《例谈圆锥曲线中求离心率的常见问题》论文

圆锥曲线中求离心率的常见问题 整理者：童继稀 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，它的变化直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的重要要素。纵观近年的高考，离心率也是圆锥曲线客观题的考查重点，通常有求椭圆和双曲线的离心率和离心率取值范围两种题型，属于中档次的题型。试题既不需要深奥的知识，也没有高难的技巧，许多题目源于将课本中若干基础知识串并联、类比、改造而成。本文通过实例归纳了求椭圆或双曲线的离心率和离心率的取值范围两种题型的常用方法。 题型一：求离心率 方法1：直接求出 、 ，再求解离心率 当圆锥曲线的标准方程已知或者 易求时，可直接利用率心率公式 来解决。 例1．[2013·高考陕西卷(文)] 双曲线的离心率为_______。 解析：由双曲线方程不难得出 ，故离心率 。 例2．[2013·浙江卷] 如图所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　) A． B． C． D． 解析：由椭圆方程知 ，设双曲线方程为 ，则 ，得 。 在 中， ，由勾股定理： ，得 。故 。 方法2：采用圆锥曲线的统一定义求解 从“焦点-准线”的观点来看，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 的点的轨迹是圆锥曲线（不包括一些退化情形）。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的离心率。根据 的取值范围不同，曲线也各不相同：当 时，轨迹为圆；当 时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线。 例3．设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右准线为 ，若过 且垂直于 轴的弦的长等于点 到 的距离，则椭圆的离心率是 。 解析：如图所示， 是过 且垂直于 轴的弦，由 于 可知 为 到准线 的距离，根据椭圆的第二定义， 。 方法3：构造 、 的齐次方程，解出 根据题设条件建立 之间的等量关系，再借助椭圆中 （或双曲线中 ）消去 ，从而构造 、 的齐次方程，进而根据离心率的定义两边同时除以 的齐次得到关于 的方程，便可解方程得到离心率 。 例4．[2014·江西卷] 过点M(1，1)作斜率为 的直线与椭