第1章 二次函数 单元提高卷 2026-2027学年 浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数单元核心，通过火箭发射、停车棚设计等科技与生活情境，设置选择、填空、解答题，适配单元复习，提升数学抽象、模型应用与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数图像性质（如第1题比较函数值）、函数综合（第2题min函数）|结合科技情境（第3题火箭路程），考查数形结合| |填空题|6/24|实际应用（第11题停车棚高度）、运动问题（第13题小球落地时间）|生活场景建模（第12题桥孔抛物线），体现数据意识| |解答题|8/66|函数表达式求解（第17题）、利润最值（第20题）、项目式学习（第21题滑雪路径）|分层设计，从基础计算到创新应用（如第21题跨学科探究），培养推理与应用意识|

第1章 二次函数 单元提高卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．已知点A（x1，y1）在抛物线y1＝nx2﹣2nx+n上，点B（x2，y2）在直线y2＝﹣nx+n，当n＞0时，下列判断正确的是（　　） A．当x1＝x2＜1时，y1＜y2 B．当x1＝x2＞1时，y1＜y2 C．当y1＝y2＞n时，x1＞x2 D．当y1＝y2＜n时，x1＞x2 2．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min（﹣x2+3，﹣2x}的最大值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（　　）． A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 4．反比例函数 的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（　　） A．5 B．3 C． D． 6．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 7．抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（　　）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 8．如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（　　） A． B． C． D． 9．关于一元二次方程有以下命题：①若a+b+c=0，则(≥0；②若方程(的两根为-1和2，则2a+c=0；③若方程(有两个不相等的实数根，则方程=0必有两个不相等的实数根；④若方程 有两个相等的实数根，则 无实数根.其中真命题是（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 10．如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系的图象，点在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车　 　完全停到车棚内（填“能”或“不能”）. 12．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣ x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为　 　m（结果保留根号）. 13．从地面竖直向上抛出一个小球，若小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系满足，则小球从抛出到落地共用时　 　s． 14．如图，抛物线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且． （1）　 　． （2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为，记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为．若，则t的取值范围为　 　． 15．图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm． （1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为　 　； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH=　 　． 16．抛物线（，是常数且，）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则④若，是方程的两个根，其中，则．其中正确的结论是　 　（填写序号）． 三、解答题（本题共8小题，第17题9分，第18题9分，第19题6分，第20题9分，第21题9分，第22题4分，第23题10分，第24题10分，共66分） 17．已知，关于的二次函数． （1）若函数经过点，求拋物线的对称轴． （2）若点P(t-2，p)，Q(t+3，q)均在抛物钱y=2x2-4tx-3上，则p　 　q(填">"，“<"或"=”). （3）记，当时，始终成立，求的取值范围． 18．已知二次函数的图象L过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）L与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），求A，B两点坐标； （3）将L向上平移个单位长度，与x轴相交于，两点，若点在线段上，求k的取值范围． 19．已知二次函数（为常数且）的顶点在轴上方，且到轴的距离为4． （1）求二次函数的解析式； （2）将二次函数的图象记为，将关于原点对称的图象记为与合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①在网格中画出函数的图象； ②若对于函数上的两点，当时，总有，求出的取值范围． 20．