1.1 集合的概念 专项培优训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合概念核心素养，以题型为载体构建从元素关系到集合性质的完整知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断元素与集合的关系|10题|以选择、填空、解答题考查元素归属判断，含多选与证明|从元素与集合的基本关系切入，培养符号意识与抽象能力| |根据元素与集合的关系求参数|10题|结合集合定义求参数值或范围，涉及分类讨论|深化元素特性理解，发展推理能力与运算能力| |元素互异性的应用|10题|通过集合元素唯一性求参数或判断集合构成|强化集合基本性质，培养严谨思维与问题解决能力| |集合的表示方法|10题|考查列举法与描述法的转换及规范表示|构建集合表示的数学语言体系，提升数学表达能力| |集合相等的应用|8题|利用集合相等条件求参数，含多元素集合等价性判断|整合集合概念与性质，形成知识应用的闭环逻辑|

高一上学期同步考点专项训练（人教A版） 1.1 集合的概念 高频考点归纳 题型一：判断元素与集合的关系 题型二：根据元素与集合的关系求参数 题型三：元素互异性的应用 题型四：集合的表示方法 题型五：集合相等的应用 题型一 判断元素与集合的关系 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 6．（2025·四川成都·模拟预测）（多选）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 7．用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则______D． 8．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）非空数集满足：，都有.若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为_____. 9．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 10．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）现有集合，集合 (1)判断中哪些元素属于集合B； (2)求证：若，则； (3)求证：若，则有且为奇数. 题型二 根据元素与集合的关系求参数 11．已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 12．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 13．（2026高一上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知集合，且，则的值可以为（    ） A．3 B． C．-3 D． 16．（25-26高一上·云南·阶段检测）（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（    ） A．2 B． C． D．1 17．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 18．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 19．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 20．（25-26高一上·上海松江·期中）已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 题型三 元素互异性的应用 21．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·四川·阶段检测）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 23．（24-25高一上·四川成都·阶段检测）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 25．（24-25高一上·江西新余·阶段检测）（多选）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 26．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 27．（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，，且，则集合________． 28．（25-26高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是_________. 29．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 30．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）定义：若任意m，（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； 题型四 集合的表示方法 31．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·重庆·阶段检测）集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 34．（24-25高一上·上海·阶段检测）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 35．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 36．（24-25高一上·河北保定·阶段检测）（多选）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 37．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用描述法表示集合，可表示为_______. 38．（25-26高一上·云南·阶段检测）设P表示平面内的动点，则集合（O是定点）中的点组成的图形为______． 39．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 40．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 题型五 集合相等的应用 41．（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 42．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 43．（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 44．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 45．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则______． 46．（25-26高一上·甘肃定西·期末）设，集合，若，则__________. 47．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 48．（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $高一上学期同步考点专项训练（人教A版） 1.1 集合的概念 高频考点归纳 题型一：判断元素与集合的关系 题型二：根据元素与集合的关系求参数 题型三：元素互异性的应用 题型四：集合的表示方法 题型五：集合相等的应用 题型一 判断元素与集合的关系 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域求得集合，即可得结论. 【详解】∵，即， ∴， ∴. 故选：A. 2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求得集合，由此确定正确答案. 【详解】由得，解得或， 故，故，，. 故选：C 3．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 4．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【详解】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 5．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 【答案】AC 【分析】分析，的特点，得到的值必为奇数，再对选项是奇数的进行验证. 【详解】，，则的值必为奇数， 又，，故AC正确． 故选：AC 6．（2025·四川成都·模拟预测）（多选）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BD 【分析】利用集合的描述法及元素与集合的关系分析验证即可得出答案. 【详解】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入……可得. 对于A，由上分析可知错误； 选项B，由上分析可知正确； 对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中； 对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中， 例如. 故选：BD 7．用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则______D． 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系直接判断即可. 【详解】是有序实数对，且满足，故． 故答案为： 8．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）非空数集满足：，都有.若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为_____. 【答案】1 【分析】根据题意，利用数量关系研究数集的元素，可得答案. 【详解】因为非空数集满足：，都有， 又集合T中含有4个元素， 则，，，， 可得，所以. 故答案为：1. 9．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 【答案】(1)和； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据集合的定义验证； （2）由，证明且即可． 【详解】（1）由已知,,0,均是集合中元素， 又，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 10．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）现有集合，集合 (1)判断中哪些元素属于集合B； (2)求证：若，则； (3)求证：若，则有且为奇数. 【答案】(1)， (2) 当时，令，为整数， 则， 显然都是整数，因此， 当时，，则，所以. (3) 由， 得， 则都是整数，为整数， 因此，即， 由是整数，得是偶数，或都是奇数，则是奇数，是奇数， 所以且是奇数. 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可. （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证. （3）根据给定条件可得，进而求出，再推理说明是奇数即可. 【详解】（1）由，得； 由，得； 由没有倒数，得； 由，得， 所以，. （2）略 （3）略 题型二 根据元素与集合的关系求参数 11．已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值 【详解】因为，所以，解得，， 故选：A． 12．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【分析】分和讨论即可. 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 13．（2026高一上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求得的取值范围. 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 14．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素进行求解. 【详解】因为， 又且，则， 故选：D 15．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知集合，且，则的值可以为（    ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】ABD 【分析】由题得到或，求出参数m，再由集合元素互异性检验即可. 【详解】集合，且， 所以或，解得或， 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合. 故的值可以为. 故选：ABD 16．（25-26高一上·云南·阶段检测）（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】BC 【分析】讨论或两种情况，解等式即可求解. 【详解】由题意得，或．若，则，解得或． 当时，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则，解得或．当时，，当时，舍去． 综上，x可能为，． 故选：BC 17．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 18．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【答案】 【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 19．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 20．（25-26高一上·上海松江·期中）已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 【答案】(1) 对于集合，集合中的， 所以，集合不具有“包容”性； 对于集合， 该集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合， 所以，集合具有“包容”性. (2)1 【分析】（1）根据“包容”性的定义进行判断即可. （2）根据“包容”性的定义进行计算即可. 【详解】（1）略 （2）若集合具有“包容”性，记， 则，易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， 当时，若得， 此时具有包容性. 若，得舍去；若无解， 当时，则， 由且，可知无解，故， 所以. 题型三 元素互异性的应用 21．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素的互异性即可求得应满足的范围. 【详解】由元素的互异性可知，所以. 故选：A 22．（25-26高一上·四川·阶段检测）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据集合中元素的互异性可得出答案. 【详解】根据集合中元素的互异性，. 即A中的元素个数为6， 故选：C 23．（24-25高一上·四川成都·阶段检测）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可. 【详解】当，则，显然集合元素不满足互异性； 当，则，此时集合为，满足； 当，即或，（其中舍）， 若，此时集合为，满足； 若，此时集合为，满足； 综上，的取值集合为. 故选：D 24．（25-26高一上·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【答案】D 【分析】利用集合元素的互异性讨论即可. 【详解】当时，解得或3； 当； 当； 所有不可能的取值之和. 故选：D. 25．（24-25高一上·江西新余·阶段检测）（多选）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得，知BD符合. 故选：BD. 26．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】ABD 【分析】将四个选项逐一代入验证是否满足集合的三个特性即可. 【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错； 当时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错. 故选：ABD 27．（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，，且，则集合________． 【答案】 【分析】根据条件，求出，再利用集合的性质，即可求解. 【详解】因为，所以或， 由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 28．（25-26高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是_________. 【答案】或 【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 29．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为. 30．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）定义：若任意m，（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据生成集的定义计算即可； （2）根据生成集的定义，分，，，或，三种情况讨论，求出生成集中的元素，再根据B的子集个数为4个，可得B中有2个元素，再分情况讨论即可. 【详解】（1）由题可知 ①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 所以； （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， B的子集个数为4个，则B中有2个元素， 当时，解得或， 若，则，此时B中只有1个元素，故舍去， 若，则，符合， 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合， 若，则，符合， 当时，解得（舍去）， 综上所述，或或． 题型四 集合的表示方法 31．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，列举法表示集合，即可求解. 【详解】集合. 故选：C. 32．（25-26高一上·重庆·阶段检测）集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解，即可. 【详解】由， 可得， 即，又 所以， 故选：C 33．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】A 【分析】利用常用数集的表示可判断A选项；利用集合元素的互异性可判断B选项；利用集合的表示法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，自然数集可表示为，A对； 对于B选项，由、、、、构成的集合是，B错； 对于C选项，满足的构成的集合是，C错； 对于D选项，二次函数上的所有点的坐标构成的集合是，D错. 故选：A. 34．（24-25高一上·上海·阶段检测）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可. 【详解】能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除， 利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合， 由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除， 而选项B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确， 故选：B. 35．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 36．（24-25高一上·河北保定·阶段检测）（多选）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 37．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用描述法表示集合，可表示为_______. 【答案】是的倍数且 【分析】描述元素4,8,12,16的共同特征即可. 【详解】用描述法表示集合，可以为：是的倍数且. 故答案为：是的倍数且（答案不唯一） 38．（25-26高一上·云南·阶段检测）设P表示平面内的动点，则集合（O是定点）中的点组成的图形为______． 【答案】圆 【分析】由集合中的点满足的条件确定图形. 【详解】集合表示到定点的距离等于的点组成的图形，由圆的定义可知图形为圆． 故答案为：圆. 39．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程，再用列举法写出集合即可； （2）根据题意大于且小于的整数为，，，，，再用列举法写出集合即可； （3）根据题意用描述法表示集合即可． 【详解】（1）解方程得或，故集合为； （2）大于且小于的整数为，，，，，故集合为； （3）能被整除且大于的整数可表示为， 故集合为． 40．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据集合中元素的特点及个数分别选择用列举法、描述法表示即可. 【详解】（1）列举法表示为：； （2）由可得，， 列举法表示： （3）描述法表示为： （4）描述法表示为： 题型五 集合相等的应用 41．（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 42．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 43．（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算即可. 【详解】由， 则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意， 所以. 故选：B 44．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 45．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则______． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 46．（25-26高一上·甘肃定西·期末）设，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 47．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据集合元素的三要素即可求解； （2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可； （3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可. 【详解】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； （3）由有或， 当时，化简有，又，所以该方程无解； 当时，化简有，解得或， 当时，，所以满足题意， 当时，，所以满足题意， 所以存在或，使得. 48．（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 学科网（北京）股份有限公司 $