课时作业17+圆的一般方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、性质应用、综合拓展三层设计，覆盖圆的一般方程从概念辨析到轨迹综合应用的完整知识链，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的方程转化、圆的判定条件|直接应用公式，如选择1-5题考查标准方程化与半径计算| |提升层|轨迹方程、对称性质、切线问题|结合几何性质，如选择6-8题、填空9-11题涉及距离与参数范围| |综合层|动态几何、中点轨迹、多知识点融合|情境化问题设计，如填空12题动态点数量积、解答15题轨迹推导|

课时作业17 圆的一般方程 一、选择题 1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为(　　) A.8π B.4π C.2π D.π 2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是(　　) A.m< B.m> C.m<1 D.m>1 3.将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是(　　) A．x＋y－1＝0　　　　 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 4.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) 5.如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有(　　) A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 6.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 7.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 8.（多选题）已知方程x2+y2+3ax+ay+a2+a-1=0,若方程表示圆,则a的值可能为(　　) A.-2 B.0 C.1 D.3 二、填空题 9.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________． 10.已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________． 11.圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________. 12.如图,O是坐标原点,圆O的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从点A,B同时出发,在圆O上按逆时针方向运动,若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点P运动一周的过程中,·的最大值为　　　　.  三、解答题 13.已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P在圆C上,求△PAB面积的最大值. 14.当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？ 15.点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程． 课时作业17 圆的一般方程 （答案） 一、选择题 1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为(　　) A.8π B.4π C.2π D.π 解析：原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2, ∴半径r=,∴圆的面积S=πr2=2π. 故选C. 2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是(　　) A.m< B.m> C.m<1 D.m>1 解析：由二元二次方程表示圆的充要条件可知,(-1)2+12-4m>0,解得m<, 故选A. 3.将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是(　　) A．x＋y－1＝0　　　　 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 解析：选C　要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C. 4.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) 解析：选D　原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0， ∴即∴表示点(－a，－b)． 5.如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有(　　) A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 解析：选A　由D2＋E2－4F＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心在直线y＝x上，故D＝E. 6.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：选B　设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知 ＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π. 7.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 解析：选C　直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由得C(－1,2)． ∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5， 即x2＋y2＋2x－4y＝0. 8.（多选题）已知方程x2+y2+3ax+ay+a2+a-1=0,若方程表示圆,则a的值可能为(　　) A.-2 B.0 C.1 D.3 解析：由(3a)2+a2-4>0,得a<1,所以满足条件的只有-2与0.故选AB. 二、填空题 9.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________． 解析：设P(x，y)是轨迹上任一点， 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)， 则|PA|2＋1＝|PB|2，∴(x－1)2＋y2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2 10.已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________． 解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3)． 答案：(2，－3) 11.圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________. 解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心坐标为，即(1,2)，故圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝3. 答案：3 12.如图,O是坐标原点,圆O的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从点A,B同时出发,在圆O上按逆时针方向运动,若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点P运动一周的过程中,·的最大值为　　　　.  解析　设∠BOQ=α,根据题意得,点P逆时针旋转2α,且α∈[0,π], 依题意得Q(cos α,sin α),P(-cos 2α,-sin 2α), ∴· =(-cos 2α+1,-sin 2α)·(cos α+1,sin α) =(-cos 2α+1)(cos α+1)-sin 2αsin α =1-cos 2α=2sin2α≤2, 当且仅当α=时,等号成立.故答案为2. 答案：2 三、解答题 13.已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P在圆C上,求△PAB面积的最大值. 解析：易求线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3. 由解得即圆心C为(-3,6),则半径r==2.又|AB|==4, 所以圆心C到AB的距离d==4. 所以点P到AB的距离的最大值为4+2. 所以△PAB的面积的最大值为×4×(4+2)=16+8. 14.当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？ 解：要使方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m2＋m－1＝m2－m＋2，得m2＋2m－3＝0， 所以m＝－3或m＝1. ①当m＝1时，方程为x2＋y2＝－，不合题意，舍去； ②当m＝－3时，方程为14x2＋14y2＝1，即x2＋y2＝，表示以原点为圆心，以为半径的圆． 综上，m＝－3时满足题意． 15.点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程． 解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)， 由中点公式得点P坐标为P(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $