：x=13 .AB=13且AC=16, AB+AC2=BC2 答案第20页，共2页 :.BC=VAB2+AC2=V132+16=5I7 :OB-0C=57 2 答案第21页，共2页