某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少； （3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围． 21． 【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： （1）任务一：确定滑道的形状 图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．AC垂直于水平底面BC，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知m，m，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式． （2）任务二：确定运动员达到最高点的位置 如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面BC上方竖直距离9.75m处达到最高点P ③落点Q在底面BC下方竖直距离2.25m． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． （3）任务三：确定拍摄俯角 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离25.5m； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； ③在平面直角坐标系中，设射线MN的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示． 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？ 22． 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 图1 解决问题 如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． 若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 图2 23．如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 24．如图，抛物线经过、两点，为抛物线上第一象限内的一个动点． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当的面积最大时，求点的坐标； （3）过点作，垂足为点，是否存在点，使，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：设n=1，则，图像如下： A、当x1=x2＜1时，y1＜y2或y1＞y2，A错误； B、当x1=x2＞1时，y1＞y2，B错误； C、当y1=y2＞n时，x1＞x2，C正确； D、当y1=y2＜n时，x1＜x2，D错误. 故答案为：C. 【分析】本题为选择题，采用特值法并画出草图分析能快速解答. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：联立， 解得，， 当，，，最大值是2； 当，，，最大值小于2； 当，，，最大值小于． 所以，的最大值是2． 故答案为：B. 【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据min的定义并结合函数的增减性解答即可． 3．【答案】C 【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为， 由题可得二次函数图象过，，， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得（舍去）， ∴这一过程需要的时间大约是15秒钟， 故答案为：C． 【分析】先根据题意确定图象上的三个点的坐标（1，2），（2，6），（3，12），利用待定系数法求出函数解析式，然后令y=240求出x的值即可． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵函数 的图象经过二、四象限， ∴k＜0， 由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1， ∴0＞k＞﹣1， ∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下， 对称轴为x＝﹣ ＝ ， ＜-1， ∴对称轴在﹣1左侧， ∵当x＝0时，y＝k2＜1． 故答案为：B． 【分析】先根据反比例函数的图象求出k的取值范围，再根据一元二次函数与其系数的关系求解即可。 5．【答案】A 【解析】【解答】解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为， 由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为， 故答案为：A． 【分析】先求出抛物线对称轴，再由抛物线的对称性求解即可． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， 都在抛物线上， ∴n=（8-m）2+（2-k）（8-m）+1，e=（m-4）2+（2-k）（m-4）+1， ∵当时，都有， ∴， ∴[（8-m）2-（2-k）（8-m）+1]-[（m-4）2+（2-k）（m-4）+1]>0， 整理可得：2（6-m）（6-k）>0， ∵m>6， ∴6-m<0， ∴6-k<0， ∴k>6， 故答案为：B. 【分析】将点A、B分别代入解析式可得n=（8-m）2+（2-k）（8-m）+1，e=（m-4）2+（2-k）（m-4）+1，再结合，可得2（6-m）（6-k）>0，再求出k>6即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：令抛物线y=ax2-a中的y=0， 得ax2-a=0， ∵a≠0， ∴x2-1=0， 解得x=±1， ∴抛物线y=ax2-a与x轴交点坐标为（1，0）与（-1，0）， 令抛物线y=ax2-a中的x=0，得y=-a， ∴抛物线的顶点坐标为（0，-a）， 当a＞0，k＞0时，其图象大致为 由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立； 当a＞0，k＜0时，其图象大致为 由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、三、四象限； 当a＜0，k＞0时，其图象大致为： 由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、二、四象限； 当a＜0，k＜0时，其图象大致为： 由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立； 综上直线y=ax+k的图象一定经过第一、四象限. 故答案为：D. 【分析】首先求出抛物线y=ax2-a与x轴两交点的坐标及顶点坐标，然后分当a＞0，k＞0时，当a＞0，k＜0时，当a＜0，k＞0时，当a＜0，k＜0时，四种情况画出大致图象，找出两交点横坐标的取值范围，进而根据x1+x2＜0进行一一验证，得出符合题意的a、k的取值，最后根据一次函数的图象与系数的关系可得直线y=ax+k所经过的象限，即可得出答案. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，连接， ∵四边形为菱形，，， ， ∴在中，， 设，则， ， ∵的垂直平分线交于点， ， ， ， 设，则， ， 在中，，即， 解得， ，， 则的面积为， 由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为， 的周长为， 由二次函数的性质可知，当时，的周长最小，最小值为， 故答案为：A． 【分析过点C作CM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AD，交DA延长线于点N，连接CF，设AF=x，用含x的代数式表示FM和EF的长，设AN=y，用含y的代数式表示AE和EN的长，分别利用含x的式子将的面积和周长表示出来，利用二次函数的性质求解即可． 9．【答案】B 【解析】【解答】解：①若，方程有一根为1，则，故①正确； ②由两根关系可知，，整理得：，故②正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，得，故方程有两个不相等的实根，故③正确． ④若有两个相等的实数根，则， 化为一般形式：，， 当时，，方程有两个不相等的实数根， 当时，，方程无实数根，故④错误； 真命题有①②③. 故答案为：①②③． 【分析】①，说明原方程有一根是1，一元二次方程有根，；②根据根与系数的关系可得出结论；③由题意得，则，可判断③正确；④由题意得，则化为一般形式，，即可判断④错误. 10．【答案】C 【解析】【解答】根据图象可知： 函数与轴有两个交点， ， ， 故①正确； ， ， ， 故②错误； 根据图象和，对称轴为直线可知， 该函数和轴的另一个交点为； 当时，， 故③错误； 开口向上， ， ， ， ， 故④正确． 故选：C． 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题.根据图象可知函数与轴有两个交点，据此可知对应方程有两个实数根，可判断①；由对称轴为直线，通过变形可判断②；由对称性可推断出函数和轴的另一个交点为，代入函数解析式可判断③；由图象开口向上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④； 11．【答案】能 【解析】【解答】解：CD=4m，点B（6，2.68）， OC=6-4=2m， 在中，当x=2时， ， 2.12>1.8， 可判定货车能完全停到车棚内. 故答案为：能. 【分析】先求出OC=2m，再根据函数表达式求出当x=2时，y的值，与1.8m作比较即可解答. 12．【答案】2 【解析】【解答】解：由题意可得：当AB＝6m，则B点横坐标为3， 故此时y＝﹣ ×32＝﹣3， 当水位上涨2m时，此时D点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1， 则﹣1＝﹣ x2， 解得：x＝± . 故当水位上涨2m时，水面宽CD为2 m. 故答案为：2 . 【分析】由题意可得：当AB＝6m时，B点横坐标为3，求出对应的y值，进而求出此时D点的纵坐标，代入函数解析式中求出x的值，据此解答. 13．【答案】6 【解析】【解答】解：小球落地，即h=0， 则， 解得或0， 故答案为6． 【分析】小球落地，即小球的高度h=0，代入关系式，解方程即可得出结果． 14．【答案】（1）2 （2）或或 【解析】【解答】解：(1)由OA=1知点A(1，0)代入抛物线解析得1+b-3=0，得b=2； （2）P点横坐标为t，则纵坐标为y=t2+2t-3，点B坐标为(0，-3)抛物线的顶点为(-1，-4)，分以下三类情况进行讨论 ①当点P在顶点与点B之间，注意到顶点(-1，-4)和点B(0，-3）纵坐标相差1，故此时P的位置不满足题意； ②点P在(-2，-3)和顶点(-1，-4)之间时，此时最高点为点B，最低点为顶点，且满足|d1-d2|=1，故此时t的范围是-2≤t≤-1 ③点P在(-2，-3)左侧，即t<-2时，此时最高点为点P，d1=|t2+2t-3|，最低点为顶点(-1，-4)，d2=4，||t2+2t-3|-4|=1，即有|t2+2t-3-4|=1和|-t2-2t+3-4|=1，于是去绝对值得方程t2+2t-8=0，t2+2t-6=0，t2+2t=0，t2+2t+2=0(无解)，解方程得t=-4或t=0(舍去)或t=-1+(舍)或t=-1-，故t=-4或t=-1- 综上所述，当-2≤t≤-1或t=-4或t=-1-时，满足题意； 【分析】(1)由OA的长可直接得到点A坐标，直接代入即可求出b的值； (2)由于点P位置不确定，无法确定最高点与最低点，对点P的位置进行分类讨论，对比的点为顶点、点B，还有与点B齐平的点(-2，-3)，当点P在顶点与点B之间，②点P在(-2，-3)和顶点(-1，-4)之间时，点P在(-2，-3)左侧以此为界点进行讨论即可得到结果. 15．【答案】（1）cm （2） 【解析】【解答】解：（1）以点E为原点，建立直角坐标系，如图， ∵EG=8， CD=12， ∴C（6，8），D（-6，8）， ∴抛物线为y=x2， ∵ET=4 ∴P（，4），Q（，4）， ∴PQ=cm； 故答案为：cm； （2）建立直角坐标系，如图， 根据题意得：C（6，8）， ∵∠ABM=45°，且CH∥CH， ∴直线CH的斜率为1， ∴直线CH：y=x+2， ∴直线CH与抛物线y=x2的交点H（，）， ∴CH=. 故答案为：. 【分析】（1）根据题意建立合适的直角坐标系并找到关键点求得解析式即可求得； （2）根据题意建立合适的直角坐标系得二次函数，再根据二次函数与一次函数的交点问题得H（，），再计算两点之间距离即可. 16．【答案】①② 【解析】【解答】解：①∵抛物线经过点A（3，0）， ∴9a-6a+c=0， ∴3a+c=0， 当x=-1时，y=a+2a+c=3a+c=0， ∴该抛物线一定经过B（-1，0）， 故①正确； ②由①得：3a+c=0， ∵c＞0， ∴a＜0， ∵3a+c=a+2a+c=0， ∴2a+c=-a＞0， 故②正确； ③抛物线的对称轴为直线x==1， 当t=-2021时，P1（1，y1），P2（2，y2）， ∵a＜0， ∴当x≥1时，y随x的增大而减小， ∴y1＞y2， ∴当y1＞y2时，t≥-2021， 故③错误； ④∵m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c=p的两个根， ∴m，n是抛物线y1=ax2+2ax+c与直线y2=p交点的横坐标， ∴p＞0， ∴如图： 由图得：-1＜m＜n＜3， 故④错误. 故答案为：①②． 【分析】①将点A（3，0）代入抛物线的解析式，可以得到3a+c=0，求出当x=-1时，y=0，所以抛物线一定经过B（-1，0）； ②由①得2a+c=-a，结合c＞0判断出a＜0，再得出2a+c＞0即可； ③特殊值法，取t=-2021时也符合题意，从而得出当y1＞y2时，t≥-2021，得到结论； ④将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断． 17．【答案】（1）解：将点代入函数，解得， ， 拋物线的对称轴为直线． （2）< （3）解：. I．对称轴 当时，，解得（舍去） II．对称轴 此时，解得 III．对称轴 当时，，解得（舍去） 综上所述，-1.5＜t＜0.5. 【解析】【解答】解：（2）抛物线的对称轴为：x=， ∵a=2＞0， ∴抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小， 而，， ∴， ∴p＜q. 【分析】（1）由题意把点A（4，-3）代入二次函数的解析式可得关于t的方程，解方程即可求解； （2）由题意求出抛物线的对称轴，根据a的值可知抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，然后计算P、Q两点到对称轴的距离并比较大小即可判断求解； （3）由题意计算y2-y1=2x2+(2+4t)x+2，根据抛物线的对称轴为直线：x=-t-，结合已知条件-2≤x≤2分类讨论即可求解. 18．【答案】（1）解：由题意可设这个二次函数的表达式为， 图像L过点得，， 解得：， 所以这个二次函数的表达式为 （2）解：令，得， 解得：，， 所以两点坐标分别为， （3）解：将L向上平移个单位长度，得新函数的表达式为， 设点M为新函数图象上一点，其横坐标为k，则纵坐标为 若点在线段上，则点M的纵坐标大于或等于零，即， 令，由图像可知，当时，图像在横轴的下方，函数值小于零 因为，所以得 【解析】【分析】(1)设抛物线的解析式为顶点式，利用待定系数法求出抛物线解析式即可； (2)令y=0得到一个关于x的二次方程，解方程即可得到点A、B坐标； (3) 根据平移的规律得到新的抛物线解析式，设点M为新函数图象上一点，其横坐标为k，则可得到M的纵坐标，根据纵坐标大于等于零即可求解． 19．【答案】（1）对称轴为：直线， 当，得 抛物线的顶点在轴上方，且到轴的距离为4． 解得， 抛物线的解析式为 （2）①画图如图所示： ②由题意，得的对称轴为：直线 的表达式为：，它的对称轴为：直线 情况一：当点在轴左侧和点之间时，总有，如下图： 此时，即： 情况二：当点在轴右侧时，如图： 当时，解得，或 由题意知，时，总有有 综上所述，或时，总有 【解析】【分析】（1）根据对称轴的公式求得抛物线的对称轴，确定顶点纵坐标，由题意-4a=4，从而求得a的值，写出二次函数解析式即可； （2）关于原点对称的点：横坐标和纵坐标都互为相反数，据此求出T2的解析式；分两种情况即可求解：点Q在y轴和点P之间，或点Q在yl轴右侧，分别画出图象求解即可． 20．【答案】（1）解：． （2）解：设销售利润为W元，则 ①当时，， ∴时，元． ②当时，， ∵x为整数， ∴或43时，W取最大值，． ∵， ∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元． （3）解：由（2）知，当时，该商品每天的最大销售利润为1000元； ∴只有在时，每天的销售利润才可能不低于1200元； ∴， ∴， ∴． 【解析】【解答】解：（1）当25≤x≤35时，当x=25时，y=200；x=35时，y=100.设y=kx+b(k≠0)， 可得：， 解得： 故y=-10x+450. 当35≤x≤50时，x=35时，y=100；当x=50时，y=50；设y=mx+n(m≠0)， 可得：， 解得： 故y=-4x+240. 综上：. 【分析】（1）利用待定系数法求解即可. （2）利润=单位利润×销售量，分别表示出时和时的利润，并根据二次函数的性质求得最大值，比较即可得到最大利润以及取得最大利润时x的取值； （3）由（2）得利润不低于1200元时x的范围以及对应的不等式，求解即可. 21．【答案】（1）解：如图，以B点为原点，以BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 则点A的坐标为， 设滑道所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 滑道所在抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，以点P所在的直线为y轴，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， 运动员滑出路径抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 即 运动员到达最高处时与点A的水平距离6； （3）解：与（2）所建平面直角坐标系一样， 点Q在底面BC下方竖直距离2.25m， 把代入得， ， 解得， 点， ，， ， ， 设与k的函数解析式为， 把代入得，， 解得， ， ， 射线MN的解析式可化为， 把，代入得， ， 解得， 俯角至少15度． 【解析】【分析】（1）以B点为原点，以BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为（4，3），设滑道所在抛物线的函数表达式为y=ax2，然后将点A的坐标代入可算出a的值，从而得到滑道所在抛物线的函数表达式 ； （2）以点P所在的直线为y轴，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则P（0，9.75），由运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同可得抛物线二次项系数绝对值相等，结合抛物线开口向下可得抛物线的解析式为，进而将y=3代入算出对应的自变量的取值，即可得出运动员到达最高处时与点A的水平距离； （3）与（2）所建平面直角坐标系一样，把y=-2.25代入得x=±8，则Q（8，-2.25），得到M（15.5，0），设与k的函数解析式为a=mk，把（0.1，5）代入算出m的值，从而得到，则射线MN的解析式可化为，再把M、Q得坐标代入解方程组即可求出俯角的度数. 22．【答案】解：设， 将代入得， ． 设， 则， ， ， ， 解得（舍去），， 答：门高为． ， 设直线， 则， ，…7分 设直线， 则， 整理得，， ， ， 直线， 令．则，即， 答：此时的长为． 【解析】【分析】(1)根据题意便可知抛物线的顶点坐标，设顶点式将点坐标代入求值即可； (2)设正方形的边长为m，便可得点A的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式，求解方程即可； (3)光线由A射到点N，可知坐标系中PQ与AN平行，先求AN的解析式，再利用平行关系求直线PQ的解析式，再与抛物线联立，求出光线与抛物线相切时的OQ的长度. 23．【答案】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴点，点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意，， ∴， 当四边形是平行四边形时，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为， ∴ ∴， 解得（不合题意，舍去），； （3）解：存在，理由如下： ∵对称轴为x=， 设P点坐标为 （m，-m2+3m+4）， ∴M点横坐标为： ×2-m=3-m， ∴N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4）， ①如图1， ∵MN=2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x=上， ∴E（，）， 又点E在直线BC：y=-x+4，代入得：=+4， 解得：m=或（舍去）， 故此时m的值为. ②如图2，设E点坐标为（n，-n+4），N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4）， ∵MN=2ME， ∴0-（-m2+3m+4）=2（-m2+3m+4+n-4）①， ∴3-m-m=2（n-3+m）②， 联立①②并解得：m =（舍去）或， 综上所述，m的值为或. 【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点B和点C的坐标，进而设抛物线的解析式为，将点B和点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式； （2）先根据题意得到，进而得到，当四边形是平行四边形时，，进而得到，从而即可表示点D和点N的坐标，进而设直线的解析式为，将点N代入即可得到，进而得到直线的解析式为，再根据题意表示出点M的坐标，进而即可求出m； （3） 根据 MN=2ME，分E在MN内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解． 24．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：， 即， 则， 解得：， 则抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过作轴，垂足为，与交于点， ， 在中，当时，， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， 直线的解析式为， ， ∴， ∴， ∴ ， 当的面积最时，，此时，点； （3）解：存在，理由： 当时，取点，连接． ， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵点，， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为． 将代入直线的解析式得， 直线的解析式为， 联立直线及抛物线的解析式成方程组得：， 解得：（舍去）或， 即点． 【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为，进而代入点结合题意即可求出抛物线解析式； （2）过作轴，垂足为，与交于点，先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到点C的坐标，进而根据待定系数法求出直线BC的函数解析式，从而根据点D和点K的坐标即可得到DK，进而根据“”结合二次函数的最值即可求解； （3）当时，取点，连接，进而根据题意结合平行线的判定证明，从而运用待定系数法求出直线BF的函数解析式，再根据二次函数与一次函数的交点问题结合题意即可求解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $