专题01 集合概念·集合间的基本关系五大求参数问题（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦集合概念与关系的五大参数问题，以题型为纲系统覆盖元素关系、互异性、元素个数、包含关系及集合相等，通过分层题组强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |元素与集合关系求参数|10题|含元素归属判断、参数范围确定|从元素基本属性切入，建立集合与元素的对应关系| |元素互异性求参数|10题|多以含参集合元素重复为背景|深化集合元素唯一性，训练分类讨论思维| |元素个数求参数|10题|涉及单元素集、整数元素计数|联结集合基数与方程解的个数，培养数学眼光| |包含关系求参数|10题|含子集、真子集关系的参数范围|构建集合间包含的逻辑链条，发展推理能力| |集合相等求参数|10题|通过集合元素对应建立方程|强化集合相等的充要条件，提升数学语言表达|

专题01 集合概念·集合间的基本关系五大求参数问题 题型一 根据元素与集合的关系求参数 题型二 利用集合元素的互异性求参数 题型三 根据集合中元素的个数求参数 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 根据两个集合相等求参数 题型一 根据元素与集合的关系求参数 1．(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 2．C 3． 4． 5． 6．或 7．A 8．B 9．0或1或2 10．(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 题型二 利用集合元素的互异性求参数 11．BD 12． 13． 14． 15．1 16． 17．(1)且且且且； (2)或或. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 18．BD 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 19． 20．0或1 题型三 根据集合中元素的个数求参数 21．C 22．0或1 23．B 24．C 25．B 26．AB 27．(1)或 (2) 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 28． 29． 30．(1)或 (2)或 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 题型四 根据集合的包含关系求参数 31． 32．，， 33．(1)或 (2) 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 34．(1)(2)(3)(4)(5) 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 35．D 36．C 37．C 38．C 39． 40．C 题型五 根据两个集合相等求参数 41．C 42． 43．5 44．B 45． 46．D 47．B 48． 49． 50．(1)(2) 【详解】（1）当时，，又因为， 所以，所以，所以； （2）当时，， 因为，， 所以只有一个元素且， 所以，所以. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合概念·集合间的基本关系五大求参数问题 题型一 根据元素与集合的关系求参数 题型二 利用集合元素的互异性求参数 题型三 根据集合中元素的个数求参数 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 根据两个集合相等求参数 题型一 根据元素与集合的关系求参数 1．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 2．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 3．设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 4．设a是实数，集合，若，则__________. 5．已知集合是由、、三个元素组成的，且，求实数的值. 6．已知集合，，若，使得，都满足，则__________. 7．已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 8．设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 10．已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 题型二 利用集合元素的互异性求参数 11．（多选）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 12．已知，则实数的取值集合为___________. 13．已知集合.若，则______. 14．已知集合，且，则________． 15．设，若集合中的最大元素为3，则______． 16．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 17．举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 18．（多选）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 19．设集合，，已知且，则的取值集合为________. 20．若集合A中含有三个元素a－3，2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________. 题型三 根据集合中元素的个数求参数 21．若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 22．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 23．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 25．已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 26．（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 27．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 28．已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 29．若关于x的方程的解集至多有两个子集，则a的取值范围为______. 30．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 题型四 根据集合的包含关系求参数 31．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 32．已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 33．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 34．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 35．设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 36．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 37．若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 38．已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 39．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 40．已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 题型五 根据两个集合相等求参数 41．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 42．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 43．已知且，集合，．若，则______． 44．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 45．已知a，，若，则______. 46．已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 47．已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 48．已知集合，，若，则实数________. 49．含有三个实数的集合可表示为，也可以表示为，则的值为______. 50．已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合概念·集合间的基本关系五大求参数问题 题型一 根据元素与集合的关系求参数 题型二 利用集合元素的互异性求参数 题型三 根据集合中元素的个数求参数 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 根据两个集合相等求参数 题型一 根据元素与集合的关系求参数 1．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 2．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 3．设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】若，则满足该不等式，代入得， 则，则， 故答案为：. 4．设a是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【详解】由， 当，则，不满足元素的互异性， 当， 若，则，， 若，则，， 此时，满足. 当或， 若，则，不满足元素的互异性， 若，则，不满足元素的互异性， 综上，. 故答案为： 5．已知集合是由、、三个元素组成的，且，求实数的值. 【答案】 【详解】因为，且， 若，可得，则，此时集合中的元素不满足互异性，舍去； 若，即，即，解得或（舍）， 当时，，集合中的元素满足互异性，合乎题意. 综上所述，. 6．已知集合，，若，使得，都满足，则__________. 【答案】或 【详解】，或或； ①当或，即或时， 若，则， 此时，即； 若，则，此时， 即； 由得：，； ②当，即时， 若，则，此时，即； 若，则，此时，即； 由得：，； 综上所述：或. 故答案为：或. 7．已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 【答案】A 【详解】由题意，若，， ， ， ， 易知为四个各不相同的实数，所以集合. 因此集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 8．设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，而且 且，解得. 故选：B 9．已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 【答案】0或1或2 【详解】由，可得， 当且时，方程的根为，，， 根据题意可得，解得， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 综上所述：实数或1或2. 故答案为：0或1或2. 10．已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 题型二 利用集合元素的互异性求参数 11．（多选）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 12．已知，则实数的取值集合为___________. 【答案】 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： 13．已知集合.若，则______. 【答案】 【详解】由集合，可得或， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性； 当时，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以则. 故答案为：. 14．已知集合，且，则________． 【答案】 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 15．设，若集合中的最大元素为3，则______． 【答案】1 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 16．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 【答案】 【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）． 所以，或 解得，或． 经检验，满足题意． 所以． 17．举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且；(2)或或. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 18．（多选）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 19．设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 20．若集合A中含有三个元素a－3，2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________. 【答案】0或1 【详解】①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中元素为－3，－1，－4，满足题意. ②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性. ③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A中元素为－2，1，－3，满足题意；当a＝－1时，由②知不合题意. 综上可知：a＝0或a＝1. 题型三 根据集合中元素的个数求参数 21．若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 22．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 23．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 24．如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 25．已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【详解】由条件知，解得. 故选：B 26．（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 27．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 28．已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 【答案】 【详解】当时，则有，符合题意； 当时，由题意可得，解得.符合题意; 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 29．若关于x的方程的解集至多有两个子集，则a的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意，方程解集至多有两个子集，即解集中元素个数， 当时，方程为一次方程， 解得，解集有1个元素，符合条件； 当时，方程为二次方程，则判别式，解得； 综上，a的取值范围为 故答案为：. 30．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【答案】(1)或(2)或 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 题型四 根据集合的包含关系求参数 31．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 32．已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 【答案】，， 【详解】因为，所以，解得或， 当时，则，，此时满足， 当时，则，，此时满足， 从而实数a组成的集合为，C的真子集为，，． 33．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 34．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 35．设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 36．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 37．若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 【答案】C 【详解】当时，满足； 当时，因为，所以， 此时，满足． 38．已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 39．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 40．已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 题型五 根据两个集合相等求参数 41．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 42．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 43．已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 44．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 45．已知a，，若，则______. 【答案】 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. 46．已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D 47．已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 当时，则，所以，得， 此时； 当时，则，所以，所以，所以，则， 此时， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：B. 48．已知集合，，若，则实数________. 【答案】 【详解】由于，当时，无解； 当时，,此时，,不满足条件； 当时，,此时，,此时,满足条件； 故答案为： 49．含有三个实数的集合可表示为，也可以表示为，则的值为______. 【答案】 【详解】因为有意义，所以， 因为，， 所以，所以，所以， 所以，所以，， 所以，又， 所以， 此时，，满足要求， 所以. 故答案为：. 50．已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，又因为， 所以，所以，所以； （2）当时，， 因为，， 所以只有一个元素且， 所以，所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $