第03讲 1.3集合的基本运算 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以思维导图统领知识架构，通过“概念-性质-图形-应用”四层逻辑链系统构建集合运算体系，融合高频考点与核心素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|5知识点+3即学即练|并交补定义辨析、德摩根律应用、容斥原理计数|从基础运算（并/交/补）到规律总结（性质/定律），形成概念生成-性质推导-初步应用链条| |题型精讲|10题型+30典例变式|韦恩图解交并补混合运算、参数问题分类讨论、新定义迁移转化|按“基础运算-参数求解-综合应用-创新拓展”递进，覆盖所有考法| |题型精练|3层次40题|分层训练法（基础/能力/素养）|从知识理解到逻辑推理再到数学表达，落实数学抽象与运算能力|

第03讲 1.3集合的基本运算 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 【即学即练1】（2026·湖南株洲·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 【即学即练2】（26-27高三上·重庆巴南·开学考试）已知集合，，则（      ） A． B． C． D． 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【即学即练3】（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 第三部分 题型精讲 题型01交集的概念及运算 【典例1】（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·北京丰台·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·河北张家口·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 题型02根据交集的运算结果求集合或参数 【典例1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，． (1)当时，求与； (2)若时，求实数m的取值范围． 【变式3】（25-26高一上·浙江台州·期末）已知集合，或． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型03并集的概念及运算 【典例1】（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·广西来宾·期末）设集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合， 则 （    ） A． B． C． D． 题型04根据并集的运算结果求集合或参数 【典例1】（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知集合或，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【变式2】（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【变式3】（25-26高一上·陕西延安·期中）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 题型05补集的概念及运算 【典例1】（24-25高一上·广东深圳·期中）设全集，，或，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型06根据补集的运算结果求集合或参数 【典例1】（23-24高一上·湖北孝感·开学考试）设全集，且，若，则m的值等于（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 【变式1】（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式2】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 【变式3】（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 题型07交集、并集、补集的混合运算 【典例1】（25-26高二下·内蒙古赤峰·期中）若全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·安徽安庆·期末）设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一下·陕西安康·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型08根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【典例2】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【变式1】（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【变式2】（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为_______. 【变式3】（23-24高一上·新疆昌吉·阶段检测）已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 题型09容斥原理 【典例1】（25-26高一上·贵州黔西南·阶段检测）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校某班主任为了了解学生喜欢篮球运动和足球运动人数进行了统计，其中喜欢篮球运动的人数有18人，喜欢足球运动的人数有14人，既喜欢篮球运动又喜欢足球运动有7人，问只喜欢篮球运动的人数是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1】（2026·浙江温州·二模）表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则______． 【变式2】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.则该校共有_________学生. 题型10新定义题 【典例1】（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【变式2】（24-25高二下·浙江·阶段检测）定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【变式3】（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）定义且，若集合，，的子集的个数是______. 方法一（韦恩图的应用） 【典例1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【典例2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有_______人． 【变式1】（25-26高三上·新疆·阶段检测）学校举办运动会时，某班共有名同学参加田径或球类比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，则同时参加田径和球类比赛的有__________人. 【变式2】（25-26高一上·上海·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有______人. 【变式3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高一某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________．    第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2026·陕西·三模）已知集合，，则中的元素个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷01（北京专用）【范围：人教A版必修一1~2章】）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 6．（2026·山西朔州·一模）已知，则中所有元素的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 7．（专题01集合（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（25-26高二下·江西九江·期末）已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 10．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． B能力提升 1．（多选）（23-24高一上·云南文山·阶段检测）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（暑假预习专题第3讲集合的运算（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）设 ，若 ，求 的值． 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 4．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知集合，集合或 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. C综合素养 1．（多选）（25-26高二下·安徽·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 2．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷01（北京专用）【范围：人教A版必修一1~2章】）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是_____ ①．集合不是“闭集合” ②．正整数集是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 ④．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 3．（25-26高一上·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 4．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 1.3集合的基本运算 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 【即学即练1】（2026·湖南株洲·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义可得结果． 【详解】因为集合，， 则． 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 【即学即练2】（26-27高三上·重庆巴南·开学考试）已知集合，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，则. 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【即学即练3】（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 【答案】3 【详解】因为， 所以， 又，所以， 则集合中有3个元素. 