2.4.2圆的一般方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习针对“圆的一般方程”分A级（7题）、B级（5题）设计，通过基础概念辨析与综合问题解决，构建从单一知识到能力应用的巩固路径，培养数学运算与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|圆的一般方程转化、圆心半径计算、方程表示圆的条件|基础选择（如第1题圆心坐标）、多选题（第2、3题）强化概念辨析，填空题（第6题）巩固运算技能| |B级|点与圆位置关系、弦长计算、轨迹问题、直线与圆综合|解答题（第12题）结合OM⊥ON条件考查综合应用，第9题最长最短弦问题发展空间观念|

2.4.2　圆的一般方程 A级 必备知识基础练 1.(2026浙江高二期中)已知圆的方程为x2+y2+2x+4y-6=0,则圆心坐标为(　　) A.(-1,-2) B.(-2,-1) C.(-2,-4) D.(-4,-2) 2.(多选题)若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,则直线x+ay+b=0一定经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(多选题)下列方程表示一个圆的有(　　) A.x2+y2-2x+4y+5=0 B.x2+y2+6x-8y+25=0 C.x2+y2-4x+2y-4=0 D.x2+y2+2y=0 4.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点A(3,0)的连线的中点的轨迹方程是(　　) A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1 D.(x+)2+y2= 6.(2026上海高二期中)设圆C的方程为x2+y2+4x-6y+10=0,则圆C的面积为　　　　.  7.已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且被y轴截得的线段长为4,求圆的方程. B级 关键能力提升练 8.(2026安徽合肥期中)已知点A(-1,1)在圆x2+y2+2x+3y+m=0外,则实数m的取值范围是(　　) A.(-3,+∞) B.(,+∞) C.(-∞,) D.(-3,) 9.在圆M:x2+y2-4x+2y-4=0内,过点O(0,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　) A.6 B.8 C.12 D.24 10.已知M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是　　　　　　　　.  11.已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是　　　　　　　　　　.  12.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R. (1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长; (2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值. 参考答案 1.A　圆的方程x2+y2+2x+4y-6=0化为标准方程为(x+1)2+(y+2)2=11,所以圆心坐标为(-1,-2).故选A. 2.ABC　圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心为(a,-b),则a<0,b>0.直线x+ay+b=0化为y=-x-,则斜率k=->0,在y轴上的截距->0,所以直线一定经过第一、二、三象限,不经过第四象限. 3.CD　对于A,D=-2,E=4,F=5,则D2+E2-4F=4+16-20=0,不表示一个圆,表示一个点,故A错误; 对于B,D=6,E=-8,F=25,则D2+E2-4F=36+64-100=0,不表示一个圆,表示一个点,故B错误; 对于C,D=-4,E=2,F=-4,则D2+E2-4F=16+4+16=36,表示一个圆,故C正确; 对于D,D=0,E=2,F=0,则D2+E2-4F=4,表示一个圆,故D正确.故选CD. 4.D　因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为(x+)2+(y-a)2=-a2-3a,故圆心坐标为(-,a),r2=-a2-3a. 由r2>0,即-a2-3a>0,解得-4<a<0,故该圆的圆心在第四象限. 5.C　设M(x0,y0)为圆上的动点,则有=1,设线段MA的中点为P(x,y),则x=,y=, 则x0=2x-3,y0=2y,代入=1,得(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1. 6.3π　因为圆C的方程为x2+y2+4x-6y+10=0,即(x+2)2+(y-3)2=3,可知圆的半径r=,所以圆C的面积为πr2=3π. 7.解(方法1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), ① 将点P,Q的坐标分别代入①,得 令x=0,由①得y2+Ey+F=0, ④ 由已知|y1-y2|=4,其中y1,y2是方程④的两实数根, 故(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48. ⑤ 解②③⑤联立成的方程组,得 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0. (方法2)求得PQ的中垂线的方程为x-y-1=0, 易知所求圆的圆心C在该直线上, 故设其坐标为(a,a-1), 则圆C的半径r=|CP|=. 由已知圆C被y轴截得的线段长为4,而圆心C到y轴的距离为|a|,故r2=a2+()2,整理得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5. 故当圆心为(1,0)时,半径r1=; 当圆心为(5,4)时,半径r2=. 故所求圆的方程为(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37. 8.D　由x2+y2+2x+3y+m=0,可得(x+1)2+(y+)2=-m,可得-m>0,解得m<. 又由点A(-1,1)在圆外,得(-1+1)2+(1+)2>-m,解得m>-3. 综上可得,实数m的取值范围是(-3,).故选D. 9.C　依题意,把圆M的方程化为标准方程是(x-2)2+(y+1)2=9,则圆心M(2,-1),半径r=3. 点O(0,0)与圆心M(2,-1)的距离|OM|=<3,则点O(0,0)在圆内,如图,则过点O(0,0)及圆心M(2,-1)的直线与圆相交,可得最长弦为圆M的直径,即|AC|=6. 当OM⊥BD时,|BD|最短,可得过点O(0,0)的最短弦的弦长|BD|=2=2×=4. 所以四边形ABCD的面积S四边形ABCD=·|AC|·|BD|=×6×4=12.故选C. 10.x+y-1=0　过点M的最短弦与CM垂直,圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1), ∵kCM==1,∴最短弦所在直线的方程为y-0=-(x-1),即x+y-1=0. 11.(x-8)2+y2=36(y≠0)　设C(x,y)(y≠0),则D.∵B(4,0),且AC边上的中线BD长为3, ∴=9,即(x-8)2+y2=36(y≠0). 12.解(1)m=1,则圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2)到直线的距离为,所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为2=2. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2), 直线代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0, 所以x1+x2=,x1x2=. 因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)·(4-x2)=x1x2-(x1+x2)+4=+4=0,所以m=,此时Δ>0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $