1.3-1.4集合的基本运算与充分必要条件专项练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以题组分层训练整合集合运算与充分必要条件，通过方法提炼（如集合关系转化、补集思想）构建系统性解题体系，体现数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合的基本运算|5题组（含创新题型）|Venn图法、补集思想、参数问题转化为子集问题|从基本运算到综合应用，构建“定义-运算-参数-应用”逻辑链| |充分必要条件|3题组（含新情境题）|集合关系判定条件、充要条件证明两方向|从概念判定到探究证明，形成“定义-判定-应用”递进关系|

集合的基本运算与充分必要条件专项练习 模块一 集合的基本运算 题组一 并集与交集的运算 1.[教材习题改编] 集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 2.[2026 广东广州大同中学期中] 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3.[2026 上海川沙中学月考] 满足的集合M的个数为________。 题组二 补集的运算及其与交集、并集的综合运算 4.[2026 北京清华大学附属中学月考] 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 5.[2026 安徽 C10 教育联盟期中] 如图，U是全集，集合\(A、B\)是集合U的两个子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 6.[2026 湖北水果湖高级中学月考] 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 7.[2026 陕西西安长安一中月考] 已知全集，，，，则（ ） A. B. C. D. 题组三 利用集合的运算解决参数问题 8.（多选题）[2026 河北沧衡名校联盟期中] 已知集合，，若集合中有三个元素，则实数m可以是（ ） A.2 B.3 C. D. 9.[2026 四川成都玉林中学期中] 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A.5或 B.C.5 D. 10.（多选题）[2026 福建龙岩一中月考] 设集合，集合，若，则实数m的值可以为（ ） A. B. C.0 D.1 11.[2026 吉林、黑龙江两省十校期中联考] 已知全集，集合，。 (1) 若，求和； (2) 若，求m的取值范围。 题组四 集合的基本运算 1.[2026 江西名校期中联考] 设全集，集合，则使成立的集合B至多有（ ） A.3个 B.4个 C.7个 D.8个 2.[2026 湖南长沙雅礼中学月考] 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C.D. 3.[2025 江苏南通海安实验中学月考] 设集合，，若且，则所有满足条件的集合C的个数为________。 4.[2026 河南新乡第一中学期中] 用表示有限集合M所含元素的个数，并规定。已知集合满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为________。 题组五 集合的基本运算的应用 5.[2026 湖南邵阳振华中学月考] 设全集，集合，集合，且，则（） A.\(k<0或k>3\) B. C. D. 6.[教材深研拓展] 某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类。经统计，高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛。参加球类比赛的学生中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人。则高一年级参加比赛的学生有（ ） A.98人 B.104人 C.106人 D.110人 7.（多选题）[2026 山东枣庄滕州二中月考] 设集合，，则下列说法错误的是（ ） A. 若有4个元素，则 B. 若，则有4个元素 C. 若，则 D. 若，则 8.[2026 湖北武汉四中期中] 已知集合，，，若，则实数m的取值范围为________。 9.[2026 江苏南京二十九中、盐城中学期中联考] 已知集合，。(1) 若，则实数的值分别为________；(2) 若，，则实数q的取值范围为________。 创新题型 10. 对于给定的非空集合A，定义集合，，当时，称A具有孪生性质。 (1) 判断集合，是否具有孪生性质，请说明理由； (2) 设集合，且，若C具有孪生性质，求n的最小值； (3) 设集合，，若，求证：。 模块二 充分条件与必要条件 题组一 充分条件、必要条件与充要条件的判定 1.[2026 浙江宁波荣安实验中学月考] 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.[2026 四川达州期中] 太阳系是银河系的一部分，而银河系又是宇宙中的一个星系，太阳系内与太阳系外均存在行星，则 “行星M属于银河系” 是 “行星M属于太阳系” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.（多选题）[2026 福建福州期中] 下列说法正确的是（ ） A.“” 是 “” 的充分不必要条件 B.“xy为无理数” 是 “都为无理数” 的必要不充分条件 C.“” 是 “” 的充分不必要条件 D. 设，则 “” 是 “” 的充要条件 4.[2026 河南安阳第一中学期中]“” 是 “” 的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.[2026 福建厦门第一中学月考] 已知实数，则 “” 是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.[2026 天津南开月考]“” 是 “一元二次方程有实数根” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.[2026 辽宁东北育才学校月考] 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，例如，，那么 “” 是 “” 的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 题组二 充分条件、必要条件与充要条件的探究与证明 8.[2026 江苏徐州第三十七中学期中] 设，则的充要条件是（ ） A. B. C.且 D.或 9.（多选题）[2026 安徽马鞍山第二十二中学期中] 下列条件中，是 “” 成立的必要条件的是（ ） A. B. C. D. 10.（多选题）[2026 安徽阜阳田家炳实验中学月考]“” 的一个必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 11.（创新题・新情境）设计如图所示的四个电路图，条件p：开关闭合；条件q：灯泡亮，则符合p是q的充分不必要条件的电路图是________。（填序号） 12.已知，求证： 的充要条件是。 题组三 充分条件、必要条件与充要条件的应用 13.[2026 江苏南京金陵中学期中] 若 “” 是 “或” 的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 14.[2026 河北沧州期中联考] 若 “” 是 “” 的必要不充分条件，则a的取值范围是________。 15.[2026 陕西渭南期中] 已知命题p：“方程至少有一个解”，若p的一个必要不充分条件为 “”，则实数m的取值范围是________。 16.[2026 重庆名校联盟期中] 已知集合和集合。 (1) 若，求实数m的取值范围； (2) 已知，，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围。 17.[2026 广东深圳实验学校月考] 已知集合，非空集合。 (1) 若，求a的取值集合； (2) 若是的必要条件，求a的取值集合。 答案解析 模块一 集合的基本运算 1.C 2.B 4.D 5.B 6.A7.B 8.ACD 9.D 10.ACD 题组一 1.C 易得，因为，所以。 2.B 集合，所以，所以。 3. 答案：解析：由于，所以，设集合的子集为A，则，由于集合的子集有个，所以满足条件的集合M的个数为8。 题组二 4.D 由题可知，，所以。 5.B 题图中阴影部分所表示的集合中任意元素x必须满足：且，即且，于是得，所以题图中阴影部分所表示的集合是。 6.A 依题意，，，故。 7.B 易知，根据题意作出 Venn 图，如图，可知。 题组三 8.ACD 若集合中有三个元素，则，可得，结合选项，可得 A,C,D 正确，B 不正确。 9.D 因为，所以，所以或。若，则，此时，，故，不满足题意。若，则或。当时，，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，，，此时，满足题意。综上，。 10.ACD 由，知，易得。当时，，满足； 当时，，则，由可得或，解得或。 综上，m的值为0或或1。 解后反思解题时要注意集合关系的转化，如本题中，从而将集合运算问题转化为子集问题。 11. 解析 (1) 当时，，所以，，。 (2) 由，得，当时，满足，此时，得； 当时，由可得 解得。 综上，m的取值范围是。 题组四 1.D 由已知得，则即，可知，即，所以，共有8种可能。 小题速解可以转化为，已知，所以其子集的个数为。 2.B 对于，当时，，当时，，所以，所以，，，，故 B 正确，A,C,D 错误。 解后反思集合的运算和集合之间的关系可以相互转化，可以进行如下转化（其中U是全集）：，，，，。 3. 答案：解析：由题意得集合C是A的子集，且与B的交集不为空集，集合A的子集有个。A的子集中与B的交集为空集的集合是的子集，有个，故满足题意的集合C的个数为。 4. 答案：解析：当时，，则，，与条件矛盾，所以，同理。 ①若A中有一个元素，B中有六个元素，则，，此时，，共1种； ②若A中有两个元素，B中有五个元素，则，，所以，，所以或或或或，由题知集合互为补集，若A确定，则B也确定，故不用具体列出B，共5个； ③若A中有三个元素，B中有四个元素，则，，所以，，所以，共10个。（另解：全集共7个元素，除去2个，还有5个，从5个元素中选2个，共10种情况）； ④当A中有四个元素，B中有三个元素时，与③同理，可得不同集合A有10个； ⑤当A中有五个元素，B中有两个元素时，与②同理，可得不同集合A有5个； ⑥当A中有六个元素，B中有一个元素时，与①同理，可得不同集合A有1个。 综上所述，满足条件的所有不同集合A的个数为。 题组五 5.C 集合，，若（利用补集思想，从对立面入手），则或，即或，又，所以。 6.C 设集合分别表示参加田径、游泳、球类比赛的学生。解法一：作出 Venn 图，由图可得高一年级参加比赛的学生人数为。 名师点津 1. 解决有关集合的实际应用题时，要学会将文字语言转化为集合语言，涉及有交叉的有限集合的元素个数问题时，用 Venn 图法处理较为方便。2. 用来表示有限集合A中元素的个数，对于任意的有限集合，有如下结论：(1)。(2)。 7.ABC，若有4个元素，则集合，且，，故 A 中说法错误；若，则，，有3个元素，故 B 中说法错误，D 中说法正确；当时，满足，但，故 C 中说法错误。 8. 答案：解析：易得。①当时，集合，若，则，解得。 ②当时，集合，满足题意。 ③当时，集合，若，则，解得。 综上所述，实数m的取值范围是。 9. 答案：(1) (2)解析：(1) 由题可知（将代入方程，得，等式不成立），所以，则，解得，则，因此，则，解得，则，此时，符合题意，故。 (2) 当时，，由，得或或或。当时，，解得；当N为单元素集合时，，解得，此时，符合题意；当时，无解。 所以实数q的取值范围是。 10. 解析(1)A不具有孪生性质，B具有孪生性质。理由如下：由题意得，，，，故，，根据新定义直接验证，注意计算绝对值时要考虑全面，所以A不具有孪生性质，B具有孪生性质。 (2) 由题意得，，易知，所以，得，所以，，所以n的最小值是675。 (3) 证明：因为，，所以都属于集合，又，，所以（集合D中有4个元素，故选一定不相等的4个值即可），又，所以，所以。 模块二 充分条件与必要条件 题组一 1.B “” 无法推出 “”，“” 可以推出 “”，故p是q的必要不充分条件。 ■一题多解因为，所以p是q的必要不充分条件。 2.B 若行星M属于银河系，则行星M不一定属于太阳系；若行星M属于太阳系，则行星M一定属于银河系，故 “行星M属于银河系” 是 “行星M属于太阳系” 的必要不充分条件。 3.CD对于 A，令，满足，但，所以充分性不成立；若，则一定有，所以必要性成立，所以 “” 是 “” 的必要不充分条件，故 A 错误。 对于 B，令，，则，为无理数，但x为有理数，故充分性不成立；令，则，所以必要性不成立，所以 “xy为无理数” 是 “都为无理数” 的既不充分也不必要条件，故 B 错误。 对于 C，因为，所以，充分性成立；当时，不一定有，还可能，但，故推不出，必要性不成立，所以 “” 是 “” 的充分不必要条件，故 C 正确。 对于 D，由，两边同乘2并整理，得，则，故 “” 是 “” 的充要条件，故 D 正确。 4.C 因为，所以，又，所以，故 “” 是 “” 的充要条件。 5.A 由，得，，所以，因此由可以推出，充分性成立。取，满足，但此时，不满足，所以不能推出，必要性不成立。 因此 “” 是 “” 的充分不必要条件。 6.B 若一元二次方程有实数根（易错提醒：条件明确为一元二次方程），则解得且。因为 “” 无法推出 “且”，“且” 可以推出 “”，所以 “” 是 “一元二次方程有实数根” 的必要不充分条件。 解后反思解决充分条件、必要条件的判定问题，常把问题等价转化，本题中 “一元二次方程有实数根” 的等价条件是 “且”。 7.B 设，则，，所以，所以，即，充分性成立；取，满足，但，，，必要性不成立。所以 “” 是 “” 的充分不必要条件。 题组二 8.C 等价于即且。 9.BC 设，选项对应的集合为N，由题意知，故选项 B，C 符合。 10.AC 设，选项对应的集合为N，因为题中所求的是 “” 的一个必要不充分条件，所以M是N的真子集，因为，，所以选项 A，C 符合。 解题模板在研究条件的充分性和必要性时，可以转化为集合间的关系。若条件对应的集合分别为，则p是q的充分条件；p是q的充分不必要条件；p是q的必要条件；p是q的必要不充分条件；p是q的充要条件。 11. 答案 (1)解析 题图 (1) 中，开关闭合则灯泡亮，反之，灯泡亮不一定有开关闭合，，但，是q的充分不必要条件。题图 (2) 中，开关与灯泡串联，，是q的充要条件。题图 (3) 中，开关，开关与灯泡串联，，，是q的必要不充分条件。题图 (4) 中，开关闭合则灯泡亮，灯泡亮则开关闭合，，是q的充要条件。 12.思路分析有关充要条件的证明，要从两个方面考虑，即充分性和必要性，缺一不可。“的充要条件是” 即 “是的充要条件”，所以充分性是由 “” 得到 “”，必要性是由 “” 得到 “”，解题时不能将充分性与必要性弄反。 证明 必要性：因为，所以，所以 必要性成立；充分性：因为，所以，又，所以且，则，所以，即，充分性成立。 综上可得，当时，的充要条件是。 题组三 13.A 由题意可知是的真子集，所以。 14. 答案 解析 因为 “” 是 “” 的必要不充分条件，所以是的真子集，所以，即a的取值范围是。 15. 答案 解析 对于命题p：“方程至少有一个解”，若，则方程为，解得，符合题意；若，则，解得且。 综上所述，。由p的一个必要不充分条件为 “”，可知集合是集合的真子集，则，解得，所以实数m的取值范围是。 16. 解析(1)①当时，满足，此时，解得；②当时，若，则 解得。综上，实数m的取值范围为。 (2)是p的必要不充分条件，， 解得，故实数m的取值范围为。 17. 解析(1) 由得，解得或，所以。因为，所以且，所以，即，解得或。 当时，为，化简得，解得或，即，不符合题意，舍去； 当时，为，化简得，解得或，即，符合题意。 故a的取值集合为。 (2) 若是的必要条件，则，又，所以或或。①由 (1) 可知，当时，。②当时，无解； ③当时，有 无解。 综上所述，a的取值集合为。 学科网（北京）股份有限公司 $