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 第三部分 题型精讲 题型01交集的概念及运算 【典例1】（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 集合，，∴. 【典例2】（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题. 【变式1】（25-26高二下·北京丰台·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用交集定义计算求解. 【详解】解不等式得，即，与无公共元素， 故. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知， ， 所以． 【变式3】（25-26高二下·河北张家口·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知集合代表所有正整数，故. 题型02根据交集的运算结果求集合或参数 【典例1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，则，建立不等式组解出即可. 【详解】因为， 且，所以， 由，则， 所以，解得， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 【典例2】（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ，且 . 若，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，此时，符合题意. 若，则，，不满足集合元素的互异性，舍去. 综上，. 【变式2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，． (1)当时，求与； (2)若时，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别求出集合A和B，根据交集，并集运算的定义，即可得答案. （2）根据条件，可得，分别讨论和两种情况，根据包含关系，列出不等式组，综合即可得答案. 【详解】（1）由题意，集合， 当时，集合， 所以，. （2）由，得， 当时，，解得，此时满足； 当时，则，解得， 综上，实数m的取值范围为 【变式3】（25-26高一上·浙江台州·期末）已知集合，或． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合B后，再求两者交集即可； （2）根据可得，解出即可． 【详解】（1）当时，或， 故． （2）由，有，解得， 所以实数的取值范围为． 题型03并集的概念及运算 【典例1】（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，， 则. 【典例2】（25-26高二下·广西来宾·期末）设集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则． 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的概念求解即可. 【详解】集合，， 则． 【变式2】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义计算即可得到结果. 【详解】首先化简集合：已知，其中指正整数集，不等式两边平方得， 结合，可得的取值为1,2,3，即. 已知，根据并集的定义可得. 【变式3】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合， 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 题型04根据并集的运算结果求集合或参数 【典例1】（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 【典例2】（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知集合或，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）利用交集、并集与补集定义计算即可得； （2）由，可得，解出即可得. 【详解】（1）若，则，则或， ，则或； （2）由，则，解得. 【变式1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 【变式2】（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由得到，然后由子集的定义求解. 【详解】因为集合，或. 若，则， ∴或，即或. ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（25-26高一上·陕西延安·期中）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）由集合的交、补运算求集合； （2）由题设得，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）当时，， 此时，故或； （2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 题型05补集的概念及运算 【典例1】（24-25高一上·广东深圳·期中）设全集，，或，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 故. 【典例2】（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 【变式1】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知全集，集合，则， 又，因此. 【变式2】（25-26高一下·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，全集，而集合， 所以 【变式3】（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 题型06根据补集的运算结果求集合或参数 【典例1】（23-24高一上·湖北孝感·开学考试）设全集，且，若，则m的值等于（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出集合，再借助韦达定理求解作答. 【详解】由全集，，得， 即1，4是方程的两个根，于是，解得， 所以m的值等于4. 故选：A 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集概念求出答案； （2）根据补集的概念求出，结合，从而得到，得到答案. 【详解】（1）当时，，所以． （2）因为集合，所以， 又，所以，解得． 【变式1】（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据补集的定义，先确定集合 ，再比较集合中的元素求出 . 【详解】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 【变式2】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 【答案】7 【分析】由得，即和为一元二次方程的根，利用根与系数关系即可求解. 【详解】由有：，所以和为一元二次方程的根， 所以，所以， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）时化简集合A，根据交集的定义写出； （2）根据，得出关于a的不等式，求出解集即可. 【详解】（1）当时，集合，， ∴； （2）∵，（）， ，∴， ∴， 又，解得. ∴实数a的取值范围是：. 题型07交集、并集、补集的混合运算 【典例1】（25-26高二下·内蒙古赤峰·期中）若全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ． 【典例2】（25-26高一下·安徽安庆·期末）设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是小于8的自然数，所以， 因为，所以， 所以． 【变式1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，故. 【变式2】（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，则 【变式3】（25-26高一下·陕西安康·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集及补集运算求解即可. 【详解】根据补集的定义， ， 所以 . 题型08根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 【典例2】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 【变式1】（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】由补集和交集的概念可得出答案. 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为_______. 【答案】或或 【分析】计算出集合后，分及进行讨论即可得. 【详解】，解得或，则， 当时，，则，符合要求； 当时，由，则有或，即或； 综上所述：的值为或或. 故答案为：或或. 【变式3】（23-24高一上·新疆昌吉·阶段检测）已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解； （2）利用集合混合运算的结果，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）因为，所以或， 又， 所以. （2）因为，， 所以， 又，， 所以与有交集， 则，即实数的取值范围为. 题型09容斥原理 【典例1】（25-26高一上·贵州黔西南·阶段检测）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校某班主任为了了解学生喜欢篮球运动和足球运动人数进行了统计，其中喜欢篮球运动的人数有18人，喜欢足球运动的人数有14人，既喜欢篮球运动又喜欢足球运动有7人，问只喜欢篮球运动的人数是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】应用交集及补集定义及计算求解. 【详解】设喜欢篮球运动的人组成集合，设喜欢足球运动的人组成集合， 喜欢篮球运动的人数有18人，所以. 既喜欢篮球运动又喜欢足球运动有7人，. 只喜欢篮球运动的人数是. 故选：B. 【变式1】（2026·浙江温州·二模）表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则______． 【答案】17 【详解】. 【变式2】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.则该校共有_________学生. 【答案】340 【分析】根据集合的容斥原理的性质即可求解. 【详解】设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. 故答案为：340 题型10新定义题 【典例1】（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 【典例2】（多选）（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 【变式1】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【答案】D 【分析】由新概念“类”的定义逐一检验即可求解 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：，则，，，， ，，， 因为，，所以，所以，故D正确； 故选：D 【变式2】（24-25高二下·浙江·阶段检测）定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果. 【详解】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C,由，则， 由，，则， 所以，，则， 所以，故C错误； 对于D，当时，结合选项B知，，故D错误. 故选：A. 【变式3】（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）定义且，若集合，，的子集的个数是______. 【答案】8 【分析】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可. 【详解】由题知且，且，， 所以， 所以的子集的个数是， 故答案为：8 方法一（韦恩图的应用） 【典例1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 【典例2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有_______人． 【答案】1 【分析】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人，由题意作出韦恩图，根据题意得出关于的等式即可求解． 【详解】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人， 由题意作出韦恩图如图所示： 由图可得，解得． 故同时参加200m比赛和400m比赛的有1人． 故答案为：1． 【变式1】（25-26高三上·新疆·阶段检测）学校举办运动会时，某班共有名同学参加田径或球类比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，则同时参加田径和球类比赛的有__________人. 【答案】 【分析】设同时参加田径和球类比赛的人数为，用集合表示参加田径比赛的同学，集合表示参加球类比赛的同学，结合韦恩图法求解. 【详解】设同时参加田径和球类比赛的人数为， 用集合表示参加田径比赛的同学，集合表示参加球类比赛的同学，如下图所示： 由题意可得，解得， 故同时参加田径和球类比赛的同学人数为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·上海·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有______人. 【答案】7 【分析】根据题意结合韦恩图运算求解即可. 【详解】作出韦恩图，如图所示：    可知持有交通卡或有自行车的人数为， 所以既无交通卡又无自行车的人数为. 故答案为：7. 【变式3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高一某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________． 【答案】8 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设3类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和AI技术培训的有人， 列出韦恩图如下，则， 可得，则只参加AI技术培训的人数为人. 故答案为：8.    第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2026·陕西·三模）已知集合，，则中的元素个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】， ， ，即中的元素个数为. 2．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷01（北京专用）【范围：人教A版必修一1~2章】）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合并集定义结合题设可得答案. 【详解】因为， 则. 3．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 4．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集，而，则 因此，所以集合. 5．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 6．（2026·山西朔州·一模）已知，则中所有元素的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【详解】， 所以， 故中所有元素的和为5. 7．（专题01集合（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】由题可知，， 所以. 故选：A． 二、多选题 8．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 三、填空题 9．（25-26高二下·江西九江·期末）已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 【答案】2 【详解】依题意，，而，故，即有2个元素. 10．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可. 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. B能力提升 1．（多选）（23-24高一上·云南文山·阶段检测）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 2．（暑假预习专题第3讲集合的运算（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）设 ，若 ，求 的值． 【答案】 【分析】化简集合，根据并集的概念可判断集合是集合的子集，分别讨论，即可求得的值. 【详解】 ．因为，所以 ，则，； ①若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意； ②若，代入，得，即或， 当时，①中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综上，． 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 4．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知集合，集合或 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出时集合，再根据补集与并集的定义求解即可； （2）根据得到集合A与集合B没有公共元素，分类讨论求出的范围． 【详解】（1）时，集合或， 所以， 因为集合， 所以； （2），或，，两个集合均为非空数集， 因为，所以与没有公共元素. 当，即时，，此时，不合题意； 当，即时，，解得； 综上，实数的取值范围是 C综合素养 1．（多选）（25-26高二下·安徽·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【分析】对于A. 通过举反例，即可判断；对于B. 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于C.通过举反例，说明其为有限集合即可；对于D. 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 2．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷01（北京专用）【范围：人教A版必修一1~2章】）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是_____ ①．集合不是“闭集合” ②．正整数集是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 ④．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】①②④ 【分析】对于①， 通过举反例，即可判断；对于②， 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于③，通过举反例，说明其为有限集合即可；对于④， 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】 ①，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故①正确； ②，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故②正确； ③，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集， 故③错误； ④，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故④正确． 3．（25-26高一上·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 【答案】010101 【分析】利用集合的新定义得出，再由集合的字符表示即可求解. 【详解】由，，得，则， 因此此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1，其余字符均为0， 所以表示的6位字符串是010101. 故答案为：010101 4．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 【答案】(1) 当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； (2) 将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； (3)110个 【分析】(1)利用举反例和列举全部来判断即可； (2)利用抽屉原理，把相差的数两两一组，然后再去选数，由于只分了个抽屉，但要选个元素，则必有一个是选到相差为的个数，从而找到矛盾，可得问题得证； (3)利用抽屉原理，按连续个自然数为一个抽屉，只需要研究一个抽屉最多可以选几个元素满足题意，最后可确定元素个数的最大值，并举例说明. 【详解】（1）略 （2）略 （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11，则只剩4，8可选，由于，所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)，若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又中只能选1个元素，4，9可以选，故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为，则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取，然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素，经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 学科网（北京）股份有限公司 $