15.3.1 等腰三角形 第2课时 (课件) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的判定，核心知识点为“等角对等边”。课堂导入通过画含30°等角及一般等角的三角形测量边长，引导学生从特殊到一般猜想结论，衔接等腰三角形性质（等边对等角），构建性质与判定的互逆知识支架。 其亮点在于以“观察-猜想-证明-应用”为主线，情境导入发展数学眼光（几何直观），多种辅助线证法培养数学思维（推理能力），对比表格与多样化练习强化数学语言（模型意识）。含尺规作图、实际应用等例题，助力学生深化理解，教师可直接用于教学提升效率。

人教版八年级上册 15.3 等腰三角形 第十五章 轴对称 15.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 情境导入 画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB 与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？ AB = AC A B C 画一个△ABC，其中∠B =∠C，此时，AB 与 AC 的数量关系会改变吗？你能得出什么结论？ 思 考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ A B C 猜想：它们所对的边相等. 你能证明你的猜想吗？ 等腰三角形的判定 探究新知 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB = AC. 分析： ∠B =∠C AB = AC 全等 ①作∠BAC的平分线 A B C D ②作 BC边上的高 A B C D ③作 BC边上的中线 A B C D A B C 等腰三角形的判定 A B C 证明：如图，作△ABC 的角平分线 AD. 在△ABD 和△ACD中， ∠1 =∠2， ∠B =∠C， AD = AD， ∴△ABD ≌△ACD（AAS）． ∴AB = AC． D 2 1 方法① 等腰三角形的判定 A B C 在△ABD 和△ACD中， ∠B =∠C， ∠ADB =∠ADC， AD = AD， ∴△ABD ≌△ACD（AAS）． ∴AB = AC． D 证明：如图，过点 A 作△ABC 的高 AD. 方法② 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“等角对等边”). 在△ABC 中，∵∠B =∠C， ∴ AB = AC. 几何语言： A B C 等腰三角形的判定 条件 结果 等腰三角形的性质 等腰三角形的判定 比较等腰三角形的性质和等腰三角形的判定 两边相等 两边所对的角相等 两角相等 两角所对的边相等 1. 判断下列推理是否正确，并说出理由. （1） （2） ∵∠1 =∠2， ∴ BD = DC. (等角对等边) ∵∠1 =∠2， ∴ DC = BC. (等角对等边) 都错误，因为都不是在同一个三角形中. 对应练习 2.在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°. 求证：BA＝BC. 证明：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－80°＝50°. ∴∠A＝∠C. ∴BA＝BC. 证明：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－80°＝50°. ∴∠A＝∠C. ∴BA＝BC. 对应练习 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图， AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，AD // BC. 求证：AB = AC. A B C D E 1 2 分析：可以设法找出∠B，∠C 与∠1，∠2 的关系. ∠B =∠C 例题解析 A B C D E 1 2 证明：∵AD // BC ， ∴∠1 =∠B，∠2 =∠C. 又 AD 平分∠CAE， ∴∠1 =∠2. ∴∠B =∠C. ∴ AB = AC. 例题解析 例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为 a，底边上高的长为 h（如图），求作这个等腰三角形. 分析：等腰三角形“三线合一” a h 底边所对的顶点在底边的垂直平分线上. 作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置. 例题解析 a h 作法： (1) 作线段 AB = a； (2) 作线段 AB 的垂直平分线 MN，与 AB 相交于点 D； (3) 在 MN上取一点 C，使 DC = h； (4) 连接 AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形. A B D C M N 例题解析 等腰三角形 性质 判定 定义 “等角对等边” A B C D 课堂小结 1.在△ABC中，若∠A＝∠B，AC＝2，则BC的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B 课堂练习 2.将一块三角板和一块直尺如图摆放，∠1＝30°，则下列各式一定成立的是( ) A.AD＝BD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BC C 3.［教材P85习题15.3第9题改编］某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东70°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东50°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝　 　海里. 　7　 4.［与T10互为孪生题］如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点F，交AC于点E. (1)求证：△AEF是等腰三角形； (2)当∠C＝30°时，除△AEF外，　 也是等腰三角形.  解：(1)∵∠AEF＋∠ABE＝90°，∠BFD＋∠CBE＝90°，BE平分∠ABC， ∴∠AEF＝∠BFD＝∠AFE， ∴△AEF为等腰三角形. △BEC，△AFB　 5.已知：线段a，∠α. 求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝∠α.(不写作法，保留作图痕迹) 6.如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线， ∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b， 则△ABD的周长为( ) A.a＋2b B.2a－b C.2a＋b D.a－2b A 7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，D为BC上一点，BD＝AB，DE⊥BC交AC于点E. (1)求证：△ADE是等腰三角形. 解：(1)∵BD＝AB，∴∠BAD＝∠BDA. ∵DE⊥BC，∴∠BDE＝90°， ∴∠EDA＝90°－∠BDA. 又∵∠BAC＝90°，∴∠EAD＝90°－∠BAD， ∴∠EAD＝∠EDA，∴△ADE是等腰三角形. (2)图中除△ADE是等腰三角形外，还有没有别的等腰三角形？若有，请全部写出来(不要求证明)；若没有，请说明理由. (2)还有三个等腰三角形：△ABC，△ABD，△CDE. A.DG＝DC B.AG＝CG C.AG＝EG D.AE＝EG 8.如图，在△ABC中，E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G.若∠AGE＝55°，则下列各式一定正确的是( ) D 9.［2024·合肥四十二中月考］如图，将一个等腰Rt△ABC按如图方式折叠，下列四个结论：①△BDC'是等腰三角形；②△CDC'是等腰直角三角形；③DC'平分∠BDE；④△CED的周长等于BC的长.其中正确的结论是　 　.(只填序号) 　①②④　 10.［与T4互为孪生题］如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，AF＝BF.求证： (1)△ADF是等腰三角形； 证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC，∴∠BEF＝∠DEC＝90°， ∴∠C＋∠D＝∠B＋∠BFE＝90°， ∴∠D＝∠BFE＝∠AFD， ∴△ADF是等腰三角形. (2)DF＝2EF. (2)过点A作AH⊥DE于点H. 易证△AFH≌△BFE(AAS)，∴FH＝EF， ∴DH＝FH＝EF，∴DF＝2EF. 11.［新课标－探究题］［教材P84习题15.3第2题改编］如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F. (1)图1中有　 　个等腰三角形，猜想EF，BE，CF之间的数量关系是　 　.  　EF＝BE＋CF　 　5　 图1 (2)如图2，若AB≠AC，其他条件不变，则图中有　2　个等腰三角形；(1)中EF与BE，CF之间的数量关系还成立吗？请说明理由.  图2 解：(2)成立. (3)如图3，若AB≠AC，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F.图中还有等腰三角形吗？如果有，请全部写出，此时EF与BE，CF之间的数量关系又如何？并说明理由. 图3 (3)图中还有等腰三角形：△BEO，△CFO；此时EF＝BE－CF. 理由：易得△BEO，△CFO是等腰三角形， BE＝OE，OF＝CF， ∴BE＝OE＝EF＋OF＝EF＋CF， ∴EF＝BE－CF. 图3 $