专题一函数与导数重点题型01：含参函数单调性、极值、零点问题研究-2021届高考数学一轮复习重点题型专题训练（解答题篇）

函数与导数重点题型研究 重点题型一：含参函数的单调性、极值、最值及零点问题 【问题分析】 含参函数的单调性、极值点及零点问题，在高考中考查频次非常高，主要考查利用分类讨论来研究函数单调性和由函数极值、最值及零点求解参数范围。此类问题难度较大，经常出现在试卷T20或T21，属于高考压轴题型。该题型主要考查考生的分类讨论思想、等价转化思想。 解决此类问题的本质就是确定函数定义域上的单调性，基本思想就是“分类讨论”，解题的关键就是参数“分界点”的确定。所以，要解决好此类问题，首先要明确参数“分界点”，其次确定在参数不同的分段区间上函数的单调性，进而可以确定函数的极值点、最值及零点，达到解题目的。 确定分界点 有影响 分类讨论函数单调性 参数 导函数值/的根 函数 图1-1 含参函数问题解题思路 【知识回顾】 函数的单调性 函数的极值点 导函数的变号零点 函数的最值 图1-2 函数单调性、极值、最值及零点关系图 特别提醒： 1.函数单调性、极值、最值及零点必须在函数定义域内研究，所以解决问题之前，必须先确定函数的定义域。 2.函数的极值点为其导函数变号的点，亦即导函数的变号零点。 3.函数的极值点为函数单调区间的“分界点”，经过极大值点函数由增变减，经过极小值点函数由减变增。 4. 函数单调区间不能写成并集，也不能用“或”连接，只能用逗号“，”或“和”连接。 【“分界点”确认】 参数对导函数的值符号有影响，就必须根据参数对导函数的影响确定参数“分界点”，然后在进行分类讨论函数的单调性。常见的“分界点”确认方法如下： 1.观察法： 解决问题的过程中，我们会发现导函数形式比较简单的情况下，我们可以通过观察直接确定参数的“分界点”,例如： 当导函数的值与函数有关，可以直接观察得到：当时，；当时，有两个根当时，,当时，. 所以我们可以根据常见函数的性质及其之间的不等关系，通过直接观察确定“分界点”，常见函数性质及其之间的关系如下： ① 完全平方式不小于0 ② ③,仅当时，等号成立 ④,仅当时，等号成立 ⑤ ⑥ 2.由二次函数引发的“分界点” 当函数求导后，导函数值符号由一个含参的二次函数（二次三项式）决定，一般可以从两个方面进行“分界点”的确定： （1）通过二次函数（一元二次方程）的判别式进行“分界点”的确定. 对于一个二次函数: ① 或. ②二次函数有两个零点（或二次方程有两个不同实根）,在两根之外函数大于0，两根之内函数小于0. ③二次函数有两个零点（或二次方程有两个不同实根）,在两根之外函数小于0，两根之内函数大于0. 特别提醒： 当二次函数有两个零点时，需要确定两个零点是否在函数定义域之内，若不在需要舍弃. （2）由二次函数零点分布（一元二次方程实根分布）进行“分界点”确定 设是二次函数的两个零点（一元二次方程的两个根），则的分布情况与二次函数系数之间的关系如下（）： 零点分布 函数图像 等价条件 中仅有一个在（）内 \ 或 或 或 当二次函数定义域受限，可以根据上表情况进行“分界点”确认，进而进行分类讨论。 3.由导函数零点含参引发的“分界点” 当导函数零点是含参的情况，可以根据函数定义域情况确定分界点，同时如果导函数零点个数不小于两个的情况时，可以根据零点之间的大小进行“分界点”的确认，然后在进行分类讨论确定函数的单调性。 例如：导函数通过整理之后，其值符号由函数决定，可以通过比较两个零点的大小来确认“分界点”。 4.通过分离参数确定“分界点” 如果导函数中的参数容易分离，可以将导函数进行参数分离，变成一个简单函数与参数之间的关系，根据简单函数的最值，确定“分界点”。 例如：如果导函数值符号由()决定，由于，参数很容易分离，分离参数后,最终导函数值符号由与参数的大小来决定。 【典例赏析】 例一：(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数，讨论f(x)的单调性． 试题分析：由已知导函数,整理后,值符号由决定，值符号与值符号相反。思路一：由于，通过观察可以发现当时.同时为二次函数，可以通过判别式来确定分界点。思路二：，参数容易分离，得. 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－－1＋＝－. ①当a≤2时，则f′(x)≤0， 当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当a＞2时，令f′(x)＝0， 得x＝或x＝. 当x∈∪时，f′(x)＜0； 当x∈时，f′(x)＞0. 所以f(x)在，上单调递减， 在上单调递增． 综合①②可知，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增． 例二：（2019 全国卷Ⅲ 节选）已知