2026—2027学年人教版数学九年级上册第一次月考模拟考试

**基本信息** 人教版九年级上数学月考卷，聚焦一元二次方程与二次函数核心知识，通过嫦娥一号浏览量、矩形菜园等真实情境题，考查运算能力与模型意识，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程概念、根的判别式、函数图像|校篮球赛单循环制考查方程建模| |填空题|6/18|顶点坐标、新定义“纵两倍点”|“纵两倍点”融合函数与方程思想| |解答题|9/72|方程求解、函数应用、销售利润|超市销售问题结合函数与不等式，体现数据意识|

2026—2027学年人教版九年级上学期数学第一次月考模拟考试 全卷共6页，25小题，考试时间120分钟，满分120分. 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，3，1 B．2，3， C．2，，1 D．2，3，0 2．如果2是方程的一个根，则常数k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4．某校10月14日举行校篮球比赛，采用单循环积分制（每两个班之间都比赛一场），比赛总场数为105场，设参赛班级有个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最大值 D．时，随增大而增大 6．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10月份该网站的浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次.如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程为（   ） A． B． C． D． 8．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 9．函数，其中是常数且，该函数的图像记为．若直线与该函数图像恰好只有两个交点，则的取值为（   ） A． B．或 C．或 D．或 10．如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（   ） A． B．3 C． D．4 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知是关于的一元二次方程，则代数式______． 12．二次函数的图像的顶点坐标是______． 13．若0是关于x的一元二次方程的一个根，则_____． 14．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是______ 15．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”，若二次函数在的图象上只存在一个“纵两倍点”，则的取值范围是__________． 16．如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则AB的长为__________． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．用适当的方法解下列方程． (1)． (2) 18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 19．如图，抛物线与y轴交于点． (1)m的值为__________； (2)当x满足__________时，y的值随x值的增大而减小； (3)当x满足__________时，抛物线在x轴上方； (4)当时，x的取值范围是__________． 20．已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 21．如图，用长30米的竹篱笆围成一个矩形菜园，其中一面靠墙，墙长10米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，菜园的面积为S平方米． (1)直接写出S与x的函数关系式； (2)若菜园的面积为96平方米，求x的值； (3)若在墙的对面再开一个宽为a（0＜a＜3）米的门，且面积S的最大值为124平方米，直接写出a的值． 22．某超市销售一种成本为30元/千克的食品，第x天的销售价格为m元/千克，销售量为n千克，下表是整理后的部分数据． 时间x/天 1 5 10 20 … 销售价格m/（元/千克） 54.5 52.5 50 45 … 销售量n/千克 66 90 120 180 … (1)直接写出m关于x的函数解析式和n关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)当时，求第几天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该超市把销售价格在当天的基础上提高a元/千克（原销售量不变），那么前25天（包含第25天）每天的销售利润随x的增大而增大，请直接写出a的取值范围． 23．已知关于x的二次函数（m是常数）． (1)求证：二次函数的图象与x轴总有两个交点； (2)若该抛物线与x轴的交点分别为，且，求m的值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)若点 求抛物线的解析式； 如图1，点为抛物线第一象限上一点，，求点的坐标； (2)如图2，若直线与抛物线交于点、点（点在对称轴左侧），直线交轴于点，直线交轴于点．求线段与的数量关系． 25．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，如点，，，……都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个． (1)函数，（k，n为常数）的图象上存在相同的“梦之点”，请求出“梦之点”的坐标和n的值； (2若二次函数（a是常数且不为0）的图象上存在两个“梦之点”，，且，试求二次函数的顶点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C C C D D B C 二、填空题 11． 12． 13． 14．600米 15．或 16．8cm 三、解答题 17．【详解】（1）解： 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，． （2）解：， 变形，得， 因式分解，得， ∴或， 解得：，． 18．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， 解得， ∴的取值范围是． （2）解：根据题意得，，， ∵， ∴， 解得：，， 又， ∴． 19．【详解】（1）解：把点代入抛物线的关系式得：． （2）解：把代入得： ， 对称轴为直线， ∵， ∴当时y的值随x值的增大而减小； （3）解：根据解析（1）可知，抛物线的关系式为：， 把代入得：， 解得：，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：，， ∴结合函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方； （4）解：结合函数图像可知，当时， ∴ 函数图象在直线的下方（包括交点）， ∴当时， 解得：，． ∴当时，或． 20．【详解】（1）解：由二次函数图象与x轴的交点坐标分别为，可知二次函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数图象的顶点在函数的图象上， ∴将代入可得二次函数的顶点坐标为． 根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：根据题意，设点P的坐标为， 当点向左平移n个单位时，得， 当点向右平移个单位时，得， 均落在二次函数的图象上， ∴，即， 解得． 当时，． ∴点P的坐标为． 21．【详解】（1）根据题意得，S＝（30﹣2x+2）x＝﹣2x2+32x； （2）当S＝96时，即96＝﹣2x2+32x， 解得：x1＝12，x2＝4， ∵墙长10米， ∴30﹣8+2＝25＞10， ∴x的值为12； （3）∵S＝（30﹣2x+a+2）x＝﹣2x2+（32+a）x， ∵32﹣2x+a≤10，则x≥a+11， ∵面积取得最大值为S＝124， ∴﹣2x2+（32+a）x＝124， 把x＝a+11代入，得 ﹣2（a+11）2+（32+a）（a+11）＝124， 解得a＝2.8． 答：a的值为2.8． 22．【详解】（1）解：由题意可设与的函数解析式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴， 设与的函数解析式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴， 即：，； （2）解：由题意得 ， ∵，抛物线开口向下，对称轴， ∴当时，W随x增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为2400元． 答：第30天的销售利润最大，最大利润为2400元． （3）∵销售价格在当天的基础提高元/千克， ∴． ∴对称轴为直线． ∵在前25天（包含第25天）每天的销售利润随x的增大而增大，， ∴， 解得． 23．【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∴二次函数的图象与x轴总有两个交点； （2）解：根据题意，可知，是方程的两个根， ∴，， ∵，∴， ∴， 即， ∴， ∴，∴． 24．【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为． 在中， 令，得， 令，得，， ∵抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点， ∴，， ∴，， 作，交于点，作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由得或， ∵点在第一象限， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：在中， 令，得， 令，得或， ∵抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点， ∴，， 由， 解得或， ∵点在对称轴左侧， ∴，， 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， ∴， ∴， ∴线段与的数量关系为． 25．【详解】（1）解：设相同的“梦之点”坐标为， 将代入，得， 整理得， 当，即时，， ∴“梦之点”坐标为， 将代入，得， 解得； 当，即时，则函数为， ∴其图象上所有点均为“梦之点”，此时相同的“梦之点”不唯一，不符合题意，舍去.； ∴“梦之点”的坐标为，n的值为7． （2）解：∵“梦之点”满足， 将代入，得， 整理得， ∵， ∴无论取何值，方程都有实数根， 由题意得，该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 由得，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 整理得， 即， ∴或， 当时，解得，符合题意， ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； 当时，解得，符合题意， ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； 综上所述，二次函数的顶点坐标为或． $